第八章 時間序列模型

第八章時間序列模型

學(xué)習(xí)目標(biāo)：熟悉隨機(jī)過程及時間序列的概念與分類。掌握ARIMA（p,d,q）

（P,D,Q）S模型的識別、參數(shù)估計(jì)、診斷與預(yù)測方法。掌握如何識別時間序列的單整、協(xié)整檢驗(yàn)以及誤差修正模型的建立。掌握基于VAR模型分析的因果檢驗(yàn)、脈沖響應(yīng)分析、方差分解、協(xié)整檢驗(yàn)與誤差修正模型的建立。第一節(jié)ARMA模型中的基本概念第二節(jié)隨機(jī)時間序列分析模型第三節(jié)單整與協(xié)整檢驗(yàn)第四節(jié)VAR模型第一節(jié)ARMA模型中的基本概念

一、隨機(jī)過程與時間序列

（一）隨機(jī)過程

隨機(jī)過程是以時間為標(biāo)號的一組隨機(jī)變量，其中為樣本空間，而表示時間指標(biāo)集合。顯然對于固定的t,就是一個隨機(jī)變量，對于固定的,是時間t的函數(shù)，稱為樣本的函數(shù)或?qū)崿F(xiàn)，所有可能的實(shí)現(xiàn)構(gòu)成了時間序列。

隨機(jī)過程的概率結(jié)構(gòu)通常被其聯(lián)合分布所決定,稱為n維聯(lián)合分布，定義其均值函數(shù)、方差函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)如下：顯然，這幾個矩都是時間t的函數(shù)，因而是未知的，如果不加以限制，則這樣的參數(shù)就非常多，然而對每個固定時刻，我們只能得到一個實(shí)現(xiàn)值，因此必須對隨機(jī)過程進(jìn)行某種限制，例如假設(shè)其為平穩(wěn)的隨機(jī)過程或者為近似獨(dú)立過程等。

（二）平穩(wěn)隨機(jī)過程

一個隨機(jī)過程被稱為嚴(yán)平穩(wěn)過程，如果其聯(lián)合分布滿足：若均值函數(shù)、方差函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)滿足：

例8-1白噪聲過程(whitenoise)，若隨機(jī)過程滿足：該過程稱為白噪聲過程，記為。由于具有相同的均值與方差，且協(xié)方差為零，由定義，一個白噪聲序列是平穩(wěn)的。圖8-1是一個白噪聲隨機(jī)數(shù)分布圖。

圖8-1白噪聲隨機(jī)數(shù)據(jù)分布圖例8-2隨機(jī)游走過程(randomwalk)，若隨機(jī)過程滿足其中。則顯然，隨機(jī)游走過程不滿足弱平穩(wěn)條件，因此是非弱平穩(wěn)過程。然而，對X取一階差分（firstdifference）：，由于是一個白噪聲，則序列是平穩(wěn)的。二、理論自協(xié)方差、自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)（一）自協(xié)方差與自相關(guān)函數(shù)對于一個平穩(wěn)過程來說，由于是隨機(jī)變量與其自身滯后期的協(xié)方差，因此也稱為自協(xié)方差。同時該自協(xié)方差是時間間隔的函數(shù)，因此也稱為自協(xié)方差函數(shù)。定義自相關(guān)函數(shù)為。顯然有，從而有。因此我們通常只給出對應(yīng)的自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)即可。

（二）偏自相關(guān)函數(shù)上述的是度量隨機(jī)變量與之間的相關(guān)程度，這種相關(guān)度量可能并不是“純凈的”，因?yàn)樗赡苁艿诫S機(jī)變量的影響，我們需要消除這些隨機(jī)變量的影響，由此計(jì)算的相關(guān)系數(shù)稱為隨機(jī)變量之間的偏自相關(guān)函數(shù)，記為。

三、樣本自協(xié)方差、自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)（一）樣本自協(xié)方差、自相關(guān)函數(shù)

上述的自協(xié)方差、自相關(guān)函數(shù)以及偏自相關(guān)函數(shù)一般是未知的，需要通過樣本來估計(jì)，假設(shè)我們有一個樣本為，為此定義如下幾個估計(jì)量：樣本均值：樣本自協(xié)方差函數(shù)：

