2025版高中數(shù)學第2章數(shù)列2.3等差數(shù)列的前n項和第1課時等差數(shù)列的前n項和及其性質(zhì)課時作業(yè)案新人教A版必修5

PAGEPAGE1第1課時等差數(shù)列的前n項和及其性質(zhì)A級基礎鞏固一、選擇題1．若等差數(shù)列{an}的前三項和S3＝9，且a1＝1，則a2等于(A)A．3 B．4C．5 D．6[解析]S3＝3a1＋eq\f(3×2,2)d＝9，又∵a1＝1，∴d＝2，∴a2＝a1＋d＝3.2．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝2－3n，則{an}的前n項和Sn等于(A)A．－eq\f(3,2)n2＋eq\f(n,2) B．－eq\f(3,2)n2－eq\f(n,2)C．eq\f(3,2)n2＋eq\f(n,2) D．eq\f(3,2)n2－eq\f(n,2)[解析]易知{an}是等差數(shù)列且a1＝－1，所以Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝eq\f(n1－3n,2)＝－eq\f(3,2)n2＋eq\f(n,2).故選A．3．(2024·全國卷Ⅰ理，4)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，則a5＝(B)A．－12 B．－10C．10 D．12[解析]3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3a1＋\f(3×2,2)×d))＝2a1＋d＋4a1＋eq\f(4×3,2)×d?9a1＋9d＝6a1＋7d?3a1＋2d＝0?6＋2d＝0?d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.4．(2024·全國Ⅰ理，9)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．已知S4＝0，a5＝5，則(A)A．a(chǎn)n＝2n－5 B．a(chǎn)n＝3n－10C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝eq\f(1,2)n2－2n[解析]設首項為a1，公差為d.由S4＝0，a5＝5可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝5，,4a1＋6d＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－3，,d＝2.))所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝n×(－3)＋eq\f(nn－1,2)×2＝n2－4n.故選A．5．在－12和8之間插入n個數(shù)，使這n＋2個數(shù)組成和為－10的等差數(shù)列，則n的值為(B)A．2 B．3C．4 D．5[解析]依題意，有－10＝eq\f(－12＋8,2)×(n＋2)，解得n＝3.6．《九章算術(shù)》是我國第一部數(shù)學專著，下有源自其中的一個問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤．問金箠重幾何？”其意思為：“今有金杖(粗細勻稱改變)長5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．問金杖重多少？”則答案是(B)A．14斤 B．15斤C．16斤 D．18斤[解析]由題意可知等差數(shù)列中a1＝4，a5＝2，則S5＝eq\f(a1＋a5×5,2)＝eq\f(4＋2×5,2)＝15，∴金杖重15斤．故選B．二、填空題7．(2024·山東榮成六中高二月考)若一個等差數(shù)列前3項的和為34，最終三項的和為146，且全部項的和為390，則這個數(shù)列有__13__項．[解析]設這個等差數(shù)列為{an}，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＝34①,an＋an－1＋an－2＝146②))，①＋②得3(a1＋an)＝180，∴a1＋an＝60.∴Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝30n＝390，∴n＝13.8．在等差數(shù)列{an}中，aeq\o\al(2,3)＋aeq\o\al(2,8)＋2a3a8＝9，且an<0，則S10＝__－15__.[解析]由aeq\o\al(2,3)＋aeq\o\al(2,8)＋2a3a8＝9得(a3＋a8)2＝9，∵an<0，∴a3＋a8＝－3.∴S10＝eq\f(10a1＋a10,2)＝eq\f(10a3＋a8,2)＝eq\f(10×－3,2)＝－15.三、解答題9．若等差數(shù)列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8.求：(1)數(shù)列{an}的首項a1和公差d；(2)數(shù)列{an}的前10項和S10的值．[解析](1)依據(jù)題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝8,a2·a4＝a1＋d·a1＋3d＝12))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝8,d＝－2)).(2)S10＝10a1＋eq\f(10×10－1,2)d＝10×8＋eq\f(10×9,2)×(－2)＝－10.10．設{an}為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知S7＝7，S15＝75，Tn為數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的前n項和，求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的前n項和Tn.[解析]設等差數(shù)列{an}的公差為d，則Sn＝na1＋eq\f(1,2)n(n－1)d.∵S7＝7，S15＝75，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7a1＋21d＝7,15a1＋105d＝75))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋3d＝1,a1＋7d＝5))，解得a1＝－2，d＝1.