2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練（全國）專題37 最值模型之瓜豆模型（原理）直線解讀與提分精練（解析版）

專題37最值模型之瓜豆模型（原理）直線動(dòng)點(diǎn)軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學(xué)生受解析幾何知識(shí)的局限和思維能力的束縛，該壓軸點(diǎn)往往成為學(xué)生在中考中的一個(gè)坎，致使該壓軸點(diǎn)成為學(xué)生在中考中失分的集中點(diǎn)。掌握該壓軸題型的基本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個(gè)重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原理（動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線型）進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u ③當(dāng)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以某個(gè)字母的代數(shù)式表示時(shí)，若可化為一次函數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為直線；④觀察動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到特殊位置時(shí)，如中點(diǎn)，端點(diǎn)等特殊位置考慮；注意：若動(dòng)點(diǎn)軌跡用上述方法不好確定，則也可以將所求線段轉(zhuǎn)化（常用中位線、全等、相似、對角線）為其他已知軌跡的線段求最值。例1．（2024·山東泰安·?？家荒＃┤鐖D，矩形的邊，E為上一點(diǎn)，且，F(xiàn)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，若以為邊向右側(cè)作等腰直角三角形，連接，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】過點(diǎn)G作GH⊥AB于H，過點(diǎn)G作MN∥AB，由“AAS”可證△GEH≌△EFA，可得GH＝AE＝1，可得點(diǎn)G在平行AB且到AB距離為1的直線MN上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)F與D重合時(shí)，CG有最小值，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)G作GH⊥AB于H，過點(diǎn)G作MN∥AB，∵四邊形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3，∵AE＝1，∴BE＝，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA，又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1，∴點(diǎn)G在平行AB且到AB距離為1的直線MN上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)F與D重合時(shí)，CG有最小值，此時(shí)AF＝EH＝3，∴CG的最小值＝，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，確定點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是本題的關(guān)鍵．例2．（2024·河北邢臺(tái)·模擬預(yù)測）如圖，是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)E為中線BD上的動(dòng)點(diǎn)．連接CE，將CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CF．連接，則，連接，則周長的最小值是．【答案】【分析】證明可得，得到點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，可得當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，即，由得到，即得，進(jìn)而由勾股定理得，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵為等邊三角形，為高上的動(dòng)點(diǎn)，，∵將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，∴點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，設(shè)交于點(diǎn)，則，在中，，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，即，∵，∴，∵，∴，∴，∴周長的最小值為，故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，四邊形為矩形，對角線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，連接，過做，垂足為，連接，若，，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系，先根據(jù)面積法可計(jì)算的長為，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：是一個(gè)定點(diǎn)，的軌跡為中垂線上的一部分，所以垂線段最短，可知的長是的最小值，最后由等邊三角形三線合一的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，是一個(gè)定點(diǎn)，的軌跡為中垂線上的一部分，如下圖所示，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，所以垂線段最短，則的最小值為的值，，，，中，，，，，，即的最小值為．故答案為：．例4．（2023·安徽·合肥三模）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)D，E分別在BC，AB邊上，連接DE，將△BDE沿DE翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F的位置，連接AF，若四邊形BEFD是菱形，則AF的長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接BF交ED于點(diǎn)0，設(shè)EF與AC交于點(diǎn)G．根據(jù)菱形的性質(zhì)可得點(diǎn)F在∠ABC的平分線上運(yùn)動(dòng)，從而得到當(dāng)AF⊥BF時(shí)，AF的長最?。僮C明△BEO∽△BAF，可得，再證明△AGE∽△ACB，，從而得到GF=1，再由勾股定理，即可求解．【詳解】解：如圖，連接BF交ED于點(diǎn)O，設(shè)EF與AC交于點(diǎn)G．∵四邊形BEFD是菱形，∴BF平分∠ABC，∴點(diǎn)F在∠ABC的平分線上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)AF⊥BF時(shí)，AF的長最?。诹庑蜝EFD中，BF⊥ED，OB=OF，EF∥BC，∴EO∥AF，∴△BEO∽△BAF，∴，∴，在中，AC=4，BC=3，∴AB=5，∴BE=AE=2.5，∵AF⊥BF，∴EF=2.5，∵EF∥BC，∴△AGE∽△ACB，∴，∴，∴GF=EF-EG=1，∵∠AGF=∠AGE=90°，∴．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，準(zhǔn)確得到點(diǎn)F在∠ABC的平分線上運(yùn)動(dòng)是解題的關(guān)鍵．例5．（2024·四川達(dá)州·一模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)（含B，C兩點(diǎn)），連接，以點(diǎn)A為中心，將線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，則線段的最小值為.【答案】//【分析】如圖，以為邊向右作等邊，作射線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作于H．利用全等三角形的性質(zhì)證明，推出，推出點(diǎn)Q在射線上運(yùn)動(dòng)，求出，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，以為邊向右作等邊，作射線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作于H．∵四邊形是矩形，∴，∵都是等邊三角形，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴點(diǎn)Q在射線上運(yùn)動(dòng)，∵，∴，∵，∴．據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)Q與H重合時(shí)，的值最小，最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，本題的突破點(diǎn)是證明點(diǎn)Q的在射線上運(yùn)動(dòng)．例6．（2024·重慶模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)，連接，則最小值為______．【答案】【分析】設(shè)，作軸，作，作，根據(jù)可證明，由此可求，令，，可得在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，的值最小，再由得，進(jìn)而得出，即可得出答案．【詳解】設(shè)，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，∵，∴.∵，∴.∵，∴，∴，.∵，∴，，∴，令，，∴，∴點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，的值最小.在中，令，則，令，則，∴，，∴．∵，∴，∴，在中，令，則，∴，∴.∵，即，解得，所以的最小值為.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．例7．（2024·廣東·九年級(jí)校考期中）如圖，中，，，，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，則長的最小值是（）A．2 B．2.5 C． D．【答案】B【分析】取的中點(diǎn)為點(diǎn)D，連接，過點(diǎn)D作，垂足為H，在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可求出的長，的度數(shù)，再根據(jù)線段的中點(diǎn)定義可得，從而可得，然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，從而利用等式的性質(zhì)可得，進(jìn)而利用證明，最后利用全等三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)垂線段最短，即可解答．【詳解】解：取的中點(diǎn)為點(diǎn)D，連接，過點(diǎn)D作，垂足為H，∴，∵，，，∴，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)得：，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)H重合時(shí)，有最小值，且最小值為2.5，∴長的最小值是2.5，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，垂線段最短，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．1．（2024·河南周口·一模）如圖，平行四邊形中，，，，是邊上一點(diǎn)，且，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接、，則的最小值是（

