2025年北師版八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第07講 三角形的證明 壓軸題

第07講三角形的證明壓軸題模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．了解常見(jiàn)三角形證明的模型；2．掌握常見(jiàn)三角形證明模型的解題思路；3.靈活運(yùn)用三角形證明的輔助線作法。知識(shí)點(diǎn)1遇到角平分線，考慮構(gòu)造全等三角形或等腰三角形知識(shí)點(diǎn)2遇到倍角，考慮構(gòu)造等腰三角形知識(shí)點(diǎn)3利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形遇到等線段+兩線段垂直、手拉手模型等問(wèn)題，?？紤]構(gòu)造旋轉(zhuǎn)或?qū)ΨQ三角形，得到全等三角形，再運(yùn)用特殊三角形的邊角關(guān)系求解知識(shí)點(diǎn)4遇到半角模型，構(gòu)造全等三角形知識(shí)點(diǎn)5遇到對(duì)角互補(bǔ)模型，構(gòu)造全等三角形知識(shí)點(diǎn)6折疊問(wèn)題中的常見(jiàn)模型知識(shí)點(diǎn)7倍長(zhǎng)中線模型知識(shí)點(diǎn)8截長(zhǎng)補(bǔ)短法考點(diǎn)一:垂線模型例1．如圖，已知中，，，分別過(guò)、向過(guò)的直線作垂線，垂足分別為．（1）如圖1，過(guò)的直線與斜邊不相交時(shí)，直接寫出線段、、的數(shù)量關(guān)系是______；（2）如圖2，過(guò)的直線與斜邊相交時(shí)，探究線段、、的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（3）在（2）的條件下，如圖3，直線交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、、，若，，，四邊形的面積是90，求的面積．【變式1-1】.已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如圖1，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接CE．①若∠BAD＝α，求∠DBE的大小（用含α的式子表示）；②用等式表示線段EA，EB和EC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）如圖2，點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AD，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足E在線段AD上，連接CE．①依題意補(bǔ)全圖2；②直接寫出線段EA，EB和EC之間的數(shù)量關(guān)系．考點(diǎn)二:一線三等角模型例2．通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：[模型呈現(xiàn)]如圖1，，，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E．求證：．[模型應(yīng)用]如圖2，且，且，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積為_(kāi)_______________．[深入探究]如圖3，，，，連接，，且于點(diǎn)F，與直線交于點(diǎn)G．若，，則的面積為_(kāi)____________．【變式2-1】某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．(1)如圖1．已知：在中，，，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，直線l，直線l，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：．(2)組員小明對(duì)圖2進(jìn)行了探究，若，，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．直線l，直線l，垂足分別為點(diǎn)D、E．他發(fā)現(xiàn)線段、、之間也存在著一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出段、、之間的數(shù)量關(guān)系，(3)數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題：如圖3，過(guò)的邊、向外作正方形和正方形（正方形的4條邊都相等，4個(gè)角都是直角），是邊上的高，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．考點(diǎn)三:手拉手模型例3．如圖，和都是等邊三角形，直線，交于點(diǎn)F．(1)如圖1，當(dāng)A，C，D三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，的度數(shù)為_(kāi)_____，線段與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____．(2)如圖2，當(dāng)繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由：若成立，請(qǐng)就圖2給予證明．(3)若，，當(dāng)繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，請(qǐng)直接寫出長(zhǎng)的取值范圍．【變式3-1】．在中，，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)（不與、重合），把線路繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至（即），使得，連接、．(1)如圖1，點(diǎn)在線段上，如果，則__________度．

(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上，如果，則__________度．

(3)如圖3，設(shè)，，當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，，的數(shù)量關(guān)系是什么？請(qǐng)說(shuō)明理由．

(4)設(shè)，，當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出，的數(shù)量關(guān)系，不用證明．【變式3-2】．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，和均為等邊三角形，當(dāng)應(yīng)轉(zhuǎn)至點(diǎn)，，在同一直線上，連接，易證，則①；②線段AD，之間的數(shù)量關(guān)系；（2）拓展研究：如圖2，和均為等腰三角形，且，點(diǎn)，，在同一直線上，若，，求AB的長(zhǎng)度；（3）如圖3，為等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，且，，，，，求BD的長(zhǎng)．【變式3-3】．（1）如圖1，和都是等邊三角形，且，，三點(diǎn)在一條直線上，連接，相交于點(diǎn)，求證：．（2）如圖2，在中，若，分別以，和為邊在外部作等邊，等邊，等邊，連接、、恰交于點(diǎn)．①求證：；②如圖2，在（2）的條件下，試猜想，，與存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．考點(diǎn)四:旋轉(zhuǎn)模型例4．如圖1，在等腰Rt中，，點(diǎn)D、E分別在邊、上，，連接，點(diǎn)M、P、N分別為、、的中點(diǎn)．(1)觀察猜想：圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；(2)探究證明：把繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(3)拓展延伸：把繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，求面積的最大值．【變式4-1】．如圖，等邊中，分別交、于點(diǎn)、．（1）求證：是等邊三角形；（2）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（），設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)．①如圖，當(dāng)時(shí)，判斷的度數(shù)是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由；②若，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，求的長(zhǎng)．考點(diǎn)五:倍長(zhǎng)中線模型例5．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在中，是的中點(diǎn)，求邊上的中線的取值范圍．

