第2章 牛頓運(yùn)動(dòng)定律

第2章牛頓運(yùn)動(dòng)定律◆本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1．對(duì)牛頓三定律要有正確的認(rèn)識(shí)和較為深入的理解；2．正確運(yùn)用牛頓定律分析力學(xué)問題，掌握隔離體分析力的解題方法；3．掌握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)的向心力的求解方法；4．理解慣性系和非慣性系的區(qū)別?！舯菊陆虒W(xué)內(nèi)容1．牛頓運(yùn)動(dòng)定律；2．力學(xué)的單位制和量綱；3．牛頓運(yùn)動(dòng)定律的應(yīng)用；4．圓周運(yùn)動(dòng)的向心力；5．慣性系和非慣性系?！舯菊陆虒W(xué)重點(diǎn)1．牛頓運(yùn)動(dòng)定律的應(yīng)用；2．圓周運(yùn)動(dòng)向心力解決問題?！舯菊陆虒W(xué)難點(diǎn)1．隔離法解決力學(xué)問題；2．慣性系和非慣性系的區(qū)別?！舯菊聦W(xué)習(xí)方法建議及參考資料1．注意掌握各種力的分析計(jì)算及條件；2．講授過程中注重解題思路的訓(xùn)練。參考資料東南大學(xué)等七所工科院校編，《物理學(xué)》，高等教育出版，1999年11月第4版

§2.1牛頓運(yùn)動(dòng)定律一、牛頓第一定律1．表述任何物體都保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，直到其他物體所作用的力迫使它改變這種狀態(tài)為止。2．本質(zhì)規(guī)律物體運(yùn)動(dòng)的慣性。由牛頓第一定律可知，物體之所以靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)是由于物體的本性造成的。這種本性叫做物體運(yùn)動(dòng)的慣性。慣性的大小可以使用一個(gè)物理量—質(zhì)量來描寫。這個(gè)質(zhì)量也稱為物體的慣性質(zhì)量。物體質(zhì)量越大，慣性越大，保持原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的本領(lǐng)越強(qiáng)。牛頓第一定律闡明了力是改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因，而不是維持物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的因素。二、牛頓第二定律1．表述物體受到外力的作用時(shí)，物體所獲得的加速度的大小與合外力的大小成正比，并與物體的質(zhì)量成反比；加速度的方向與合外力的方向相同。2．公式表示F=ma上式是矢量形式的，也叫做牛頓運(yùn)動(dòng)方程。牛頓運(yùn)動(dòng)方程在固定直角坐標(biāo)系和自然坐標(biāo)系中它的分量式分別可以表示為：和。3．注意事項(xiàng)（1）只適用于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。（2）牛頓第二定律表達(dá)了F和a的瞬時(shí)關(guān)系。。物體在t時(shí)刻具有的加速度與同一時(shí)刻所受的力大小成正比，方向相同，并且表現(xiàn)為時(shí)間t的函數(shù)。（3）它符合力的疊加原理。當(dāng)幾個(gè)外力同時(shí)作用于物體時(shí)，其合外力所產(chǎn)生的加速度a，與每個(gè)外力所Fi所產(chǎn)生的加速度ai的矢量和是一樣的，這就是力的疊加原理。式中是第i個(gè)分力，上式稱為力的疊加原理。在大多數(shù)情況下，物體同時(shí)受到多個(gè)力的作用，F(xiàn)表示合力，a表示合力作用產(chǎn)生的總加速度。三、牛頓第三定律1．表述作用力和反作用力在同一直線上，大小相等而方向相反。2．公式表示F＝－F＇3．作用力和反作用力的特點(diǎn)作用力和反作用力是矛盾的兩個(gè)方面，同時(shí)產(chǎn)生同時(shí)消失；作用力和反作用力分別作用在兩個(gè)物體上，不能相互抵消；它們是同一性質(zhì)的力。即如果是作用力是彈性力，則反作用力也是彈性力。