）.A．4 B． C． D．【答案】C【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，軌跡，菱形的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．取的中點(diǎn)．連接，，，作交的延長線于．利用全等三角形的性質(zhì)證明，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線，由“”可證，可得，推出，求出即可解決問題．【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)．連接，，，作交的延長線于，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線，，，，，，，在中，，，，，，在中，，，的最小值為，故選：C．2．（2024·湖南長沙·一模）如圖，矩形中，，F(xiàn)是上一點(diǎn)，E為上一點(diǎn)，且，連接，將繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，則的最小值為．【答案】/【分析】將線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，設(shè)交于J．證明，根據(jù)垂線段最短計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，將線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，設(shè)交于J．∵四邊形是矩形，，，，∴，，，，∴，∵，∴，在和中，∵，∴∴，∴點(diǎn)G的在射線上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)時(shí)，的值最小，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，三角形全等的判定和性質(zhì)，垂線段最短，熟練掌握相應(yīng)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇宿遷·三模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為矩形對角線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊向上作正方形，對角線交于點(diǎn)，連接，則線段的最小值為

【答案】【分析】作于點(diǎn)則由正方形的性質(zhì)得所以取的中點(diǎn)連接以點(diǎn)為圓心為半徑作則點(diǎn)、點(diǎn)都在上,所以可知點(diǎn)在過點(diǎn)且與直線所交成的銳角為的直線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)時(shí)，線段的值最小，此時(shí)由矩形的性質(zhì)得，則由得所以于是得到問題的答案．【詳解】如圖，作于點(diǎn)，則∵四邊形是正方形，

∴且取的中點(diǎn)連接以點(diǎn)為圓心為半徑作，∴點(diǎn)、點(diǎn)都在上，∴點(diǎn)在過點(diǎn)且與直線所交成的銳角為的直線上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)時(shí)，線段的值最小，如圖，則∵點(diǎn)、點(diǎn)都在以為直徑的圓上，，，∵四邊形是矩形，，，∴的最小值為故答案為：．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形、垂線段最短等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．4．（2023上·湖北武漢·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知，B為上一點(diǎn)，于A，四邊形為正方形，P為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得，連接，若，則的最小值為．