【方法探索】（1）小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：如圖1，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．根據(jù)可以判定，得出．這樣就能把線段集中在中．利用三角形三邊的關(guān)系，即可得出中線的取值范圍是___________．【問(wèn)題解決】（2）由第（1）問(wèn)方法的啟發(fā)，請(qǐng)解決下面問(wèn)題：如圖2，在中，是邊上的一點(diǎn)，是的中線，，試說(shuō)明：；【問(wèn)題拓展】（3）如圖3，是的中線，過(guò)點(diǎn)分別向外作，使得，判斷線段與的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【變式5-1】．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CD，BD交CE于點(diǎn)P．（1）如圖1，求證：∠BPC＝120°；（2）點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，連接PA，PM，延長(zhǎng)BP到點(diǎn)F，使PF＝PC，連接CF，①如圖2，若點(diǎn)A，P，M三點(diǎn)共線，則AP與PM的數(shù)量關(guān)系是．②如圖3，若點(diǎn)A，P，M三點(diǎn)不共線，問(wèn)①中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，說(shuō)明理由．【變式5-2】．[方法儲(chǔ)備]如圖1，在中，為的中線，若，，求的取值范圍．中線倍長(zhǎng)法：如圖2，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連結(jié)，可證明，由全等得到，從而在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可以確定的范圍，進(jìn)一步即可求得的范圍．在上述過(guò)程中，證明的依據(jù)是______，的范圍為_(kāi)_____；[思考探究]如圖3，在中，，為中點(diǎn)，、分別為、上的點(diǎn)，連結(jié)、、，，若，，求的長(zhǎng)；[拓展延伸]如圖4，為線段上一點(diǎn)，，分別以、為斜邊向上作等腰和等腰，為中點(diǎn)，連結(jié)，，．①求證：為等腰直角三角形；②若將圖4中的等腰繞點(diǎn)轉(zhuǎn)至圖5的位置（，，不在同一條直線上），連結(jié)，為中點(diǎn)，且，在同側(cè)，連結(jié)，．若，，求和的面積之差．考點(diǎn)六:截長(zhǎng)補(bǔ)短模型例6．如圖：在四邊形中，，，，分別是，上的點(diǎn)，且，探究圖中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．(1)小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；（直接寫結(jié)論，不需證明）(2)如圖，若在四邊形中，，，分別是、上的點(diǎn)，且，（）中結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；(3)如圖，在四邊形中，，，分別是邊、延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且，（）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式6-1】．（1）閱讀理解：?jiǎn)栴}：如圖1，在四邊形中，對(duì)角線BD平分，．求證：．思考：“角平分線+對(duì)角互補(bǔ)”可以通過(guò)“截長(zhǎng)、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問(wèn)題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題；方法2：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．（2）問(wèn)題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接，當(dāng)時(shí)，探究線段AB，，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）問(wèn)題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，請(qǐng)直接寫出線段AB、CE、之間的數(shù)量關(guān)系．【變式6-2】．本學(xué)期，我們學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識(shí)，而四邊形的學(xué)習(xí)，我們一般通過(guò)輔助線把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形，通過(guò)三角形的基本性質(zhì)和全等來(lái)解決一些問(wèn)題．（1）如圖1，在四邊形中，，，連接．①小明發(fā)現(xiàn)，此時(shí)平分．他通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)，提出以下想法：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，證明，從而利用全等和等腰三角形的性質(zhì)可以證明平分．請(qǐng)你參考小明的想法，寫出完整的證明過(guò)程．②如圖2，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)你判斷線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）如圖3，等腰、等腰的頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在線段上，且，請(qǐng)你判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明．考點(diǎn)七:作平行線、作垂線法例7．閱讀下面的題目及分析過(guò)程，并按要求進(jìn)行證明．已知：如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個(gè)三角形中，且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．（1）現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請(qǐng)任意選出其中一種，對(duì)原題進(jìn)行證明．①如圖1，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過(guò)點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G．（2）請(qǐng)你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對(duì)原題進(jìn)行證明．【變式7-1】．如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D在邊AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，連接BE，取BE的中點(diǎn)F，連接DF．(1)請(qǐng)直接寫出∠ADF的度數(shù)及線段AD與DF的數(shù)量關(guān)系；(2)將圖1中的△CDE繞點(diǎn)C按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，①如圖2，（1）中∠ADF的度數(shù)及線段AD與DF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；②如圖3，連接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范圍．考點(diǎn)八:半角模型例8．已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長(zhǎng)線）于E、F．（1）當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE＝CF時(shí)（如圖1），試猜想AE，CF，EF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)將三條線段分別填入后面橫線中：＋＝．（不需證明）（2）當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE≠CF（如圖2）時(shí)，上述（1）中結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE≠CF（如圖3）時(shí)，上述（1）中結(jié)論是否成立？