線代總復(fù)習(xí)精簡(jiǎn)版教學(xué)文案

線性代數(shù)總復(fù)習(xí)1要求：理解行列式的概念，計(jì)算低階及特殊的行列式。兩個(gè)定義：n階行列式;n階方陣行列式.一、行列式會(huì)用其性質(zhì)與展開式定理兩個(gè)重要概念：余子式和代數(shù)余子式2、性質(zhì)1、概念是計(jì)算行列式的中心環(huán)節(jié)，性質(zhì)5用的較多。利用性質(zhì)將行列式化為三角形行列式，然后計(jì)算是計(jì)算行列式的重要方法。23、重要結(jié)論：4、特殊關(guān)系式上（下）三角行列式的值=對(duì)角線上元素之積35、展開定理4解：6解：74）設(shè)行列式解8解：9逆矩陣、分塊矩陣、利用逆矩陣求解線性方程組。主要內(nèi)容：二、矩陣矩陣的概念、運(yùn)算、初等變換、秩、1、定義：由m×n個(gè)數(shù)(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的m行n列數(shù)表稱為一個(gè)m行n列矩陣，簡(jiǎn)稱為m×n矩陣.特別：零矩陣、n階方陣、行（列）矩陣、對(duì)稱矩陣、n階對(duì)角陣、三角陣、單位陣、最簡(jiǎn)階梯形。102、矩陣的線性運(yùn)算與若一般來(lái)說(shuō)可能有11(2)(3)(5)(4)3、矩陣的運(yùn)算律(1)12定義則稱A是可逆方陣,則B是A的一個(gè)逆矩陣,記為4、可逆矩陣的定義和等價(jià)條件中若存在方陣B,使n階方陣A可逆（即齊次線性方程組）僅有零解。13設(shè)A、B都是n階可逆矩陣，k是非零數(shù)，則5、可逆矩陣的性質(zhì)14特別：6、求方陣A的逆矩陣的方法158、初等方陣共三種互換陣倍加陣倍乘陣用初等方陣左（右）乘A，相當(dāng)于對(duì)A作初等行（列）變換得到的矩陣.7、矩陣的初等行變換9、矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形161、R（A）：A的不等于0的子式的最大階數(shù)。2、秩的基本關(guān)系式：3、關(guān)于秩的重要結(jié)論：10、矩陣的秩1711、秩的求法：1)R（A）：A的不等于0的子式的最大階數(shù);2）初等變換法：R（A）=T的階梯數(shù)；3）若P可逆，則常需先驗(yàn)證P可逆。1812、分塊對(duì)角陣及其性質(zhì)其中均為方陣。192、4、3、R（A）=5、可逆時(shí)，則A可逆，且20例1、解：21例2、設(shè)方陣A滿足2A2-5A-8E=0，證明A-2E可逆，解：原式可寫為22例3、設(shè)矩陣X

滿足：AXB=XB+C，求X，其中由已知，得AXB-XB=C，則得顯然A-E、B均可逆，并且解：23例4、設(shè)A是5階方陣，且求解：24定義1推論：(2)有非零解。(2)只有零解。三、向量組的線性相關(guān)性25定義2推論：(1)有解。26定義3T的最大無(wú)關(guān)組。如果R(T)=r,則T中任意r個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都構(gòu)成則稱是向量組T的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組。r稱為T的秩，記為27定理1定理2關(guān)鍵：至少有一個(gè)，但不能保證是哪一個(gè)。定理3

R（A）=A的列向量組的秩=A行向量組的秩定理4矩陣的初等行變換不改變列向量組的線性關(guān)系。注意：求最大無(wú)關(guān)組、討論線性表示主要用此方法；討論線性相關(guān)性、求秩也可用此方法。28定理5定理6數(shù)字型有非零解；齊次線性方程組有非零解；29例1、設(shè)解：的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用此線性無(wú)關(guān)組線性表示。求30其余向量由此最大無(wú)關(guān)組表示為：所以的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組為：31例2、解：因?yàn)樾辛惺剿援?dāng)b=3或b=1時(shí)，D=0，線性相關(guān)；否則線性無(wú)關(guān)。32例3設(shè)向量組問(wèn)k為何值時(shí)表示法惟一，不惟一，不可表示。解：設(shè)存在數(shù)即用克萊姆法則使33

