第1課時線段垂直平分線的性質(zhì)與判定(七大題型)(原卷版)-2024-2025學年八年級數(shù)學上冊同步精

（蘇科版）八年級上冊數(shù)學《第2章軸對稱圖形》2.4線段、角的軸對稱性第1課時線段垂直平分線的性質(zhì)與判定知識點一知識點一線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定◆1、線段的垂直平分線的定義：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.如圖，MN⊥AA′，AP=A′P.直線MN是線段AA′的垂直平分線.說明：線段的垂直平分線可以看成是與線段兩端點距離相等的所有點的集合.◆2、線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等.★★應用格式：（如右圖）∵直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點P在直線l，∴PA=PB．★★作用：證明線段相等.◆3、線段的垂直平分線的判定：與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．★★應用格式：（如右圖）∵PA=PB，∴點P在AB的垂直平分線上．★★作用：判斷一個點是否在線段的垂直平分線上.知識點二線段垂直平分線的畫法知識點二線段垂直平分線的畫法◆作線段的垂直平分線已知線段AB.求作：線段AB的垂直平分線.作法：(1)如圖，分別以點A，B為圓心，以大于12AB的長為半徑作弧，兩弧交于C，D(2)作直線CD，CD即為所求.特別說明：這個作法實際上就是線段垂直平分線的尺規(guī)作圖法，我們也可以用這種方法確定線段的中點.題型題型一利用線段垂直平分線的性質(zhì)求線段長【例題1】（2023春?文山市期中）如圖，△ABC中，邊AB的垂直平分線分別交BC、AB于點D、E，AE＝3cm，△ADC的周長為8cm，則△ABC的周長是（）?A．14cm B．17cm C．19cm D．20cm解題技巧提煉運用求線段長或證明線段長或求周長的問題時，如果不能直接求就要利用線段垂直平分線的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化，連接線段垂直平分線上的點與這條線段的兩個端點是常用的添加輔助線的方法.【變式1-1】（2022秋?攸縣期末）如圖，在△ABC中，EF是AB的垂直平分線，與AB交于點D，BF＝12cm，AC＝15cm，則CF＝cm．【變式1-2】（2022秋?香坊區(qū)校級月考）如圖，AB＝AC，BC＝4，△BCE的周長為9，AB的垂直平分線DE交AC于點E，垂足為D，則AB＝（）A．6 B．5 C．4 D．無法確定【變式1-3】（2023春?大渡口區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB邊的中垂線DE，分別與AB、AC邊交于點D、E兩點，BC邊的中垂線FG，分別與BC、AC邊交于點F、G兩點，連接BE、BG．若△BEG的周長為16，GE＝1．則AC的長為（）A．13 B．14 C．15 D．16【變式1-4】如圖，在△ABC中，BC＝10cm，AB的垂直平分線交AB于點D、交AC于點E，△BCE的周長等于22cm．（1）證明：BE+EC＝AC；（2）求AC的長．【變式1-5】（2022秋?永吉縣期中）如圖，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點F，交BC于點E，且BD＝DE，連接AE．（1）求證：AB＝EC；（2）若△ABC的周長為14cm，AC＝6cm，求DC長．題型二題型二利用線段垂直平分線的性質(zhì)證明線段相等【例題2】（2023春?尉氏縣期末）如圖，DE，DF分別是線段AB，BC的垂直平分線，連接DA，DC，則（）A．∠A＝∠C B．∠B＝∠ADC C．DA＝DC D．DE＝DF解題技巧提煉此題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，熟記“線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等”是解題的關鍵,有時要利用三角形全等的知識來解決．【變式2-1】（2022春?本溪期末）如圖，AB是線段CD的垂直平分線，垂足為點G，E，F(xiàn)是AB上兩點．下列結(jié)論不正確的是（）A．EC＝CD B．EC＝ED C．CF＝DF D．CG＝DG【變式2-2】（2022秋?開平市校級期中）如圖，已知∠A＝90°，AB＝BD，ED⊥BC于D，你能在圖中找出另外一對相等的線段嗎？為什么？【變式2-3】（2022秋?