13.2　命題與證明 同步練習(xí) 2023- 2024學(xué)年滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

2023-2024學(xué)年滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)課堂同步練習(xí)第13章三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明13.2命題與證明基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1命題及其分類(lèi)1.(2023安徽合肥廬陽(yáng)月考)下列語(yǔ)句屬于命題的是()A.你今天打卡了嗎?B.請(qǐng)戴好口罩!C.畫(huà)出兩條相等的線段D.同位角相等2.(2023安徽蚌埠蚌山期中)下列命題中,為真命題的是()A.兩個(gè)銳角之和一定為鈍角B.相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角C.同位角相等D.垂線段最短知識(shí)點(diǎn)2命題的結(jié)構(gòu)3.將下列命題改寫(xiě)成“如果……,那么……”的形式,并分別指出命題的條件與結(jié)論.(1)直角都相等;(2)末位數(shù)字是5的整數(shù)能被5整除;(3)三角形的內(nèi)角和是180°;(4)同角的余角相等;(5)不相等的角不是對(duì)頂角.知識(shí)點(diǎn)3互逆命題4.(2022江蘇無(wú)錫中考)請(qǐng)寫(xiě)出命題“如果a>b,那么b-a<0”的逆命題:.

知識(shí)點(diǎn)4反例5.(2023安徽安慶迎江期中)對(duì)于命題“如果∠1+∠2=90°,那么∠1≠∠2”,能說(shuō)明它是假命題的反例是()A.∠1=∠2=45°B.∠1=50°,∠2=50°C.∠1=50°,∠2=40°D.∠1=40°,∠2=40°知識(shí)點(diǎn)5定理與證明6.【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)試題】佳伊在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個(gè)問(wèn)題:如圖1,在△ABC中,∠C>∠B,AE平分∠BAC,AD⊥BC于D.猜想∠B、∠C、∠EAD的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.(1)佳伊閱讀題目后,沒(méi)有發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與解題思路,于是嘗試代入∠B、∠C的度數(shù)求∠EAD的度數(shù),得到下面幾組對(duì)應(yīng)值:∠B/度1030302020∠C/度7070606080∠EAD/度302015a30上表中a=;

(2)猜想∠B、∠C、∠EAD的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;(3)佳伊突發(fā)奇想,將B、C兩個(gè)字母的位置交換,如圖2,過(guò)EA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)F作FD⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于D,當(dāng)∠ABC=80°,∠C=20°時(shí),∠F=°.

知識(shí)點(diǎn)6三角形的外角及三角形內(nèi)角和定理的推論7.(2023安徽安慶迎江期中)如圖,將三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上,∠1=30°,∠2=50°,則∠3的度數(shù)是(M8113003)()A.50°B.30°C.20°D.15°8.(2023安徽安慶懷寧期中)如圖,在△ABC中,D為BC上一點(diǎn),∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=108°,則∠DAC的度數(shù)為(M8113003)()A.78°B.80°C.82°D.84°9.(2022安徽安慶石化一中期中)將一副直角三角板按如圖所示的方式放置,使含30°角的三角板的一條直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊重合,則∠1的度數(shù)為.

10.(2023安徽安慶外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中)補(bǔ)充下列證明過(guò)程,并填上推理的依據(jù).已知:如圖,∠BEC=∠B+∠C.求證:AB∥CD.證明:延長(zhǎng)BE交DC于點(diǎn)F,則∠BEC=∠EFC+∠C(),∵∠BEC=∠B+∠C,∴∠B=,(等量代換)

∴AB∥CD().能力提升全練11.(2022廣西梧州中考改編,3,★☆☆)下列命題中,是假命題的是()A.-2的絕對(duì)值是-2B.對(duì)頂角相等C.三角形的內(nèi)角和是180°D.如果直線a∥c,b∥c,那么直線a∥b12.(2020湖北宜昌中考,6,★☆☆)能說(shuō)明“銳角α,銳角β的和是銳角”是假命題的例證圖是()ABCD13.(2023安徽安慶外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中,6,★☆☆)下列四個(gè)命題中,真命題有()①內(nèi)錯(cuò)角一定相等;②如果∠1和∠2是對(duì)頂角,那么∠1=∠2;③三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角;④若a2=b2,則a=b.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)14.(2023安徽合肥包河期中,4,★☆☆)已知命題:“三角形三條高線所在直線的交點(diǎn)一定不在三角形的外部”.小冉想舉一反例說(shuō)明它是假命題,則下列選項(xiàng)中符合要求的反例是()A.等邊三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.鈍角三角形15.(2019北京中考,7,★★☆)用三個(gè)不等式a>b,ab>0,1a<1A.0B.1C.2D.316.(2023安徽六安舒城月考,12,★☆☆)命題“兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方差必是奇數(shù)”是命題.(填“真”或“假”)

17.(2020浙江杭州中考,12,★☆☆)如圖,AB∥CD,EF分別與AB,CD交于點(diǎn)B,F.若∠E=30°,∠EFC=130°,則∠A=.

