中考數(shù)學一輪復習知識點梳理+題型訓練專題26 垂徑定理(解析版)

專題26垂徑定理基礎知識回顧垂徑定理：垂直與弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩段弧。推論一：平分弦（不是直徑）的直徑垂直與這條弦，并且平分這條弦所對的兩段弧。推論二：弦的垂直平分線經過圓心，并且平分這條弦所對的弧。推論三：平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分這條弦，并且平分這條弦所對的另一條弧。推論四：在同圓或者等圓中，兩條平行弦所夾的弧相等。模型的概述：在⊙O中，AB為⊙O的直徑，CD為弦，且AB⊥CD于點E,則CE=CEeq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BC))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BD))eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AC))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AD))證明（思路）：如圖，連接OC、OD，則OC=OD∵AB⊥CD∴∠OED=∠OEC=90°∴?OED≌?OEC（HL）∴CE=DE∠BOC=∠BOD∴eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BC))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BD))∵AB為⊙O的直徑∴eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(ACB))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(ADB))∴eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AC))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AD))【總結】垂徑定理及其推論實質是指一條直線滿足：（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所對的優(yōu)?。?）平分弦所對的劣弧五個條件中的兩個，那么可推出其中三個，解題過程中應靈活運用該定理。

【口訣】

垂徑定理五條件，一個垂直三平分；一條直線過圓心，知二明三把理明；平分弦時要謹慎，此弦不可為直徑；兩條直徑都平分，哪能啥時都垂直。

【解題技巧】見弦常作弦心距，連接半徑，構造直角三角形用勾股定理求解。【培優(yōu)過關練】1．（2022年安徽省中考數(shù)學真題）已知⊙O的半徑為7，AB是⊙O的弦，點P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，則OP＝（

）A． B．4 C． D．5【答案】D【分析】連接，過點作于點，如圖所示，先利用垂徑定理求得，然后在中求得，再在中，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：連接，過點作于點，如圖所示，則，，∵PA＝4，PB＝6，∴，∴，∴，在中，，在中，，故選：D【點睛】本題考查了垂徑定理及勾股定理的運用，構造直角三角形是解題的關鍵．2．（2022年四川省瀘州市中考數(shù)學真題）如圖，是的直徑，垂直于弦于點，的延長線交于點．若，，則的長是（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】C【分析】根據垂徑定理求出OD的長，再根據中位線求出BC=2OD即可．【詳解】設OD=x，則OE=OA=DE-OD=4-x．∵是的直徑，垂直于弦于點，∴∴OD是△ABC的中位線∴BC=2OD∵∴，解得∴BC=2OD=2x=2故選：C【點睛】本題考查垂徑定理、中位線的性質，根據垂徑定理結合勾股定理求出OD的長是解題的關鍵．3．（2022年黑龍江省牡丹江市中考數(shù)學真題）的直徑，AB是的弦，，垂足為M，，則AC的長為______．