或者樣本自相關(guān)函數(shù)：（二）樣本偏自相關(guān)函數(shù)

當(dāng)我們獲得樣本自相關(guān)函數(shù)以后，根據(jù)Yule-Walker方程式可以得到樣本偏自相關(guān)函數(shù)。Quenouille（1949）指出，在原過程為白噪聲時，樣本偏自相關(guān)系數(shù)也近似服從，從而如果樣本偏自相關(guān)系數(shù)落在之內(nèi)，則我們認(rèn)為理論自相關(guān)函數(shù)為零。

四、ARMA模型（一）滯后算子與差分算子稱符號滿足為滯后算子，而稱符號滿足為差分算子，顯然一次差分運(yùn)算有。有時我們需要進(jìn)行高階差分，特別是在季節(jié)性數(shù)據(jù)分析中，例如一個階差分可以表示為。

（二）AR(p)模型如果隨機(jī)過程的生成滿足：其中，，稱為階自回歸過程，簡記為AR(p)。用滯后算子表示：

記，則AR(p)可以表示為。如果該過程是平穩(wěn)的，則有，從而有：重新帶入上述表達(dá)式有：令，則，且有：（三）MA(q)模型

如果隨機(jī)過程的生成表達(dá)式滿足：

其中，，稱為階移動平均過程，簡記為MA(q)。如果引入滯后算子，則MA(q)可以表示為其中。

一般來說，平穩(wěn)過程都可以由上述移動平均過程來加以表示，這就是Wold定理所闡述的內(nèi)容，該定理表明：任何協(xié)方差平穩(wěn)過程，都可以被表示為：其中表示的期望。表示的線性確定性成分，如周期性成分、時間t的多項(xiàng)式和指數(shù)形式等。（四）ARMA模型更為一般的模型是把上述兩種模型合并在一起，即隨機(jī)過程的生成表達(dá)式滿足：

其中、，表示白噪聲序列，稱為自回歸移動平均過程，簡記為ARMA(p,q)。用滯后算子表示為，其中和同上，且沒有公因子。第二節(jié)隨機(jī)時間序列分析模型一、時間序列平穩(wěn)性識別

時間序列平穩(wěn)性的判斷可以利用圖示法、自相關(guān)函數(shù)和單位根檢驗(yàn)方法。

如果某個時序圖呈現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢，則該序列是非平穩(wěn)的。從自相關(guān)函數(shù)圖來說，如果一個時間序列是平穩(wěn)的，則一定呈現(xiàn)出短期記憶性質(zhì)，或者說其自相關(guān)函數(shù)是迅速收尾的，如果表現(xiàn)出緩慢收斂或者呈現(xiàn)出一個長長的尾巴，則表明其是非平穩(wěn)的。

對于非平穩(wěn)時間序列，其偏自相關(guān)函數(shù)往往具備一階截尾特征。對于非平穩(wěn)序列，通常的處理方法是對其進(jìn)行差分，使其平穩(wěn)。對于平穩(wěn)的時間序列，如果確有建模的必要，我們應(yīng)該建立合適的模型，為此下面我們介紹各類模型的特點(diǎn)與識別。二、ARMA模型識別（一）AR(p)模型的識別設(shè)平穩(wěn)且均值為0的AR(p)模型的表達(dá)式為或者記為。如果該模型可以表示成Wold形式，則一定是平穩(wěn)的，其條件是的根都在單位圓以外，此時AR(p)模型可以表示為：（8-11）其中為格林(Green)函數(shù)，為的根的倒數(shù)，位于單位圓內(nèi)。我們稱這種表示為時間序列的傳遞表示形式

（8-12）在式（8-11）兩邊同乘以，取期望并除以得到：

（8-13）其中。通過克萊姆法則可以求得初始的，當(dāng)時有（8-14）同樣有。當(dāng)為平穩(wěn)模型時，自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減方式（實(shí)根）或者是正弦衰減方式（復(fù)根）或者兩者的疊加衰減方式（實(shí)根和復(fù)根），即當(dāng)有。我們稱其自相關(guān)函數(shù)具有拖尾性。例8-4求AR(2)

