【八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)湘教版】第一章 直角三角形（壓軸題專練）

第一章直角三角形（壓軸題專練）一、選擇題1．（2023上·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州市平江中學(xué)校校聯(lián)考期中）如圖，等邊的邊長(zhǎng)為6，D是的中點(diǎn)，E是邊上的一點(diǎn)，連接，以為邊作等邊，若，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．2．（2023上·吉林白城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知和△ADE都是等腰三角形，，，交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②；③平分；④．正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，等腰中，，，，于點(diǎn)，的平分線分別交、于、兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論：①；②為等腰三角形；③平分；④，其中正確結(jié)論有（

）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④4．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)C為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、E重合），在同側(cè)分別作等邊和等邊，與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)P，與交于點(diǎn)Q，連接，以下四個(gè)結(jié)論①；②；③平分；④，下面的結(jié)論正確的有（

）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．45．（2023上·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，為的角平分線，且，E為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，，過(guò)E作，F(xiàn)為垂足，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤，其中正確的結(jié)論有（）A．①②③④ B．①②③④⑤ C．①②③ D．①②③⑤6．（2023上·河北石家莊·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，的角平分線相交于點(diǎn)P，若，則的值為（

）A． B． C． D．27．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)長(zhǎng)沙麓山外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且．有下列結(jié)論：①；②為等邊三角形；③；④，其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④8．（2022上·湖北省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，三點(diǎn)在同一直線上，都是等邊三角形，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接，①；②平分；③；④；⑤，下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)9．（2023上·江蘇常州·八年級(jí)校考期中）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是數(shù)形結(jié)合的重要細(xì)帶．?dāng)?shù)學(xué)家歐幾里得利用如圖驗(yàn)證了勾股定理．以直角三角形的三條邊為邊長(zhǎng)向外作正方形，正方形，正方形，連接，，具中正方形面積為1，正方形面積為5，則以為邊長(zhǎng)的正方形面積為（

）A．4 B．5 C．6 D．10．（2023上·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知，點(diǎn)是的平分線上的一點(diǎn)，點(diǎn)，分別是射線和射線上的動(dòng)點(diǎn)，且，，下列結(jié)論中正確的是（

）A．是一個(gè)定值 B．四邊形的面積是一個(gè)定值C．當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)最小 D．當(dāng)時(shí)，11．（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，等腰直角與等腰直角，，，，連接、．若，為中點(diǎn)，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）A．56 B． C． D．12．（2023上·山東濟(jì)南·七年級(jí)校考期中）如圖，在和中，，，，，連接相交于點(diǎn)M，連接．下列結(jié)論：①；②；③平分；④平分．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．113．（2023上·重慶銅梁·八年級(jí)重慶市巴川中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論：①；②；③；④的最小值是；⑤四邊形的面積是定值．其中正確的個(gè)數(shù)有（

）

A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)14．（2023上·浙江湖州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，，于點(diǎn)B，于點(diǎn)D，E、F分別是、上的點(diǎn)，且，下列結(jié)論中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正確的結(jié)論是（

）A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③15．（2023上·黑龍江牡丹江·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，三條角平分線交于點(diǎn)O，交于點(diǎn)H，兩個(gè)外角角平分線交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)線交反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．則下列結(jié)論中：①平分；②當(dāng)時(shí)，；③；④；⑤；⑥．其中正確的個(gè)數(shù)有（）

A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)16．（2023上·廣東深圳·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在等腰直角三角形中，，，平分交于點(diǎn)D，以為一條直角邊作，其中交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，線段上有一動(dòng)點(diǎn)P，于點(diǎn)Q，連接，則下列結(jié)論中：①；②為等腰三角形；③；④，⑤的最小值是；正確的個(gè)數(shù)是（

）

A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)17．（2023上·重慶南岸·八年級(jí)重慶市第十一中學(xué)校校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，的平分線交于點(diǎn)，交于，，連接、，交于點(diǎn)、下列結(jié)論：①若將沿折疊，則點(diǎn)一定落在上；②；③；④若，則．上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題18．（2023上·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，連接，，，點(diǎn)分別在邊上，且，連接，若，則的最小值為_(kāi)________．19．（2023上·陜西西安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，連接，當(dāng)線段的最小時(shí)，則________．20．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，分別以它的四條邊為斜邊，向外作等腰直角三角形．若、和的面積分別為4、9、5，則的面積為_(kāi)____．

21．（2023上·江蘇南通·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，直線于，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為_(kāi)_______．22．（2023上·江蘇南通·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，為上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），為等邊三角形，過(guò)點(diǎn)作的垂線，為垂線上任一點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，則線段長(zhǎng)的最小值是__________．23．（2023上·四川成都·八年級(jí)校考期中）如圖，已知直線，與之間的距離為6，點(diǎn)，在直線上，且，點(diǎn)，在直線上，，點(diǎn)為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)______．24．（2023上·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，，以為邊，在上方作等邊分別為邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．若，則的最小值為_(kāi)__________．25．（2023上·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，點(diǎn)在上，且，將繞點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．點(diǎn)為上一點(diǎn)，且滿足的長(zhǎng)等于的一半．連接．當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_______．三、解答題26．（2023上·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州市平江中學(xué)校校聯(lián)考期中）（1）【閱讀理解】如圖1，在中，，是斜邊上的中線，則與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______；（2）【問(wèn)題探究】如圖2，等腰中，，延長(zhǎng)到E，以為斜邊，在的下方作等腰，，連接，點(diǎn)F是邊的中點(diǎn)，連接，若，，①試判斷的形狀；②求的面積．（3）【拓展延伸】如圖3，在等腰中，，點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在延長(zhǎng)線上，以為斜邊，在的上方作等腰，，點(diǎn)F是邊的中點(diǎn)，連接，若，，試直接表示出的面積_（用含a、b的代數(shù)式表示）．27．（2024上·湖北咸寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，在軸上有兩點(diǎn)、，在軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)，，，以為頂點(diǎn)作等腰直角，點(diǎn)在第三象限，，.(1)填空：點(diǎn)的坐標(biāo)為：___________；點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：___________；(2)如圖2，連接，，求的度數(shù)；(3)如圖3，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上且，連接.①求證：；②直接寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為：___________.28．（2023上·廣東佛山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合探究直觀感知和操作確認(rèn)是幾何學(xué)習(xí)的重要方式，在中，，，.(1)尺規(guī)作圖：如圖1，在中，作的角平分線交于點(diǎn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)操作探究：在（1）的條件下，將沿著過(guò)點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在三邊所在直線上（頂點(diǎn)除外），畫出示意圖；(3)遷移運(yùn)用：①如圖2，若為邊的中點(diǎn)，為射線上一點(diǎn)，將沿著翻折得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；②如圖3，若點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，將沿折疊至，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接、，求的面積的最大值.29．（2024上·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是等邊三角形，，，，延長(zhǎng)至E，使，連接．(1)求證：；(2)求的面積；(3)點(diǎn)M，N分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，連接，求的最小值．30．（2024上·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【問(wèn)題情境】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師給出如下的問(wèn)題：如圖1，已知，，過(guò)點(diǎn)B作射線l，點(diǎn)E在的內(nèi)部，點(diǎn)A和點(diǎn)E關(guān)于l對(duì)稱，交l于點(diǎn)D，連接．證明：．【探究合作】同學(xué)們根據(jù)問(wèn)題進(jìn)行小組合作，下面是第一小組的同學(xué)分享的解題過(guò)程：小紅：除已知所給相等的邊和角之外，我們小組還推理得到；小鵬：從結(jié)論出發(fā)可以“截”較長(zhǎng)的線段，本題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等的問(wèn)題．如圖2，在上截取，再證明；小亮：要證明，觀察圖形選取“證明這兩條線段所在的三角形全等”的方法，如圖3，連接，以為目標(biāo)構(gòu)造與之全等的三角形；小明：與小鵬的想法類似，但采用將結(jié)論中任一較短的線段“補(bǔ)”的方法．如圖4，延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，連接，再確定一個(gè)三角形作為目標(biāo)構(gòu)造與之全等的三角形證明．【推理證明】（1）請(qǐng)你推理出小紅的結(jié)論；（2）根據(jù)第一小組同學(xué)們的解題思路，任選一種方法證明．【反思提升】李老師：小鵬和小明利用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的方法，將“求證一條線段等于兩條線段和的問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“求兩條線段相等的問(wèn)題”，這就將新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問(wèn)題去解決，轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中無(wú)處不在．請(qǐng)同學(xué)們反思后解決下面的問(wèn)題：（3）如圖，，，點(diǎn)D是的角平分線上一動(dòng)點(diǎn)，的垂直平分線交射線于E，求的最小值．31．（2023下·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第一一三中學(xué)校?？计谥校┤鐖D（1），四邊形中，，平分．

