1.6-求角模型 帶解析-2023年升初二人教版暑假銜接教材

?1.6求角模型考點(diǎn)先知考點(diǎn)先知知識(shí)考點(diǎn)求角模型1.角平分線與垂線夾角模型2.“A”字模型3.風(fēng)箏模型4.“8”字模型5.“飛鏢模型”6.角平行線模型7.“8”字與角平分線.題型精析題型精析知識(shí)點(diǎn)一角平分線夾垂線模型知識(shí)點(diǎn)一角平分線夾垂線模型內(nèi)容AD是高線，AE是角平分線，則高線與角平分線的夾角等于兩底角差的絕對(duì)值的一半，即.題型一角平分線夾垂線模型題型一角平分線夾垂線模型例1如圖，在中，，是的高線，是的角平分線，則的度數(shù)是（）例1A．10°B．12°C．15°D．18°【答案】A【分析】利用角平分線的定義可求出的度數(shù)，在中，利用三角形內(nèi)角和定理可求出的度數(shù)，再結(jié)合，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵是的角平分線，∴．∵是的高，∴．在中，，∴，∴，∴的度數(shù)為故選A．例2如圖，在中，，平分，若，，則______．例2【答案】##30度【分析】由平分，可得角相等，由，，可求得的度數(shù)，在直角三角形中利用兩銳角互余即可求解．【詳解】解：∵平分，，，∴，∴，∴，∵，∴為直角三角形，∴．故答案為：．變1在中，是的高線，是的角平分線，已知，，則______．變1【答案】【分析】根據(jù)是的高線，得，根據(jù)直角三角形兩銳角互余與，得，根據(jù)角平分線定義與，得，即可得答案．【詳解】∵是的高線，∴，∵，∴，∵，是的角平分線，∴，∴，故答案為：．變2如圖，在中，是高，是角平分線，它們相交于點(diǎn)O，，求和的度數(shù)．變2【答案】，【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出；根據(jù)角平分線的定義求出，，燃弧利用角的和差可求，利用三角形外角的性質(zhì)可求．．【詳解】解：∵是的高，∴．在中，．在中，．∵是角平分線．∴．∴．在中，．知識(shí)點(diǎn)二“知識(shí)點(diǎn)二“A”字模型內(nèi)容11243如圖所示，①；②.題型二“題型二“A”字模型例1如圖，在中，，若按圖中虛線剪去，則等于（）例1A．B．C．D．【分析】如圖，根據(jù)題意可知，，然后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可推出的度數(shù)．【解答】解：如圖．為直角三角形，，，，，．故選：．例2如圖，中，若圖中沿虛線剪去，則等于（）例2A．B．C．D．【分析】根據(jù)題意由三角形內(nèi)角和可得出，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可求出．【解答】解：，，，．故選：．變1如圖，中，，若沿圖中虛線截去，則（）變1A．B．C．D．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，進(jìn)而利用四邊形內(nèi)角和定理得出答案．【解答】解：中，，，．故選：．變2如圖，280．變2【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，，，計(jì)算即可得出答案．【解答】解：，，，，．故答案為：280．變3探索歸納：變3（1）如圖1，已知為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則．（2）如圖2，已知中，，剪去后成四邊形，則．（3）如圖2，根據(jù)（1）與（2）的求解過程，你歸納猜想與的關(guān)系是．（4）如圖3，若沒有剪掉，而是把它折成如圖3形狀，試探究與的關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）利用了四邊形內(nèi)角和為和直角三角形的性質(zhì)求解；（2）根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和求解；（3）根據(jù)（1）（2）可以直接寫出結(jié)果；（4）根據(jù)折疊的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)角相等，以及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）：四邊形的內(nèi)角和為，直角三角形中兩個(gè)銳角和為．等于．故答案為：；（2），故答案是：；（3）與的關(guān)系是：；故答案為：；（4）是由折疊得到的，，，又，．知識(shí)點(diǎn)三風(fēng)箏模型知識(shí)點(diǎn)三風(fēng)箏模型內(nèi)容如圖所示，∠PBD+∠PCE=∠A+∠P.如圖所示，.題型三風(fēng)箏模型題型三風(fēng)箏模型例1如圖，中，，，將沿折疊，點(diǎn)落在形內(nèi)的，則的度數(shù)為．例1【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，進(jìn)而可得出的度數(shù)，根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出的度數(shù)，再由四邊形的內(nèi)角和為即可得出結(jié)論．