2025年人教版八年級數(shù)學寒假預習 第01講 二次根式（3個知識點+5大考點舉一反三+過關測試）

第01講二次根式模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．了解二次根式的概念；2．理解二次根式有意義的條件，會求二次根式的被開方數(shù)中所含字母的取值范圍；3．掌握二次根式的性質(zhì)，能利用二次根式的性質(zhì)進行化簡。知識點1：二次根式二次根式的概念一般地，我們把形如的式子的式子叫做二次根式，稱為稱為二次根號．二次根式滿足條件：必須含有二次根號被開方數(shù)必須是非負數(shù)如二次根式滿足條件：必須含有二次根號被開方數(shù)必須是非負數(shù)知識點2：二次根式有無意義的條件條件字母表示二次根式有意義被開方數(shù)為非負數(shù)二次根式無意義被開方數(shù)為負數(shù)知識點3：二次根式的性質(zhì)1.的性質(zhì)符號語言文字語言一個非負數(shù)的算數(shù)平方根是非負數(shù)提示有最小值，為02.的性質(zhì)符號語言應用正用：逆用：若a≥0，則提示逆用可以再實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：如3.的性質(zhì)符號語言a（a＞0）0（a=0)-a(a＜0）文字語言任意一個數(shù)的平方的算術平方根等于這個數(shù)的絕對值應用正用：逆用：考點一：二次根式的概念例1.下列式子中，是二次根式的是（）A．6 B．52 C．5 D．【變式1-1】下列式子一定是二次根式的是（

）A．a(chǎn) B．?a C．33 【變式1-2】下列式子中，是二次根式的是（

）A．π B．35 C．32 【變式1-3】當a=6時，二次根式a?2的值為．考點二：求二次根式中的參數(shù)例2.已知n是一個正整數(shù)，28n是整數(shù)，則n的最小值為（

）A．4 B．6 C．7 D．14【變式2-1】已知n是正整數(shù)，140n是整數(shù)，則n的最小值是．【變式2-2】已知n是正整數(shù)，50n是整數(shù)，則n的最小值為．【變式2-3】若8?m是整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是．考點三：二次根式有意義的條件例3.當a是怎樣的實數(shù)時，2a+3在實數(shù)范圍內(nèi)有意義（

）A．a(chǎn)≤?32 B．a(chǎn)≠?32 C．【變式3-1】若二次根式a?2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)>2 B．a(chǎn)≤2 C．a(chǎn)≠2 D．a(chǎn)≥2【變式3-2】若代數(shù)式16+x有意義．則x的取值范圍是（

A．x≥?6 B．x>?6 C．x≤?6 D．x≤6【變式3-3】若y=2x?1+1?2x+1，則考點四：利用二次根式的性質(zhì)化簡例4.實數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應點如圖所示，化簡:a2?b2【變式4-1】將x?111?x根號外的因式移到根號內(nèi)，結(jié)果為（A．1?x B．?1?x C．x?1 D．【變式4-2】若x?32=x?3，則x的取值范圍是（A．x>?3 B．x≥3 C．x≤3且x≠0 D．【變式4-3】已知實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應點如圖所示，則a2?c?aA．?2a B．?2a?b C．?b D．?2b?a

考點五：復合二次根式的化簡例5.閱讀下列材料回答問題：形如m+2n的化簡，只要我們找到兩個數(shù)a，b，使a+b=m，ab=n，則a2+b2=m，ab=n，那么便有m±2n=((1)填空：6+25=______，(2)化簡：①5+26②8?43(3)計算：4?7【變式5-1】先閱讀下列材料，再解決問題：閱讀材料：數(shù)學上有一種根號內(nèi)又帶根號的數(shù)，它們能通過完全平方公式a2±2ab+b3+22解決問題：(1)在橫線和括號內(nèi)上填上適當?shù)臄?shù)：4+23(2)根據(jù)上述思路，試將9?45【變式5-2】閱讀材料．把根式x±2y進行化簡，若能找到兩個數(shù)m、n，是m2+n2=x且mn=y如：3+2解答問題：(1)填空：5+26=______，(2)3?2【變式5-3】先閱讀材料，然后回答問題．(1)小張同學在研究二次根式的化簡時，遇到了一個問題：化簡5?265?26==22=2?=2?在上述化簡過程中，第步出現(xiàn)了錯誤，化簡的正確結(jié)果為；(2)請根據(jù)你從上述材料中得到的啟發(fā)，化簡：①6?2②8+4一、單選題1．下列各式是二次根式的是（