k=-3

時(shí)，表示法惟一。時(shí)，同解方程組有無(wú)窮多解。時(shí)，方程組有惟一解；表示法不惟一，34例4、1、設(shè)線性無(wú)關(guān)，線性相關(guān)，證明不能由線性表示。2、設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，若證明證明1、線性無(wú)關(guān)，則線性無(wú)關(guān)。線性相關(guān)，則可由線性表示，即存在實(shí)數(shù)使得假設(shè)可由線性表示，即存在實(shí)數(shù)使得將(1)代入(2)可由線性表示，這與線性無(wú)關(guān)矛盾，故不能由線性表示。35因?yàn)锳是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，必存在正交矩故從而2、解法1解法2從而陣P,使36線性方程組解的存在性定理各種解法解的結(jié)構(gòu)四、線性方程組的解法與解的結(jié)構(gòu)37例2、討論a、b滿足什么條件時(shí)，如下方程組無(wú)解、解對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換有惟一解、有無(wú)窮多解？有無(wú)窮多解時(shí)，求其通解。3839則通解為則得一同解方程組為令40例6、解1）是；2）設(shè)是的一個(gè)基礎(chǔ)解系，是不是的解向量？4142五、內(nèi)積、施密特正交化。定義1設(shè)稱為向量與的內(nèi)積.性質(zhì)設(shè)時(shí)等式成立。當(dāng)且僅當(dāng)都是n維向量，K

為實(shí)數(shù)則有43定義2設(shè)稱為的長(zhǎng)度。當(dāng)時(shí)，稱為單位向量。當(dāng)時(shí)，稱與正交。定理中兩兩正交、非零向量組線性無(wú)關(guān)。在歐氏空間中，若滿足稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基。定義344定義4是n階方陣,若

是正交矩陣稱性質(zhì)2的列(行)向量組為正交單位向量組是正交矩陣性質(zhì)1

是正交矩陣則A可逆且設(shè)性質(zhì)3設(shè)A、B都是正交矩陣，則AB也是正交矩陣。即A的n個(gè)列向量是單位正交向量組。性質(zhì)4設(shè)A是正交矩陣，則也是正交矩陣。性質(zhì)5設(shè)A是正交矩陣，則453、施密特正交化方法設(shè)在中為線性無(wú)關(guān)向量組令正交化過(guò)程：則是正交向量組，46六、特征值與特征向量、矩陣的對(duì)角化內(nèi)容：矩陣的特征值與特征向量的定義、求法、性質(zhì)；相似矩陣的概念、性質(zhì)、矩陣對(duì)角化的條件和方法。定義1使方程的一個(gè)特征值,相應(yīng)的非零向量設(shè)方陣成立數(shù)和n元非零列向量則稱數(shù)為對(duì)應(yīng)的特征向量.稱為的于（1）式也可寫成即（2）式說(shuō)明特征向量

X的坐標(biāo)是齊次方程（3）的非零解。47定義2設(shè)稱含參數(shù)的矩陣為的特征矩陣,(的次多項(xiàng)式)稱該矩陣的行列式稱為的特征方程.為的特征多項(xiàng)式,48特征值的性質(zhì)則：全不為零。49特征向量的性質(zhì)1）方陣A的不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量必線性無(wú)關(guān)。2）實(shí)對(duì)稱矩陣A的不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量必相即互正交。即504---n階方陣A可對(duì)角化的條件、方法1、一個(gè)充分必要條件：n階方陣A可對(duì)角化A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量2、兩個(gè)充分條件：1）如果A有n個(gè)互不相同的特征值，則A必可對(duì)角化2）如果A是實(shí)對(duì)稱矩陣，則A必可用正交矩陣對(duì)角化。3、對(duì)角化方法：4、正交對(duì)角化51例1、求矩陣A、B的特征值與特征向量解：1）52特征向量：53得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系54例2、設(shè)矩陣A、B相似，求參數(shù)a,b,c.解1）因?yàn)榫仃嘇、B相似，所以2）因?yàn)榫仃嘇、B相似，所以1也是A的特征值，所以并且1是B的一個(gè)特征值。55例3分別求可逆矩陣C、正交矩陣P，解1）將矩陣A對(duì)角化。564）將每個(gè)基礎(chǔ)解系Schmidt正交化、再單位化則C可逆，且57則P是正交矩陣，并且58七、二次型化標(biāo)準(zhǔn)形---1---基本定義、基本內(nèi)容1、二次型——二次齊次多項(xiàng)式；二次型的矩陣表示為標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣——對(duì)角陣二次型的矩陣表示2、二次型的矩陣——前提：實(shí)對(duì)稱矩陣；標(biāo)準(zhǔn)形——僅含有平方項(xiàng)的二次型則二次型的矩陣593、正定二次型正定矩陣5、慣性定理4、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形60注1：對(duì)線性變換X=CY來(lái)說(shuō)，當(dāng)C