模型的自相關(guān)函數(shù)。根據(jù)式（8-13）可以得到。對于超過2階的自相關(guān)函數(shù)，可以使用差分方程理論得到：其中、可以由和來確定。另外根據(jù)平穩(wěn)性要求，容易得到AR(2)

模型平穩(wěn)時系數(shù)應(yīng)該滿足的充要條件為： 2、AR(p)模型的偏自相關(guān)函數(shù)與識別

先考察AR(1)模型的偏自相關(guān)函數(shù)，根據(jù)式（8-1）有：從而得到類似有。對于一般的AR(p)模型：而言，其偏自相關(guān)函數(shù)具有p步截尾性。

根據(jù)以上分析，平穩(wěn)AR(p)模型的理論自相關(guān)函數(shù)呈現(xiàn)衰減形式靠近0，但始終不為0，呈現(xiàn)拖尾特征，而其理論偏自相關(guān)函數(shù)在p步以后為0，呈現(xiàn)截尾特征，這就是識別AR(p)模型的理論依據(jù)所在。（二）MA(q)模型的識別1、MA(q)模型的自相關(guān)函數(shù)

對于MA(q)模型而言，兩邊同乘以，并取期望得到：（8-18）

另外有，因此對于MA(q)模型來說，始終滿足平穩(wěn)性要求，這點(diǎn)也可以從Wold定理得到。再根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義有：（8-19）因此可以得到，對于MA(q)模型來說，其自相關(guān)函數(shù)在q步以后為0，稱為截尾性。2、MA(q)模型的可逆性、偏自相關(guān)函數(shù)與識別

與AR(p)模型平穩(wěn)性相對應(yīng)的是MA(q)模型的可逆性。所謂MA(q)模型的可逆性是指能夠?qū)A(q)模型表示成AR(∞)形式，為了看清楚這個問題，我們首先看MA(1)模型的可逆性條件。（8-20）

上式成立的條件是，或者說的根在單位圓之外。稱為逆函數(shù)。類似地得到MA(q)模型的可逆性條件是：的根在單位圓之外，記這些根的倒數(shù)分別為，則有：（8-21）其中我們稱這種表示方式為時間序列的逆轉(zhuǎn)形式。

既然一個可逆的MA(q)模型可以表示AR(∞)形式，因此根據(jù)AR(p)模型偏自相關(guān)函數(shù)的特點(diǎn)，MA(q)模型的偏自相關(guān)函數(shù)是拖尾的。例如計(jì)算表明MA(1)的偏自相關(guān)函數(shù)為：（8-22）

由上介紹可知，MA(q)模型的理論自相關(guān)函數(shù)在q步以后呈現(xiàn)截尾性質(zhì)，而理論偏自相關(guān)函數(shù)呈現(xiàn)拖尾性質(zhì)，因此可以根據(jù)這點(diǎn)來識別序列是否是MA(q)模型。當(dāng)然在利用樣本資料進(jìn)行識別時，還需要利用前面的理論對樣本自相關(guān)函數(shù)是否在某步以后截尾進(jìn)行檢驗(yàn)。（三）ARMA(p,q)模型的識別

對于平穩(wěn)且可逆的ARMA（p,q）模型來說，可以表示為：或（8-23）

前者表明其自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，而后者表明其偏自相關(guān)函數(shù)也是拖尾的。

三、ARMA(p,q)模型的參數(shù)估計(jì)

ARMA(p,q)模型的參數(shù)估計(jì)有多種方法，主要有矩估計(jì)、條件極大似然估計(jì)和精確極大似然估計(jì)三種方法。（一）AR(p)模型的矩估計(jì)對于AR(p)模型，在方程兩邊同乘以，有：（8-24）在方程兩邊利用樣本數(shù)據(jù)得到樣本自相關(guān)函數(shù)，根據(jù)克萊姆法則，從而可以得到。另外還有（二）MA(q)模型的矩估計(jì)