【答案】/【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及垂線段最短的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等以及垂線段最短進(jìn)行解答．連接，依據(jù)構(gòu)造全等三角形，即，將的長轉(zhuǎn)化為的長，再依據(jù)垂線段最短得到當(dāng)最短時(shí)，亦最短，根據(jù)，，即可求得的長的最小值．【詳解】解：如圖，連接，

由題意可得，∴，在和中，，

∴，∴，當(dāng)時(shí)，最短，此時(shí)也最短，∵，，∴，∴∴，∴當(dāng)時(shí)，，∴的最小值為．故答案為：．5．（2023上·陜西渭南·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接．點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接．當(dāng)時(shí)，的最小值是．

【答案】【分析】取的中點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)，根據(jù)四邊形為矩形，得，根據(jù)點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，得，，可得，根據(jù)得四邊形為平行四邊形，則，根據(jù)得與的交點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)為的中點(diǎn)，得過點(diǎn)，即點(diǎn)在線段上隨點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)有最小值，則即為所求，根據(jù)勾股定理得，根據(jù)得，根據(jù)得，則，進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】解：如圖所示，取的中點(diǎn)H，連接，作于點(diǎn)，

∵四邊形為矩形，，∴，∵點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)H為的中點(diǎn)，∴，，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴與的交點(diǎn)為的中點(diǎn)，∵G為的中點(diǎn)，∴過點(diǎn)G，即點(diǎn)G在線段上隨點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)有最小值，則即為所求，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了線段最小值，矩形的性質(zhì)，垂線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)，添加輔助線．6．（2023上·湖南長沙·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)C是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其坐標(biāo)為，線段繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至線段，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為，連接，則的最小值是．

【答案】【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形變化一旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，屬于中考?？碱}型．設(shè)，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，證明，推出，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，推出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，根據(jù)垂線段最短解決問題即可．【詳解】設(shè)，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，

∵線段繞著點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至線段，∵點(diǎn)，點(diǎn)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，∵直線交軸于，交軸于，過點(diǎn)作于．則，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的值最小，最小值為，故答案為：；．7．（2024·山東?？家荒＃┤鐖D，正方形中，，點(diǎn)E為邊上一動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)A繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)F，則的最小值為__________．【答案】【分析】上截取，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，證明，是等腰直角三角形，進(jìn)而根據(jù)垂線段最短即可求解．【詳解】如圖，上截取，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，正方形中，，將點(diǎn)A繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)F，是等腰直角三角形,在射線上運(yùn)動(dòng)，則是等腰直角三角形，與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，等于即的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，垂線段最短，求得的軌跡是解題的關(guān)鍵．8．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，且，連接，則線段長度的最小值為______．【答案】【分析】如圖：在取一點(diǎn)T使得，連接，在上取一點(diǎn)K，使得，連接，利用全等三角形的性質(zhì)證明，由矩形的性可得、，進(jìn)而推出點(diǎn)F在射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)值最?。驹斀狻拷猓喝鐖D：在取一點(diǎn)T使得，連接，在上取一點(diǎn)K，使得，連接∵∴，∴，∵，，∴，∵，∴∴,∵矩形中，，∴，∵,∴，∴,點(diǎn)F在射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線、構(gòu)造全等三角形并確定是解答本題的關(guān)鍵．9．（23-24八年級(jí)下·遼寧丹東·期中）如圖，點(diǎn)在直線上，于點(diǎn)，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，以為邊作等邊，連接，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短，以為邊作等邊，連接，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則的最小值為，再直角三角形的性質(zhì)求出即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，以為邊作等邊，連接，∴，，∵為等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴最小時(shí)，有最小值，∵為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴的最小值為，∵，∴，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．10．（2024·四川達(dá)州·三模）如圖，在等腰中，，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，，則的最小值是．【答案】/【分析】在上取一點(diǎn)，連接，使,在上截取，連接，作直線,因?yàn)?,所以，，，求得，可證明，得，可知點(diǎn)在經(jīng)過上的定點(diǎn)且與相交成的銳角等于的直線上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接、、，則，，則，，可證明，所以點(diǎn)在的延長線上，，作于點(diǎn)，則，，所以，求得，由得，則的最小值，于是得到問題的答案．【詳解】解：在上取一點(diǎn)，連接，使，在上截取，連接，作直線，

