冪級數(shù)的應用

冪級數(shù)的應用一、歐拉公式之前我們討論過級數(shù)當x為任何實數(shù)時，級數(shù)的和函數(shù)為ex，即收斂域為－∞<x<+∞．那么當x為復數(shù)時，情況如何呢？考察下列級數(shù)其中z=x+yi，x,y為實數(shù)，一、歐拉公式在復變函數(shù)理論中可以知道，級數(shù)

在復平面上是絕對收斂的，其和函數(shù)定義為ez，即當y=0時，z=x，這時

表示函數(shù)ex．當x=0時，z=yi，這時有一、歐拉公式由于一、歐拉公式因此有這就是歐拉（Euler）公式．同理可得將兩式分別相加，相減可推出這兩個公式也稱為歐拉公式．二、冪級數(shù)展開式在近似計算上的應用如果函數(shù)f(x)有展開式則在區(qū)間(x0-R,x0+R)上，有求得多項式Pn(x)的函數(shù)值，即為f(x)函數(shù)值的近似值．二、冪級數(shù)展開式在近似計算上的應用我們可以采取下列步驟來計算某數(shù)A的近似值：（1）選擇一個函數(shù)f(x)，使A=f(x1)；（2）選取某點x0，使f(k)(x0)容易求出(k=0，1，2，…)，并使|x1－x0|盡可能的??；（3）令t=x－x0，即x=x0+t，把f(x0+t)展成t的冪級數(shù)，設為二、冪級數(shù)展開式在近似計算上的應用當t=t1=x1－x0時，得（4）根據(jù)精確度的要求，適當選定n，按計算A的近似值．這里，A與Pn(t1)相差余項

稱為用Pn(t1)表示A的截斷誤差．在計算A的值時，還有因四舍五入而產(chǎn)生的舍入誤差．因此，求A的近似值時，應使這兩種誤差之和滿足精確度的要求．二、冪級數(shù)展開式在近似計算上的應用求

的近似值，誤差不超過10－4．解令

，則A=f(245)．因35=243，故取x0=243．令t=x－243，t1=x1－x0=2，【例1】二、冪級數(shù)展開式在近似計算上的應用利用二項展開式，有當t=t1=2時，得取前兩項的和作為A的近似值，由于這是一個交錯級數(shù)，故截斷誤差二、冪級數(shù)展開式在近似計算上的應用計算取5位小數(shù)，再四舍五入，保證計算誤差小于10－4，得A≈3.00494≈3.0049．二、冪級數(shù)展開式在近似計算上的應用計算積分

的近似值，精確到0.00001．

解先求積分

的冪級數(shù)展開．

由ex的冪級數(shù)展開得【例3】二、冪級數(shù)展開式在近似計算上的應用計算sin18°的近似值，誤差不超過10－4．分析可以用sinx的冪級數(shù)計算sin18°的近似值．首先應將18°化為弧度在sinx的冪級數(shù)展開式中，取

，并結合允許誤差取有限項，即可得到的sin18°的近似值．【例2】二、冪級數(shù)展開式在近似計算上的應用

解解這是一個交錯級數(shù)．若取前兩項，得截斷誤差為最后得出二、冪級數(shù)展開式在近似計算上的應用在上式兩邊逐項積分，得在上式中令x=0.2得因為第四項所以取前三項的和作為積分的近似值．二、冪級數(shù)展開式在近似計算上的應用思考