在前面的分析中，我們已經(jīng)得到了MA(q)模型的樣本自協(xié)方差函數(shù)，利用樣本資料得到其估計(jì)，從而有：

由q+1個等式可以解出q+1個未知參數(shù)以及，由于為非線性方程組，故一般可用迭代法求解。但對于低階的模型可以直接求解。（三）ARMA(p,q)模型的矩估計(jì)

在ARMA（p，q）模型中共有個p+q+1待估參數(shù)，其估計(jì)一般分為兩個步驟，首先利用類似（8-24）的式子得到的估計(jì)，然后構(gòu)造新的序列，再利用類似（8-25）的式子得到，的估計(jì)。

四、模型診斷（一）殘差白噪聲檢驗(yàn)

當(dāng)我們完成模型識別定階和參數(shù)估計(jì)以后，需要對模型擬合的結(jié)果進(jìn)行必要的檢驗(yàn)。第一個檢驗(yàn)就是殘差是否為白噪聲，檢驗(yàn)的原假設(shè)是直到滯后期不存在自相關(guān)，即原假設(shè)和備擇假設(shè)分別為：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量公式為：（8-27）

如果拒絕原假設(shè)，表明殘差中還含有待提取信息，應(yīng)該重新擬合模型，否則認(rèn)為該模型擬合充分，作為候選模型進(jìn)入下一輪檢驗(yàn)。（二）參數(shù)顯著性檢驗(yàn)

參數(shù)顯著性檢驗(yàn)，就是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ椭忻恳粋€未知參數(shù)是否顯著非零，通過剔除一些不顯著的參數(shù)，從而使得模型變得更為簡潔。（三）模型的定階

在建立模型時，有時候會有好幾個模型都通過上述的檢驗(yàn)，這時需要采用信息量準(zhǔn)則來確定模型的最優(yōu)階數(shù)，可以使用的信息量準(zhǔn)則有Akaike（1973）提出的AIC指標(biāo)，計(jì)算公式為：（8-28）其中，如果模型中不含有均值項(xiàng)，如果含有均值項(xiàng)則有。另一個指標(biāo)為BIC或稱為SBC準(zhǔn)則，計(jì)算公式為：（8-29）五、模型預(yù)測（一）預(yù)測的一般公式與區(qū)間估計(jì)最小均方差預(yù)測準(zhǔn)則（MSE）：

假設(shè)我們現(xiàn)在有直到時刻的信息：

記在時刻向前預(yù)測步的結(jié)果為而其真實(shí)值為，預(yù)測誤差記為，則由數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識得到，在最小均方差預(yù)測準(zhǔn)則下有：

因此，當(dāng)一個平穩(wěn)模型可以表示為如下傳遞形式時：則有：（8-31）（8-30）如果進(jìn)一步假設(shè)時，則有：從而得到區(qū)間預(yù)測估計(jì)公式為：

（二）三種模型的點(diǎn)預(yù)測與區(qū)間估計(jì)1、AR(p)模型的預(yù)測假設(shè)AR(p)模型為，則有：其中：例8-5假設(shè)某個超市的月銷售額服從AR（2）模型（單位：萬元/月）：再假設(shè)第一季度三個月的銷售量為101萬元、96萬元、97.2萬元，試根據(jù)這些信息估計(jì)第二季度三個月銷售量的點(diǎn)估計(jì)與95%的置信區(qū)間。根據(jù)題意，目前時刻為，且，需要預(yù)測，則根據(jù)預(yù)測公式有：為了得到區(qū)間估計(jì)結(jié)果，需要計(jì)算格林函數(shù)，根據(jù)式（8-12）有：根據(jù)式（8-33）有：

把上述結(jié)果帶入?yún)^(qū)間估計(jì)公式得到第二季度三個月份銷售額95%的區(qū)間估計(jì)結(jié)果分別為：2、MA(q)模型的預(yù)測假設(shè)MA(q)模型為，則有：從而當(dāng)預(yù)測步長時，預(yù)測值始終為期望，預(yù)測誤差的方差都相同。3、ARMA(p,q)模型的預(yù)測假設(shè)ARMA(p,q)模型為：則該模型有兩個部分構(gòu)成，預(yù)測公式為：其中：六、非平穩(wěn)時間序列建模（一）ARIMA（p,d,q）模型建立