若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，不需證明．【變式8-1】．在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及△AMN的周長(zhǎng)Q與等邊△ABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM＝DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時(shí)；（2）如圖2，點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DM≠DN時(shí)，猜想（I）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論；若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，探索BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系如何？并給出證明．考點(diǎn)九:以上模型在線段的垂直平分線、角平分線的應(yīng)用例9．如圖，中，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，連接AD，過(guò)點(diǎn)B作AD的垂線交AD于M，交于點(diǎn)N，且．(1)求證：AD平分．(2)點(diǎn)E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，，求證：．(3)在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)A作交CE于點(diǎn)X，過(guò)點(diǎn)A作交CE于點(diǎn)H，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【變式9-1】．如圖1，點(diǎn)為的外角的平分線上一點(diǎn)，，于．(1)求證：；(2)若，連接，，，求的長(zhǎng)度；(3)如圖2，若，分別是邊，上的點(diǎn)，且，求證：．【變式9-2】．如圖1，和都是等腰直角三角形，，，的頂點(diǎn)在的斜邊上，連接，交于點(diǎn)，，垂足為，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．(1)填空：①______（填寫“＞”“＜”或“”）；②______；(2)證明：；(3)①記四邊形，，，，的面積依次為，，，，，若滿足，，求的值；②在線段上取一點(diǎn)，連接，，如圖2，當(dāng)平分時(shí)，求的值．一、解答題1．央視科教頻道播放的《被數(shù)學(xué)選中的人》節(jié)目中說(shuō)到，“數(shù)學(xué)區(qū)別于其它學(xué)科最主要的特征是抽象與推理”．幾何學(xué)習(xí)尤其需要我們從復(fù)雜的問(wèn)題中進(jìn)行抽象，形成一些基本幾何模型，用類比等方法，進(jìn)行再探究、推理，以解決新的問(wèn)題．(1)【模型探究】如圖1，和中，，，且，連接，．這一圖形稱“手拉手模型”．求證，請(qǐng)你完善下列過(guò)程．證明：，．即．在和中（________）．(2)【模型指引】如圖2，中，，，以為端點(diǎn)引一條與腰相交的射線，在射線上取點(diǎn)，使，求的度數(shù)．小亮同學(xué)通過(guò)觀察，聯(lián)想到手拉手模型，在上找一點(diǎn)，使，最后使問(wèn)題得到解決．請(qǐng)你幫他寫出解答過(guò)程．(3)【拓展延伸】如圖3，中，，為任意角度，若射線不與腰相交，而是從端點(diǎn)向右下方延伸．仍在射線上取點(diǎn)，使，試判斷與有何數(shù)量關(guān)系？并寫出簡(jiǎn)要說(shuō)明．2．如圖，在中，，，是的角平分線，于點(diǎn)．(1)如圖1，連接，求證：是等邊三角形；(2)點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），以為一邊，在的下方作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．試探究、與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)若點(diǎn)是射線上的一點(diǎn)，以為一邊，在的下方作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．請(qǐng)直接寫出，與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．3．【問(wèn)題提出】如圖1，、都是等邊三角形，求證：．【方法提煉】這兩個(gè)共頂點(diǎn)的等邊三角形，其在相對(duì)位置變化的同時(shí)，始終存在一對(duì)全等三角形，即．如果把小等邊三角形的一邊看作“小手”，大等邊三角形的一邊看作“大手”，這樣就類似“大手拉著小手”，不妨稱之為“手拉手”基本圖形，當(dāng)圖形中只有一個(gè)等邊三角形時(shí)，可嘗試在它的一個(gè)頂點(diǎn)作另一個(gè)等邊三角形，構(gòu)造“手拉手”基本圖形，從而解決問(wèn)題．【方法應(yīng)用】(1)等邊三角形中，是邊上一定點(diǎn)，是直線上一動(dòng)點(diǎn)，以為一邊作等邊：等邊三角形，連接．①如圖2，若點(diǎn)在邊上，線段、、之間的關(guān)系為_(kāi)_________（直接寫出結(jié)論）．②如圖3，若點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，試證明線段、、之間的關(guān)系．(2)如圖4，等腰中，，，，且交于點(diǎn)，以為邊作等邊，直線交直線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并加以說(shuō)明．(3)如圖5，在中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接，則是否有最小值，如有，求出它的最小值，沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．中線是三角形中的重要線段之一．在利用中線解決幾何問(wèn)題時(shí)，當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件時(shí)，可以考慮作輔助線，即把中線延長(zhǎng)一倍，通過(guò)構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所要求的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題，這種作輔助線的方法稱為“倍長(zhǎng)中線法”．(1)如圖1，在中，，，D是的中點(diǎn)，求邊上的中線的取值范圍．嘉淇在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)到點(diǎn)H，使，連接．可以判定，從而得到．這樣就能把線段，，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系，可得中線的取值范圍是______．(2)如圖2，在中，，D為邊的中點(diǎn)，求證：．(3)如圖3，在中，，為角平分線，E為邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作的平行線，交于點(diǎn)F，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．①判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②若，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．5．折紙，操作簡(jiǎn)單，富有數(shù)學(xué)趣味，我們可以通過(guò)折紙開(kāi)展數(shù)學(xué)探究，探索數(shù)學(xué)奧秘．【紙片規(guī)格】三角形紙片，【操作探究】(1)如圖1，點(diǎn)D是斜邊的中點(diǎn)，將沿翻折得到，則______°(2)如圖2，點(diǎn)M為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)N為邊的中點(diǎn)，把沿翻折得到，若與的某邊垂直且點(diǎn)P在的上方，，求的長(zhǎng)．(3)如圖3，將兩張完全相同的三角形紙片拼成等腰，點(diǎn)E是邊上的一點(diǎn)，將沿翻折得到，邊與邊交于點(diǎn)G，且；如圖4，再將沿翻折得到，邊與邊分別交于點(diǎn)P、點(diǎn)Q，若，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)_____（直接寫出結(jié)果）

