2024-2025學(xué)年浙江省寧波市高三上冊1月期末數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年浙江省寧波市高三上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)檢測試題注意事項：1.答卷前，務(wù)必將自己的姓名，考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.請保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】解一元二次不等式求集合A，由對數(shù)函數(shù)定義域求集合B，再由集合的交補(bǔ)運算求結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，B={x|x>0}，所以，故，即為.故選：D2.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的乘方、除法運算化簡，即可得虛部.【詳解】，故虛部為.故選：C3.與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點的雙曲線方程為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】設(shè)所求雙曲線方程為，代入已知點坐標(biāo)求解．【詳解】由題意設(shè)所求雙曲線方程為，又雙曲線過點，∴，即，∴雙曲線方程為，即，故選：D．4.若數(shù)列為等比數(shù)列，則“”是“”的（）A.充要條件 B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件 D.必要不充分條件【正確答案】C【分析】利用等比數(shù)列性質(zhì)，結(jié)合基本不等式及不等式性質(zhì)，由充分、必要性定義判斷充分、必要性.【詳解】若數(shù)列的公比為，由，故，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故充分性成立；由，故，若，則，故必要性不成立；故選：C5.體育課上，羅老師讓8名身高各不相同的同學(xué)排隊，要求排成前后兩排，每排4人，且每排同學(xué)從左到右身高依次遞增，則不同排法的種數(shù)為（）A.60 B.70 C.80 D.90【正確答案】B【分析】只需確定從8人中任抽4人放在第一排的方法數(shù)即可得答案.【詳解】從8人中任抽4人放在第一排有種，且僅有一種排法，其余4人放在第二排只有一種排法，所以不同排法的種數(shù)為種.故選：B6.若向量滿足，且，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由向量數(shù)量積運算律可得，再由投影向量的定義求在上的投影向量.【詳解】由，則，由在上的投影向量.故選：D7.已知，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合二倍角公式，弦化切，即可求解．【詳解】，則．故選：A．8.在四面體中，，，且，則該四面體的外接球表面積為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)題設(shè)條件作出四面體的高，通過相關(guān)條件推理計算分別求出，最后在直角梯形，利用勾股定理列出方程即可求得外接球半徑.【詳解】如圖，作平面，連接，易得因，平面，所以平面，平面，故,由題可得，，則.不妨設(shè)，則有①，在中，由余弦定理，，在中，②，將兩式相減化簡即得：，.取線段中點，過點作平面，其中點為外接球的球心，設(shè)外接球半徑為，由余弦定理求得，在直角梯形中，，由計算可得：，則該四面體的外接球表面積為.故選：B.方法點睛：本題主要考查四面體的外接球的表面積，屬于中檔題.求解多面體的外接球的主要方法有：（1）構(gòu)造模型法:即尋找適合題意的長方體，正方體，圓柱等幾何體，借助于這些幾何體迅速求得外接球半徑；（2）建立直角梯形或直角三角形法：即先找到底面多邊形的外心，作出外接球球心，借助于題設(shè)中的條件得到多面體的高，構(gòu)成直角梯形或直角三角形來求解.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.下列說法正確的是（）A.數(shù)據(jù)6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的第70百分位數(shù)是8.5B.若隨機(jī)變量，則C.設(shè)為兩個隨機(jī)事件，，若，則事件A與事件相互獨立D.根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到，依據(jù)的卡方獨立性檢驗，可判斷與有關(guān)且該判斷犯錯誤的概率不超過0.05【正確答案】BCD【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義可判定A，利用正態(tài)分布的對稱性可判定B，利用條件概率及相互獨立事件的定義可判定C，利用獨立性檢驗的意義可判定D.【詳解】對于A，因為，又將數(shù)據(jù)從小到大排列，第7個數(shù)為7，第8個數(shù)為8，所以第70百分位數(shù)為7.5，故A錯誤；對于B，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可知為，，故B正確；對于C，根據(jù)條件概率可知，由相互獨立事件的判定可知C正確；對于D，根據(jù)獨立性檢驗的意義可知，故可判斷與有關(guān)且該判斷犯錯誤的概率不超過0.05，故D正確.故選：BCD.10.已知，則（）A. B.C. D.