【答案】或【分析】分①點在線段上，②點在線段上兩種情況，連接，先利用勾股定理求出的長，再在中，利用勾股定理求解即可得．【詳解】解：由題意，分以下兩種情況：①如圖，當點在線段上時，連接，的直徑，，，，，，；②如圖，當點在線段上時，連接，同理可得：，，；綜上，的長為或，故答案為：或．【點睛】本題考查了勾股定理、圓，正確分兩種情況討論是解題關鍵．4．（2022年青海省中考數(shù)學真題）如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點O為圓心的圓的一部分，如果C是中弦AB的中點，CD經過圓心O交于點D，并且，，則的半徑長為______m．【答案】/【分析】連接，先根據垂徑定理、線段中點的定義可得，設的半徑長為，則，，再在中，利用勾股定理即可得．【詳解】解：如圖，連接，是中的弦的中點，且，，，設的半徑長為，則，，，在中，，即，解得，即的半徑長為，故答案為：．【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題關鍵．5．（2022年湖南省長沙市中考數(shù)學真題）如圖，A、B、C是上的點，，垂足為點D，且D為OC的中點，若，則BC的長為___________．【答案】7【分析】根據垂徑定理可得垂直平分，根據題意可得平方，可得四邊形是菱形，進而根據菱形的性質即可求解．【詳解】解：如圖，連接，A、B、C是上的點，，，D為OC的中點，，四邊形是菱形，，．故答案為：7．【點睛】本題考查了垂徑定理，菱形的性質與判定，掌握垂徑定理是解題的關鍵．6．（2022年黑龍江省省龍東地區(qū)中考數(shù)學真題）如圖，在中，AB是的弦，的半徑為3cm，C為上一點，，則AB的長為________cm．【答案】【分析】連接OA、OB，過點O作OD⊥AB于點D，由垂徑定理和圓周角定理可得，，再根據等腰三角形的性質可得，利用含30°角的直角三角形的性質和勾股定理即可求解．【詳解】解：連接OA、OB，過點O作OD⊥AB于點D，，，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，等腰三角形的性質，含30°角的直角三角形的性質和勾股定理，熟練掌握知識點是解題的關鍵．7．（2022·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足為C，OC的延長線交⊙O于點D．若∠APD是所對的圓周角，則∠APD的度數(shù)是______．【答案】30°/30度【分析】根據垂徑定理得出∠AOB=∠BOD，進而求出∠AOD=60°，再根據圓周角定理可得∠APD=∠AOD=30°．【詳解】∵OC⊥AB，OD為直徑，∴，∴∠AOB=∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠AOD=60°，∴∠APD=∠AOD=30°，故答案為：30°．【點睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理等知識，掌握垂徑定理是解答本題的關鍵．8．（2022年貴州省六盤水市中考數(shù)學試題卷）牂狗江“佘月郎山，西陵晚渡”的風景描繪中有半個月亮掛在山上，月亮之上有個“齊天大圣”守護洞口的傳說．真實情況是老王山上有個月亮洞，洞頂上經常有猴子爬來爬去，下圖是月亮洞的截面示意圖．(1)科考隊測量出月亮洞的洞寬約是28m，洞高約是12m，通過計算截面所在圓的半徑可以解釋月亮洞像半個月亮，求半徑的長（結果精確到0.1m）；(2)若，點在上，求的度數(shù)，并用數(shù)學知識解釋為什么“齊天大圣”點在洞頂上巡視時總能看清洞口的情況．【答案】(1)(2)，因為CD在∠CMD的內部，所以點在洞頂上巡視時總能看清洞口的情況【分析】（1）根據垂徑定理可得，勾股定理解，即可求解；（2）在優(yōu)弧上任取一點，連接根據圓周角定理可得，根據圓內接四邊形對角互補即可求解．根據因為CD在∠CMD的內部，所以點在洞頂上巡視時總能看清洞口的情況．【詳解】（1）解：，，，設半徑為，則在中，解得答：半徑的長約為（2）如圖，在優(yōu)弧上任取一點，連接，，，因為CD在∠CMD的內部，所以點在洞頂上巡視時總能看清洞口的情況．