【解答】解：中，，，，，，由△翻折而成，，．故答案為：．例2紙片中，，，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)落在內(nèi)（如圖），若，例2則的度數(shù)為．【分析】先根據(jù)，，求出的度數(shù)．再由可求出的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理及平角的性質(zhì)即可求解．【解答】解：中，，，，，，在中，，，故答案為．變1如圖，在三角形紙片中，，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)落在內(nèi)，若，則的度數(shù)為．變1【分析】根據(jù)題意，已知，，可結(jié)合三角形內(nèi)角和定理和折疊變換的性質(zhì)求解．【解答】解：，，，，．故答案為：．變2如圖，中，，將沿翻折后，點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處．如果，那么的度數(shù)為．變2【答案】##度【分析】由翻折的性質(zhì)可知：，；再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可；【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可知：故答案為：例3如圖，是把三角形的兩個(gè)角翻折后的圖形，則．例3【答案】##240度【分析】如圖（見解析），連接，先根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，，由此即可得．【詳解】解：如圖，連接，由翻折的性質(zhì)得：，，又，，，同理可得：，，故答案為：．例4（1）如圖1，設(shè)，則；例4（2）把三角形紙片頂角沿折疊，點(diǎn)落到點(diǎn)處，記為，為．①如圖2，，與的數(shù)量關(guān)系是；②如圖3，請(qǐng)你寫出，與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖4，把一個(gè)三角形紙片的三個(gè)頂角分別向內(nèi)折疊之后，3個(gè)頂點(diǎn)不重合，那么圖中．【分析】（1）利用三角形外角的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可求解；（2）①先根據(jù)折疊得：，，由兩個(gè)平角和得：等于與四個(gè)折疊角的差，化簡(jiǎn)得結(jié)果；②利用兩次外角定理得出結(jié)論；（3）由折疊可知等于六邊形的內(nèi)角和減去以及和，再利用三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【解答】解：（1）；故答案為：；（2）①如圖2，猜想：，理由是：由折疊得：，，，，；故答案為：；②如圖3，，理由是：，，，，，；（3）如圖4，由題意知，又，，，，．故答案為：．變3如圖所示，把一個(gè)三角形紙片ABC的三個(gè)頂角向內(nèi)折疊（3個(gè)頂點(diǎn)不重合），①若，則；②圖中的度數(shù)和是．變3【答案】

##55度

##360度【分析】①由折疊的性質(zhì)即可求解；②利用三角形內(nèi)角和定理和平角的定義可得，，再根據(jù)折疊的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】，，，，同理，由折疊的性質(zhì)得，，，，故答案為：．變4探索歸納：變4（1）如圖1，已知為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則等于（）A．90°B．135°C．270°D．315°（2）如圖2，已知中，，剪去后成四邊形，則；（3）如圖2，根據(jù)（1）與（2）的求解過程，請(qǐng)你歸納猜想與的關(guān)系是；（4）如圖3，若沒有剪掉，而是把它折成如圖3形狀，試探究與的關(guān)系并說明理由．【分析】（1）利用了四邊形內(nèi)角和為和直角三角形的性質(zhì)求解；（2）根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和求解；（3）根據(jù)（1）（2）可以直接寫出結(jié)果；（4）根據(jù)折疊的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)角相等，以及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）：四邊形的內(nèi)角和為，直角三角形中兩個(gè)銳角和為．等于．故選；（2），故答案是：；（3）與的關(guān)系是：；（4）是由折疊得到的，，，又，．知識(shí)點(diǎn)四“知識(shí)點(diǎn)四“8”字模型內(nèi)容如圖所示，.題型四“題型四“8”字模型例1如圖，試求的度數(shù)．例1【分析】連接，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式列式計(jì)算即可得解．【解答】解：如圖，連接，由三角形的內(nèi)角和定理得，，由多邊形的內(nèi)角和公式得，，所以，．