【正確答案】ABD【分析】利用賦值法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則逐一判斷即可.【詳解】A：在已知等式中，令，則有，所以本選項正確；B：已知等式中，令，則有，所以本選項正確；C：因為，所以項的系數(shù)，D：對已知等式，兩邊同時求導(dǎo)，得，在該式中，令，則有，所以本選項正確，故選：ABD11.拋物線：的焦點為，過作傾斜角為的動直線交拋物線于兩點（在第一象限），且，設(shè)關(guān)于軸的對稱點為，則下列說法一定正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件，利用拋物線的定義，結(jié)合傾斜角的意義及直角三角形銳角三角函數(shù)、三角形面積公式逐項判斷即得.【詳解】拋物線：的焦點為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，過作軸于，過作于，顯然，由拋物線定義得，，而，則，因此，A正確；顯然，同理，則，B錯誤；又，則點到直線的距離，因此，C正確；顯然，則，又，因此，D正確.故選：ACD12.已知，，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】ABC【分析】構(gòu)造函數(shù)，則有、，可得C、D，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可得，構(gòu)造函數(shù)及，可得.【詳解】令，則，當(dāng)時，f′x<0，當(dāng)x∈1,+故在、上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，有，故，又，，故，故有，故，即C正確，，即，故D錯誤，令，則，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在1,+∞上單調(diào)遞減，有，故恒成立，即恒成立，故Fx在上單調(diào)遞減，又，故當(dāng)時，，當(dāng)x∈1,+∞，，即當(dāng)時，，當(dāng)x∈1,+∞時，，令，即，此時，故該方程有兩個不相等的實根，設(shè)兩根為、，且，則有，由，且，故有，由，故，即，故A正確；令，有，則，當(dāng)x∈0,1時，，當(dāng)x∈1,+∞，故在0,1上單調(diào)遞增，在1,+∞上單調(diào)遞減，有，又，故，令，則，由，故，即，故在0,1上單調(diào)遞增，又，故恒成立，即，由，即有，又，即有，有，，又在1,+∞上單調(diào)遞減，故，即，故B正確.故選：ABC.關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，從而得到、、、的大小關(guān)系，即可得C、D，構(gòu)造函數(shù)與函數(shù)，從而得到、與的關(guān)系.第Ⅱ卷三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.小周和小王進(jìn)行一對一籃球比賽，該比賽采取三局兩勝制（有一方先勝兩局即獲勝，比賽結(jié)束）.假設(shè)小周每一局獲勝的概率為，小王每一局獲勝的概率為，且每一局比賽相互獨立，則小王在比賽中獲勝的概率為_________.【正確答案】【分析】應(yīng)用獨立事件乘法及互斥事件加法求小王在比賽中獲勝的概率.【詳解】由題設(shè)，小王在比賽中獲勝情況：小王在前2局都勝，小王在前2局勝一局且第3局勝，所以小王在比賽中獲勝的概率為.故14.若點直線上的動點，過與圓相切的兩條直線的夾角為，則的最大值為_________.【正確答案】##【分析】根據(jù)題設(shè)可得直線與圓是相離關(guān)系，且，則，有，結(jié)合點線距離求得，再由，即可求其最大值.【詳解】由題意，直線與圓是相離關(guān)系，且，則，如下圖，，且，所以，令，則，所以.故15.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，且在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是_________.【正確答案】【分析】根據(jù)圖象平移得，將問題化為在上遞增，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)的取值范圍.【詳解】由題設(shè)，又，則，即在上遞增，又，所以或且，故或且，則.故16.在棱長為1的正方體中，分別是棱的中點，分別是線段上的動點，則的最小值為_________.【正確答案】##【分析】根據(jù)給定條件，確定點的位置，再把展開放置于同一平面內(nèi)，借助三點共線，結(jié)合余弦定理求解即得.【詳解】在棱長為1的正方體中，連接，連接，由平面，平面，得，由分別是棱的中點，得，而，則，又平面，于是平面，又平面，連接，顯然平面，因此，則有，當(dāng)且僅當(dāng)點與重合，即為線段的中點時取等號，又平面，把展開放置于同一平面內(nèi)，連接，于是的最小值，即為線段長，連接，依題意，，在中，，，而，，，則，在中，由余弦定理得，的最小值為.故關(guān)鍵點睛：涉及空間圖形中幾條線段和最小的問題，把相關(guān)線段所在的平面圖形展開并放在同一平面內(nèi)，再利用兩點之間線段最短解決是關(guān)鍵.四、解答題（本大題共6小題，第17題10分，第18-22每小題12分，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.）17.已知等差數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，令，求數(shù)列的前項和.