(1)求證：．(2)如圖（2）的垂直平分線交于，交于，過(guò)作，交延長(zhǎng)線于．求證：．(3)如圖（3），在（2）的條件下，連接，若，，求的面積．32．（2024上·江蘇南京·八年級(jí)校聯(lián)考期中）【概念認(rèn)識(shí)】定義：如果一個(gè)點(diǎn)能與另外兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，則稱這個(gè)點(diǎn)為另外兩個(gè)點(diǎn)的勾股點(diǎn)．當(dāng)這個(gè)點(diǎn)是直角的頂點(diǎn)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)又稱為強(qiáng)勾股點(diǎn)．如圖①，在中，，是，兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)，是，兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)，是，兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)，也是強(qiáng)勾股點(diǎn)．【概念運(yùn)用】（1）如圖②，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，，兩點(diǎn)均在格點(diǎn)上，線段上的8個(gè)格點(diǎn)中，是，兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)的有_____個(gè)．（2）如圖③，在中，，垂足為，若，，．求證：是，兩點(diǎn)的強(qiáng)勾股點(diǎn)．【拓展提升】（3）如圖④，在中，，，，是的中點(diǎn)，是射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)是任意兩個(gè)頂點(diǎn)的強(qiáng)勾股點(diǎn)時(shí)，直接寫出的長(zhǎng)．33．（2024上·遼寧錦州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【概念建構(gòu)】在中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E．如圖1，當(dāng)直線在外部時(shí)，稱和是的“雙外弦三角形”，如圖2，當(dāng)直線在內(nèi)部時(shí)，稱和是的“雙內(nèi)弦三角形”．依據(jù)“兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等”的基本事實(shí)，我們得到“雙外弦三角形”和“雙內(nèi)弦三角形”都是全等三角形，即．

(1)【概念應(yīng)用】①如圖3，在中，，于點(diǎn)M，，E是邊上的點(diǎn)，，，連接，，若，，求的長(zhǎng)．小亮同學(xué)在閱讀與理解【概念建構(gòu)】的基礎(chǔ)上，作于點(diǎn)N，構(gòu)造出如圖4所示的“雙內(nèi)弦三角形”，并應(yīng)用“雙內(nèi)弦三角形”是全等三角形的結(jié)論求出了．請(qǐng)你依照小亮的解題思路，寫出解答過(guò)程．②請(qǐng)你應(yīng)用“雙內(nèi)弦三角形”和“雙外弦三角形”都是全等三角形的結(jié)論或者按照自己的解題思路解答下列問(wèn)題．如圖5，在中，，，D是邊上一點(diǎn)，，，交于點(diǎn)N，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F，猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由：(2)【學(xué)以致用】如圖6，，和是等腰直角三角形，，，，求△ADE和的面積和．34．（2024上·遼寧本溪·八年級(jí)期末）如圖，分別以的兩邊為腰向外作等腰直角和等腰直角，其中．(1)如圖1，連接．若∠ACB=45°，AC=3，，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，M為的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)M作與的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，連接，試猜想之間有何等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．35．（2024上·廣西柳州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）綜合與實(shí)踐：動(dòng)手操作：某數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組利用圖形的旋轉(zhuǎn)探究圖形變換中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)奧秘．如圖1，是等腰直角三角形，，，將邊繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．思考探索：（1）在圖1中：的面積為_(kāi)_______；拓展延伸：（2）如圖2，若為任意直角三角形，．將邊繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．猜想三條線段、、的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）如圖3，在中，，，將邊繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若點(diǎn)D是的邊的高線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接、，則的最小值是________．36．（2023上·浙江杭州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)是邊所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，連接．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：．(2)如圖2，若點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A．①的周長(zhǎng)是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．②如圖3，過(guò)點(diǎn)作的垂線，與直線交于點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．37．（2023上·遼寧大連·九年級(jí)?？计谥校┚C合與實(shí)踐：數(shù)學(xué)課上，白老師出示了一個(gè)問(wèn)題：已知等腰直角和等腰直角，，，，連接，，如圖1．獨(dú)立思考：（1）如圖1，求證：；實(shí)踐探究：在原有條件不變的情況下，白老師把旋轉(zhuǎn)到了特殊位置，增加了新的條件，并提出了新的問(wèn)題，請(qǐng)你解答：（2）如圖2，在繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)恰好有，．①求的度數(shù)；②線段與線段交于點(diǎn)F，求的值；③若，求的值．38．（2023上·江蘇常州·八年級(jí)常州市第二十四中學(xué)校聯(lián)考期中）（1）如圖1，四邊形的對(duì)角線、交于點(diǎn)，．證明：．（2）如圖2，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，連結(jié)、、．①，，求的值．②若分別取，的中點(diǎn)、，連接，，，判斷的形狀為_(kāi)_________．（3）如圖3，對(duì)于任意，以和為邊向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，連結(jié)、、，分別取，的中點(diǎn)、，連接，，，則②的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