例2如圖，五角星的五個(gè)角之和，即：（）例2A．B．C．D．【分析】連接，由得：，再由三角形的內(nèi)角和定理，即可得出五角星的五個(gè)角之和．【解答】解：連接，設(shè)與交于點(diǎn)，由得：，在中，，即，，即五角星的五個(gè)內(nèi)角之和為．故選：．例3如圖，則的度數(shù)為．例3【分析】連接，利用三角形內(nèi)角和定理可得，然后利用四邊形內(nèi)角和為可得答案．【解答】解：連接，在和中，，，，，，故答案為：．變1如圖所示，度．變1【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得，，則這幾個(gè)角是一個(gè)四邊形的四個(gè)內(nèi)角，故．【解答】解：，，．故答案為：360．變2如圖，的度數(shù)是．變2【分析】本題運(yùn)用三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，將已知角轉(zhuǎn)化在同一個(gè)三角形中，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解．【解答】解：如圖，，，，．故答案為：．變3如圖，．變3【分析】利用三角形外角性質(zhì)得到，然后利用五邊形的內(nèi)角和求的度數(shù)．【解答】解：如圖，，而，，．故答案為540．變4如圖所示，，則的度數(shù)為．變4【分析】依據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到，，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得出的度數(shù)．【解答】解：如圖所示，，，，又是的外角，是的外角，，，，，故答案為：．例4如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，分別以和為邊在線段的同側(cè)作兩個(gè)等邊三角形，得到和．連接，，交點(diǎn)為，若，則的度數(shù)為（）例4A．B．C．D．【分析】根據(jù)題目條件可得，進(jìn)而通過對(duì)應(yīng)角相等可推出，即可得出最后的結(jié)果．【解答】解：，，，，，，，，故選：．變5如圖1，圖2，圖3，在中，分別以為邊，向外作正三角形，正四邊形，正五邊形，相交于點(diǎn)．（正多邊形的各邊相等，各個(gè)內(nèi)角也相等）變5①如圖1，已知，∠BOD=；②如圖2，已知，∠BOD=；③如圖3，已知，∠BOD=．【答案】①見解析；②60°；③90°；④108°【分析】①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以得出△ABE≌△ADC．②③④根據(jù)△ABE≌△ADC可得∠CDA=∠EBA，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得∠BOD=∠BAD，從而求解．【詳解】解：①證明：如圖，∵△ABD和△AEC是等邊三角，∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠ABD=∠ADB=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE．在△ABE和△ADC中，，∴△ABE≌△ADC（SAS）；②，，∵∠AFD=∠OFB，∴∠BOD=∠BAD=60°；③如圖，四邊形和四邊形是正方形，，，，，，即，在和中，，，，∵∠AHB=∠OHD，∴∠BOD=∠BAD=90°；④如圖，五邊形和五邊形是正五邊形，，，，，，，在和中，，，，∵∠AMB=∠OMD，∴∠BOD=∠BAD=（5-2）×180°÷5=108°．知識(shí)點(diǎn)五“飛鏢”模型知識(shí)點(diǎn)五“飛鏢”模型內(nèi)容如圖所示，.題型五“題型五“飛鏢”模型例1如圖，，，，的度數(shù)是（）例1A．B．C．D．【分析】延長(zhǎng)交于，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式求出，再利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)交于，，，，，．故選：．例2如圖，內(nèi)有一點(diǎn)，且，若，，則的大小是（）例2A．B．C．D．【分析】如果延長(zhǎng)交于，由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得，，所以，又，根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)得出，，進(jìn)而得出結(jié)果．【解答】解：延長(zhǎng)交于．，，．又，，，．故選：．變1如圖，點(diǎn)在上，于，交的延長(zhǎng)線于，已知，，則的度數(shù)是（）變1A．B．C．D．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算．【解答】解：，，，又，，．故選：．變2（1）探究：如圖1，求證：∠BOC=∠A+∠B+∠C．變2（2）應(yīng)用：如圖2，∠ABC=100°，∠DEF=130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度數(shù)．