數(shù)量積 向量積 混合積

數(shù)量積向量積*混合積一、向量的數(shù)量積由物理學(xué)知道，一個(gè)物體在恒力F的作用下沿直線從A點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)B，以s表示位移AB，則力F所做的功W=|F||s|cosθ,

其中θ為F與s的夾角(見(jiàn)圖7-18).

從這個(gè)問(wèn)題可以看出，兩個(gè)向量可以做某種形式的運(yùn)算，其運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù).為此引入向量的數(shù)量積的定義.圖7-18一、向量的數(shù)量積定義1從這個(gè)問(wèn)題可以看出，兩個(gè)向量可以做某種形式的運(yùn)算，其運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù).為此引入向量的數(shù)量積的定義.定義1設(shè)有兩個(gè)非零向量a與b，它們正向間的夾角為θ(0≤θ≤π)，則稱|a|·|b|·cosθ為兩向量a與b的數(shù)量積(又稱點(diǎn)積)，記為a·b，即a·b=|a|·|b|·cosθ.(7-10)一、向量的數(shù)量積由于|b|cosθ=Prjab，|a|cosθ=Prjba，所以兩向量a與b的數(shù)量積式(7-9)又可表示為a·b=|a|·Prjab=|b|Prjba.(7-11)容易驗(yàn)證兩向量a與b的數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：(1)交換律：a·b=b·a.(2)分配律：(a＋b)·c=a·c＋b·c.(3)結(jié)合律：λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb).一、向量的數(shù)量積此外，向量a與b的數(shù)量積還具有如下性質(zhì)：(1)a·a=|a|2.(2)任意兩個(gè)非零向量a，b互相垂直的充要條件是a·b=0.(3)兩個(gè)非零向量的夾角余弦可用點(diǎn)積表示，即

(7-12)設(shè)a={x1，y1，z1}，b={x2，y2，z2}，則a·b=x1x2+y1y2+z1z2.一、向量的數(shù)量積一、向量的數(shù)量積設(shè)力F={1,3,5}作用在一物體上，物體的位移是s={2,－1,3}，求力F對(duì)物體做的功W.解W=F?s=1×2+3×(－1)+5×3=14.【例5】一、向量的數(shù)量積已知a=(1，2，1)，b=(3，－1，2),求a?b及向量a,b的夾角.解a?b=1×3＋2×(-1)＋1×2=3,【例6】二、向量的向量積在研究物體的轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，不但要考慮物體所受的力，而且還要考慮這些力所產(chǎn)生的力矩.請(qǐng)看下面表達(dá)力矩的方法.設(shè)有一杠桿，其支點(diǎn)為O，有一力F作用于杠桿點(diǎn)A處，力F與OA的夾角為θ(見(jiàn)圖7-19).圖7-19二、向量的向量積由力學(xué)知識(shí)，我們知道力F對(duì)支點(diǎn)O的力矩是一個(gè)向量M，它的模為

而M的方向(按右手系法則確定)垂直于OA和F所確定的平面.根據(jù)此類實(shí)際問(wèn)題研究的需要，我們引入向量積的定義.二、向量的向量積定義2設(shè)a，b為兩個(gè)非零向量，我們定義向量a與b的向量積(又稱叉積):向量積是滿足下面條件的一個(gè)向量，記為a×b，它的模和方向分別為(1)|a×b|=|a|·|b|·sinθ(θ為a與b夾角).

(2)a×b垂直于a與b所確定的平面，且a，b，a×b符合右手規(guī)則(見(jiàn)圖7-20).從幾何上看|a×b|等于以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積.圖7-2二、向量的向量積由向量積的定義可知向量積滿足以下規(guī)律和性質(zhì)：(1)b×a=-a×b.(2)結(jié)合律：(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b).(3)分配律：(a+b)×c=a×c+b×c，a×(b+c)=a×b+a×c.(4)兩個(gè)非零向量a與b平行的充要條件是a×b=0.(5)a×a=0.二、向量的向量積特別地，對(duì)坐標(biāo)向量i，j，k，有i×i=j×j=k×k=0，i×j=k，j×k=i，k×i=j，i×k=-j，k×j=-i，j×i=-k.下面利用上述性質(zhì)，給出向量積的坐標(biāo)表達(dá)式.設(shè)a={x1，y1，z1}，b={x2，y2，z2},則a×b=(x1i+y1j+z1k)×(x2i+y2j+z2k)=(x1i+y1j+z1k)×x2i+(x1i+y1j+z1k)×y2j+(x1i+y1j+z1k)×z2k=(y1z2－z1y2)i+(z1x2－x1z2)j+(x1y2－y1x2)k.二、向量的向量積為便于記憶a×b的坐標(biāo)表示，可借用三階行列式的記號(hào)來(lái)表示：(7-15)二、向量的向量積【例7】【例8】三、向量的混合積定義3設(shè)有三個(gè)向量a，b，c，先對(duì)其中兩個(gè)向量作向量積，然后再用其結(jié)果和第三個(gè)向量作數(shù)量積，最后結(jié)果是一個(gè)數(shù)，我們稱a·(b×c)為混合積，記作［abc］，即

［abc］=a·(b×c).混合積的幾何意義：［abc］是一個(gè)數(shù)，它的絕對(duì)值等于以向量a，b，c為棱的平行六面體的體積的值.如果a,b,c符合右手系法則，則混合積為正，否則為負(fù).三、向量的混合積事實(shí)上，由圖7-21可知［abc］=a·(b×c)=|a|·|b×c|cosθ=±|b×c|h，其中θ為a與b×c的夾角，h為兩平行底面間的距離.顯然a在b×c方向的投影為±h，θ為銳角時(shí)取正，θ為鈍角時(shí)取負(fù).注意到|b×c|等于以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積，所以|b×c|h為以a，b，c為棱的平行六面體體積的值.如果a，b，c符合右手系法則，θ為銳角，［abc］>0；否則，θ為鈍角，［abc］<0.圖7-21三、向量的混合積混合積的坐標(biāo)表示：設(shè)a={ax,ay,az},b={bx,by,bz},c={cx,cy,cz}，則

(7-16)

混合積的性質(zhì)：(1)［abc］=［cab］=［bca］=－［cba］=－［bac］=－［acb］.(2)三個(gè)向量a，b，c共面的充要條件是［abc