）A．?2 B．x C．3 D．32．下列各式中，化簡正確的是（

）A．4=±2 B．C．(?6)23．把a?1a的根號外的因式aA．??a B．?a C．?a 4．下列結(jié)論中，正確的是（

）A．9的算術平方根是3 B．4C．3?278二、填空題5．若x?1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是．6．已知1<x<2，則x?22+7．實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：a2+b8．如果一個正方形的面積為12，則這個正方形的邊長為．9．滿足3<x<7的整數(shù)x是10．已知32n+16是整數(shù)，則n的最小整數(shù)值是．三、解答題11．實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，M=|b?2|+a+2(1)化簡M；(2)當|a?32|+12．（1）填空：5?12=；（2）例題：化簡5+2解：因為5+2所以5+26仿照上例的方法，化簡下列各式：①4?23②4+23第01講二次根式模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．了解二次根式的概念；2．理解二次根式有意義的條件，會求二次根式的被開方數(shù)中所含字母的取值范圍；3．掌握二次根式的性質(zhì)，能利用二次根式的性質(zhì)進行化簡。知識點1：二次根式二次根式的概念一般地，我們把形如的式子的式子叫做二次根式，稱為稱為二次根號．二次根式滿足條件：必須含有二次根號被開方數(shù)必須是非負數(shù)如二次根式滿足條件：必須含有二次根號被開方數(shù)必須是非負數(shù)知識點2：二次根式有無意義的條件條件字母表示二次根式有意義被開方數(shù)為非負數(shù)二次根式無意義被開方數(shù)為負數(shù)知識點3：二次根式的性質(zhì)1.的性質(zhì)符號語言文字語言一個非負數(shù)的算數(shù)平方根是非負數(shù)提示有最小值，為02.的性質(zhì)符號語言應用正用：逆用：若a≥0，則提示逆用可以再實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：如3.的性質(zhì)符號語言a（a＞0）0（a=0)-a(a＜0）文字語言任意一個數(shù)的平方的算術平方根等于這個數(shù)的絕對值應用正用：逆用：考點一：二次根式的概念例1.下列式子中，是二次根式的是（）A．6 B．52 C．5 D．【答案】A【分析】本題考查了二次根式的定義．根據(jù)形如aa≥0【詳解】解：A、6是二次根式，A符合題意；B、52C、5不是二次根式，C不符合題意；D、25故選：A．【變式1-1】下列式子一定是二次根式的是（

）A．a(chǎn) B．?a C．33 【答案】D【分析】本題考查了二次根式的定義，熟練掌握二次根式的定義是解題的關鍵．形如a（a≥0）是二次根式，注意二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)即可得解．【詳解】解：A、當a<0時，a不是二次根式，該選項不符合題意；B、當a<0時，?aC、33D、∵a2≥0，∴故選：D．【變式1-2】下列式子中，是二次根式的是（

）A．π B．35 C．32 【答案】D【分析】本題考查了二次根式的定義，熟記“形如aa≥0【詳解】解：A、π不是二次根式，不符合題意；B、35C、32D、3是二次根式，符合題意；故選：D【變式1-3】當a=6時，二次根式a?2的值為．【答案】2【分析】本題考查了二次根式的求值．將a=6代入代數(shù)式求值即可．【詳解】解：當a=6時，a?2=故答案為：2．考點二：求二次根式中的參數(shù)例2.已知n是一個正整數(shù)，28n是整數(shù)，則n的最小值為（

）A．4 B．6 C．7 D．14【答案】C【分析】本題考查了二次根式的定義和性質(zhì)，能正確根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡是解此題的關鍵．首先把被開方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，然后再確定n的值．【詳解】解：28n=∵28n是整數(shù)，n是一個正整數(shù)，∴n的最小值是7．故選：C．【變式2-1】已知n是正整數(shù)，140n是整數(shù)，則n的最小值是．【答案】35【分析】本題主要考查了二次根式的化簡．根據(jù)題意140n可變形為235n【詳解】解：∵140n=235n，140n是整數(shù)，∴n的最小值為35．故答案為：35【變式2-2】已知n是正整數(shù)，50n是整數(shù)，則n的最小值為．【答案】2【分析】本題考查了二次根式的定義和性質(zhì)．能正確根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡是解此題的關鍵．首先把被開方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，然后再確定n的值．【詳解】解：50n=∵50n是整數(shù)，∴n的最小值是2．故答案為：2．【變式2-3】若8?m是整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是．【答案】4【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件和m為正整數(shù)，得出0≤8?m<8，即可得出m的值．【詳解】解：∵8?m有意義，∴8?m≥0，解得：m≤8，∵m是正整數(shù)，∴0<m≤8，∴0≤8?m<8，∵8?m是整數(shù)，∴8?m=0,1,4，解得：m=8,7,4，∴正整數(shù)m的最小值是4，故答案為：4．【點睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，解題的關鍵是掌握二次根式被開方數(shù)為非負數(shù)．考點三：二次根式有意義的條件例3.當a是怎樣的實數(shù)時，2a+3在實數(shù)范圍內(nèi)有意義（