成武縣期中）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線EF交BC于點E，交AB于點F，點D為CE的中點，連接AD，此時∠CAD＝24°，∠ACB＝66°．求證：BE＝AC．題型三題型三線段垂直平分線的判定【例題3】（2022秋?晉州市期末）下列說法錯誤的是（）A．若點P是線段AB的垂直平分線上的點，則PA＝PB B．若PA＝PB，QA＝QB，則直線PQ是線段AB的垂直平分線 C．若PA＝PB，則點P在線段AB的垂直平分線上 D．若PA＝PB，則過點P的直線是線段AB的垂直平分線解題技巧提煉垂直平分線的判定：與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，通常要找到這樣的兩個點，根據(jù)“兩點確定一條直線”來判定這條直線是已知直線的垂直平分線.【變式3-1】已知直線l與線段AB交于點O，點P在直線l上，且AP＝PB，下列結(jié)論，①OA＝OB；②PO⊥AB；③∠APO＝∠BPO；④點P在線段AB的垂直平分線上，其中正確的有．【變式3-2】如圖，已知△ABC中，AB=AC，點O是△ABC內(nèi)一點，且OB＝OC，求證：直線AO⊥BC.【變式3-3】（2022?豐順縣校級開學）已知，如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于點D，求證：點D在BC的垂直平分線上．【變式3-4】如圖，在△ABC中，邊AB，BC的垂直平分線交于點P，求證：點P在線段AC的垂直平分線上．【變式3-5】（2023?增城區(qū)一模）如圖，已知AB＝AC，DB＝DC，P是AD上一點，求證：∠ABP＝∠ACP．【變式3-6】（2022春?市南區(qū)期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一點，BD＝BC，過點D作AB的垂線交AC于點E，求證：BE垂直平分CD．題型四題型四線段垂直平分線的作法【例題4】如圖，已知線段AB長為4．現(xiàn)按照以下步驟作圖：①分別以點A，B為圓心，大于12AB長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點E，F(xiàn)②過E，F(xiàn)兩點作直線，與線段AB相交于點O．則AO的長為．解題技巧提煉本題考查作圖﹣基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．【變式4-1】下列尺規(guī)作圖分別表示：①作一個角的平分線；②作一個角等于已知角；③作一條線段的垂直平分線．其中作法正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【變式4-2】如圖，在三角形ABC中，分別以點A、B為圓心，大于12AB長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N，作直線MN交AB于點O，連接COA．AO＝BO B．MN⊥AB C．AN＝BN D．AB＝2CO【變式4-3】如圖，已知△ABC（AB＜BC），用尺規(guī)作圖在線段BC上確定一點P，使得PA+PC＝BC，則下列作法正確的是（）A． B． C． D．【變式4-4】（2021?橋東區(qū)二模）如圖，已知鈍角△ABC，依下列步驟尺規(guī)作圖，并保留了作圖痕跡．步驟1：以C為圓心，CA長為半徑畫弧①；步驟2：以B為圓心，BA長為半徑畫?、冢换、儆邳cD；步驟3：連接AD，交BC的延長線于點H．則下列說法不正確的是（）A．AH是△ABC中BC邊上的高 B．AH＝DH C．AC平分∠BAD D．作圖依據(jù)是：①兩點確定一條直線；②到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上【變式4-5】下面是小東設計的“作△ABC中BC邊上的高線”的尺規(guī)作圖過程．已知：△ABC．求作：△ABC中BC邊上的高線AD．作法：如圖，①點B為圓心，BA的長為半徑作弧，以點C為圓心，CA的長為半徑作弧，兩弧在BC下方交于點E：②接AE交BC于點D．則線段AD是△ABC中BC邊上的高線．根據(jù)小東設計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：連接，．∵＝BA，＝CA，∴點B，C分別在線段AE的垂直平分線上（）（填推理的依據(jù)）．∴BC垂直平分線段AE．∴線段AD是△ABC的BC邊上的高線．題型五題型五線段垂直平分線的實際應用【例題5】（2023春?福田區(qū)校級期末）如圖，三座商場分別坐落在A、B、C所在位置，現(xiàn)要規(guī)劃一個地鐵站，使得該地鐵站到三座商場的距離相等，該地鐵站應建在（）A．三角形三條中線的交點 B．三角形三條高所在直線的交點 C．