第07講三角形的證明壓軸題模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．了解常見(jiàn)三角形證明的模型；2．掌握常見(jiàn)三角形證明模型的解題思路；3.靈活運(yùn)用三角形證明的輔助線作法。知識(shí)點(diǎn)1遇到角平分線，考慮構(gòu)造全等三角形或等腰三角形知識(shí)點(diǎn)2遇到倍角，考慮構(gòu)造等腰三角形知識(shí)點(diǎn)3利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形遇到等線段+兩線段垂直、手拉手模型等問(wèn)題，?？紤]構(gòu)造旋轉(zhuǎn)或?qū)ΨQ三角形，得到全等三角形，再運(yùn)用特殊三角形的邊角關(guān)系求解知識(shí)點(diǎn)4遇到半角模型，構(gòu)造全等三角形知識(shí)點(diǎn)5遇到對(duì)角互補(bǔ)模型，構(gòu)造全等三角形知識(shí)點(diǎn)6折疊問(wèn)題中的常見(jiàn)模型知識(shí)點(diǎn)7倍長(zhǎng)中線模型知識(shí)點(diǎn)8截長(zhǎng)補(bǔ)短法考點(diǎn)一:垂線模型例1．如圖，已知中，，，分別過(guò)、向過(guò)的直線作垂線，垂足分別為．（1）如圖1，過(guò)的直線與斜邊不相交時(shí)，直接寫出線段、、的數(shù)量關(guān)系是______；（2）如圖2，過(guò)的直線與斜邊相交時(shí)，探究線段、、的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（3）在（2）的條件下，如圖3，直線交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、、，若，，，四邊形的面積是90，求的面積．【答案】（1）數(shù)量關(guān)系為：EF=BE+CF；（2）數(shù)量關(guān)系為：EF=BE-CF．證明見(jiàn)詳解；（3）S△GHC=15．【分析】（1）數(shù)量關(guān)系為：EF=BE+CF．利用一線三直角得到∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠FAC，再證△EBA≌△FEC（AAS）可得BE=AF，AE=CF即可；（2）數(shù)量關(guān)系為：EF=BE-CF．先證∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC==90°，可得∠EBA=∠FAC，再證△EBA≌△FEC（AAS），可得BE=AF，AE=CF即可；（3）先由（2）結(jié)論EF=BE-CF；，求出BE=AF=12，由，可求FH=2，EH=4，利用對(duì)角線垂直的四邊形面積可求BG=，再求EG=3，AH=10，分別求出S△ACF=，S△HCF=，S△AGH=，利用面積差即可求出．【解析】解：（1）數(shù)量關(guān)系為：EF=BE+CF．∵BE⊥EF，CF⊥EF，∠BAC=90°，∴∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC=180°-∠BAC=90°，∴∠EBA=∠FAC，在△EBA和△FEC中，∵，∴△EBA≌△FAC（AAS），∴BE=AF，AE=CF，∴EF=AF+AE=BE+CF；（2）數(shù)量關(guān)系為：EF=BE-CF．∵BE⊥AF，CF⊥AF，∠BAC=90°，∴∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC==90°，∴∠EBA=∠FAC，在△EBA和△FEC中，∵，∴△EBA≌△FAC（AAS），∴BE=AF，AE=CF，∴EF=AF-AE=BE-CF；（3）∵EF=BE-CF；，∴BE=AF=EF+CF=6+6=12，∵，EH+FH=EF=6，∴2FH+FH=6，解得FH=2，∴EH=2FH=4，S四邊形ABFG==90，∴BG=，∴EG=BG-BE=15-12=3，AH=AE+EH=6+4=10，∵S△ACF=，S△HCF=，S△AGH=，∴S△GHC=S△ACF-S△HCF-S△AGH=36-6-15=15．【點(diǎn)睛】本題考查圖形變換探究線段和差問(wèn)題，感知，探究以及應(yīng)用，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形面積，四邊形面積，與三角形高有關(guān)的計(jì)算，掌握?qǐng)D形變換探究線段和差問(wèn)題，感知，探究以及應(yīng)用，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形面積，四邊形面積，與三角形高有關(guān)的計(jì)算是解題關(guān)鍵．【變式1-1】.已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如圖1，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接CE．①若∠BAD＝α，求∠DBE的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆虎谟玫仁奖硎揪€段EA，EB和EC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）如圖2，點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AD，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足E在線段AD上，連接CE．①依題意補(bǔ)全圖2；②直接寫出線段EA，EB和EC之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）①∠DBE＝45°﹣α；②AE﹣BEEC，證明見(jiàn)解析；（2）①補(bǔ)全圖形見(jiàn)解析；②EB﹣EAEC．【分析】（1）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠CAB=45°，即可求出∠CAD=．根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出∠DBE=∠CAD=；②過(guò)點(diǎn)C作CR⊥CE交AE于R，然后證明△ACR≌△BCE，得到AR＝BE，CR＝CE，即可得到△CER是等腰直角三角形，ERCE，由此即可求解；（2）①根據(jù)題目要求作圖即可；②過(guò)點(diǎn)C作CF⊥CE，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠CAF=∠CBE，證明△ACF≌△BCE.根據(jù)全等三角形的性質(zhì)有AF=BE，CF=CE．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)有EF=EC．則有AF-EA=EC，即可求出線段EA，EB和EC之間的數(shù)量關(guān)系．【解析】解：（1）①如圖1中，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝45°，∵∠BAD＝α，∴∠CAD＝45°﹣α．∵∠ACB＝90°，BE⊥AD，∠ADC＝∠BDE，∴∠DBE＝∠CAD＝45°﹣α；②結(jié)論：AE﹣BEEC．理由：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CR⊥CE交AE于R．∴∠ACB＝∠RCE＝90°，∴∠ACR＝∠BCE，∵∠CAR+∠ADC＝90°，∠CBE+∠BDE＝90°，∠ADC＝∠BDE，∴∠CAR＝∠CBE，在△ACR和△BCE中，，∴△ACR≌△BCE（ASA），∴AR＝BE，CR＝CE，∴△CER是等腰直角三角形，∴ERCE，∴AE﹣BE＝AE﹣AR＝EREC．（2）①補(bǔ)全圖形，如圖2所示：②猜想：當(dāng)D在BC邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，EB﹣EAEC；理由如下：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥CE，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖3所示：則∠ECF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°，∴∠ECF+∠ACE＝∠ACB+∠ACE，即∠ACF＝∠BCE，∵∠CAF+∠ADB＝90°，∠CBE+∠ADB＝90°，∴∠CAF＝∠CBE，在△ACF和△BCE中，，∴△ACF≌△BCE（ASA），∴AF＝BE，CF＝CE．∵∠ECF＝90°，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EFEC，即AF﹣EAEC．∴EB﹣EAEC．【點(diǎn)睛】考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等，難度一般，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二:一線三等角模型例2．通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：[模型呈現(xiàn)]如圖1，，，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E．求證：．[模型應(yīng)用]如圖2，且，且，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積為_(kāi)_______________．[深入探究]如圖3，，，，連接，，且于點(diǎn)F，與直線交于點(diǎn)G．若，，則的面積為_(kāi)____________．【答案】[模型呈現(xiàn)]見(jiàn)解析；[模型應(yīng)用]50；[深入探究]63【分析】[模型呈現(xiàn)]證明，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到；[模型應(yīng)用]根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，，根據(jù)梯形的面積公式計(jì)算，得到答案；[深入探究]過(guò)點(diǎn)D作于P，過(guò)點(diǎn)E作交的延長(zhǎng)線于Q，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，證明，得到，進(jìn)而求出，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【解析】[模型呈現(xiàn)]證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；[模型應(yīng)用]解：由[模型呈現(xiàn)]可知，，∴，則，故答案為：50；[深入探究]過(guò)點(diǎn)D作于P，過(guò)點(diǎn)E作交AG的延長(zhǎng)線于Q，由[模型呈現(xiàn)]可知，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：63．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算，熟記三角形確定的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】.某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．(1)如圖1．已知：在中，，，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，直線l，直線l，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：．(2)組員小明對(duì)圖2進(jìn)行了探究，若，，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．直線l，直線l，垂足分別為點(diǎn)D、E．他發(fā)現(xiàn)線段、、之間也存在著一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出段、、之間的數(shù)量關(guān)系，(3)數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題：如圖3，過(guò)的邊、向外作正方形和正方形（正方形的4條邊都相等，4個(gè)角都是直角），是邊上的高，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)直線l，直線l，，可得，利用可證明，根據(jù)即可得到；（2）同（1）利用可證明，根據(jù)即可得到；（3）過(guò)作于，的延長(zhǎng)線于，可構(gòu)造兩組一線三直角全等模型，即：，，從而可以得到，，再根據(jù)可得，即可確定的長(zhǎng)度；【解析】（1）證明：∵直線l，直線l，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴∴，，∴；（2）∵直線l，直線l，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴∴，，∴；（3）如圖，過(guò)作于，的延長(zhǎng)線于，∴∵，，∴在和中，，∴∴，，同理可得：∴，，即：，，在和中，，∴，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，一線三直角全等模型，線段之間的計(jì)算，構(gòu)造合理的輔助線及掌握等腰直角三角形下的一線三直角全等模型是解決本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三:手拉手模型例3．如圖，和都是等邊三角形，直線，交于點(diǎn)F．(1)如圖1，當(dāng)A，C，D三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，的度數(shù)為_(kāi)_____，線段與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____．(2)如圖2，當(dāng)繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由：若成立，請(qǐng)就圖2給予證明．(3)若，，當(dāng)繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，請(qǐng)直接寫出長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)，；(2)成立，理由見(jiàn)解析(3)【分析】本題考查了等邊三角形性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．（1）利用等邊三角形的性質(zhì)證明，結(jié)合三角形的外角就可以得出結(jié)論；（2）同（1）中方法證明，得出，，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出；（3）當(dāng)B、C、D三點(diǎn)共線時(shí)得出的最大和最小值，即可得出結(jié)論．【解析】（1）解：是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，即，在和中，，，，，且（2）（1）中結(jié)論仍成立，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，即，在和中，，，，，且，；（3）是等邊三角形，，當(dāng)旋轉(zhuǎn)=時(shí)，B、C、D三點(diǎn)共線，此時(shí)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)=時(shí)，B、C、D三點(diǎn)共線，此時(shí)；∴．【變式3-1】．在中，，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)（不與、重合），把線路繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至（即），使得，連接、．(1)如圖1，點(diǎn)在線段上，如果，則__________度．