實(shí)際時間序列往往是非平穩(wěn)的，對于不含季節(jié)性因素的非平穩(wěn)時間序列而言，可以通過取差分形式來平穩(wěn)化，然后對差分后序列采用前面介紹的方法進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，一般來說，差分次數(shù)不會超過2。一旦獲得平穩(wěn)時間序列，則可以使用ARMA模型的方法來建立模型，這樣的模型稱為：或簡記為：其中為實(shí)現(xiàn)序列平穩(wěn)而需要進(jìn)行的普通差分次數(shù)，、的含義同前。

（二）模型建立

在實(shí)踐中，有些時間序列呈現(xiàn)出季節(jié)變動模式，判斷季節(jié)性非平穩(wěn)的方法和普通非平穩(wěn)判斷方法相同，也有三種，本節(jié)只考慮圖形判別和樣本自相關(guān)函數(shù)判斷方法，其判斷方法與普通非平穩(wěn)判斷方法相同。

如果時間序列存在季節(jié)性非平穩(wěn)，也可以通過季節(jié)性差分方法來得到平穩(wěn)序列。

假設(shè)某個時間序列通過兩種類型差分平穩(wěn)化后，我們可以對非季節(jié)性部分建立普通的模型，而對季節(jié)性部分建立模型，因此我們有更為一般的模型如下：

這就是所謂的模型，其中有：分別對應(yīng)季節(jié)性的AR(P)和MA(Q)部分，、與以前的相同。第三節(jié)單整與協(xié)整檢驗(yàn)

本節(jié)在單位根檢驗(yàn)理論框架下繼續(xù)討論非平穩(wěn)時間序列的檢驗(yàn)方法，并分析非平穩(wěn)時間序列的組合所呈現(xiàn)出來的特征及其檢驗(yàn)理論，即單整檢驗(yàn)和協(xié)整檢驗(yàn)理論。一、單整與維納過程（一）時間序列的單整性

如果一個時間序列需要經(jīng)過次差分操作才能使之變成平穩(wěn)序列，則稱該序列為階單整的，記為，實(shí)踐中時間序列的一般不超過2次，顯然序列即為平穩(wěn)時間序列。

（二）維納過程

如果隨機(jī)過程滿足下列條件就稱它是一個標(biāo)準(zhǔn)維納（Wiener）過程（布朗運(yùn)動過程）：（1）（2）對于每個

（3）對于每個

（4）對于任意一個分割

且為獨(dú)立增量過程

顯然在上述定義下有，我們稱為具有方差為的維納過程。二、單位根的DF檢驗(yàn)

單位根檢驗(yàn)的方法有多種，常用的有DF檢驗(yàn)、ADF檢驗(yàn)、PP檢驗(yàn)、KPSS檢驗(yàn)和NP檢驗(yàn)等。（一）數(shù)據(jù)生成沒有漂移項(xiàng)假設(shè)數(shù)據(jù)生成模型為：（8-42）1、估計(jì)無截距項(xiàng)模型

首先估計(jì)模型并檢驗(yàn)。則有：（8-43）（8-44）2、估計(jì)有截距項(xiàng)模型估計(jì)模型并檢驗(yàn)。則有：（8-45）（8-46）（二）數(shù)據(jù)生成有漂移項(xiàng)

假設(shè)數(shù)據(jù)生成模型為：（8-47）估計(jì)模型并檢驗(yàn)。

在消除共線性后得到：（8-48）（8-49）其中：

ADF檢驗(yàn)是擴(kuò)展的DF檢驗(yàn)，通過在DF檢驗(yàn)式中引入一定數(shù)目的差分滯后項(xiàng)來確保誤差項(xiàng)為白噪聲序列，例如對應(yīng)無截距項(xiàng)的ADF檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑椋?/p>

原假設(shè)保持不變，其它的兩種情況也是如此。而PP檢驗(yàn)則直接假設(shè)誤差項(xiàng)服從一般穩(wěn)定過程，通過非參數(shù)方法對檢驗(yàn)量進(jìn)行調(diào)整。