【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，圓內接四邊形的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．9．（2022年湖北省宜昌市中考數(shù)學真題）石拱橋是我國古代人民勤勞和智慧的結晶（如圖1），隋代建造的趙州橋距今約有1400年歷史，是我國古代石拱橋的代表．如圖2是根據某石拱橋的實物圖畫出的幾何圖形，橋的主橋拱是圓弧形，表示為．橋的跨度（弧所對的弦長），設所在圓的圓心為，半徑，垂足為．拱高（弧的中點到弦的距離）．連接．(1)直接判斷與的數(shù)量關系；(2)求這座石拱橋主橋拱的半徑（精確到）．【答案】(1)(2)這座石拱橋主橋拱半徑約為【分析】（1）根據垂徑定理即可得出結論；（2）設主橋拱半徑為，在中，根據勾股定理列出方程，即可得出答案．【詳解】（1）解：∵半徑，∴．故答案為：．（2）設主橋拱半徑為，由題意可知，，∴，，在中，由勾股定理，得，即，解得，∴，因此，這座石拱橋主橋拱半徑約為．【點睛】此題考查垂徑定理和勾股定理，是重要考點，根據題意利用勾股定理列出方程是解題關鍵．10．（2022年天津市中考數(shù)學真題）已知為的直徑，，C為上一點，連接．(1)如圖①，若C為的中點，求的大小和的長；(2)如圖②，若為的半徑，且，垂足為E，過點D作的切線，與的延長線相交于點F，求的長．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由圓周角定理得，由C為的中點，得，從而，即可求得的度數(shù)，通過勾股定理即可求得AC的長度；（2）證明四邊形為矩形，F(xiàn)D=CE=CB，由勾股定理求得BC的長，即可得出答案．【詳解】（1）∵為的直徑，∴，由C為的中點，得，∴，得，在中，，∴；根據勾股定理，有，又，得，∴；（2）∵是的切線，∴，即，∵，垂足為E，∴，同（1）可得，有，∴，∴四邊形為矩形，∴，于是，在中，由，得，∴．【點睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，切線的性質，等腰直角三角形的性質，垂徑定理，勾股定理和矩形的判定和性質等，解題的關鍵是利用數(shù)形結合的思想解答此題．11．（2022年江蘇省揚州市中考數(shù)學真題）如圖，為的弦，交于點，交過點的直線于點，且．(1)試判斷直線與的位置關系，并說明理由；(2)若，求的長．【答案】(1)相切，證明見詳解(2)6【分析】（1）連接OB，根據等腰三角形的性質得出，，從而求出，再根據切線的判定得出結論；（2）分別作交AB于點M，交AB于N，根據求出OP，AP的長，利用垂徑定理求出AB的長，進而求出BP的長，然后在等腰三角形CPB中求解CB即可．【詳解】（1）證明：連接OB，如圖所示：，，，，，，即，，，為半徑，經過點O，直線與的位置關系是相切．（2）分別作交AB于點M，交AB于N，如圖所示：，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查了切線的證明，垂徑定理的性質，等腰三角形，勾股定理，三角函數(shù)等知識點，熟練掌握相關知識并靈活應用是解決此題的關鍵，抓住直角三角形邊的關系求解線段長度是解題的主線思路．12．（2022年四川省德陽市中考數(shù)學真題）如圖，是的直徑，是的弦，，垂足是點，過點作直線分別與，的延長線交于點，，且．(1)求證：是的切線；(2)如果，，①求的長；②求的面積．【答案】(1)證明過程見詳解(2)①；②【分析】（1）連接OC、BC，根據垂徑定理得到AB平分弦CD，AB平分，即有∠BAD=∠BAC=∠DCB，再根據∠ECD=2∠BAD，證得∠BCE=∠BCD，即有∠BCE=∠BAC，則有∠ECB=∠OCA，即可得∠ECB+∠OCB=90°，即有CO⊥FC，則問題得證；（2）①利用勾股定理求出OH、BC、AC，在Rt△ECH中，，在Rt△ECO中，，即可得到，則問題得解；②過F點作FP⊥AB，交AE的延長線于點P，先證△PAF∽△HAC，再證明△PEF∽△HEC，即可求出PF，則△PEF的面積可求．