第一章直角三角形（壓軸題專練）答案全解全析一、選擇題1．（2023上·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州市平江中學(xué)校校聯(lián)考期中）如圖，等邊的邊長(zhǎng)為6，D是的中點(diǎn)，E是邊上的一點(diǎn)，連接，以為邊作等邊，若，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，易證為等邊三角形，進(jìn)而證明，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，利用求出的長(zhǎng)，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵等邊的邊長(zhǎng)為6，D是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴為等邊三角形，∵等邊，∴，∵，∴，又，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴；故選A．2．（2023上·吉林白城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知和△ADE都是等腰三角形，，，交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②；③平分；④．正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的判定定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)，證明是解題關(guān)鍵．利用“”證明，由全等三角形的性質(zhì)證明，，即可判斷結(jié)論①；作于點(diǎn)，于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，證明，即可判斷結(jié)論②；利用三角形面積公式證明，由角平分線的判定定理即可判斷結(jié)論④；題目中條件無(wú)法證明結(jié)論③正確．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，故①正確；如圖，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，在和中，∵，，∴，∴，故②正確；∵，，，∴，∴，∵，∴，∴平分，∴，故④正確．若③成立，則，∵∠AFE=∠AFB，∴，推出，由題意知，不一定等于，∴不一定平分，故③錯(cuò)誤．綜上所述，結(jié)論正確的有①②④，共計(jì)3個(gè)．故選：C．3．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，等腰中，，，，于點(diǎn)，的平分線分別交、于、兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論：①；②為等腰三角形；③平分；④，其中正確結(jié)論有（

）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】本題根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)和平分，得出，利用為的中點(diǎn)，得出，結(jié)合直角三角形兩銳角互余，推出，證明，即可得出結(jié)論①，再證明，即可得出結(jié)論④，利用，、、、四點(diǎn)共圓，結(jié)合圓周角定理，即可得出結(jié)論③，最后利用三角形外角證明，即可得出結(jié)論②．【詳解】解：，，，，，，，平分，，，，，為的中點(diǎn)，，，，在和中，，，①正確．在和中，，，．④正確．，、、、四點(diǎn)共圓，，，，平分，③正確．，，，②正確．綜上所述，正確的有4個(gè)，故選：D．4．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)C為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、E重合），在同側(cè)分別作等邊和等邊，與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)P，與交于點(diǎn)Q，連接，以下四個(gè)結(jié)論①；②；③平分；④，下面的結(jié)論正確的有（

）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由等邊三角形的性質(zhì)，易證，得到，再由三角形內(nèi)角和定理，即可判斷①結(jié)論；證明，進(jìn)而可證是等邊三角形，得出，即可判斷②結(jié)論；過(guò)點(diǎn)作與點(diǎn)，于點(diǎn)，由全等三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)角平分線的判定定理，即可判斷③結(jié)論；在上取一點(diǎn)，使得，證明是等邊三角形，進(jìn)而可證，得到，即可判斷④結(jié)論．【詳解】解：和是等邊三角形，，，，，，在和中，，，，，，①結(jié)論正確；，，在和中，，，，又，是等邊三角形，，，，②結(jié)論正確；如圖，過(guò)點(diǎn)作與點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，，又，，平分，③結(jié)論正確；如圖，在上取一點(diǎn)，使得，，，，是等邊三角形，，，，，在和中，，，，，④結(jié)論正確，即結(jié)論正確的有①②③④，共4個(gè)，故選：D．5．（2023上·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，為的角平分線，且，E為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，，過(guò)E作，F(xiàn)為垂足，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤，其中正確的結(jié)論有（）A．①②③④ B．①②③④⑤ C．①②③ D．①②③⑤【答案】D【分析】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，本題中熟練求證三角形全等和熟練運(yùn)用全等三角形對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊相等性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線定義推出．利用證明，據(jù)此判斷①；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理判斷③；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、鄰補(bǔ)角定義判斷②；根據(jù)等腰三角形性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)判斷④；過(guò)作交于點(diǎn)，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出，利用證明，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及線段的和差即可得解．【詳解】解：∵為的角平分線，在和中，，故①正確，符合題意；為的角平分線，，，故③正確，符合題意；故②正確，符合題意；是等腰三角形，故④錯(cuò)誤，不符合題意；如圖，過(guò)作交于點(diǎn)，是的角平分線上的點(diǎn)，且，（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等），在和中，，，，在和中，，，，，故⑤正確，符合題意；故選：D．6．（2023上·河北石家莊·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，的角平分線相交于點(diǎn)P，若，則的值為（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理．根據(jù)，平分，利用勾股定理求出，如圖，過(guò)點(diǎn)P作交于點(diǎn)D，證明，得到，，設(shè)，則，利用勾股定理求出，即可求出結(jié)果．【詳解】解：，平分，，，，如圖，過(guò)點(diǎn)P作交于點(diǎn)D，的角平分線相交于點(diǎn)P，，，，，，，，設(shè)，則，在中，，，解得：，，，故選：A．7．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)長(zhǎng)沙麓山外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且．有下列結(jié)論：①；②為等邊三角形；③；④，其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④【答案】A【分析】連接，由等腰三角形的性質(zhì)和線段的中垂線性質(zhì)即可判斷①；由三角形內(nèi)角和定理可求，可得，可判斷②；過(guò)點(diǎn)作，在上截取，由“”可證，延長(zhǎng)至H，使，則點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)即可判斷③；過(guò)點(diǎn)A作，在上截取，由三角形的面積的和差關(guān)系可判斷④．【詳解】解：如圖，連接，∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，，，∴是的中垂線，∴，而，∴，∴，，∴，∴，故①正確；∵，∴，

∵，∴，∴而，∴是等邊三角形，故②正確；如圖，延長(zhǎng)至，使，則點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故③正確；過(guò)點(diǎn)A作，在上截取，

∵，∴是等邊三角形，∴，∴，且，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴．故④正確．所以其中正確的結(jié)論是①②③④．故選：A．8．（2022上·湖北省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，三點(diǎn)在同一直線上，都是等邊三角形，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接，①；②平分；③；④；⑤，下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】對(duì)于①可先證明△ACD△BCE，已有，，易得，其他的結(jié)論的證明需要通過(guò)①得到，等邊三角形的定義與性質(zhì)、角平分線的判定，分別進(jìn)行證明即可得出答案．【詳解】解：①和為等邊三角形，，，∴△ACD△BCE，，故①正確；由（1）中的全等得，，，故⑤正確；∴，都是等邊三角形，，則為等邊三角形，，，，，，故④錯(cuò)誤；，，，，，故③正確；作，，如圖所示：，，平分，故②正確；綜上所述，正確的有①②③⑤共4個(gè)，故選：C．9．（2023上·江蘇常州·八年級(jí)?？计谥校┕垂啥ɡ硎侨祟愒缙诎l(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是數(shù)形結(jié)合的重要細(xì)帶．?dāng)?shù)學(xué)家歐幾里得利用如圖驗(yàn)證了勾股定理．以直角三角形的三條邊為邊長(zhǎng)向外作正方形，正方形，正方形，連接，，具中正方形面積為1，正方形面積為5，則以為邊長(zhǎng)的正方形面積為（