【解題思路】（1）作射線OA，由三角形外角的性質(zhì)可知∠1+∠B＝∠3，∠2+∠C＝∠4，兩式相加即可得出結(jié)論；（2）連接AD，由（1）的結(jié)論可知∠F+∠2+∠3＝∠DEF，∠1+∠4+∠C＝∠ABC，兩式相加即可得出結(jié)論．【解答過程】解：（1）作射線OA，∵∠3是△ABO的外角，∴∠1+∠B＝∠3，①∵∠4是△AOC的外角，∴∠2+∠C＝∠4，②①+②得，∠1+∠B+∠2+∠C＝∠3+∠4，即∠BOC＝∠A+∠B+∠C；（2）連接AD，同（1）可得，∠F+∠2+∠3＝∠DEF③，∠1+∠4+∠C＝∠ABC④，③+④得，∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C＝∠DEF+∠ABC＝130°+100°＝230°，即∠A+∠C+∠D+∠F＝230°．例3一個(gè)零件的形狀如圖所示，按規(guī)定應(yīng)等于，、應(yīng)分別是和．李叔叔量得，根據(jù)李叔叔量得的結(jié)果，你能斷定這個(gè)零件是否合格？請(qǐng)解釋你的結(jié)論；例3【分析】此題要作輔助線：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和即可求解．【解答】解：不合規(guī)格．理由如下：連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，則，故不合格．變3一個(gè)零件形狀如圖所示，按規(guī)定，，，才符合加工要求，檢驗(yàn)人員測(cè)量，則可斷定這個(gè)零件．（填“合格”或“不合格”變3【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和已知條件求的度數(shù)，再進(jìn)行判斷．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可知，，，，所以檢驗(yàn)人員測(cè)量，可斷定這個(gè)零件合格．故本題答案為：合格．知識(shí)點(diǎn)六角平分線模型知識(shí)點(diǎn)六角平分線模型圖示內(nèi)容雙內(nèi)角角平分線模型雙外角角平分線模型內(nèi)外交角平分線模型題型六角平分線模型題型六角平分線模型例1如圖，中，與的角平分線相交于點(diǎn)I．，則為（）例1A．70°B．65°C．50°D．30°【答案】C【分析】設(shè)，利用角平分線的性質(zhì)得，再根據(jù)得，所以求解即可．【詳解】解：設(shè)，則，∵，∴，∵與的角平分線相交于點(diǎn)I，∴，即，解之得：，故選：C．例2如圖，的外角和外角的平分線交于點(diǎn)，已知，則的度數(shù)為．例2【答案】##度【分析】根據(jù)、分別是的外角和外角的平分線，得出，，根據(jù)，得出，根據(jù)，，得出，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和，得出．【詳解】解：∵、分別是的外角和外角的平分線，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴．故答案為：．例3如圖，將紙片沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，且平分，平分，若，，則的度數(shù)為（）例3A．B．C．D．【答案】B【分析】連接，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出，再根據(jù)，，得出，從而得出答案．【詳解】解：如圖，連接，∵平分，平分，，∴，∴，∴，∵，，∵，，∴，∵，∴．故選：B．變1如圖，分別是的角平分線，，那么的度數(shù)為（）變1A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，再由分別是的角平分線，可得的度數(shù)，然后再由三角形外角的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵分別是的角平分線，∴，∴，∴．故選：B變2如圖，平分外角，平分外角，已知，則的度數(shù)為．變2【答案】【分析】根據(jù)角平分線的定義得出，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和與平角的定義得出，最后將代入即可得出答案．【詳解】解：平分外角，平分外角，故答案為：．變3如圖，在中，，分別平分，且，分別平分的外角，則的度數(shù)是（）變3A．B．C．D．【答案】D【分析】，分別平分，分別平分的外角，可求出，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，，，∵，分別平分，分別平分的外角，∴，，，，∴，同理，，在四邊形中，，，∴，故選：．例4如圖，在中，是的角平分線，是的角平分線，是的角平分線，是的角平分線，若，則．例4【答案】【分析】根據(jù)角平分線的定義得到，，再根據(jù)外角的性質(zhì)得到，同理得到，逐步代入計(jì)算可得結(jié)果．【詳解】解：∵是的角平分線，∴，∵是的角平分線，∴，∴∵是的角平分線，是的角平分線，∴，，∴故答案為：變4如圖，、分別為的內(nèi)、外角平分線，、分別為的內(nèi)、外角平分線，若，則度．