【詳解】（1）連接OC、BC，如圖，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，AO=OB，∵AB⊥CD，∴AB平分弦CD，AB平分，∴CH=HD，，∠CHA=90°=∠CHE，∴∠BAD=∠BAC=∠DCB，∵∠ECD=2∠BAD，∴∠ECD=2∠BAD=2∠BCD，∵∠ECD=∠ECB+∠BCD，∴∠BCE=∠BCD，∴∠BCE=∠BAC，∵OC=OA，∴∠BAC=∠OCA，∴∠ECB=∠OCA，∵∠ACB=90°=∠OCA+∠OCB，∴∠ECB+∠OCB=90°，∴CO⊥FC，∴CF是⊙O的切線；（2）①∵AB=10，CD=6，∴在（1）的結論中有AO=OB=5，CH=HD=3，∴在Rt△OCH中，，同理利用勾股定理，可求得，，∴BH=OB-OH=5-4=1，HA=OA+OH=4+5=9，即HE=BH+BE，在Rt△ECH中，，∵CF是⊙O的切線，∴∠OCB=90°，∴在Rt△ECO中，，∴，解得：，∴，②過F點作FP⊥AB，交AE的延長線于點P，如圖，∵∠BAD=∠CAB，∠CHA=90°=∠P，∴△PAF∽△HAC，∴，即，∴，∵∠PEF=∠CEH，∠CHB=90°=∠P，∴△PEF∽△HEC，∴，即，∵HB=1，，，，∴，解得：，∴，故△AEF的面積為．【點睛】本題主要考查了垂徑定理、切線的判定與性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識，掌握垂徑定理是解答本題的關鍵．利用相似三角形的性質是解題的難點．13．（北京市2021年中考數(shù)學真題試題）如圖，是的外接圓，是的直徑，于點．（1）求證：；（2）連接并延長，交于點，交于點，連接．若的半徑為5，，求和的長．【答案】（1）見詳解；（2），【分析】（1）由題意易得，然后問題可求證；（2）由題意可先作圖，由（1）可得點E為BC的中點，則有，進而可得，然后根據相似三角形的性質可進行求解．【詳解】（1）證明：∵是的直徑，，∴，∴；（2）解：由題意可得如圖所示：由（1）可得點E為BC的中點，∵點O是BG的中點，∴，∴，∴，∵，∴，∵的半徑為5，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查垂徑定理、三角形中位線及相似三角形的性質與判定，熟練掌握垂徑定理、三角形中位線及相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．14．（2022·山東德州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在等腰三角形中，，為底邊的中點，過點作，垂足為，以點為圓心，為半徑作圓，交于點，．(1)與的位置關系為_______；(2)求證：是的切線；(3)如圖2，連接，，，求的直徑．(結果保留小數(shù)點后一位．參考數(shù)據：)【答案】(1)相切(2)見解析(3)【分析】（1）利用直線與圓的相切的定義解答即可；（2）過點作于點，連接，通過證明，利用直線與圓相切的定義解答即可；（3）過點作于點，利用等腰三角形的性質和三角形的內角和定理求得，再利用垂徑定理和直角三角形的邊角關系定理求得圓的半徑，則圓的直徑可求．【詳解】（1）解：，點為圓心，為半徑，圓心到直線的距離等于圓的半徑，為的切線，與的位置關系為相切，故答案為：相切；（2）證明：過點作于點，連接，如圖，，為底邊的中點，為的平分線，，，，為的半徑，為的半徑，是的切線；（3）解：過點作于點，如圖，，，，，．，，，，為的平分線，．在中，，∴的直徑．【點睛】本題主要考查了解直角三角形，垂徑定理，圓的切線的判定與性質，等腰三角形的性質，直角三角形的邊角關系定理，三角形的內角和定理，過圓心作直線的垂線段是解決此類問題常添加的輔助線，綜合運用以上知識是解題的關鍵．15．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，如圖，點A、B、C在圓O上，，直線，，點O在BD上．(1)判斷直線AD與圓O的位置關系，并說明理由；(2)若圓的半徑為6，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)直線AD與圓O相切，理由見解析(2)【分析】（1）連接OA，根據和AB=AD，可得∠DBC=∠ABD=∠D=30°，從而得到∠BAD=120