(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上，如果，則__________度．

(3)如圖3，設(shè)，，當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，，的數(shù)量關(guān)系是什么？請(qǐng)說(shuō)明理由．

(4)設(shè)，，當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出，的數(shù)量關(guān)系，不用證明．【答案】(1)90(2)120(3)(4)或【分析】（1）由“”可證，得，可求的度數(shù)；（2）由“”可證，得，可求的度數(shù)；（3）由“”可證得出，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；（4）由“”可證得出，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論．【解析】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：90；（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：120；（3），理由如下：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴；（4）如圖4，當(dāng)點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上時(shí)，，

證明方法同（3）；如圖5，當(dāng)點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上時(shí)，，

理由如下：∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴．綜上，或．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，和均為等邊三角形，當(dāng)應(yīng)轉(zhuǎn)至點(diǎn)，，在同一直線上，連接，易證，則①；②線段AD，之間的數(shù)量關(guān)系；（2）拓展研究：如圖2，和均為等腰三角形，且，點(diǎn)，，在同一直線上，若，，求AB的長(zhǎng)度；（3）如圖3，為等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，且，，，，，求BD的長(zhǎng)．【答案】（1）①；②；（2）；（3）【分析】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，（1）證明．得到．利用為等邊三角形，得到，再利用點(diǎn)A，D，E在同一直線上，可得，即可得；（2）證明，可得，，再證明，利用勾股定理求解即可；（3）把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得，連接，可得，證明是等邊三角形，證明，再證明、、在同一條直線上，求出DE，利用勾股定理求解即可．【解析】解：（1）①∵和均為等邊三角形，∴，，．∴．在和中，，∴．∴．∵為等邊三角形，∴．∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴．∴．②由①得：△，∴；故答案為：①；②．（2）∵和均為等腰直角三角形，∴，，．∴．在和中，，∴，∴，，∵為等腰直角三角形∴．∵點(diǎn)，，在同一直線上，∴．∴．∴．∴；（3）把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得，連接，如圖所示：，，則，∴，，，，∴是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，又∵，即D、P、E在同一條直線上，∴，在中，=，即BD的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題涉及全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件集中到同一個(gè)三角形中．【變式3-3】．（1）如圖1，和都是等邊三角形，且，，三點(diǎn)在一條直線上，連接，相交于點(diǎn)，求證：．（2）如圖2，在中，若，分別以，和為邊在外部作等邊，等邊，等邊，連接、、恰交于點(diǎn)．①求證：；②如圖2，在（2）的條件下，試猜想，，與存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）①詳見(jiàn)解析；②，理由詳見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，進(jìn)而得出∠BCE=∠ACD，判斷出（SAS），即可得出結(jié)論；（2）①同（1）的方法判斷出（SAS），（SAS），即可得出結(jié)論；②先判斷出∠APB=60°，∠APC=60°，在PE上取一點(diǎn)M，使PM=PC，證明是等邊三角形，進(jìn)而判斷出（SAS），即可得出結(jié)論．【解析】（1）證明：∵和都是等邊三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ABC+∠ACE=∠DCE+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴（SAS），∴BE=AD；（2）①證明：∵和是等邊三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，∴（SAS），∴AD=BE，同理：（SAS），∴AD=CF，即AD=BE=CF；②解：結(jié)論：PB+PC+PD=BE，理由：如圖2，AD與BC的交點(diǎn)記作點(diǎn)Q，則∠AQC=∠BQP，由①知，，∴∠CAD=∠CBE，在中，∠CAD+∠AQC=180°-∠ACB=120°，∴∠CBE+∠BQP=120°，在中，∠APB=180°-（∠CBE+∠BQP）=60°，∴∠DPE=60°，同理：∠APC=60°，∠CPD=120°，在PE上取一點(diǎn)M，使PM=PC，∴是等邊三角形，∴，∠PCM=∠CMP=60°，∴∠CME=120°=∠CPD，∵是等邊三角形，∴CD=CE，∠DCE=60°=∠PCM，∴∠PCD=∠MCE，∴（SAS），∴PD=ME，∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四:旋轉(zhuǎn)模型例4．如圖1，在等腰Rt中，，點(diǎn)D、E分別在邊、上，，連接，點(diǎn)M、P、N分別為、、的中點(diǎn)．(1)觀察猜想：圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；(2)探究證明：把繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(3)拓展延伸：把繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，求面積的最大值．【答案】(1)，(2)是等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用三角形的中位線定理得出，，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論，再利用三角形的中位線定理得出，再得出，最后利用互余得出結(jié)論；（2）先判斷出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法即可得出結(jié)論；（3）由等腰直角三角形可知，當(dāng)最大時(shí)，面積最大，而的最大值是，即可得出結(jié)論．【解析】（1）解：∵P、N分別為、的中點(diǎn)，∴，，∵點(diǎn)M、P分別為DE、DC的中點(diǎn)，∴，，∵，，∴，∴，∵，，∴，，∵，∴，∴，∴．故答案為：，．（2）解：是等腰直角三角形，理由如下．由旋轉(zhuǎn)可知，，∵，，∴，∴，，由三角形的中位線定理得，，，∴，∴是等腰三角形，同（1）的方法可得，，，，，∵，∴，，∵，∴，∴是等腰直角三角形．（3）解：由（2）可知，是等腰直角三角形，，∴當(dāng)最大時(shí)，面積最大，∴點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及三角形的中位線定理，熟練應(yīng)用相關(guān)知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．【變式4-1】．如圖，等邊中，分別交、于點(diǎn)、．（1）求證：是等邊三角形；（2）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（），設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)．①如圖，當(dāng)時(shí)，判斷的度數(shù)是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由；②若，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①的度數(shù)是定值，為60°；②或8．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得，再由，可得到，，從而得到，即可求證；（2）根據(jù)題意，可證得，從而得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，即可求解；（3）分兩種情況討論：當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且在BC上方時(shí)，當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且在BC下方時(shí)，即可求解．【解析】證明：（1）是等邊三角形，∴，∵，∴，，，∴是等邊三角形；（2）解：①的度數(shù)是定值，理由如下：是等邊三角形，∴BC=AC，CD=CE，，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴，即的度數(shù)是定值，為60°；②當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且在BC上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，∵是等邊三角形，，∴，在中，由勾股定理得：，在中，，；當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且在BC下方時(shí).，綜上所述，或8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)五:倍長(zhǎng)中線模型例5．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在中，是的中點(diǎn)，求邊上的中線的取值范圍．