∵，，∴，，，∴，∵由旋轉(zhuǎn)得，，∴，在和中，，∴，∴，∴點(diǎn)在經(jīng)過上的定點(diǎn)且與相交成的銳角等于的直線上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接、、，∵垂直平分，是等邊三角形，∴，，，，∴，，∴，∴，連接，則，∵，∴，∴點(diǎn)在的延長線上，∴，作于點(diǎn)，則，，∴，∴，∴，∵，∴，∴的最小值是，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．11．（2024·四川成都·一模）如圖，在矩形中，，點(diǎn)，為直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，將線段關(guān)于翻折得線段，連接．當(dāng)線段的長度最小時(shí)，的度數(shù)為度．【答案】75【分析】將線段繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A落在點(diǎn)E，連接，得到，再由當(dāng)時(shí)，有最小值，可得與均為30°、60°、90°直角三角形，再證明為等腰直角三角形，是等邊三角形，進(jìn)而得到，最后當(dāng)于H時(shí)，有最小值，由此可以求出．【詳解】解：將線段繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A落在點(diǎn)E，連接，設(shè)交于G點(diǎn)，如下圖所示：在矩形中，，，根據(jù)折疊可知，，，∴，，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴點(diǎn)在上，∵垂線段最短，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，∴與均為、、直角三角形，設(shè)，，則，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法、矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，屬于四邊形的綜合題，難度較大，熟練掌握各圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（23-24八年級(jí)下·遼寧沈陽·期中）如圖，中，，，，D是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在外作等邊．若F是的中點(diǎn)，連接，則的最小值為．

【答案】9【分析】連接，根據(jù)等腰三角形的三線合一得到點(diǎn)F在的平分線上，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：如圖，連接，