18.(2022安徽亳州利辛期中,17,★★☆)如圖,三角形ABC中,AC⊥BC,F是邊AC上的點(diǎn),連接BF,作EF∥BC交AB于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作DE⊥EF,交BF于點(diǎn)D.求證:∠1+∠2=180°.完成以下證明.證明:∵AC⊥BC(已知),∴∠ACB=90°(垂直的定義).∵EF∥BC(已知),∴∠AFE==90°().

∵DE⊥EF(已知),∴∠DEF=90°(垂直的定義).∴∠AFE=∠DEF(等量代換).∴∥().

∴∠2=∠EDF().又∵∠EDF+∠1=180°(鄰補(bǔ)角互補(bǔ)),∴∠1+∠2=180°(等量代換).19.(2022安徽安慶石化一中期中,15,★★☆)如圖,點(diǎn)D在AB上,點(diǎn)E在AC上,BE、CD相交于點(diǎn)O.(1)若∠A=50°,∠BOD=70°,∠C=30°,求∠B的度數(shù);(2)試猜想∠BOC與∠A+∠B+∠C之間的關(guān)系,并說(shuō)明理由.素養(yǎng)探究全練20.【推理能力】概念學(xué)習(xí):已知△ABC,點(diǎn)P為其內(nèi)部一點(diǎn),連接PA、PB、PC,在△PAB、△PBC、△PAC中,如果存在一個(gè)三角形,其內(nèi)角與△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別相等,那么就稱(chēng)點(diǎn)P為△ABC的等角點(diǎn).理解應(yīng)用:(1)判斷以下兩個(gè)命題是不是真命題,若為真命題,則在相應(yīng)橫線上寫(xiě)“真命題”;若不是真命題,則寫(xiě)“假命題”.①內(nèi)角分別為30°、60°、90°的三角形存在等角點(diǎn),;

②任意的三角形都存在等角點(diǎn),.

(2)如圖a,點(diǎn)P是銳角△ABC的等角點(diǎn),若∠BAC=∠PBC,探究圖a中,∠BPC、∠ABC、∠ACP之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.解決問(wèn)題:(3)如圖b,在△ABC中,∠BAC<∠ABC<∠ACB,若△ABC的三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)P是該三角形的等角點(diǎn),求△ABC三個(gè)內(nèi)角的度數(shù).圖a圖b21.【推理能力】△ABC中,∠C=80°,點(diǎn)D、E分別是△ABC的邊AC、BC上的點(diǎn),點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn),令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.(1)若點(diǎn)P在邊AB上,且∠α=50°,如圖1,則∠1+∠2=;

(2)若點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng),如圖2所示,則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為;