三、協(xié)整分析

（一）協(xié)整的定義假設(shè)，即每個分量都是b階單整的，如果存在一個非零向量，使得，即線性組合后得到的變量單整階數(shù)下降，則稱是（b，c）階協(xié)整的，記為，為一個協(xié)整向量。

（二）協(xié)整的EG兩步檢驗(yàn)1、雙變量之間的協(xié)整檢驗(yàn)假設(shè)考察兩個單整序列為，則該方法如下：第一步，利用OLS估計(jì)回歸模型，同時得到殘差估計(jì)為

（8-50）

該回歸被稱為協(xié)整回歸。如果存在協(xié)整關(guān)系，則協(xié)整向量為，且根據(jù)協(xié)整的定義應(yīng)該有從而進(jìn)入下面的第二步。

第二步，對殘差序列進(jìn)行單整性檢驗(yàn)，確定其單整階數(shù)，如果仍有，則表明組合得到的變量并沒有降階，因而它們之間沒有協(xié)整關(guān)系；如果有，則表明組合得到的變量降階，因而它們之間有協(xié)整關(guān)系。檢驗(yàn)殘差是否平穩(wěn)仍采用單位根檢驗(yàn)方法，即建立如下的檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停海?-51）

構(gòu)建的假設(shè)為。如果檢驗(yàn)接受，則表明殘差是非平穩(wěn)的，因此原來的兩個變量并不存在協(xié)整關(guān)系，反之則表明它們存在協(xié)整關(guān)系。2、多變量之間的協(xié)整檢驗(yàn)

對于多個變量之間的協(xié)整檢驗(yàn)，其基本原理與兩個變量下的檢驗(yàn)思路一樣，首先檢驗(yàn)它們是否都是同為的，然后選取其中一個變量作為被解釋變量進(jìn)行協(xié)整回歸，再對協(xié)整回歸得到的殘差進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，從而確定是否存在協(xié)整關(guān)系。（三）誤差修正模型（ECM）的建立

對于一階單整的雙變量而言，假設(shè)它們滿足關(guān)系：通過變換可以得到：其中，當(dāng)它們存在協(xié)整關(guān)系時，即為誤差修正項(xiàng)。一、多維時間序列

假設(shè)向量，對于任意的，為隨機(jī)向量，則稱為上的維時間序列。向量白噪聲過程是多維時間序列分析的基礎(chǔ)，如果多維時間序列滿足：第四節(jié)VAR模型

則稱多維時間序列為向量白噪聲過程。顯然，向量白噪聲過程不允許不同期之間的隨機(jī)向量相關(guān)，但允許隨機(jī)向量內(nèi)部的同期相關(guān)，即不一定為對角矩陣。（1）對于所有的有；（2）對于所有的有為對稱正定矩陣；

（3）對于所有的，當(dāng)時有。二、向量自回歸過程（VAR）（一）VAR的定義

稱滿足下列向量隨機(jī)差分方程的為階向量自回歸過程，記為（8-53）其中為向量白噪聲過程，為維的常數(shù)向量，為n階參數(shù)矩陣。如果引入滯后算子，令，顯然為矩陣多項(xiàng)式。上述可以表示為:（二）模型的平穩(wěn)性條件

模型平穩(wěn)性條件與單變量自回歸模型的條件相同，即使得特征多項(xiàng)式對應(yīng)的行列式的根在單位圓以外。

顯然該行列式展開后是關(guān)于的次方程，因此有個根。如果模型是平穩(wěn)的，則有。其中，且，因此可以把式（8-53）對應(yīng)的模型寫成離差形式為：

令有：（三）向量自回歸過程的參數(shù)估計(jì)

對于向量自回歸模型，可以采用最小二乘法、廣義最小二乘法進(jìn)行估計(jì)，也可以使用極大似然估計(jì)。1、條件似然函數(shù)的構(gòu)造假設(shè)，有個觀測，以前面?zhèn)€觀測為初始條件，則當(dāng)時有：所以有條件密度函數(shù)：其中若令：則類似地可以根據(jù)乘法公式得到聯(lián)合條件似然函數(shù)為：從而對數(shù)條件似然函數(shù)為：2、參數(shù)的估計(jì)條件似然函數(shù)對求偏導(dǎo)得到極大似然估計(jì)為：而的協(xié)方差矩陣極大似然估計(jì)為：其中利用矩陣跡的性質(zhì)經(jīng)過計(jì)算得到最終的似然函數(shù)表達(dá)式為：在上述表達(dá)式中，我們把最終似然函數(shù)結(jié)果記為階數(shù)的函數(shù)。