∵為等邊三角形，F(xiàn)是的中點(diǎn)，∴，平分，即點(diǎn)F在的平分線上，如圖，當(dāng)，點(diǎn)D在上時(shí)，最小，在中，，則，由勾股定理得：，∵平分，，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短，得出，點(diǎn)D在上時(shí)，最小是解題的關(guān)鍵．13．（2024九年級(jí)下·江蘇·專題練習(xí)）等邊邊長為6，D是中點(diǎn)，E在上運(yùn)動(dòng)，連接，在下方作等邊，則周長的最小值為．【答案】/【分析】連接，由條件可以得出，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以證明，從而可以得出，作點(diǎn)D關(guān)于的對稱點(diǎn)G，連接，則，依據(jù)當(dāng)B，F(xiàn)，G在同一直線上時(shí)，的最小值等于線段長，可得的周長最?。驹斀狻拷猓喝鐖D，連接，∵都是等邊三角形，∴，，，∴，∴，∴，∴，如圖，作點(diǎn)D關(guān)于的對稱點(diǎn)G，連接，則，，∴當(dāng)B，F(xiàn)，G在同一直線上時(shí)，的最小值等于線段長，且時(shí)，的周長最小，∴，∴．∴周長：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，軸對稱的性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)．14．（23-24九年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）在等腰△ABC中，AC＝AB，D是BC延長線上一點(diǎn)，E是線段AB上一點(diǎn)，連接DE交AC于點(diǎn)F．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，若∠A＝90°，DF＝EF，DF：AE＝5：3，DF＝2，求CD的長；(3)如圖3，若∠1＝60°，BC＝2CD＝6，E在直線AB上運(yùn)動(dòng)，以DE為斜邊向上構(gòu)造直角△DTE，且∠E＝30°，請直接寫出CT的最小值是．【答案】(1)證明見解析(2)CD的長為(3)【分析】（1）如圖1，作，與交于，可得，，證明，有，進(jìn)而可證；（2）如圖2，作，與交于，由（1）可知，由題意知是等腰直角三角形，為中點(diǎn)，有為的中位線，根據(jù)，，求解，在中，由勾股定理得，求的，設(shè)，則，根據(jù)可得，求解的值，進(jìn)而可得到的值；（3）如圖3，分別為中點(diǎn)，連接，作與重合時(shí)的，證明，均為等邊三角形，分別為中點(diǎn)，可知為的中位線，有，，可說明、、三點(diǎn)共線，得中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為過的一條平行于直線的直線，即，證明，，可知，的運(yùn)動(dòng)軌跡為過的一條平行于直線的直線，即，進(jìn)而可知的最小值即為與兩平行線之間的距離，根據(jù)，計(jì)算求解的值即可．【詳解】（1）證明：如圖1，作，與交于，∵∴∵∴∴∴∵，∴∴∴．（2）解：如圖2，作，與交于，由（1）可知，∵，∴是等腰直角三角形∵，為中點(diǎn)∴為的中位線∴∵，∴在中，由勾股定理得設(shè)，則∵∴即解得∴∴，∴∴∴的長為．（3）解：如圖3，分別為中點(diǎn)，連接，作與重合時(shí)的，∵，∴，∴是等邊三角形同理也是等邊三角形∵分別為中點(diǎn)∴為的中位線∴∵∴∴、、三點(diǎn)共線∴中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為過的一條平行于直線的直線，即∵，∴在和中∵∴∴∴∴的運(yùn)動(dòng)軌跡為過的一條平行于直線的直線，即∴的最小值即為與兩平行線之間的距離∵∴∴，∵∴解得故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理，中位線，含30°的直角三角形，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對知識(shí)的靈活運(yùn)用．15．（2023·山東臨沂·二模）如圖，矩形中，，，點(diǎn)E在線段上運(yùn)動(dòng)，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，連接．(1)當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，作，垂足為M，求證：；(2)連接，點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，試探究是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明，即可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，于交點(diǎn)為，根據(jù)全等和勾股定理，得出，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，有最小值，證明，得出，，進(jìn)而得到，再證明，求出的長，即可得到的最小值．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，在和中，，，（2）解：存在，理由如下：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于交點(diǎn)為，在矩形中，，，，，，，，，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，有最小值，，，，，，，，，，，，，，即的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次根式的混合運(yùn)算，最短線段等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，點(diǎn)依次在直線上，點(diǎn)固定不動(dòng)，且，分別以為邊在直線同側(cè)作正方形、正方形，，直角邊恒過點(diǎn)，直角邊恒過點(diǎn)．(1)如圖，若，，求點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離；(2)如圖，若，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的最大值；(3)如圖，若，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，則的最小值為_______．【答案】(1)或；(2)；(3)．【分析】（）設(shè)，則，證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，則，轉(zhuǎn)化為，解方程即可；（）設(shè)，則，證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，則，轉(zhuǎn)化為然后由二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（）連接，由四邊形是正方形，得，即點(diǎn)對角線所在直線上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)，則，∵四邊形、是正方形，∴，，，∴，，∵，∴，∴,∴，∴，即，則，解得：或，∴或；（2）設(shè)，則，∵四邊形、是正方形，∴，，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴，當(dāng)時(shí)，有最大，最大值為；（3）連接，∵四邊形是正方形，∴，即點(diǎn)在對角線所在直線上運(yùn)動(dòng)，如圖，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，過作于點(diǎn)，∴，四邊形為矩形，則點(diǎn)三點(diǎn)共線，，∴，∴，∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，∴在中，由勾股定理得：，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，解一元二次方程，二次函數(shù)的最值，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．17．（23-24九年級(jí)上·遼寧沈陽·期末）【問題初探】數(shù)學(xué)課上張老師在講完正方形的性質(zhì)之后提出了一個(gè)問題：四邊形是邊長為3的正方形，點(diǎn)E是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為一邊作正方形（點(diǎn)C，E，F(xiàn)，G按順時(shí)針方向排列），連接，．(1)如圖1，求點(diǎn)G到的距離，請寫出解答過程；【類比分析】愛動(dòng)腦的數(shù)學(xué)興趣小組在研討的過程中，也提出了一個(gè)問題：(2)如圖2，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，求的長，請寫出解答過程；【學(xué)以致用】看到同學(xué)們興致勃勃的樣子，張老師說：“角相等可以是三角形全等的條件，也能推導(dǎo)出相似”，于是給同學(xué)們留了一道思考題：(3)求代數(shù)式的最小值．經(jīng)過小組研討，組長小明進(jìn)行了整理，給出了部分解題思路；解題思路：如圖3，作等腰直角，使，連接，，，則點(diǎn)C，D，三點(diǎn)共線，由，，可得，由，，可得，……請完成“……”部分的解答過程．【答案】(1)3(2