）A．4 B．5 C．6 D．【答案】D【分析】此題考查的是勾股定理的證明；過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由正方形的性質(zhì)可知、的長(zhǎng)，利用直角三角形面積公式可得的長(zhǎng)，再勾股定理可得、的長(zhǎng)，最后利用勾股定理可得答案．正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，正方形面積為5，正方形面積為1，，，，，是直角三角形，，，，即，，，，，以為邊長(zhǎng)的正方形面積為10．故選：．10．（2023上·浙江寧波·八年級(jí)校考期中）如圖，已知，點(diǎn)是的平分線上的一點(diǎn)，點(diǎn)，分別是射線和射線上的動(dòng)點(diǎn)，且，，下列結(jié)論中正確的是（

）A．是一個(gè)定值 B．四邊形的面積是一個(gè)定值C．當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)最小 D．當(dāng)時(shí)，【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，證明，得出，，求出，得出是一個(gè)定值；根據(jù)，得出，說(shuō)明四邊形的面積是一個(gè)定值；根據(jù)，得出當(dāng)最小時(shí)，的周長(zhǎng)最小，根據(jù)垂線段最短，得出當(dāng)時(shí)，最小，的周長(zhǎng)最?。桓鶕?jù)時(shí)，，得出，求出，求出一定與不垂直．【詳解】解：A、過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，如圖所示：點(diǎn)是的平分線上的一點(diǎn)，，，，，，，，，，，，即是一個(gè)定值；當(dāng)、關(guān)于對(duì)稱時(shí)，，不固定，故錯(cuò)誤；B、，，即，四邊形的面積是一個(gè)定值，四邊形的面積是一個(gè)定值，當(dāng)、關(guān)于對(duì)稱時(shí)，，不固定，四邊形的面積不固定，故錯(cuò)誤；C、如圖，∵，，，，，，由勾股定理得，，，，當(dāng)最小時(shí)，的周長(zhǎng)最小，垂線段最短，當(dāng)時(shí)，最小，的周長(zhǎng)最小，故正確；D、時(shí)，，，一定與不垂直，故錯(cuò)誤．故選：．11．（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，等腰直角與等腰直角，，，，連接、．若，為中點(diǎn)，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）A．56 B． C． D．【答案】B【分析】延長(zhǎng)至，使，連接，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證，得，，再證，得，，然后由含角的直角三角形的性質(zhì)得，則，，進(jìn)而求出，再利用即可解決問(wèn)題．【詳解】解：延長(zhǎng)至，使，連接，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖所示：為的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，，，，，∴，，，，在和中，，，，，，，，∴EH=BC，，在中，，，，，，，，，，，，，，，，故選：B．12．（2023上·山東濟(jì)南·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在和中，，，，，連接相交于點(diǎn)M，連接．下列結(jié)論：①；②；③平分；④平分．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】由SAS證明得出，①正確；由全等三角形的性質(zhì)得出，由三角形的外角性質(zhì)得：，得出，②正確；作，如圖所示：則，由AAS證明，得出，由角平分線的判定方法得出平分，④正確；由，得出當(dāng)時(shí)，才平分，假設(shè)，則∠COM=∠BOM，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③錯(cuò)誤；即可得出結(jié)論．【詳解】解：，，即，在和中，，∴，，①正確；∴，由三角形的外角性質(zhì)得：，，②正確；作于，于，如圖2所示：則，在和中，，，，∴平分，④正確；∵，∴當(dāng)時(shí)，才平分，假設(shè)，∵，∴∠COM=∠BOM，∵平分，∴，在△COM和中，，∴，∴，∵，∴，與矛盾，∴③錯(cuò)誤；正確的①②④；故選：B．13．（2023上·重慶銅梁·八年級(jí)重慶市巴川中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論：①；②；③；④的最小值是；⑤四邊形的面積是定值．其中正確的個(gè)數(shù)有（

）

A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】先證明出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出其他選項(xiàng)，即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴為等腰直角三角形，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，平分，且，∴，∵，∴，∴，∴，故①正確；∴，∵，∴,∵,∴，故②正確；∵，∴，∵，∴，∵∴，又，∴，∴，但很明顯是變化的，∴也是變化的，∴③不正確；當(dāng)時(shí)，的值最小，∵，，∴，即的最小值為，故④正確，∵，∴，∴，∵，∴，，∴⑤正確，即正確的有個(gè)，故選：C．14．（2023上·浙江湖州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，，于點(diǎn)B，于點(diǎn)D，E、F分別是、上的點(diǎn)，且，下列結(jié)論中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正確的結(jié)論是（

）A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③【答案】C【分析】由E、F分別是上的任意點(diǎn)，可知與不一定相等，與也不一定全等，可判斷①錯(cuò)誤，②錯(cuò)誤；延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，連接，先證明，得，由，可以推導(dǎo)出，則，即可證明，得，因?yàn)椋?，可判斷③正確，因?yàn)椋?，可判斷⑤正確；由平分結(jié)合，推出與題干互相矛盾，可得④錯(cuò)誤．【詳解】解：∵E、F分別是上的任意點(diǎn)，∴與不一定相等，故①錯(cuò)誤；∵于點(diǎn)于點(diǎn)D，∴，∵，∴的另一個(gè)條件是，∵與不一定相等，∴與不一定全等，故②錯(cuò)誤；延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，連接，則，∴，在和中，，∴，∴∵，∴，∴，在和中，，∴，

∴∴，∴平分，故③⑤正確；若平分，而，∴，與題干信息矛盾，故④錯(cuò)誤；故選C15．（2023上·黑龍江牡丹江·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，三條角平分線交于點(diǎn)O，交于點(diǎn)H，兩個(gè)外角角平分線交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)線交反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．則下列結(jié)論中：①平分；②當(dāng)時(shí)，；③；④；⑤；⑥．其中正確的個(gè)數(shù)有（）

