湖南省邵陽市海誼中學2023-2024學年高一上學期期末數學試卷(A卷)(解析)

高中數學精編資源2/2海誼中學高一年級期末考試數學A卷一、單選題（每題3分，共計24分）1.已知向量，，若與同向共線，則（）A.3 B. C.或3 D.0或3【答案】A【解析】【分析】根據向量共線坐標表示結合條件即得.【詳解】因為向量，，由，可得或，當時，，，，滿足題意，當時，，，，不滿足題意，所以.故選：A.2.不在同一個平面內兩個三角形的三組對應邊分別平行，則這兩個三角形（）A.一定是全等三角形 B.一定是相似但不全等的三角形C.一定是相似或全等的三角形 D.可能不全等或相似【答案】C【解析】【分析】根據等角定理，即可判斷選項.【詳解】根據等角定理可知，這兩個三角形的三個角，分別對應相等，所以這兩個三角形一定相似或全等.故選：C3.已知直線AB是平面斜線，則下列結論成立的是（）A.內的所有直線都與直線AB異面 B.內的任意一條直線都與直線AB垂直C.過直線AB存在一個平面與垂直 D.過直線AB存在一個平面與平行【答案】C【解析】【分析】利用線面，面面關系注意判斷即可．【詳解】在內過斜足的直線與直線相交．則A錯誤；內有無數條直線與直線垂直．這無數條直線都與斜線在內的射影垂直．而“無數”不等價于“任意”，則B錯誤；斜線與它在內的射影構成一個平面，該平面與垂直，則C正確；由于斜線與相交，過斜線的平面一定與相交，則D錯誤，故選：C．4.某公司有營銷部門、宣傳部門以及人事部門，其中營銷部門有50人，平均工資為5千元，方差為4，宣傳部門有40人，平均工資為3千元，方差為8，人事部門有10人，平均工資為3千元，方差為6，則該公司所有員工工資的方差為（）A.6.4 B.6.6 C.6.7 D.6.8【答案】D【解析】【分析】先求出所有人的平均工資，結合方差公式計算即可求解.【詳解】所有人的平均工資為千元，故該公司所有員工工資的方差為.故選：D．5.是虛數單位，設復數滿足，則的共軛復數對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】應用復數除法及模運算，結合共軛復數及復數的幾何意義即可求解.【詳解】因為，得.則.則其在第三象限.故選：C6.如圖，正方體中與直線成異面直線的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由異面直線的定義對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，因為直線與直線不同在任意一個平面，所以直線與直線是異面直線，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D錯誤.故選：B7.隨機拋擲一枚質地均勻的骰子，記正面向上的點數為，則函數至多有一個零點的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函數至多有一個零點，求得，得到的取值有1，2，共2個可能結果，結合古典概型及概率的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，拋擲一枚質地的均勻的骰子，正面向上的點數包含6個可能結果，又由函數至多有一個零點，則，解得，又因為為正整數，故的取值有1，2，共2個可能結果，所以函數至多有一個零點的概率為.故選：A.【點睛】本題主要考查的是古典概型及其概率計算公式，解題時準確找出試驗包含的基本事件的個數，求得函數至多一個零點所包含的的個數，利用古典概型及其概率的計算公式求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.8.在平行四邊形中，，，，點，分別在，邊上，且，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以、為基底表示出、，再根據數量積的運算律計算可得.【詳解】解：，；，；，；．故選：C．二、多選題（每題4分，共3題，部分選對得3分，錯選不得分）9.在中，，，，則角的可能取值為（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用正弦定理可求得，由的范圍可確定所有可能的取值.【詳解】由正弦定理得：，，又，，，或.故選：BC.10.下列說法錯誤的有（）A.如果非零向量與的方向相同或相反，那么的方向必與或的方向相同B.在中，必有C.若，則A，B，C一定為一個三角形的三個頂點D.向量的夾角為，，則【答案】AC【解析】【分析】直接利用向量的線性運算，向量的夾角運算，三角形法則，向量的模的求法判斷A、B、C、D的結論．【詳解】解：對于A：非零向量與的方向相同或相反，那么的方向必與或的方向相同或為零向量，故A錯誤；對于B：在中，必有，故B正確；對于C：若，則，B，C一定為一個三角形的三個頂點，或A、B、C三點共線時，也成立，故C錯誤；對于D：，故D正確.故選：AC．11.在棱長為2的正方體中，分別是，，的中點，則下列正確的是（）A.平面B.平面C.多面體是棱臺D.平面截正方體所得截面的面積為【答案】AC【解析】【分析】由線面平行即可判斷A；由線面垂直即可判斷B；由棱臺定義即可判斷C；由平面截正方體所得截面的作圖即可判斷D．【詳解】對于A，取中點，連接，由正方體得四邊形為平行四邊形，所以，因為點為的中點，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，因為平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，取中點，連接，則，所以，所以，所以，由正方體得，平面，又平面，所以，因為，，平面，，所以平面，又，所以與平面不垂直，故B錯誤；對于C，由正方體得，平面平面，即平面平面，由棱臺的定義可知，多面體是棱臺，故C正確；對于D，設直線與直線交于點，連接與交于點，與直線交于點，連接交于點，連接，則五邊形即為平面截正方體所得截面，因為，所以，，因為，所以，所以，因為，所以，因為，所以，所以，，所以，所以，所以，因為，，所以，故D錯誤；故選：AC．