變4【答案】【分析】根據(jù)，分別為的內(nèi)、外角平分線分別設(shè)，，再根據(jù)，分別為的內(nèi)，外角平分線，得到和，最后根據(jù)和求出即可．【詳解】，分別為的內(nèi)、外角平分線，，，設(shè)，，，，又，分別為的內(nèi)，外角平分線，，，，，又，，又，，，故答案為：．例5已知中，．在圖1中的平分線交于點(diǎn)，則可計(jì)算得；在圖2中，設(shè)的兩條三等分角線分別對(duì)應(yīng)交于，則．例5【答案】【分析】首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，再由三等分角線可得，由三角形內(nèi)角和定理即可求得．【詳解】解：∵，∴，∵的兩條三等分角線分別對(duì)應(yīng)交于，∴，∴，故答案為：．例6如圖，是的外角，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，…，的平分線與的平分線交于點(diǎn)．設(shè)，則．例6【答案】【分析】根據(jù)角平分線、三角形內(nèi)外角關(guān)系及三角形內(nèi)角和定理得到兩個(gè)相鄰角之間的關(guān)系即可得到答案.【詳解】解：∵是的外角，∴，∵的平分線與的平分線交于點(diǎn)，∴，∵，∴，由此規(guī)律可得，，故答案為．變5如圖，在中，，是的內(nèi)角的平分線與外角的平分線的交點(diǎn)；是的內(nèi)角的平分線與外角的平分線的交點(diǎn)；是的內(nèi)角的平分線與外角的平分線的交點(diǎn)；依次這樣下去，則的度數(shù)為（）變5A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的定義得，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得，然后整理可得，同理得到結(jié)論．【詳解】解：∵是的內(nèi)角的平分線與外角的平分線的交點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，同理，進(jìn)而可知，故選：A．變6如圖，已知△ABC中，∠A＝α，點(diǎn)B、C、M在一條直線上，∠ABC和∠ACM兩角的平分線交于點(diǎn)P1，∠P1BC和∠P1CM兩角的平分線交于點(diǎn)P2，∠P2BC和∠P2CM兩角的平分線交于點(diǎn)P3，以此類推，…則∠P2021，的度數(shù)是．變6【答案】【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，得∠P1＝∠P1CM﹣∠P1BC，根據(jù)角平分線的定義和三角形的外角的性質(zhì)，得∠P1CM﹣∠P1BC＝（∠ACM﹣∠ABC）＝；同理，得，∠P3＝∠P2，．【詳解】解：∵∠ABC和∠ACM兩角的平分線交于點(diǎn)P1，∴∠P1＝∠P1CM﹣∠P1BC＝（∠ACM﹣∠ABC）＝∠A＝．同理，得∠P2＝∠P1＝，∠P3＝∠P2＝，易知，∠P2021＝，故答案為：．例7例7如圖，，點(diǎn)I是與平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)D是與平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)E是與平分線的交點(diǎn)．（1）若則°，°．（2）猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）若，則當(dāng)?shù)扔诙龋ㄓ煤瑇的代數(shù)式表示）時(shí)，．【答案】(1)；(2)，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出再由角平分線得出，繼續(xù)利用三角形內(nèi)角和定理及角平分線求解即可；（2）由角平分線得出，再由等量代換求解即可；（3）利用三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理得出，再由平行線的判定即可得出結(jié)果；（4）根據(jù)角平分線得出，即，，然后分四種情況討論求解即可．【詳解】（1）∵，∴，∵、為角平分線，∴，∴，∴；∵，∴，∵為角平分線，∴，∴，∴，故答案為：；；（2），理由如下：∵分別為的角平分線，∴，∵，∴，∵，∴；（3）當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，故答案為：；例8如圖，中，的角平分線與外角的平分線交于．例8（1）如圖1，若，則．（2）如圖2，四邊形中，的角平分線及外角的角平分線相交于點(diǎn)F，若，求的度數(shù)．（3）如圖3，中，的角平分線與外角的角平分線交于，若E為延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接與的角平分線交于點(diǎn)Q，當(dāng)E滑動(dòng)時(shí)有下面兩個(gè)結(jié)論：①的值為定值；②的值為定值；其中有且只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)寫出正確的結(jié)論，并求出其值．