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖3,∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系?猜想并說(shuō)明理由.答案全解全析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練1.D選項(xiàng)A,是問(wèn)句,未做判斷,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;選項(xiàng)B,是祈使句,不符合命題的概念,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;選項(xiàng)C,是描述性語(yǔ)句,未做判斷,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;選項(xiàng)D,符合命題的概念,故本選項(xiàng)正確.2.D選項(xiàng)A,∵40°角,40°角是銳角,40°+40°=80°,80°角也是銳角,∴兩個(gè)銳角之和一定為鈍角是假命題;選項(xiàng)B,相等的兩個(gè)角不一定是對(duì)頂角,故是假命題;選項(xiàng)C,兩直線平行,同位角相等,故是假命題;選項(xiàng)D,垂線段最短,是真命題.3.解析(1)改寫(xiě)成:如果幾個(gè)角是直角,那么這幾個(gè)角相等.這里的條件是“幾個(gè)角是直角”,結(jié)論是“這幾個(gè)角相等”.(2)改寫(xiě)成:如果一個(gè)整數(shù)的末位數(shù)字是5,那么該整數(shù)能被5整除.這里的條件是“一個(gè)整數(shù)的末位數(shù)字是5”,結(jié)論是“該整數(shù)能被5整除”.(3)改寫(xiě)成:如果一個(gè)圖形是三角形,那么它的內(nèi)角和是180°.這里的條件是“一個(gè)圖形是三角形”,結(jié)論是“它的內(nèi)角和是180°”.(4)改寫(xiě)成:如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角,那么這兩個(gè)角相等.這里的條件是“兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角”,結(jié)論是“這兩個(gè)角相等”.(5)改寫(xiě)成:如果兩個(gè)角不相等,那么這兩個(gè)角不是對(duì)頂角.這里的條件是“兩個(gè)角不相等”,結(jié)論是“這兩個(gè)角不是對(duì)頂角”.4.答案如果b-a<0,那么a>b解析命題“如果a>b,那么b-a<0”的逆命題是“如果b-a<0,那么a>b”.5.A選項(xiàng)A,滿足條件,不滿足結(jié)論,故本選項(xiàng)符合題意;選項(xiàng)B,不滿足條件,也不滿足結(jié)論,故本選項(xiàng)不符合題意;選項(xiàng)C,滿足條件∠1+∠2=90°,也滿足結(jié)論∠1≠∠2,故本選項(xiàng)不符合題意;選項(xiàng)D,不滿足條件,也不滿足結(jié)論,故本選項(xiàng)不符合題意.6.解析(1)20.(2)猜想:∠EAD=12(∠C-∠理由:∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴∠DAC=90°-∠C.∵AE平分∠BAC,∠BAC=180°-∠B-∠C,∴∠EAC=12∠BAC=90°-12∠B-1∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=90°-12∠B-12∠C-(90°-∠C)=12(∠(3)如圖,過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CD于H.∵AH⊥CD,FD⊥CD,∴AH∥DF,∴∠F=∠EAH,由(2)可知∠EAH=12(∠ABC-∠C),∴∠F=12(∠ABC-∠C)=故填30.7.C如圖,∵直尺的上、下兩邊平行,∠2=50°,∴∠4=∠2=50°.∵∠4=∠1+∠3,∠1=30°,∴∠3=∠4-∠1=50°-30°=20°.8.D設(shè)∠1=∠2=x,∴∠3=∠4=∠1+∠2=2x.∵∠DAC+∠3+∠4=180°,∴∠DAC=180°-4x.∵∠BAC=108°,∴x+180°-4x=108°,∴x=24°,∴∠DAC=180°-4×24°=84°.9.答案75°解析如圖,易知∠DMC=30°,∴∠AMF=30°,∴∠1=∠A+∠AMF=45°+30°=75°.10.答案三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和;∠EFC;內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行能力提升全練11.A-2的絕對(duì)值是2,故選項(xiàng)A是假命題,符合題意;對(duì)頂角相等,故選項(xiàng)B是真命題,不符合題意;三角形的內(nèi)角和是180°,故選項(xiàng)C是真命題,不符合題意;如果直線a∥c,b∥c,那么直線a∥b,故選項(xiàng)D是真命題,不符合題意.12.CC選項(xiàng)中∠α、∠β都為銳角且∠α+∠β>90°,可以證明題中的命題為假命題.13.B兩條平行直線被第三條直線所截,內(nèi)錯(cuò)角相等,所以①是假命題;如果∠1和∠2是對(duì)頂角,那么∠1=∠2,所以②是真命題;三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角,所以③是真命題;若a2=b2,則a=±b,所以④是假命題.故真命題有2個(gè).14.D根據(jù)鈍角三角形的三條高線所在直線的交點(diǎn)在三角形的外部,可知選項(xiàng)D符合題意.15.D命題①,如果a>b,ab>0,那么1a<1∵a>b,∴a-b>0,又∵ab>0,∴a?bab>0,整理得1a<命題②,如果a>b,1a<1∵1a<1b,∴1a-1命題③,如果ab>0,1a<1∵1a<1b,∴1a-1∴b<a.∴命題③是真命題.綜上,真命題的個(gè)數(shù)為3.16.答案真解析設(shè)兩個(gè)連續(xù)整數(shù)分別為n,n+1,(n+1)2-n2=n2+2n+1-n2=2n+1.∵2n+1是奇數(shù),∴命題“兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方差必是奇數(shù)”是真命題.17.答案20°解析∵AB∥CD,∴∠ABF+∠EFC=180°,∴∠ABF=180°-∠EFC=50°,∵∠ABF=∠A+∠E,∠E=30°,∴∠A=20°.18.答案∠ACB;兩直線平行,同位角相等;DE;AC;內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行;兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等19.解析(1)∵∠A=50°,∠C=30°,∴∠BDO=∠A+∠C=80°.∵∠BOD=70°,∴∠B=180°-∠BDO-∠BOD=30°.(2)∠BOC=∠