A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】C【分析】假設(shè)是的平分線，用反證法即可證明①不正確；當(dāng)時(shí)，在上截取，連接，證明，可得，即得，從而證明，有，可得，判斷②正確；由，，進(jìn)而可判斷③正確；由平分∠ABC，平分，可得，故；同理，即得，即，得，判斷④正確；因O到，的距離都等于，故，判斷⑤正確；過(guò)O作于K，于T，由，而，，，可得，判斷⑥正確．【詳解】解：若是的平分線，則，∵是的平分線，∴.∵，，∴,∵分別是的角平分線，∴,∴，這與與不一定相等矛盾，∴不一定是的平分線，故①不正確；當(dāng)時(shí)，在上截取，連接，如圖：

∵，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，，

∴，∴，∴，即，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，故②正確；如圖：

∵于H，∴，∴，∵，∴，故③正確；∵平分，平分，∴，∴；同理可得，∴，∴，而，∴，∴，故④正確；∵三條角平分線交于點(diǎn)O，，∴O到的距離都等于，∴，故⑤正確；過(guò)O作于K，于T，如圖：∵，∴，∴，由角的對(duì)稱性可知，，∴，∴，故⑥正確；∴正確的有：②③④⑤⑥，共5個(gè)；故選：C．16．（2023上·廣東深圳·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在等腰直角三角形中，，，平分交于點(diǎn)D，以為一條直角邊作，其中交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，線段上有一動(dòng)點(diǎn)P，于點(diǎn)Q，連接，則下列結(jié)論中：①；②為等腰三角形；③；④，⑤的最小值是；正確的個(gè)數(shù)是（

）

A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】利用的性質(zhì)證明，可得①符合題意；證明，可得，，再證明，可判斷②符合題意；由，，可判斷③符合題意；由，可得，可判斷④符合題意；如圖，過(guò)作于，過(guò)作于，而，平分，可得，則當(dāng)，，關(guān)系，且時(shí)，最短，即最短，即圖中的，再求解的長(zhǎng)度可判斷⑤，從而可得答案.【詳解】解：∵，∴，，，∵，∴，∴，∴，即，故①符合題意；∵，∴，∴，∵，平分，∴，，而，∴，∴，，∵，∴，∴，∴是等腰三角形，故②符合題意；∵，，∴，故③符合題意；∵，，，∴，故④符合題意；如圖，過(guò)作于，過(guò)作于，而，平分，∴，∴當(dāng)，，關(guān)系，且時(shí)，最短，即最短，即圖中的，

∵，，∴，，，∴，∴，∴的最小值為1；故⑤不符合題意；故選C17．（2023上·重慶南岸·八年級(jí)重慶市第十一中學(xué)校校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，的平分線交于點(diǎn)，交于，，連接、，交于點(diǎn)、下列結(jié)論：①若將沿折疊，則點(diǎn)一定落在上；②；③；④若，則．上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由，得，由，得，先證明，得，則垂直平分，再證明，得，若將沿折疊，則點(diǎn)E一定落在上，可判斷①②正確；連接，則，得，可推導(dǎo)出，再證明，則，可判斷③正確；作于點(diǎn)L，則，由，得，則，再證明，則，于是求得，則，可判斷④錯(cuò)誤，于是得到問(wèn)題的答案．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∴點(diǎn)A、點(diǎn)E都在的垂直平分線上，∴垂直平分，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴若將沿折疊，則點(diǎn)E一定落在上，故①②正確；連接，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故③正確；作于點(diǎn)L，則，

∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴，故④錯(cuò)誤；綜上分析可知，正確的有3個(gè)，故選：C．二、填空題18．（2023上·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，連接，，，點(diǎn)分別在邊上，且，連接，若，則的最小值為_(kāi)________．【答案】【分析】延長(zhǎng)至點(diǎn)H使，連接，構(gòu)造可得，即可得的最小值為，通過(guò)勾股定理即可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)至點(diǎn)H使，連接如圖：，，，，，，，，，，的最小值為，的最小值為，在中，．19．（2023上·陜西西安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，連接，當(dāng)線段的最小時(shí)，則________．【答案】【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，過(guò)作于，易證，可得，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，即可得出線段的最小值為3，求出此時(shí)，又勾股定理即可求出此時(shí)．【詳解】解：如圖所示，過(guò)作于，則，由旋轉(zhuǎn)可得，，，，在和中，，，，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是平行的直線，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，的值最小，的最小值為3，此時(shí)，∴，故答案為：．20．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，分別以它的四條邊為斜邊，向外作等腰直角三角形．若、和的面積分別為4、9、5，則的面積為_(kāi)____．

【答案】8【分析】本題考查了勾股定理的知識(shí)，要求能夠運(yùn)用勾股定理證明4個(gè)等腰直角三角形的面積之間的關(guān)系．連接，根據(jù)等腰直角三角形的面積公式可求，根據(jù)勾股定理可求再根據(jù)等腰直角三角形的面積公式即可求解．【詳解】解：如圖，連接，、和是等腰直角三角形，，、和的面積分別為、、，，，，在中，，在中，，，則的面積為．故答案為∶8．21．（2023上·江蘇南通·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，直線于，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形．根據(jù)題意確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．如圖，連接，證明，則，可知點(diǎn)在與夾角為的直線上運(yùn)動(dòng)，如圖，直線即為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，作于，即為的最小值，由，可得，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，連接，∵，是等邊三角形，，∴，，，∴，即，∵，∴，∴，∴點(diǎn)在與夾角為的直線上運(yùn)動(dòng)，如圖，直線即為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，作于，即為的最小值，∵，∴，∴的最小值為，故答案為：．22．（2023上·江蘇南通·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，，為上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），為等邊三角形，過(guò)點(diǎn)作的垂線，為垂線上任一點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，則線段長(zhǎng)的最小值是__．【答案】9【分析】本題考查含角的直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)，利用已知得出點(diǎn)的軌跡是解本題的突破口，利用垂線段最短求出的最小值是解本題的關(guān)鍵．首先連接根據(jù)線段中垂線性質(zhì)定理逆定理得出為線段的中垂線，然后得出，而后證明即為定值，得出G的運(yùn)動(dòng)軌跡，再根據(jù)垂線段最短即可得出的最小值．【詳解】解：連接交于，如圖：為中點(diǎn)，為等邊三角形，是的中垂線，，點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)，與所交角的直線動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則為所求∴，，故答案為：9．23．（2023上·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知直線，與之間的距離為6，點(diǎn)，在直線上，且，點(diǎn)，在直線上，，點(diǎn)為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)______．【答案】【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作于W，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，則，據(jù)此求出，則點(diǎn)B與點(diǎn)W重合；如圖所示，以點(diǎn)B為一個(gè)頂點(diǎn)，以長(zhǎng)為邊，向上作等邊，點(diǎn)M在直線上，取中點(diǎn)H，以為邊作等邊，連接，延長(zhǎng)交直線于T，連接，證明，得到，則，取中點(diǎn)K，連接，則是的中位線，由平行線的唯一性可知此時(shí)直線和直線重合，即點(diǎn)G與點(diǎn)K重合，則點(diǎn)G為的中點(diǎn)，證明，，得到，則，則當(dāng)最小時(shí)，最??；設(shè)直線交直線于N，則證明，得到當(dāng)T、E、P三點(diǎn)共線，且時(shí)，最小，即最小，如圖所示，過(guò)點(diǎn)M作交直線于Q，在中，，則，，求出，，得到，即可得到的最小值為．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作于W，∵，，∴，∵與之間的距離為6，∴，∵，∴，∵，∴，∴點(diǎn)B與點(diǎn)W重合，如圖所示，作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)P，連接，∴，∴，∴點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，如圖所示，以點(diǎn)B為一個(gè)頂點(diǎn)，以長(zhǎng)為邊，向上作等邊，點(diǎn)M在直線上，取中點(diǎn)H，以為邊作等邊，連接，延長(zhǎng)交直線于T，連接，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，取中點(diǎn)K，連接，則是的中位線，∴，由平行線的唯一性可知此時(shí)直線和直線重合，即點(diǎn)G與點(diǎn)K重合，∴點(diǎn)G為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)最小時(shí)，最小，設(shè)直線交直線于N，則，∵，∴，∴，∴當(dāng)T、E、P三點(diǎn)共線，且時(shí)，最小，即最小，如圖所示，過(guò)點(diǎn)M作交直線于Q，在中，，∴，，∴，，∴，∴的最小值為9，∴的最小值為，故答案為：．24．（2023上·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，，以為邊，在上方作等邊分別為邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．若，則的最小值為_(kāi)__________．