§2.2力學(xué)單位制和量綱在物理學(xué)中，物理方程式中出現(xiàn)的物理量最終將表現(xiàn)為以一定單位測(cè)出的數(shù)值。因此，物理方程式要和一定的單位規(guī)定相聯(lián)系，這就牽涉到單位制和物理量的量綱問題，這一節(jié)將就力學(xué)中的單位和量綱進(jìn)行討論。一、基本單位和導(dǎo)出單位單位制物理學(xué)中的物理量，通常都包含數(shù)值和單位兩部分，只有少數(shù)的物理量是沒有單位的純數(shù)。由于物理量之間存在著規(guī)律性的聯(lián)系，所以沒有必要對(duì)每個(gè)物理量的單位都進(jìn)行規(guī)定，可以選取一些物理量作為基本量，對(duì)這些選為基本量的物理量規(guī)定其單位，這些單位稱為基本單位。不直接規(guī)定其單位的物理量稱為導(dǎo)出量，其單位可由該物理量和基本量的關(guān)系推導(dǎo)出來，稱為導(dǎo)出單位。還有一些不能歸類到基本單位或?qū)С鰡挝坏膯挝环Q為輔助單位。不同的基本單位、導(dǎo)出單位和輔助單位就形成不同的單位制。二、國(guó)際單位制和力學(xué)中常見的單位制1．國(guó)際單位制1960年第11屆國(guó)際計(jì)量大會(huì)通過了國(guó)際單位制，制定了基本單位、導(dǎo)出單位和輔助單位，并選擇了7個(gè)量為基本量。1984年2月27日，國(guó)務(wù)院頒布實(shí)行以國(guó)際單位制（SI）為基礎(chǔ)的法定單位制?；玖炕締挝粏挝槐硎鹃L(zhǎng)度米m質(zhì)量千克kg時(shí)間秒s電流安培A溫度開爾文K物質(zhì)的量摩爾mol光強(qiáng)度坎德拉cd在國(guó)際單位制中，對(duì)平面角的單位rad（弧度）和立體角Sr（球面度）并示指定它們是基本單位還是導(dǎo)出單位，且可隨意將它們作為基本單位或?qū)С鰡挝弧?．物理量綱導(dǎo)出單位取決于基本單位及導(dǎo)出量和基本量關(guān)系式的選擇。導(dǎo)出單位對(duì)基本單位的依賴關(guān)系稱為該導(dǎo)出量的量綱式。在SI制中，我們用L、M、T分別表示長(zhǎng)度、質(zhì)量和時(shí)間三個(gè)基本量的量綱。其他力學(xué)量Q都可以寫出以下的關(guān)系式[Q]＝LpMqTr在物理量Q的量綱中，指數(shù)p、q、r稱為Q的量綱，有時(shí)也直接把量綱式簡(jiǎn)稱為量綱。例如速度、加速度、力和動(dòng)量的量綱可以分別表示為[v]＝LT－1，[a]＝LT－2，[F]＝MLT－2，[P]＝MLT－1量綱在物理學(xué)中很重要，可以用量綱來檢驗(yàn)表達(dá)式的正確性，因?yàn)橹挥辛烤V相同的量才可以加減或相等，如果一個(gè)表達(dá)式中各項(xiàng)的量綱不全相同，就可以肯定這個(gè)表達(dá)式有錯(cuò)。當(dāng)然，只是量綱正確，并不能保證結(jié)果就一定正確，因?yàn)檫€可能出現(xiàn)數(shù)字系數(shù)的錯(cuò)誤。