【方法探索】（1）小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：如圖1，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．根據(jù)可以判定，得出．這樣就能把線段集中在中．利用三角形三邊的關(guān)系，即可得出中線的取值范圍是___________．【問(wèn)題解決】（2）由第（1）問(wèn)方法的啟發(fā)，請(qǐng)解決下面問(wèn)題：如圖2，在中，是邊上的一點(diǎn)，是的中線，，試說(shuō)明：；【問(wèn)題拓展】（3）如圖3，是的中線，過(guò)點(diǎn)分別向外作，使得，判斷線段與的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）；理由見(jiàn)解析【分析】本題是三角形的綜合題和倍長(zhǎng)中線問(wèn)題，考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，并運(yùn)用類比的方法解決問(wèn)題．（1）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，根據(jù)定理證明，可得結(jié)論；（2）延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得，連接．證明，得出，得出，得出，即可證明結(jié)論．（3）延長(zhǎng)，使，連接，證明，得出，，證明，得出，即可證明結(jié)論．【解析】解：如圖1，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，

∵是的中點(diǎn)，，，，，在中，，，；（2）證明：如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得，連接．

∵是邊上的中線，∴，在和中，，，∴，∴，，，，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（3）解：；理由如下：如圖，延長(zhǎng)，使，連接，

∵為邊上的中線，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【變式5-1】．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CD，BD交CE于點(diǎn)P．（1）如圖1，求證：∠BPC＝120°；（2）點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，連接PA，PM，延長(zhǎng)BP到點(diǎn)F，使PF＝PC，連接CF，①如圖2，若點(diǎn)A，P，M三點(diǎn)共線，則AP與PM的數(shù)量關(guān)系是．②如圖3，若點(diǎn)A，P，M三點(diǎn)不共線，問(wèn)①中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①AP＝2PM；②成立，證明見(jiàn)解析【分析】（1）由“SAS”可證△AEC≌△CDB，得到∠ACE＝∠CBD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算，得出結(jié)論；（2）①由等邊三角形的性質(zhì)和已知條件得出∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AM⊥BC，∠BAP＝∠CAP＝∠BAC＝30°，得出PB＝PC，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠PBC＝∠PCB＝30°，得出PC＝2PM，證出∠ACP＝60°﹣30°＝30°＝∠CAP，得出AP＝PC，即可得出AP＝2PM；②延長(zhǎng)PM＝MH，連接CH，由“SAS”可證△ACF≌△BCP，可得AF＝BP，∠AFC＝∠BPC＝120°，由“SAS”可證△CMH≌△BMP，可得CH＝BP＝AF，∠HCM＝∠PBM，由“SAS”可證△AFP≌△HCP，可得AP＝PN＝2PM．【解析】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，在△AEC和△CDB中，，∴△AEC≌△CDB（SAS），∴∠ACE＝∠CBD，∵∠BPC+∠DBC+∠BCP＝180°，∴∠BPC+∠ACE+∠BCP＝180°，∴∠BPC＝180°﹣60°＝120°；（2）①解：AP＝2PM，理由如下：∵△ABC為等邊三角形，點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，∴AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM＝30°，∵AM⊥BC，點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，∴PB＝PC，∵∠BPC＝120°，∴∠PBC＝∠PCB＝30°，∴PC＝2PM，∠ACP＝30°，∴∠PAC＝∠PCA，∴PA＝PC，∴AP＝2PM，故答案為：AP＝2PM；②解：①中的結(jié)論成立，理由如下：延長(zhǎng)PM至H，是MH＝PM，連接AF、CH，∵∠BPC＝120°，∴∠CPF＝60°，∵PF＝PC，∴△PCF為等邊三角形，∴CF＝PF＝PC，∠PCF＝∠PFC＝60°，∵△ABC為等邊三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°＝∠PCF，∴∠BCP＝∠ACF，在△BCP和△ACF中，，∴△BCP≌△ACF（SAS），∴AF＝BP，∠AFC＝∠BPC＝120°，∴∠AFP＝60°，在△CMH和△BMP中，，∴△CMH≌△BMP（SAS），∴CH＝BP＝AF，∠MCH＝∠MBP，∴CH∥BP，∴∠HCP+∠BPC＝180°，∴∠HCP＝60°＝∠AFP，在△AFP和△HCP中，，∴△AFP≌△HCP（SAS），∴AP＝PH＝2PM．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】．[方法儲(chǔ)備]如圖1，在中，為的中線，若，，求的取值范圍．中線倍長(zhǎng)法：如圖2，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連結(jié)，可證明，由全等得到，從而在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可以確定的范圍，進(jìn)一步即可求得的范圍．在上述過(guò)程中，證明的依據(jù)是______，的范圍為_(kāi)_____；[思考探究]如圖3，在中，，為中點(diǎn)，、分別為、上的點(diǎn)，連結(jié)、、，，若，，求的長(zhǎng)；[拓展延伸]如圖4，為線段上一點(diǎn)，，分別以、為斜邊向上作等腰和等腰，為中點(diǎn)，連結(jié)，，．①求證：為等腰直角三角形；②若將圖4中的等腰繞點(diǎn)轉(zhuǎn)至圖5的位置（，，不在同一條直線上），連結(jié)，為中點(diǎn)，且，在同側(cè)，連結(jié)，．若，，求和的面積之差．【答案】[方法儲(chǔ)備]，；[思考探究]；[拓展延伸]①見(jiàn)解析；②【分析】[方法儲(chǔ)備]由得出，在中，根據(jù)三邊關(guān)系得到，即可求解，[思考探究]延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，由得出，，從而得，應(yīng)用勾股定理求出，結(jié)合垂直平分，即可求解，[拓展延伸]①延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，由，可得，，由，，，即可求證，②延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，由，可得，，導(dǎo)角得，由，可得，，作，，，通過(guò)勾股定理得到邊長(zhǎng)間的關(guān)系，代入，即可求解，本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形的三邊關(guān)系，勾股定理，解題的關(guān)鍵是：熟練應(yīng)用“倍長(zhǎng)中線法”．【解析】[方法儲(chǔ)備]解：在和中，，，，在中，，即：，，，，故答案為：，，[思考探究]解：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連結(jié)，，在和中，，，，，，，，在中，，而，，垂直平分，，故答案為：，[拓展延伸]解：①延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連結(jié)，，在和中，，，，，，又，，，，又，，為等腰直角三角形，②如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連結(jié)，，，為中點(diǎn)，同上“倍長(zhǎng)中線”方法可得，，，設(shè)，，，，，，，分別過(guò)，作，，，為垂足，，設(shè)，，，，，，，解得，，，故答案為：．考點(diǎn)六:截長(zhǎng)補(bǔ)短模型例6．如圖：在四邊形中，，，，分別是，上的點(diǎn)，且，探究圖中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．