三、填空題（每題4分，共計12分）12.三條兩兩平行的直線可以確定平面的個數可能為______個．【答案】1或3【解析】【分析】討論三條平行線是否共面，即可確定平面的個數.【詳解】當三條平行線不共面時，如下圖示可確定3個平面；當三條平行線共面時，如下圖示確定1個平面.故答案為：1或313.已知，若向量滿足，則在方向上的投影為________.【答案】【解析】【分析】由向量垂直關系得到，根據投影公式可求得結果.【詳解】由得：，即，在方向上的投影為：.故答案為：.14.“田忌賽馬”的故事千古流傳，故事大意是：在古代齊國，馬匹按奔跑的速度分為上、中、下三等.一天，齊王找田忌賽馬，兩人都從上、中、下三等馬中各派出一匹馬，每匹馬都各賽一局，采取三局兩勝制.已知田忌每個等次的馬，比齊王同等次的馬慢，但比齊王較低等次的馬快.若田忌事先打探到齊王第一場比賽會派出上等馬，田忌為使自己獲勝的概率最大，采取了相應的策略，則其獲勝的概率最大為_________.【答案】##【解析】【分析】設齊王有上、中、下三等的三匹馬、、，田忌有上、中、下三等的三匹馬、、，列舉出所有比賽的情況，以及齊王第一場比賽會派出上等馬的比賽情況和田忌使自己獲勝時比賽的情況，結合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】設齊王有上、中、下三等的三匹馬、、，田忌有上、中、下三等的三匹馬、、，所有比賽的方式有：、、；、、；、、；、、；、、；、、，一共種.若齊王第一場比賽派上等馬，則第一場比賽田忌必輸，此時他應先派下等馬參加.就會出現兩種比賽方式：、、和、、，其中田忌能獲勝的為、、，故此時田忌獲勝的概率最大為.故答案為：.四、解答題（15題10分，16題10分，17題10分，18題10分，19題12分）15.（1）已知向量，，，求；（2）化簡：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據向量的坐標運算計算即可；（2）根據向量的線性運算計算即可．【詳解】（1），，，,,,,,,；（2）．16.對某校高三年級學生參加社區(qū)服務次數進行統(tǒng)計，隨機抽取名學生作為樣本，得到這名學生參加社區(qū)服務的次數，根據此數據作出了頻數與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖．分組頻數頻率10242合計1（1）寫出表中、及圖中的值（不需過程）；（2）若該校高三年級學生有240人，試估計該校高三年級學生參加社區(qū)服務的次數在區(qū)間上的人數；（3）估計該校高三年級學生參加社區(qū)服務次數的中位數．（結果精確到0.01）【答案】（1），，（2）人（3）中位數是．【解析】【分析】（1）根據頻率分布表求出、、，結合頻率分布直方圖求出；（2）由頻率估計人數；（3）根據中位數計算規(guī)則計算可得.【小問1詳解】由頻率分布表可得，，所以，．【小問2詳解】因為該校高三年級學生有人，在上的頻率是，所以估計該校高三年級學生參加社區(qū)服務的次數在此區(qū)間上的人數為人．【小問3詳解】因為且，所以中位數在區(qū)間上，因為中位數及前面的數的頻率之和為，設樣本中位數為，則，解得．估計該校高三年級學生參加社區(qū)服務次數的中位數是．17.在△中，角A、B、C對應的邊分別為a、b、c，且，．（1）求證：△為等腰三角形；（2）從條件①、條件②這兩個條件中任選一個作為已知，求AC邊上的高h．條件①：△的面積為；條件②：△的周長為20．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據余弦定理，結合，求得，通過判斷，即可證明；（2）選擇①，根據結合面積公式，求得a,b,c選擇②，根據三角形周長結合等量關系，求得a,b,c【小問1詳解】因為，由余弦定理可得：，又，設，則，解得（舍）或，故△為等腰三角形，即證.【小問2詳解】選①：△的面積為，由，可得，又，故，則，又，故可得，又，則，因為AC邊上的高為h，故，故可得；選②：△的周長為20，則，即，結合可得，由，可得，又，故，則，即，解得.綜上所述，選擇①②作為條件，均有.18.第24屆冬季奧運會將于2022年2月在北京舉辦，為了普及冬奧知識，某校組織全體學生進行了冬奧知識答題比賽，從全校眾多學生中隨機選取了10名學生，得到他們的分數統(tǒng)計如下表：分數段人數1112221規(guī)定60分以下為不及格；60分及以上至70分以下為及格；70分及以上至80分以下為良好；80分及以上為優(yōu)秀，將頻率視為概率．（1）此次比賽中該校學生成績的優(yōu)秀率是多少？（2）在全校學生成績?yōu)榱己煤蛢?yōu)秀的學生中利用分層抽樣的方法隨機抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人進行冬奧知識演講，求良好和優(yōu)秀各1人的概率．【答案】（1）0.3（2）0.6【解析】【分析】（1）由80分及以上的學生人數與抽取的總人數的比值進行求解；（2）列舉法求解古典概率求概率公式.【小問1詳解】∵80分及以上為優(yōu)秀，∴，∴此次比賽中該校學生成績的優(yōu)秀率是0.3．【小問2詳解】∵成績良好的學生人數與成績優(yōu)秀的學生人數之比為，∴在成績良好的學生中抽取2人，記為a，b；在成績優(yōu)秀的學生中抽取3人，記為C，D，E．從a，b，C，D，E中隨組抽取2人的所有基本事件為：，，，，，，，，