∴eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(1,2)(n－1)d＝－2＋eq\f(1,2)(n－1)，∵eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝eq\f(1,2)，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等差數(shù)列，其首項為－2，公差為eq\f(1,2)，∴Tn＝eq\f(1,4)n2－eq\f(9,4)n.B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．等差數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，若a2＋a4＋a15的值為一個確定的常數(shù)，則下列各數(shù)中也是常數(shù)的是(C)A．S7 B．S8C．S13 D．S15[解析]∵a2＋a4＋a15＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7為常數(shù)，∴S13＝eq\f(13a1＋a13,2)＝13a7為常數(shù)．2．設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若eq\f(S3,S6)＝eq\f(1,3)，則eq\f(S6,S12)等于(A)A．eq\f(3,10) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,8) D．eq\f(1,9)[解析]據(jù)等差數(shù)列前n項和性質(zhì)可知：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍成等差數(shù)列．設S3＝k，則S6＝3k，S6－S3＝2k，∴S9－S6＝3k，S12－S9＝4k，∴S9＝S6＋3k＝6k，S12＝S9＋4k＝10k，∴eq\f(S6,S12)＝eq\f(3k,10k)＝eq\f(3,10).3．一個等差數(shù)列的項數(shù)為2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，則該數(shù)列的公差是(B)A．3 B．－3C．－2 D．－1[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a3＋…＋a2n－1＝na1＋\f(nn－1,2)×2d＝90,a2＋a4＋…＋a2n＝na2＋\f(nn－1,2)×2d＝72，))得nd＝－18.又a1－a2n＝－(2n－1)d＝33，所以d＝－3.4．一同學在電腦中打出如下圖案：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若將此圖案依此規(guī)律接著下去，那么在前120個中的●的個數(shù)是(C)A．12 B．13C．14 D．15[解析]S＝(1＋2＋3＋…＋n)＋n＝eq\f(nn＋1,2)＋n≤120，∴n(n＋3)≤240，∴n＝14.故選C．二、填空題5．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若eq\o(OB,\s\up6(→))＝a1eq\o(OA,\s\up6(→))＋a200eq\o(OC,\s\up6(→))，且A、B、C三點共線(該直線不過原點O)，則S200＝__100__.[解析]∵eq\o(OB,\s\up6(→))＝a1eq\o(OA,\s\up6(→))＋a200eq\o(OC,\s\up6(→))，且A、B、C三點共線，∴a1＋a200＝1，∴S200＝eq\f(200×a1＋a200,2)＝100.6．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an－2，則S3等于__14__.[解析]對于Sn＝2an－2，當n＝1時，有a1＝2a1－2，解得a1＝2；當n＝2時，有S2＝2a2－2，即a1＋a2＝2a2－2，所以a2＝a1＋2＝4；當n＝3時，有S3＝2a3－2，即a1＋a2＋a3＝2a3－2，所以a3＝a2＋a1＋2，又a1＝2，a2＝4，則a3＝8，所以S三、解答題7．一個等差數(shù)列的前10項之和為100，前100項之和為10，求前110項之和．[解析]設等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，則Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10a1＋\f(10×9,2)d＝100，①,100a1＋\f(100×99,2)d＝10.②))①×10－②整理得d＝－eq\f(11,50)，代入①得，a1＝eq\f(1099,100)，∴S110＝110a1＋eq\f(110×109,2)d＝110×eq\f(1099,100)＋eq\f(110×109,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,50)))＝110×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1099－109×11,100)))＝－110.8．已知{an}是等差數(shù)列，公差為d，首項a1＝3，前n項和為Sn，令cn＝(－1)nSn(n∈N*)，{cn}的前20項和T20＝330.數(shù)列{bn}滿意bn＝2(a－2)dn－2＋2n－1，a∈R.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若bn＋1≤bn，n∈N*，求a的取值范圍．[解析](1)設等差數(shù)列的公差為d，因為cn＝(－1)nSn，所以T20＝－S1＋S2－S3＋S4＋…＋S20＝330，則a2＋a4＋a6＋…＋a20＝330，則10(3＋d)＋eq\f(10×9,2)×2d＝330，解得d＝3，所以an＝3＋3(n－1)＝3n.(2)由(1)知bn＝2(a－2)3n－2＋2n－1，bn＋1－bn＝2(a－2)3n－1＋2n－[2(a－2)3n－2＋2n－1]＝4(a－2)3n－2＋2n－1＝4·3n－2[(a－2)＋eq\f(1,2)(eq\f(2,3))n－2]，由bn＋1≤bn?(a－2)＋eq\f(1,2)(eq\f(2,3))n－2≤0?a≤2－eq\f(1,2)(eq\f(2,3))n－2，因為2－eq\f(1,2)(eq\f(2,3))n－2隨著n的增大而增大，所以n＝1時，2－eq\f(1,2)(eq\f(2,3))n－2最小值為eq\f(5,4)，所以a≤eq\f(5,4).9．甲、乙兩物體分別從相距70m的兩處同時相向運動，甲第1分鐘走2m，以后每分鐘比前1分鐘多走1m，乙每分鐘走5m.(1)甲、乙起先運動后幾分鐘相遇？(2)