(1)小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；（直接寫結(jié)論，不需證明）(2)如圖，若在四邊形中，，，分別是、上的點(diǎn)，且，（）中結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；(3)如圖，在四邊形中，，，分別是邊、延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且，（）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)；(2)（）中的結(jié)論仍然成立，證明見(jiàn)解析；(3)結(jié)論不成立，結(jié)論：；證明見(jiàn)解析．【分析】（）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，證明和，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解；（）（）中的結(jié)論仍然成立．如圖中，延長(zhǎng)至，使，連接，證明和即可求證；（）結(jié)論不成立，結(jié)論：．如圖中，在上截取，使，連接，證明和即可求證；本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，補(bǔ)角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)變換的思想添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．【解析】（1）解：如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，在和中，，∴，∴，，，即，∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，故答案為：；（2）解：（）中的結(jié)論仍然成立．證明：如圖中，延長(zhǎng)至，使，連接，∵，，∴，在與中，，∴，∴，，∵，∴，∴，即，在與中，，∴，∴，∵，∴（3）解：結(jié)論不成立，結(jié)論：．證明：如圖中，在上截取，使，連接，∵，，∴，在與中，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴．【變式6-1】．（1）閱讀理解：?jiǎn)栴}：如圖1，在四邊形中，對(duì)角線BD平分，．求證：．思考：“角平分線+對(duì)角互補(bǔ)”可以通過(guò)“截長(zhǎng)、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問(wèn)題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題；方法2：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．（2）問(wèn)題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接，當(dāng)時(shí)，探究線段AB，，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）問(wèn)題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，請(qǐng)直接寫出線段AB、CE、之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；理由見(jiàn)解析；（3）．【分析】（1）方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題；方法2：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題；（2）延長(zhǎng)CB到點(diǎn)，使，連接，證明，可得，即（3）連接BD，過(guò)點(diǎn)作于，證明，，進(jìn)而根據(jù)即可得出結(jié)論．【解析】解：（1）方法1：在上截，連接，如圖．平分，．在和中，，，，．，．．，．方法2：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，如圖．平分，．在和中，，．，．，．，，．（2）AB、、BD之間的數(shù)量關(guān)系為：．（或者：，）．延長(zhǎng)CB到點(diǎn)，使，連接，如圖2所示．由（1）可知，．為等邊三角形．，．，．．，為等邊三角形．，．，，即．在和中，，．，，．（3）AB，CE，之間的數(shù)量關(guān)系為：．（或者：，）解：連接BD，過(guò)點(diǎn)作于，如圖3所示．，．．在和中，，，，．在和中，，．，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】．本學(xué)期，我們學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識(shí)，而四邊形的學(xué)習(xí)，我們一般通過(guò)輔助線把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形，通過(guò)三角形的基本性質(zhì)和全等來(lái)解決一些問(wèn)題．（1）如圖1，在四邊形中，，，連接．①小明發(fā)現(xiàn)，此時(shí)平分．他通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)，提出以下想法：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，證明，從而利用全等和等腰三角形的性質(zhì)可以證明平分．請(qǐng)你參考小明的想法，寫出完整的證明過(guò)程．②如圖2，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)你判斷線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）如圖3，等腰、等腰的頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在線段上，且，請(qǐng)你判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）①見(jiàn)解析；②，證明見(jiàn)解析；（2），證明見(jiàn)解析【分析】（1）①參考小明的想法，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，證明，從而利用全等和等腰三角形的性質(zhì)可以證明平分；②沿用①中輔助線，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，證得直角三角形，再利用勾股定理可求得，，之間的數(shù)量關(guān)系；（2）類比（1）中證明的思路，延長(zhǎng)至，使得，連，證明、，再利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等和等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)，找到與的數(shù)量關(guān)系．【解析】（1）如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接．，，在與中，，．平分（2）證明：如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接．由（1）知，，在直角三角形中，（3）證明：如圖，延長(zhǎng)至，使得，連，由（1）知，，在與中，，，，【點(diǎn)睛】本題考查三角形的基本知識(shí)、全等三角形的性質(zhì)和判定以及等腰三角形的性質(zhì)與判定．綜合性較強(qiáng)．考點(diǎn)七:作平行線、作垂線法例7．閱讀下面的題目及分析過(guò)程，并按要求進(jìn)行證明．已知：如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個(gè)三角形中，且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．（1）現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請(qǐng)任意選出其中一種，對(duì)原題進(jìn)行證明．①如圖1，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過(guò)點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G．（2）請(qǐng)你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對(duì)原題進(jìn)行證明．