【答案】(1)35°(2)25°(3)正確的結(jié)論是①，理由見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到，再由三角形外角的性質(zhì)得到，，由此即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到，利用四邊形內(nèi)角和定理得到，則，由此即可求出；（3）同理可得，，利用三角形內(nèi)角和定理得到，再由三角形外角的性質(zhì)得到，即可得到，由此即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵平分平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：35°；（2）解：∵平分平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：正確的結(jié)論是①，理由如下：同（1）可得，∵平分平分，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴的值為定值，①正確，其值是180°．變7（1）已知：如圖（1），在中，、分別平分和，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系；變7（2）已知：如圖（2），在四邊形中，、分別平分和，試探究與、之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理可得∠P與∠A的數(shù)量關(guān)系；（2）根據(jù)角平分線的定義和四邊形內(nèi)角和定理可得∠P與∠A+∠B的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）∵平分，∴．同理，．∴；（2）∵平分，∴．同理，．∴．知識(shí)點(diǎn)七“知識(shí)點(diǎn)七“8”字與角平分線模型圖示內(nèi)容“8”字與角平分線模型DP與BP分別是∠ADC與∠ABC的角平分線，則.題型七“題型七“8”字與角平分線模型例1如圖，平分交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，于相交于點(diǎn)，若，，求的度數(shù)．例1【分析】根據(jù)角平分線的定義可得，，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列出等式整理即可得解．【解答】解：平分，平分，，，，，，，，．變1如圖所示，、相交于點(diǎn)，若平分交于，平分交于，，，則的度數(shù)為．變1【分析】先根據(jù)角平分線定義得到，，再利用三角形內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等得到①，，即②，接著利用①②得，由此即可解決問題．【解答】解：如圖，平分交于，平分交于，，，①，，即②，由①②得，，，，故答案為．例2圖1，線段、相交于點(diǎn)，連接、，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，和的平分線和相交于點(diǎn)，并且與、分別相交于、．試解答下列問題：例2（1）在圖1中，請(qǐng)直接寫出、、、之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)：個(gè)；（3）圖2中，當(dāng)度，度時(shí)，求的度數(shù)．（4）圖2中和為任意角時(shí)，其他條件不變，試問與、之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必證明）．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出；（2）根據(jù)“8字形”的定義，仔細(xì)觀察圖形即可得出“8字形”共有6個(gè)；（3）先根據(jù)“8字形”中的角的規(guī)律，可得①，②，再根據(jù)角平分線的定義，得出，，將①②，可得，進(jìn)而求出的度數(shù)；（4）同（3），根據(jù)“8字形”中的角的規(guī)律及角平分線的定義，即可得出．【解答】解：（1），，，故答案為：；（2）①線段、相交于點(diǎn)，形成“8字形”；②線段、相交于點(diǎn)，形成“8字形”；③線段、相交于點(diǎn)，形成“8字形”；④線段、相交于點(diǎn)，形成“8字形”；⑤線段、相交于點(diǎn)，形成“8字形”；⑥線段、相交于點(diǎn)，形成“8字形”；故“8字形”共有6個(gè)，故答案為：6；（3），①，②和的平分線和相交于點(diǎn)，，，①②得：，即，又度，度，，；（4）關(guān)系：．①②①②得：，和的平分線和相交于點(diǎn)，，．變2如圖，與相交于點(diǎn)，為的平分線，為的平分線．變2（1）試探求：與、之間的關(guān)系？（2）若．求的值．【分析】（1）先根據(jù)角平分線的定義得到，，再根據(jù)對(duì)頂角相等和三角形內(nèi)角和定理得到，，然后把兩式相加即可得到與、之間的關(guān)系；（2）設(shè)，則，，利用（1）中的結(jié)論得到，然后解關(guān)于的方程即可．【解答】解：（1）為的平分線，為的平分線，，，，，，；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，，，，．