§2.3牛頓定律的應(yīng)用一、力學(xué)中常見的力1．萬有引力萬有引力定律：任何兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間都存在互相作用的引力，力的方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)的連線；力的大小與兩質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量m1和m2的乘積成正比，與兩質(zhì)點(diǎn)之間的距離r的平方成反比，即式中為方向的單位矢量。負(fù)號(hào)表示與方向相反，表現(xiàn)為引力。G為引力常量，G=6.67×10–11m3/kg×s2。m1、m2稱為物體的引力質(zhì)量，是物體具有產(chǎn)生引力和感受引力的屬性的量度。四種基本的自然力力的種類相互作用的物體力程力的強(qiáng)度萬有引力全部粒子10–34N電磁力帶電粒子102N強(qiáng)力夸克<10–15m104N弱力大多數(shù)（基本）粒子<10–17m10–2N2．重力重力是地球表面附近的物體受到的地球作用的萬有引力。若近似地將地球視為一個(gè)半徑R，質(zhì)量mE的均勻分布的球體，質(zhì)量為m的物體作質(zhì)點(diǎn)處理，則當(dāng)物體距離地球表面h（h<<R）高度處時(shí)，所受地球的引力（重力）大小為。g為重力加速度，數(shù)值上等于單位質(zhì)量的物體受到的重力，故也可稱為重力場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)。在一般的學(xué)習(xí)性計(jì)算中g(shù)取值為10ms-2。3、彈力兩個(gè)物體彼此相互接觸產(chǎn)生了擠壓或者拉伸，出現(xiàn)了形變，物體具有消除形變恢復(fù)原來形狀的趨勢(shì)而產(chǎn)生了彈力。實(shí)驗(yàn)表明，在彈性限度內(nèi)，彈簧產(chǎn)生的彈性力與彈簧的形變（拉伸量或壓縮量）成正比，即F＝－kx式中k是彈簧的勁度系數(shù)，表示使彈簧產(chǎn)生單位長(zhǎng)度形變所需施加的力的大小，它與彈簧的材料和形狀有關(guān)。4．摩擦力摩擦力也是普遍存在的，并在我們的生活和技術(shù)中產(chǎn)生重要作用。在桌面上滑動(dòng)的物體，由于摩擦力的存在，其運(yùn)動(dòng)速度會(huì)逐漸減小，機(jī)床和車輪的轉(zhuǎn)軸，由于摩擦力的作用，會(huì)逐漸磨損。但是，如果沒有摩擦力，我們的一舉一動(dòng)都會(huì)變得不可思議了，人無法行走，車子無法行駛，即使將車子開支起來也無法使它停止，連吃飯都變得十分困難了。當(dāng)一個(gè)物體在另一個(gè)物體表面上滑行或有滑行趨勢(shì)時(shí)，在這兩具物體的接觸面上變會(huì)產(chǎn)生阻礙物體間做相對(duì)滑動(dòng)的力，這種力叫摩擦力。當(dāng)物體有滑動(dòng)趨勢(shì)但尚未滑動(dòng)時(shí)，作用在物體上的摩擦力稱為靜摩擦力。靜摩擦力的大小與外力的大小相等，而方向相反。靜摩擦力經(jīng)驗(yàn)告訴我們，在外力F逐漸增大到某一值之前，物體一直能保持對(duì)地靜止，這說明在外力F增大的過程中，靜摩擦力FS也在增大，因此，靜摩擦力是有一個(gè)變化范圍的。當(dāng)外力F增至某一值時(shí)，物體開始對(duì)地滑動(dòng)，這時(shí)靜摩擦力也達(dá)到最大，以后變?yōu)榛瑒?dòng)摩擦力，實(shí)驗(yàn)表明，最大靜摩擦力與兩物體之間的正壓力FN的大小成正比：

為靜摩擦因數(shù)，與接觸物體的材質(zhì)和表面情況有關(guān)。由以上分析可以知道，靜摩擦力的規(guī)律應(yīng)為：滑動(dòng)摩擦力滑動(dòng)摩擦力的大小與物體的材質(zhì)、表面情況以及正壓力等因素有關(guān)，一般還與物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速率有關(guān)。與相對(duì)速率v的關(guān)系可以粗略地用下圖表示。在相對(duì)速度不是太大或太小的時(shí)候，可以認(rèn)為滑動(dòng)摩擦力的大小與物體間正壓力FN的大小成正比：

二、牛頓定律的應(yīng)用舉例1．應(yīng)用牛頓定律解決質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題的三大類型第一類是已作用于質(zhì)點(diǎn)的力，求質(zhì)點(diǎn)的加速度或運(yùn)動(dòng)情況；第二類是已知物體加速度，求作用于質(zhì)點(diǎn)的力；第三類是已知作用于質(zhì)點(diǎn)的某些力和運(yùn)動(dòng)學(xué)條件，求質(zhì)點(diǎn)所受到的另一些力和質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況。2．應(yīng)用牛頓定律解決力學(xué)問題的基本思路（1）選擇研究對(duì)象在了解有關(guān)問題的物理現(xiàn)象的基礎(chǔ)上，選出一個(gè)或幾個(gè)物體作為“隔離體”或研究對(duì)象，分析周圍環(huán)境對(duì)它們的作用力和隔離體的運(yùn)動(dòng)情況。（2）分析運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分析所認(rèn)定的隔離體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，包括它的軌道、速度和加速度，問題涉及幾個(gè)隔離體時(shí)，還要找出它們運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系，即它們的速度呀加速度之間的關(guān)系。（3）畫出受力圖對(duì)選擇的隔離體進(jìn)行受力分析，畫出簡(jiǎn)單的受力示意圖，表示隔離體受力情況與運(yùn)動(dòng)情況。（4）建坐標(biāo)列方程建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，在圖中注明坐標(biāo)軸方向，把上面分析出的質(zhì)量、加速度和力用牛頓運(yùn)動(dòng)定律聯(lián)系起來，列出方程式。在方程式足夠的情況下就可以求解未知量了。3．應(yīng)用舉例[例1]英國(guó)劍橋大學(xué)物理教師阿特伍德,善于設(shè)計(jì)技巧的演示試驗(yàn),他為驗(yàn)證牛頓第二定律而設(shè)計(jì)的滑輪裝置,稱作"阿特伍德機(jī)"。研究它需建立理想模型，在理論模型中，重物和可視為質(zhì)點(diǎn)；滑輪是理想的,求重物釋放后物體加速度及物體對(duì)繩的拉力。解：選地球作為慣性參考系研究對(duì)象分別為m1、m2xmxm1m2m1gm2g受力分析：m1:m2:由牛頓第二定律列方程由牛頓第三定律列方程坐標(biāo)分量式①②繩不伸長(zhǎng)，，解得：