3、模型的定階

對于一個維的模型而言，需要估計(jì)的參數(shù)總共有個，因此需要很大的樣本容量才能完成參數(shù)估計(jì)，但在給定的情況下應(yīng)該盡可能地降低模型的階數(shù)。確定階數(shù)的方法常用的有兩種：

一種是使用信息指標(biāo)來確定，選取的標(biāo)準(zhǔn)是使得信息指標(biāo)達(dá)到最小時對應(yīng)的階數(shù)。常用的兩個指標(biāo)及其定義如下：

另一種就是通過似然比檢驗(yàn)來確定。假設(shè)我們分別建立了和兩個模型，不妨設(shè)，對應(yīng)的對數(shù)似然函數(shù)分別為和。

設(shè)零假設(shè)是原模型服從，而備擇假設(shè)是原模型服從。

則似然比檢驗(yàn)量的構(gòu)造為。在原假設(shè)成立下有，通過與特定顯著性水平下的卡方分布臨界值相比得到檢驗(yàn)結(jié)論。（四）Grange因果關(guān)系檢驗(yàn)

如果對所有，基于進(jìn)行預(yù)測的均方誤差(MSE)與基于和進(jìn)行預(yù)測的均方誤差是一樣的，則稱變量不是變量的Granger原因。

在計(jì)量檢驗(yàn)兩個具體的可以觀測到變量之間是否具有“Granger因果關(guān)系”的方法中，最簡單的方法是使用自回歸方程中的下三角指定形式。

假設(shè)一個特殊的滯后階數(shù)為的自回歸方程并利用OLS估計(jì)下面的方程：然后對下述原假設(shè)進(jìn)行F檢驗(yàn)

記上述回歸的殘差平方和為。將這個平方和與僅依賴的滯后期進(jìn)行回歸的模型：

得到的殘差平方和記為。

定義F統(tǒng)計(jì)量為

如果該統(tǒng)計(jì)量大于分布某個指定顯著性水平對應(yīng)的臨界值，則我們拒絕“變量不是變量的Granger原因”的原假設(shè)。

例8-13

有兩個變量和滿足模型當(dāng)估計(jì)回歸模型時

得到當(dāng)估計(jì)回歸模型時得到假設(shè)，經(jīng)過計(jì)算有。另外當(dāng)時，查得臨界值，因此檢驗(yàn)拒絕了原假設(shè)，因此變量是引起變量Granger因果關(guān)系的原因。（五）脈沖響應(yīng)分析與方差分解

利用模型進(jìn)行分析時，往往考慮某個變量的擾動項(xiàng)的變動對其本身以及系統(tǒng)中其它變量的影響情況，這就是所謂的脈沖響應(yīng)分析。

通過模型分析各個變量擾動項(xiàng)變動對某個變量預(yù)測總誤差變動的影響，這就是方差分解內(nèi)容。

1、脈沖響應(yīng)分析

如果模型為平穩(wěn)的，則一定可以表示成一個無窮階的移動平均模型形式。假設(shè)維平穩(wěn)的模型為：

假設(shè)不為對角矩陣，根據(jù)喬利斯基分解方法，存在唯一一個主對角線元素為1的下三角矩陣以及一個元素全為正的對角矩陣，使得。

如果令，則顯然有，在平穩(wěn)的條件下將其轉(zhuǎn)為形式為：其中

遞推得到：

所以有：若記

則有：

表示第分量在時刻對第個分量對應(yīng)的擾動項(xiàng)在時刻變動一個單位（保持其它擾動項(xiàng)不變）的響應(yīng)值，這些響應(yīng)都是時期間隔的函數(shù)，稱為脈沖響應(yīng)函數(shù)。顯然總共有個這樣的脈沖響應(yīng)函數(shù)。2