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項和、通項公式列方程求基本量，即可得通項公式；（2）寫出的通項公式，應(yīng)用錯位相減法、等比數(shù)列前n項和公式求和.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，由題設(shè)有，解得，即；【小問2詳解】由（1）及已知得，則①，②，②①，得，所以.18.如圖，在三棱錐中，，，平面，平面平面，是的中點.（1）求證：;（2）求平面與平面的夾角.【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）作，垂足為，根據(jù)面面垂直性質(zhì)得平面，再由線面垂直性質(zhì)得、，最后由線面垂直的判定及性質(zhì)證結(jié)論；（2）法一：構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求面面角的大小；法二：取中點，中點，連結(jié)，，，由面面角的定義找到其平面角，再根據(jù)已知條件求平面角的大小.【小問1詳解】作，垂足為，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又平面，平面，所以，因為，面，所以平面，由平面，所以.【小問2詳解】（向量法）如圖，以為原點，及垂直面向上為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.所以，所以，，易知平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量為，則,令，所以，則，所以平面與平面夾角為.（幾何法）取中點，中點，連結(jié)，，，因為平面，平面，所以，又，所以，由（1）知，平面，平面，所以，在直角和直角中，，所以是等腰三角形，所以，綜上，即為二面角的平面角，，，，則，所以為等腰直角三角形，故，所以平面與平面的夾角為.19.某企業(yè)對2023年上半年的月利潤情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，得到數(shù)據(jù)如下：月份123456凈利潤（萬元）510265096195根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點圖.（1）根據(jù)散點圖判斷，與（均為大于零的常數(shù)）哪一個更適宜作為描述與關(guān)系的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果求出關(guān)于的回歸方程；（3）已知該企業(yè)的產(chǎn)品合格率為，現(xiàn)隨機(jī)抽取9件產(chǎn)品進(jìn)行檢測，則這9件產(chǎn)品中合格的件數(shù)最有可能是多少？參考數(shù)據(jù)：3.5063.673.4917509.4912.95519.01其中.參考公式：用最小二乘法求經(jīng)驗回歸直線方程的系數(shù)公式為，，.【正確答案】（1）（2）（3）8件或9件【分析】（1）根據(jù)散點圖的趨勢即可求解，（2）利用最小二乘法即可求解方程，（3）根據(jù)二項分布求解概率，即可根據(jù)不等式求解最值.【小問1詳解】由于散點圖呈現(xiàn)在曲線附近，所以選擇【小問2詳解】兩邊取對數(shù)，得，設(shè)，，建立關(guān)于的回歸方程，則，，所以關(guān)于的回歸方程為，所以.【小問3詳解】設(shè)抽到的產(chǎn)品中有件合格品，則，所以，，即，，解得，所以最有可能是8件或9件.20.在中，已知.（1）求的長；（2）若的平分線交點，求的最大值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)條件及正弦的和角公式得到，再利用正弦定理即可求出結(jié)果；（2）設(shè)，利用及條件得出，再利用余弦定理得，從而得到，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】由題意得，，得到，所以，由正弦定理，得到，又，所以.【小問2詳解】設(shè)，因為，所以，又，所以，由余弦定理，，所以當(dāng)時，取到最大值.21.已知點和直線:，動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數(shù).（1）求動點的軌跡的方程；（2）已知，過點作直線交于，兩點，若，求的斜率的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）設(shè)Px,y（2）設(shè)，直線方程為代入橢圓方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得，再由向量運算的坐標(biāo)表示得出的關(guān)系，結(jié)合越來可求得值．【小問1詳解】設(shè)Px,y，由題意得，化簡得:.【小問2詳解】設(shè)：，與聯(lián)立得，，因為，則定點在橢圓內(nèi)，則該直線與橢圓必有兩交點，所以因為，所以，即，所以③，由①③得，將④⑤代入②，得，化簡得，，解得.關(guān)鍵點睛：本題第二問的關(guān)鍵是采用設(shè)線法，聯(lián)立橢圓方程得到韋達(dá)定理式，再根據(jù)向量關(guān)系式，從而解出，最后得到關(guān)于的方程，解出即可.22.我們把底數(shù)和指數(shù)同時含有自變量的函數(shù)稱為冪指函數(shù)，其一般形式為，冪指函數(shù)在求導(dǎo)時可以將函數(shù)“指數(shù)化"再求導(dǎo).例如，對于冪指函數(shù)，.（1）已知，求曲線在處的切線方程；（2）若且，.研究的單調(diào)性；（3）已知均大于0，且，討論和大小關(guān)系.【正確答案】（1）（2）答案見解析