【答案】【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段最短，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加合適的輔助線，構(gòu)造全等三角形求解．連接，過(guò)點(diǎn)B作，取，連接，證明，可求出，然后證明，得出，則，故當(dāng)D、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，最小值為，過(guò)D作于H，先在中求出，，然后在中求解即可．【詳解】解：連接，過(guò)點(diǎn)B作，取，連接，∵，，∴，，又，，∴，∵是等邊三角形，∴，，∴，又，∴，∴，，∴，又，∴，又，，∴，∴，∴，當(dāng)D、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，最小值為，過(guò)D作于H，∴，∴，∴，∴，∴，即最小值為．故答案為：．25．（2023上·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，點(diǎn)在上，且，將繞點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．點(diǎn)為上一點(diǎn)，且滿足的長(zhǎng)等于的一半．連接．當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_______．

【答案】或【分析】首先利用含的直角三角形性質(zhì)及勾股定理求出，進(jìn)而由題中條件得到三點(diǎn)共線，再由將繞點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，分兩種情況：①在之間；②在延長(zhǎng)線上，分類討論，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：在中，，設(shè)，則，由勾股定理可得，解得，，，，又的長(zhǎng)等于的一半，，過(guò)作，如圖所示：

在中，利用等面積法，解得，，，與重合，連接，如圖所示：

三點(diǎn)共線，，將繞點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，分兩種情況：①在之間；②在延長(zhǎng)線上（可取為），則，當(dāng)點(diǎn)在線段之間時(shí)，，在中，，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，，在中，，綜上所述，的長(zhǎng)為或，故答案為：或．三、解答題26．（2023上·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州市平江中學(xué)校校聯(lián)考期中）（1）【閱讀理解】如圖1，在中，，是斜邊上的中線，則與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)；（2）【問(wèn)題探究】如圖2，等腰中，，延長(zhǎng)到E，以為斜邊，在的下方作等腰，，連接，點(diǎn)F是邊的中點(diǎn)，連接，若，，①試判斷的形狀；②求的面積．（3）【拓展延伸】如圖3，在等腰中，，點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在延長(zhǎng)線上，以為斜邊，在的上方作等腰，，點(diǎn)F是邊的中點(diǎn)，連接，若，，試直接表示出的面積_（用含a、b的代數(shù)式表示）．【答案】（1）（2）等腰直角三角形，（3）【分析】（1）延長(zhǎng)至點(diǎn)使，證明，進(jìn)而證明，即可得出結(jié)論；（2）①延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，證明，進(jìn)一步證明，進(jìn)而得到，即可；②勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，勾股定理求出的長(zhǎng)，求出的長(zhǎng)，再用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可；（3）先證明為等腰直角三角形，勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，再用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）延長(zhǎng)至點(diǎn)使，連接，∵是斜邊上的中線，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，又，∴，∴，∴；故答案為：；（2）由（1）可知：，延長(zhǎng)至點(diǎn)使，連接，同（1）法可得：，∴，∴，∵為等腰直角三角形，∴，∴，∵為等腰直角三角形，∴，∴，，∴，又，∴，∴，∵，∴，又，∴為等腰直角三角形；∵，，∴，∴，∴，∴的面積為；（3）∵，均為等腰直角三角形，∴，，，∴，，∴，∴；∵，為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴的面積為．27．（2024上·湖北咸寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，在軸上有兩點(diǎn)、，在軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)，，，以為頂點(diǎn)作等腰直角，點(diǎn)在第三象限，，.(1)填空：點(diǎn)的坐標(biāo)為：___________；點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：___________；(2)如圖2，連接，，求的度數(shù)；(3)如圖3，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上且，連接.①求證：；②直接寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為：___________.【答案】(1)，(2)(3)①證明見(jiàn)解析；②【分析】（1）本題根據(jù)，得出，推出，得到，，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，再作軸于點(diǎn)D，證明，利用全等的性質(zhì)即可解題．（2）本題根據(jù)題干得到為等腰直角三角形，得出，再利用等腰三角形性質(zhì)和三角形的外角等于與之不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，算出，最后根據(jù)，即可解題．（3）①由題干的條件證明是等邊三角形，得出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和角度的計(jì)算推出，最后結(jié)合，即可證明三角形全等．②連接，證明，根據(jù)全等的性質(zhì)，推出為等邊三角形，得到，再結(jié)合線段的和差，即可解題．【詳解】（1）解：作軸于點(diǎn)D，如圖所示：，∴∠BAO=∠ABO=90°，，，，，，，，，，，，，，，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．故答案為：，．（2）解：，，，，，又，，，，，，．（3）解：①證明：，，是等邊三角形，，，，∵，，，，，，，在和中，．②，理由如下：連接，如圖所示：∵，，，，，，，，，，，，，為等邊三角形，，，，．故答案為：．28．（2023上·廣東佛山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合探究直觀感知和操作確認(rèn)是幾何學(xué)習(xí)的重要方式，在中，，，.(1)尺規(guī)作圖：如圖1，在中，作的角平分線交于點(diǎn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)操作探究：在（1）的條件下，將沿著過(guò)點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在三邊所在直線上（頂點(diǎn)除外），畫出示意圖；(3)遷移運(yùn)用：①如圖2，若為邊的中點(diǎn)，為射線上一點(diǎn)，將沿著翻折得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；②如圖3，若點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，將沿折疊至，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接、，求的面積的最大值.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)①；②【分析】（1）以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)度為半徑畫弧交、于、兩點(diǎn)，再分別以、為圓心，大于為半徑畫弧交于一點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)；（2）分兩種情況：點(diǎn)落在邊上；點(diǎn)落在邊上；分別畫出圖形即可；（3）①由折疊的性質(zhì)可得，，，結(jié)合得出點(diǎn)、、在一條直線上，由點(diǎn)是邊的中點(diǎn)得出，由勾股定理得出，從而得到，設(shè)，則，由勾股定理得出，求解即可得出答案；②由勾股定理可得，由點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，可得，，由折疊的性質(zhì)可得，，從而得出，設(shè)點(diǎn)到的距離為，則，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到的距離最大，為，由此即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖，即為所作，（2）解：如圖，作于，，∵平分，，，，，不是的中點(diǎn)，點(diǎn)不能落在邊上，當(dāng)沿直線折疊時(shí)，此時(shí)點(diǎn)落在邊上，得到的圖形如圖所示，；當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，如圖所示：；（3）解：①如圖，，為射線上一點(diǎn)，，，將沿著翻折得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，，，，，點(diǎn)、、在一條直線上，為邊的中點(diǎn)，，，，，設(shè)，則，由勾股定理可得：，，解得：，；②在中，，，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，將沿折疊至，，，，，設(shè)點(diǎn)到的距離為，則，，如圖，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到的距離最大，為，，的面積的最大值為：．