[例2]質(zhì)量為m1傾角為q的斜塊可以在光滑水平面上運(yùn)動(dòng)。斜塊上放一小木塊，質(zhì)量為m2。斜塊與小木塊之間有摩擦，摩擦因數(shù)為m?，F(xiàn)有水平力F作用在斜塊上，如圖(a)所示。欲使小木塊m2與斜塊m1以相同的加速度一起運(yùn)動(dòng)，水平力F的大小應(yīng)該滿足什么條件？解：分別以m1、m2為研究對(duì)象，隔離物體受力分析如圖。由題意分析，如果水平力F過小從而加速度a過小，小木塊m2有沿斜面下滑的趨勢(shì)，此時(shí)斜塊對(duì)小木塊的靜摩擦力沿斜面向上，如圖(b)所示。如果水平力F過大從而加速度a過大，小木塊就有沿斜面上滑的趨勢(shì)，此時(shí)小木塊受到的靜摩擦力沿斜面向下，如圖(c)所示。下面分別就兩種情況列方程。(1)小木塊m2有沿斜面下滑的趨勢(shì)。對(duì)照?qǐng)D(b)，小木塊受力有重力G2，斜面對(duì)它的正壓力FN，斜面對(duì)它的靜摩擦力FS，按圖示坐標(biāo)，有：(1)(2)斜塊受力有重力G1，水平力F，小木塊給予的正壓力FN，小塊只沿水平方向運(yùn)動(dòng)，故只需列出x方向的方程就可以了。

(3)再考慮到m1、m2相對(duì)靜止，摩擦力為靜摩擦力應(yīng)有：(4)聯(lián)立求解（1）～（4）式，可得：(2)小木塊m2有沿斜面上滑的趨勢(shì)。參照?qǐng)D(c)，對(duì)小木塊除了靜摩擦力FS改為沿斜面向下外，其它力方向不變，因此應(yīng)用(1)(2)對(duì)斜塊，靜摩擦力改為沿斜面向上，在x方向上有：(3)靜摩擦力FS仍然應(yīng)滿足：(4)聯(lián)立求解(1)～(4)式，可得：因此，水平力F的大小應(yīng)滿足[例3]一質(zhì)量為m的物體從高空中某處由靜止開始下落，下落過程中所受空氣阻力與物體速率的一次方成正比，比例系數(shù)c>0。求①物體落地前其速率隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系。②物體的運(yùn)動(dòng)方程。解：①選定該物體作研究對(duì)象，受力分析如上圖。物體受重力G，空氣阻力，負(fù)號(hào)表示與速度方向相反。以物體開始下落時(shí)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)，取y軸豎直向下，牛頓第二定律方程為：考慮到此題是在已知力的情況下求速率v與時(shí)間t的關(guān)系，因此應(yīng)將代入上式，或者直接列出牛頓第二定律的微分形式，兩種方式都可得到：稍作化簡(jiǎn)，令，得：這是一個(gè)關(guān)于速率v與時(shí)間t的一階微分方程，需要用積分的方法求解。先分離變量考慮到積分時(shí)需要確定積分限，還應(yīng)從題意中給出初始條件。根據(jù)計(jì)時(shí)起點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)的確定，初如條件為t=0時(shí)，，，現(xiàn)在對(duì)上式兩邊積分并將初始條件代入：積分得：解出物體速率隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系為：此式表明，在下落的前期，物體的速率隨時(shí)間t增大，由于空氣阻力也同時(shí)增大，因此速率的增大將逐漸變緩，當(dāng)經(jīng)歷了相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間后可近似認(rèn)為，，速率將趨于一極限值，稱為極限速率，此后物體將以極限速率勻速運(yùn)動(dòng)，例如下雨時(shí)從高空中墜落的雨滴就可采用這一物理模型進(jìn)行討論。②根據(jù)①求出的結(jié)果及，有：分離變量并將初始條件代入作為積分限：積分可得物體的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