）A．a(chǎn)≤?32 B．a(chǎn)≠?32 C．【答案】C【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，即被開方數(shù)非負．根據(jù)被開方數(shù)非負得到2a+3≥0，再解不等式即可．【詳解】解：由題意得2a+3≥0，解得：a≥?3故選：C．【變式3-1】若二次根式a?2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)>2 B．a(chǎn)≤2 C．a(chǎn)≠2 D．a(chǎn)≥2【答案】D【分析】本題主要考查了解不等式以及二次根式有意義的條件等知識點，根據(jù)二次根式有意義的條件，解不等式即可得解，熟練掌握二次根式有意義的條件是解決此題的關鍵．【詳解】解：∵二次根式a?2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴a?2≥0，∴a≥2，故選：D．【變式3-2】若代數(shù)式16+x有意義．則x的取值范圍是（

A．x≥?6 B．x>?6 C．x≤?6 D．x≤6【答案】B【分析】此題主要考查了二次根式和分式有意義的條件，關鍵是掌握分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)．根據(jù)二次根式和分式有意義的條件可得6+x>0，再求解即可．【詳解】解：由題意得：6+x>0，解得：x>?6，故選：B．【變式3-3】若y=2x?1+1?2x+1，則【答案】1【分析】本題考查了二次根式的概念，理解二次根式被開方數(shù)大于或等于零是解決問題的關鍵．2x?1和1?2x被開方數(shù)互為相反數(shù)，且必須大于或等于零，所以2x?1=1?2x=0，由此可以求得x，y的值．【詳解】解：∵2x?1和1?2x有意義，∴2x?1≥0∴2x?1=1?2x=0，∴x=1∴y=2x?1∴2xy=2×1故答案為：1．考點四：利用二次根式的性質(zhì)化簡例4.實數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應點如圖所示，化簡:a2?b2【答案】?2a【分析】本題主要考查了數(shù)軸，二次根式的性質(zhì)與化簡，利用數(shù)軸得出b>0,a?b<0,a<0，進而化簡得出答案，正確得出各部分符號是解題關鍵．【詳解】解：如圖所示：b>0,a?b<0,a<0，∴a=?a?b+b?a=?2a，故答案為：?2a．【變式4-1】將x?111?x根號外的因式移到根號內(nèi)，結(jié)果為（A．1?x B．?1?x C．x?1 D．【答案】B【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，解題的關鍵是根據(jù)題意得出1?x>0．根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡即可．【詳解】解：∵11?x∴1?x>0，∴x?1=?=?=?=?1?x故選：B．【變式4-2】若x?32=x?3，則x的取值范圍是（A．x>?3 B．x≥3 C．x≤3且x≠0 D．【答案】B【分析】此題考查了二次根式性質(zhì)化簡，掌握二次根式的性質(zhì)是關鍵．根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出不等式進行計算即可．【詳解】解：∵x?32∴x?3≥0，解得：x≥3，故選：B．【變式4-3】已知實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應點如圖所示，則a2?c?aA．?2a B．?2a?b C．?b D．?2b?a【答案】C【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)，化簡絕對值，數(shù)軸上的點表示實數(shù)，理解并運用二次根式的性質(zhì)是解題的關鍵．根據(jù)數(shù)軸可得到a<0，c?a>0，b?c<0，再根據(jù)所給的二次根式的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：由數(shù)軸可知，a<b<0<c，|c|<|b|，∴c?a>0，b?c<0，∴=|a|?|c?a|+|b?c|=?a?=?a?c+a?b+c=?b；故選：C．