29．（2024上·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是等邊三角形，，，，延長(zhǎng)至E，使，連接．(1)求證：；(2)求的面積；(3)點(diǎn)M，N分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，連接，求的最小值．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)(3)【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的“三線合一”可得，，根據(jù)，可得，即有，問(wèn)題得證；（2）過(guò)D點(diǎn)作于點(diǎn)G，利用含角的直角三角形的性質(zhì)可得，問(wèn)題隨之解得；（3）將沿向下翻轉(zhuǎn)得到，再作N點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)H，連接、、，根據(jù)對(duì)稱性有：，，，先證明、是等邊三角形，即有，結(jié)合圖形有：，當(dāng)M點(diǎn)在上時(shí)，，此時(shí)有最小值，即可得，問(wèn)題得解．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）過(guò)D點(diǎn)作于點(diǎn)G，如圖，∵，，，∴在中，，∵在（1）中已求出，∴；（3）將沿向下翻轉(zhuǎn)得到，再作N點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)H，連接、、，如圖所示，根據(jù)翻折可知：、關(guān)于軸對(duì)稱，∴N點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)H在上，根據(jù)對(duì)稱性有：，，，∴，∴是等邊三角形，∵N點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)H，∴垂直平分線段，∴，，∴是等邊三角形，∴，結(jié)合圖形有：，當(dāng)M點(diǎn)在上時(shí)，，此時(shí)有最小值，∴，∵，，∴，∴，∴，即的最小值為．30．（2024上·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【問(wèn)題情境】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師給出如下的問(wèn)題：如圖1，已知，，過(guò)點(diǎn)B作射線l，點(diǎn)E在的內(nèi)部，點(diǎn)A和點(diǎn)E關(guān)于l對(duì)稱，交l于點(diǎn)D，連接．證明：．【探究合作】同學(xué)們根據(jù)問(wèn)題進(jìn)行小組合作，下面是第一小組的同學(xué)分享的解題過(guò)程：小紅：除已知所給相等的邊和角之外，我們小組還推理得到；小鵬：從結(jié)論出發(fā)可以“截”較長(zhǎng)的線段，本題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等的問(wèn)題．如圖2，在上截取，再證明；小亮：要證明，觀察圖形選取“證明這兩條線段所在的三角形全等”的方法，如圖3，連接，以為目標(biāo)構(gòu)造與之全等的三角形；小明：與小鵬的想法類似，但采用將結(jié)論中任一較短的線段“補(bǔ)”的方法．如圖4，延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，連接，再確定一個(gè)三角形作為目標(biāo)構(gòu)造與之全等的三角形證明．【推理證明】（1）請(qǐng)你推理出小紅的結(jié)論；（2）根據(jù)第一小組同學(xué)們的解題思路，任選一種方法證明．【反思提升】李老師：小鵬和小明利用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的方法，將“求證一條線段等于兩條線段和的問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“求兩條線段相等的問(wèn)題”，這就將新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問(wèn)題去解決，轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中無(wú)處不在．請(qǐng)同學(xué)們反思后解決下面的問(wèn)題：（3）如圖，，，點(diǎn)D是的角平分線上一動(dòng)點(diǎn)，的垂直平分線交射線于E，求的最小值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析（3）的最小值是3【分析】（1）對(duì)稱的性質(zhì)得到，，，，，推出，設(shè)，等邊對(duì)等角，三角形外角的性質(zhì)，推出即可；（2）采用小明的方法：連接，易得是等邊三角形，證明是等邊三角形，推出，即可得出結(jié)論．（3）過(guò)點(diǎn)C作交BA于點(diǎn)H，交的平分線于點(diǎn)D，垂直平分線的性質(zhì)，角平分線平分角，推出，進(jìn)而得到，根據(jù)含30度角的直角三角形，得到，進(jìn)而得到，進(jìn)而得到當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值為的長(zhǎng)，進(jìn)一步求出結(jié)果即可．【詳解】（1）∵A、E兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱∴，，，，，∵，∴，設(shè)，則∴∵，∴∵∴∴（2）連接．∵，，∴是等邊三角形，∴，，又∵，，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；（3）過(guò)點(diǎn)C作交BA于點(diǎn)H，交的平分線于點(diǎn)D，此時(shí)取得最小值；∵點(diǎn)E在的垂直平分線上∴．∴∵BD平分∴∴∴∴在中，∴∴當(dāng)C、D、H三點(diǎn)共線時(shí)最短，此時(shí)在中，∴∴的最小值是3．31．（2023下·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第一一三中學(xué)校?？计谥校┤鐖D（1），四邊形中，，平分．

(1)求證：．(2)如圖（2）的垂直平分線交于，交于，過(guò)作，交延長(zhǎng)線于．求證：．(3)如圖（3），在（2）的條件下，連接，若，，求的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)9【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作于，作延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明，得出即可；（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，證明，得出，證明，即可證明結(jié)論；（3）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，證明，求出，證明，得出，證明是的中位線，得出，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得出，求出，證明，得出，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得出，求出，（舍），過(guò)點(diǎn)作于，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得出，求出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形面積公式求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)B作于，作延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖所示：∴∠AMB=∠N=90°，平分，，四邊形的內(nèi)角和為，且，，又，，在和中，，，；（2）解：垂直平分，，，∵，，，∴，，，，由（1）知，；（3）解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè)，，，，∵BD平分，，，，，，，，，又，，，，，，，是的中位線，∴，，設(shè)，則，，在中，勾股得，，解得，∴，，在中，由勾股定理得：，在和中，，，，設(shè)，則，在中由勾股定理得：，在等腰中，由勾股定理得：，，，（舍），，，