§2.4圓周運(yùn)動(dòng)的向心力一、圓周運(yùn)動(dòng)的向心力1.勻速圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程在上一章已經(jīng)討論過，當(dāng)物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體只具有向心加速度，其方向始終指向圓心。根據(jù)牛頓第二定律，有Fn＝man2．勻變速圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程當(dāng)物體做勻變速度圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體的加速度a可以分解成向心加速度（法向加速度）an和切向加速度at，即a=an+at因此，由牛頓第二中知，做變速圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受各力的合力F為F＝man+mat顯然，向心力Fn為切向力Ft在變速圓周運(yùn)動(dòng)中，向心力使物體不斷地改變運(yùn)動(dòng)方向，沿著圓周運(yùn)動(dòng)，切向力使物體的速率發(fā)生變化。二、圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程的舉例有一長(zhǎng)為R的細(xì)繩，一端固定于O點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m的小球，令小球繞O點(diǎn)在重力作用下于一豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，若欲使小球位于最高點(diǎn)時(shí)，繩的張力為0而小球又不離開圓形軌道下落，其速率應(yīng)為多大？并求出此條件下小球在軌道上任一位置的速率和繩中的張力。解：以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，受力分析如圖，根據(jù)牛頓第二定律（1）當(dāng)小球位于最高點(diǎn)時(shí)，其法向力應(yīng)為小球的重力與繩的張力之和，根據(jù)題意，繩的張力此時(shí)為零，所以可得小球在最高點(diǎn)時(shí)的速率（2）當(dāng)小球在任一位置時(shí)，如圖所示，設(shè)繩與豎直方向成θ角，則此時(shí)的分量式為其中則根據(jù)已知條件當(dāng)θ＝0時(shí)，則兩邊積分可得代入分量式中，得

§2.5慣性系和非慣性系一、慣性系力學(xué)的相對(duì)性原理1．慣性系在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，按照研究問題的方便，參考系的選擇可能是任意的，但是應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律時(shí)，參考系卻不能任意選擇，因?yàn)榕ｎD運(yùn)動(dòng)定律并非在任何參考系中都適用。例如，當(dāng)兩人同時(shí)從一平臺(tái)上跳下來時(shí)，如各自以自身為參考系，觀察對(duì)方的運(yùn)動(dòng)，會(huì)發(fā)現(xiàn)對(duì)方是靜止的，按照牛頓第一定律，他不應(yīng)受到力的作用，然而每個(gè)人都確實(shí)受到重力的作用，與牛頓第一定律發(fā)生矛盾。又如，我們坐在加速運(yùn)動(dòng)的汽車?yán)飼r(shí)，以車廂為參考系觀察周圍的現(xiàn)象，將看到路邊的樹木、房屋朝后方加速運(yùn)動(dòng)，但它們確實(shí)未受到任何推動(dòng)力，故在加速運(yùn)動(dòng)的車廂里觀察的現(xiàn)象，也與牛頓第一定律不符?？梢?，并非對(duì)一切參考系牛頓第一定律都成立。牛頓第一定律成立的參考系為慣性參考系，否則為非慣性系。牛頓第一定律只能在慣性系中才適用。要確定一個(gè)參考系是不是慣性系，只能依靠觀察和實(shí)驗(yàn)。一般來說，地球并不是嚴(yán)格的慣性系，由于地球?qū)μ柕南蛐募铀俣纫约暗孛嫔系奈矬w對(duì)地心的向心加速度都比較小，所以地球仍可近似看成慣性系。如果一個(gè)參考系相對(duì)于某個(gè)慣性系靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在慣性系中靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，在這個(gè)參照系中也必然靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)。因而，相對(duì)于慣性參考系靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)的任何其他參考系也一定是慣性系。在一切慣性參考系中，一切力學(xué)現(xiàn)象都是相同的，即物體所遵從的力學(xué)規(guī)律完全相同――稱為力學(xué)的相對(duì)性原理或伽利略相對(duì)性原理。2．慣性力非慣性系：牛頓第一定律不成立的參考系，叫非慣性系；反過來說，相對(duì)于已知慣性系做加速運(yùn)動(dòng)的參考性，一定不