三角形三個內(nèi)角的角平分線的交點 D．三角形三條邊的垂直平分線的交點解題技巧提煉三角形三邊的垂直平分線相交于一點且該點到三角形三個頂點的距離相等，因此在找到三個頂點距離相等的點時，只要畫出三角形任意兩條邊的垂直平分線，其交點即為所求.【變式5-1】（2022秋?長安區(qū)校級期末）某地興建的幸福小區(qū)的三個出口A、B、C的位置如圖所示，物業(yè)公司計劃在不妨礙小區(qū)規(guī)劃的建設下，想在小區(qū)內(nèi)修建一個電動車充電樁，以方便業(yè)主，要求到三個出口的距離都相等，則充電樁應該在△ABC（）A．三條高線的交點處 B．三條中線的交點處 C．三個角的平分線的交點處 D．三條邊的垂直平分線的交點處【變式5-2】（2023?貴陽模擬）如圖，地面上有三個洞口A、B、C，老鼠可從任意一個洞口跑出，貓為能同時最省力地顧及到三個洞口，盡快抓住老鼠，應該蹲在（）A．△ABC三條角平分線的交點 B．△ABC三條邊的中線的交點 C．△ABC三條高的交點 D．△ABC三條邊的垂直平分線的交點【變式5-3】（2022春?膠州市期中）某公園的A，B，C處分別有海盜船、摩天輪、旋轉(zhuǎn)木馬三個娛樂項目，現(xiàn)要在公園內(nèi)一個售票中心，使三個娛樂項目所處位置到售票中心的距離相等，則售票中心應建立在（）A．△ABC三邊高線的交點處 B．△ABC三角角平分線的交點處 C．△ABC三邊中線的交點處 D．△ABC三邊垂直平分線的交點處【變式5-4】（2022秋?兩江新區(qū)期末）直線l是一條河，P，Q是在l同側(cè)的兩個村莊．欲在l上的M處修建一個水泵站，向P，Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設方案，圖中實線表示鋪設的管道，則M處到P，Q兩地距離相等的方案是（）A．B．C．D．題型六題型六線段垂直平分線性質(zhì)的綜合應用【例題6】（2022秋?東勝區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AB邊的垂直平分線l1交BC于點D，AC邊的垂直平分線l2交BC于點E，l1與l2相交于點O，連接AD，AE，△ADE的周長為12cm．（1）求BC的長；（2）分別連接OA，OB，OC，若△OBC的周長為26cm，求OA的長．解題技巧提煉本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識．線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．【變式6-1】（2022秋?番禺區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，AD的垂直平分線交AB于點F，交BC的延長線于點E．（1）求證：AC∥FD；（2）∠B與∠CAE的大小是否相等？若相等，請給予證明；若不相等，請說明理由．【變式6-2】（2023春?碭山縣校級期末）如圖，在△ABC中，DE是邊BC的垂直平分線，分別交邊AC，BC于點D，E，BF⊥AC，且F為線段AD的中點．（1）求證：AB＝CD；（2）若∠C＝30°，求∠ABC的度數(shù)．?【變式6-3】（2023春?峽江縣期末）如圖，在△ABC中，AB邊的垂直平分線l1交BC于點D，AC邊的垂直平分線l2交BC于點E，l1與l2相交于點O，連接OA，OB，OC．（1）若△ADE的周長為8cm，△OBC的周長為20cm．①求線段BC的長；②求線段OA的長．（2）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度數(shù)．題型七題型七角平分線與線段垂直平分線的綜合應用【例題7】如圖已知：E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為C、D．求證：（1）∠ECD＝∠EDC；（2）OE是CD的垂直平分線．解題技巧提煉本題考查的是線段垂直平分線的判定、角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．【變式7-1】（2022秋?紅安縣期中）如圖，A、B兩點在射線OM、ON上，CF垂直平分AB，垂足為F，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分別為D、E，且AD＝BE．（1）求證：OC平分∠MON；（2）如果AO＝10，BO＝4，求OD的長．【變式7-2】如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線與AC的垂直平分線相交于點D，過點D作DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分別為F、G