過(guò)點(diǎn)作于，設(shè)，則，在和中，由勾股定理得：，，解得：，，．32．（2024上·江蘇南京·八年級(jí)校聯(lián)考期中）【概念認(rèn)識(shí)】定義：如果一個(gè)點(diǎn)能與另外兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，則稱這個(gè)點(diǎn)為另外兩個(gè)點(diǎn)的勾股點(diǎn)．當(dāng)這個(gè)點(diǎn)是直角的頂點(diǎn)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)又稱為強(qiáng)勾股點(diǎn)．如圖①，在中，，是，兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)，是，兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)，是，兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)，也是強(qiáng)勾股點(diǎn)．【概念運(yùn)用】（1）如圖②，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，，兩點(diǎn)均在格點(diǎn)上，線段上的8個(gè)格點(diǎn)中，是，兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)的有_____個(gè)．（2）如圖③，在中，，垂足為，若，，．求證：是，兩點(diǎn)的強(qiáng)勾股點(diǎn)．【拓展提升】（3）如圖④，在中，，，，是的中點(diǎn)，是射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)是任意兩個(gè)頂點(diǎn)的強(qiáng)勾股點(diǎn)時(shí)，直接寫出的長(zhǎng)．【答案】（1）4；（2）證明見(jiàn)解析；（3）2，，，8．【分析】（1）根據(jù)新定義“勾股點(diǎn)”可得出答案；（2）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，則可得出結(jié)論；（3）由新定義“強(qiáng)勾股點(diǎn)”畫出圖形，根據(jù)勾股定理可得出答案．【詳解】（1）解：如圖，，，，四點(diǎn)與，能構(gòu)成四個(gè)直角三角形，圖中，兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)的有4個(gè)，故答案為：4；（2）證明：．，在中，由勾股定理得：，．在中，由勾股定理得：，．在中，，又，，由勾股定理逆定理得：是直角三角形，點(diǎn)是，兩點(diǎn)的強(qiáng)勾股點(diǎn)；（3）解：若點(diǎn)是，兩個(gè)頂點(diǎn)的強(qiáng)勾股點(diǎn)時(shí)，且點(diǎn)在內(nèi)，如圖，為的中點(diǎn)，，，，，；若點(diǎn)是，兩個(gè)頂點(diǎn)的強(qiáng)勾股點(diǎn)時(shí)，如圖，，，；若點(diǎn)是，兩個(gè)頂點(diǎn)的強(qiáng)勾股點(diǎn)時(shí)，如圖，，，，設(shè)，，，，；若點(diǎn)是，兩個(gè)頂點(diǎn)的強(qiáng)勾股點(diǎn)時(shí)，且點(diǎn)在外，如圖，為的中點(diǎn)，，．綜上所述，的長(zhǎng)為2，，，8．33．（2024上·遼寧錦州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【概念建構(gòu)】在中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E．如圖1，當(dāng)直線在外部時(shí)，稱和是的“雙外弦三角形”，如圖2，當(dāng)直線在內(nèi)部時(shí)，稱和是的“雙內(nèi)弦三角形”．依據(jù)“兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等”的基本事實(shí)，我們得到“雙外弦三角形”和“雙內(nèi)弦三角形”都是全等三角形，即．

(1)【概念應(yīng)用】①如圖3，在中，，于點(diǎn)M，，E是邊上的點(diǎn)，，，連接，，若，，求的長(zhǎng)．小亮同學(xué)在閱讀與理解【概念建構(gòu)】的基礎(chǔ)上，作于點(diǎn)N，構(gòu)造出如圖4所示的“雙內(nèi)弦三角形”，并應(yīng)用“雙內(nèi)弦三角形”是全等三角形的結(jié)論求出了．請(qǐng)你依照小亮的解題思路，寫出解答過(guò)程．②請(qǐng)你應(yīng)用“雙內(nèi)弦三角形”和“雙外弦三角形”都是全等三角形的結(jié)論或者按照自己的解題思路解答下列問(wèn)題．如圖5，在中，，，D是邊上一點(diǎn)，，，交于點(diǎn)N，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F，猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由：(2)【學(xué)以致用】如圖6，，和是等腰直角三角形，，，，求△ADE和的面積和．【答案】(1)①，②(2)3【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．（1）①先證明可得，，再求解，求解，再利用勾股定理可得結(jié)論；②如圖5，連接，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于，由“雙外弦三角形”的含義同理可得：，再證明，可得，結(jié)合，可得結(jié)論；（2）如圖6，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于，過(guò)作于，過(guò)作于，過(guò)作于，可得，，證明，，可得，，從而可得答案．【詳解】（1）解：①過(guò)D作于點(diǎn)N，于點(diǎn)M，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；②如圖5，連接，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于，∴，∵，，由“雙外弦三角形”的含義同理可得：，∴，，

∵，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，而，∴；（2）如圖6，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于，過(guò)作于，過(guò)作于，過(guò)作于，則∵，∴由平行線間的距離處處相等可得：，∵，∴，∵和是等腰直角三角形，，由（1）同理可得：，，∴，，∴△ADE和的面積和為：．34．（2024上·遼寧本溪·八年級(jí)期末）如圖，分別以的兩邊為腰向外作等腰直角和等腰直角，其中．(1)如圖1，連接．若∠ACB=45°，AC=2，，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，M為的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)M作與的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，連接，試猜想之間有何等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)(2)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）由已知易得，則；在中由勾股定理即可求得，從而求得結(jié)果；（2）延長(zhǎng)到G，使，分別連接；易證，則有∠BNM=∠CGM，可得；由（1）知，∠BEA=∠DCA，設(shè)交于點(diǎn)F，則可得，由平行可得，則由勾股定理及線段垂直平分線的性質(zhì)可得之間等量關(guān)系．【詳解】（1）解：∵和均是等腰直角三角形，，∴，∵，∴；在與中，，∴，∴；∵∠CAE=90°，∴，；∵，∴，在中，由勾股定理得；∴；（2）解：；證明如下：如圖，延長(zhǎng)到G，使，分別連接；∵M(jìn)為的中點(diǎn)，∴；∵∠BNM=∠CMG，，∴，∴∠BNM=∠CGM，∴；由（1）知，∴∠BEA=∠DCA；設(shè)交于點(diǎn)F，∵=∠BEA+∠AEC+∠FCE=∠DCA+∠AEC