考點五：復合二次根式的化簡例5.閱讀下列材料回答問題：形如m+2n的化簡，只要我們找到兩個數(shù)a，b，使a+b=m，ab=n，則a2+b2=m，ab=n，那么便有m±2n=((1)填空：6+25=______，(2)化簡：①5+26②8?43(3)計算：4?7【答案】(1)1+5；(2)①2+3；(3)7【分析】本題主要考查了化簡復合二次根式：（1）先把6+25變形為12+25+52（2）①根據(jù)5+26=2+3（3）先把原式變形為=8?274【詳解】（1）解：6+2====1+511+2====1+10故答案為：1+5；1+（2）解：①5+2====2②8?4====6（3）解：4?=====7【變式5-1】先閱讀下列材料，再解決問題：閱讀材料：數(shù)學上有一種根號內(nèi)又帶根號的數(shù)，它們能通過完全平方公式a2±2ab+b3+22解決問題：(1)在橫線和括號內(nèi)上填上適當?shù)臄?shù)：4+23(2)根據(jù)上述思路，試將9?45【答案】(1)3；1；3+1；(2)5【分析】本題主要考查了復合二次根式化簡：（1）根據(jù)4=1+3=32+（2）根據(jù)9=5+4=52+【詳解】（1）解：4+2=====3故答案為：3；1；3+1；3（2）解：9?4=====5【變式5-2】閱讀材料．把根式x±2y進行化簡，若能找到兩個數(shù)m、n，是m2+n2=x且mn=y如：3+2解答問題：(1)填空：5+26=______，(2)3?2【答案】(1)2+3(2)?1+【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，將被開方數(shù)化為平方的形式是解題的關鍵．（1）仿照例題，根據(jù)(2（2）根據(jù)材料提供計算步驟，對3?22【詳解】（1）解：∵5+26∴5+2∵7?43∴7?4（2）解：3?2====?1+5【變式5-3】先閱讀材料，然后回答問題．(1)小張同學在研究二次根式的化簡時，遇到了一個問題：化簡5?265?26==22=2?=2?在上述化簡過程中，第步出現(xiàn)了錯誤，化簡的正確結(jié)果為；(2)請根據(jù)你從上述材料中得到的啟發(fā)，化簡：①6?2②8+4【答案】(1)④，3(2)①5?1；②【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)和化簡，掌握被開方數(shù)化成完全平方的形式，利用二次根式的性質(zhì)進行化簡是解題的關鍵．（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)a2（2）根據(jù)（1）中的材料化簡即可．【詳解】（1）解：5?26==22=2?=3?在上述化簡過程中，第④步出現(xiàn)了錯誤，3故答案為：④，3?（2）解：①原式====5②原式====6一、單選題1．下列各式是二次根式的是（

）A．?2 B．x C．3 D．3【答案】C【分析】本題考查了二次根式的定義，熟知這個定義是解題的關鍵．形如aa≥0【詳解】解：A、被開方數(shù)?2為負數(shù)，所以?2不是二次根式，故此選項不符合題意；B、被開方數(shù)x有可能為負數(shù)，所以x不是二次根式，故此選項不符合題意；C、被開方數(shù)3為正數(shù)，所以3是二次根式，故此選項不符合題意；D、根指數(shù)為3，所以35故選：C．2．下列各式中，化簡正確的是（

）A．4=±2 B．C．(?6)2【答案】C【分析】此題主要考查二次根式的化簡，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題關鍵．直接根據(jù)二次根式的性質(zhì)逐項判斷即可．【詳解】解：A、4=2B、(?3)2C、(?6D、?3，根號里面的數(shù)不能為負數(shù)，該選項錯誤，不符合題意．故選：C．3．把a?1a的根號外的因式aA．??a B．?a C．?a 【答案】A【分析】本題主要考查了化簡二次根式，二次根式有意義的條件，根據(jù)題意可得?1a>0【詳解】解：根據(jù)題意可得?1a>0那么a故選：A．4．下列結(jié)論中，正確的是（

）A．9的算術平方根是3 B．4C．3?278【答案】C【分析】本題考查了算術平方根，立方根，二次根式的性質(zhì)，據(jù)此相關運算法則進行逐項分析，即可作答．【詳解】解：A、9=3，則3的算術平方根是3B、49C、3?D、?6故選：C二、填空題5．若x?1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是．【答案】x≥1【分析】此題考查了二次根式的意義．根據(jù)二次根式有意義的條件即可解得．【詳解】解：由題意可得x?1≥0∴x?1≥0，∴x≥1，故答案為：x≥1．6．已知1<x<2，則x?22+【答案】1【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)和絕對值的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握相關基礎性質(zhì)．根據(jù)題意得到x?2<0，x?1>0，根據(jù)二次根式以及絕對值的性質(zhì)，化簡即可．【詳解】解：∵1<x<2，∴x?2<0，x?1>0，∴x?2故答案為：1．7．實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：a2+b【答案】2b?2a【分析】本題考查了利用數(shù)軸判斷式子的正負、二次根式的性質(zhì)，由數(shù)軸可得：?1<a<0<b<1，a>b，從而得出【詳解】解：由數(shù)軸可得：?1<a<0<b<1，a>∴a?b<0，∴a2故答案為：2b?2a．8．如果一個正方形的面積為12，則這個正方形的邊長為．【答案】2【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，根據(jù)正方形的面積公式正確建立等式是解題關鍵．設這個正方形的邊長為a，再根據(jù)正方形的面積公式和二次根式的性質(zhì)即可得．【詳解】解：設這個正方形的邊長為a，由題意得：a2解得a=12=23故答案為：239．滿足3<x<7的整