課后強(qiáng)化課后強(qiáng)化1.如圖，在中，，，垂足為D，平分．已知，，求的度數(shù)．【答案】【分析】因?yàn)?，所以，從而?jì)算出，又因?yàn)槠椒?，所以【詳解】解：平?.如圖，在中，，于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)．若，求的度數(shù)．【答案】【分析】先根據(jù)角平分線的定義求得的度數(shù)，再由外角的性質(zhì)得，最后由直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：平分，，，，，，．3.如圖，在中，，剪去后得到四邊形，則．【分析】利用、是的外角，利用外角性質(zhì)，可得，，利用等式性質(zhì)可求的值．【解答】解：、是的外角，①，②，，又，．故答案為：．4.如圖，在折紙活動(dòng)中，小明制作了一張三角形紙片(即)，點(diǎn)、分別在邊、上，將沿著折疊壓平后點(diǎn)與重合，若，則（）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用折疊的性質(zhì)得到，再利用外角的性質(zhì)分別求得和，求和即可．【詳解】解：連接，由折疊的性質(zhì)可得，∵和分別為和的外角∴，∴故選A．5.探究題：（1）如圖1，與有什么關(guān)系？為什么？（2）把圖1中沿折疊，得到圖2，填空：（填“”“”“”），當(dāng)時(shí)，．（3）如圖2，是由圖1的沿折疊得到的，如果，則，猜想：與有什么關(guān)系？為什么？【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可知．（2）利用三角形內(nèi)角和定理解決問題即可．（3）如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于．利用三角形的外角的性質(zhì)證明即可得出結(jié)論：．【解答】解：（1）結(jié)論：．理由：根據(jù)三角形內(nèi)角是，可知：，，．（2），；當(dāng)時(shí)，；（3），如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于．，，，，與的關(guān)系為：．故答案為：（2），；（3）．．6.如圖，度．【分析】利用三角形外角性質(zhì)可得，，，三式相加易得，而、、是的三個(gè)不同的外角，從而可求．【解答】解：如右圖所示，，，，，又、、是的三個(gè)不同的外角，，．故答案為：．7.如圖，則度．【分析】連接，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式列式計(jì)算即可得解．【解答】解：如圖，連接，由三角形的內(nèi)角和定理得，，由多邊形的內(nèi)角和公式得，，所以，．故答案為：540．8.如圖，則的度數(shù)為度．【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，以及四邊形的四個(gè)內(nèi)角的和是即可求解．【解答】解：，，．故答案是：．9.如圖，已知，（1）求度數(shù)；（2）求的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得，，然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解．【解答】解：（1）；（2），，，．10.一個(gè)零件的形狀如圖，按規(guī)定，，，檢驗(yàn)已量得，就判斷這個(gè)零件不合格，運(yùn)用三角形的有關(guān)知識(shí)說明零件不合格的理由．【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出的度數(shù)，與測(cè)量所得的度數(shù)對(duì)比即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，是的外角，是的外角，，，，即．檢驗(yàn)已量得，就判斷這個(gè)零件不合格．11.如圖，在中，分別平分．若，則．【答案】##20度【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出的值，根據(jù)角平分線定義求出，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可．【詳解】∵，∴，∵分別平分，∴，∴，∴．故答案為：．12.如圖，小明在計(jì)算機(jī)上用“幾何畫板”畫了一個(gè)，，并畫出了兩銳角的角平分線及其交點(diǎn)F．小明發(fā)現(xiàn)，無(wú)論怎樣變動(dòng)的形狀和大小，的度數(shù)是定值，則這個(gè)定值為（）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義和直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴．故選：A．13.如圖，D為邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與的平分線交于點(diǎn)，與的平分線交于點(diǎn)與的平分線交于點(diǎn)，若，則的值為（）