【答案】（1）①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；【分析】（1）①如圖1，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F，AB＝CD；②如圖2，分別過(guò)點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G，△BEF≌△CEG△BAF≌△CDG，AB＝CD；（2）如圖3，過(guò)C點(diǎn)作CM∥AB，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，則∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE（AAS），∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD；【解析】（1）①如圖1，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE，在△BEF和△CED中，，∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，∴AB＝BF，∴AB＝CD；②如圖2，分別過(guò)點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G，∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE，在△BEF和△CEG中，，∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG，在△BAF和△CDG中，，∴△BAF≌△CDG（AAS），∴AB＝CD；（2）如圖3，過(guò)C點(diǎn)作CM∥AB，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，則∠BAE＝∠EMC，∵E是BC中點(diǎn)，∴BE＝CE，在△BAE和△CME中，，∴△BAE≌△CFE（AAS），∴CF＝AB，∠BAE＝∠F，∵∠BAE＝∠EDC，∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，對(duì)頂角相等，平行線的性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．【變式7-1】．如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D在邊AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，連接BE，取BE的中點(diǎn)F，連接DF．(1)請(qǐng)直接寫出∠ADF的度數(shù)及線段AD與DF的數(shù)量關(guān)系；(2)將圖1中的△CDE繞點(diǎn)C按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，①如圖2，（1）中∠ADF的度數(shù)及線段AD與DF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；②如圖3，連接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范圍．【答案】(1)∠ADF=45°，AD=DF；(2)①成立，理由見(jiàn)解析；②1≤S△ADF≤4.【分析】（1）延長(zhǎng)DF交AB于H，連接AF，先證明△DEF≌△HBF，得BH=CD，再證明△ADH為等腰直角三角形，利用三線合一及等腰直角三角形邊的關(guān)系即可得到結(jié)論；（2）①過(guò)B作DE的平行線交DF延長(zhǎng)線于H，連接AH、AF，先證明△DEF≌△HBF，延長(zhǎng)ED交BC于M，再證明∠ACD=∠ABH，得△ACD≌△ABH，得AD=AH，等量代換可得∠DAH=90°，即△ADH為等腰直角三角形，利用三線合一及等腰直角三角形邊的關(guān)系即可得到結(jié)論；②先確定D點(diǎn)的軌跡，求出AD的最大值和最小值，代入S△ADF=求解即可．【解析】（1）解：∠ADF=45°，AD=DF，理由如下：延長(zhǎng)DF交AB于H，連接AF，∵∠EDC=∠BAC=90°，∴DE∥AB，∴∠ABF=∠FED，∵F是BE中點(diǎn)，∴BF=EF，又∠BFH=∠DFE，∴△DEF≌△HBF，∴BH=DE，HF=FD，∵DE=CD，AB=AC，∴BH=CD，AH=AD，∴△ADH為等腰直角三角形，∴∠ADF=45°，又HF=FD，∴AF⊥DH，∴∠FAD=∠ADF=45°，即△ADF為等腰直角三角形，∴AD=DF;（2）解：①結(jié)論仍然成立，∠ADF=45°，AD=DF，理由如下：過(guò)B作DE的平行線交DF延長(zhǎng)線于H，連接AH、AF，如圖所示，則∠FED=∠FBH，∠FHB=∠EFD，∵F是BE中點(diǎn)，∴BF=EF，∴△DEF≌△HBF，∴BH=DE，HF=FD，∵DE=CD，∴BH=CD，延長(zhǎng)ED交BC于M，∵BH∥EM，∠EDC=90°，∴∠HBC+∠DCB=∠DMC+∠DCB=90°，又∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=45°，∴∠HBA+∠DCB=45°，∵∠ACD+∠DCB=45°，∴∠HBA=∠ACD，∴△ACD≌△ABH，∴AD=AH，∠BAH=∠CAD，∴∠CAD+∠DAB=∠BAH+∠DAB=90°，即∠HAD=90°，∴∠ADH=45°，∵HF=DF，∴AF⊥DF，即△ADF為等腰直角三角形，∴AD=DF．②由①知，S△ADF=DF2=AD2，由旋轉(zhuǎn)知，當(dāng)A、C、D共線時(shí)，且D在A、C之間時(shí)，AD取最小值為3－1=2，當(dāng)A、C、D共線時(shí)，且C在A、D之間時(shí)，AD取最大值為3+1=4，∴1≤S△ADF≤4．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)及判定、全等三角形判定及性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．構(gòu)造全等三角形及將面積的最值轉(zhuǎn)化為線段的最值是解題關(guān)鍵．遇到題干中有“中點(diǎn)”時(shí)，采用平行線構(gòu)造出對(duì)頂三角形全等是常用輔助線．考點(diǎn)八:半角模型例8．已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長(zhǎng)線）于E、F．（1）當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE＝CF時(shí)（如圖1），試猜想AE，CF，EF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)將三條線段分別填入后面橫線中：＋＝．（不需證明）（2）當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE≠CF（如圖2）時(shí)，上述（1）中結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE≠CF（如圖3）時(shí)，上述（1）中結(jié)論是否成立？若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，不需證明．【答案】（1）AE；CF；EF；（2）成立，見(jiàn)解析；（3）不成立，新的關(guān)系為AE＝EF＋CF．【分析】（1）根據(jù)題意易得△ABE≌△CBF，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠ABE=∠CBF=30°，進(jìn)而根據(jù)30°角的直角三角形及等邊三角形的性質(zhì)可求解；（2）如圖2，延長(zhǎng)FC到H，使CH=AE，連接BH，根據(jù)題意可得△BCH≌△BAE，則有BH=BE，∠CBH=∠ABE，進(jìn)而可證△HBF≌△EBF，推出HF=EF，最后根據(jù)線段的等量關(guān)系可求解；（3）如圖3，在AE上截取AQ=CF，連接BQ，根據(jù)題意易得△BCF≌△BAQ，推出BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，進(jìn)而可證△FBE≌△QBE，推出EF=QE即可．【解析】解：（1）如圖1，AE+CF=EF，理由如下：∵AB⊥AD，BC⊥CD，∴∠A=∠C=90°，∵AB=BC，AE=CF，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴∠ABE=∠CBF，BE=BF，∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE=∠CBF=30°，∴，∵∠MBN=60°，BE=BF，∴△BEF是等邊三角形，∴，故答案為：AE+CF=EF；（2）如圖2，（1）中結(jié)論成立；理由如下：延長(zhǎng)FC到H，使CH=AE，連接BH，∵AB⊥AD，BC⊥CD，∴∠A=∠BCH=90°，∴△BCH≌△BAE（SAS），∴BH=BE，∠CBH=∠ABE，∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE+∠CBF=120°-60°=60°，∴∠HBC+∠CBF=60°，∴∠HBF=∠MBN=60°，∴∠HBF=∠EBF，∴△HBF≌△EBF（SAS），∴HF=EF，∵HF=HC+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF；（3）如圖3，（1）中的結(jié)論不成立，關(guān)系為AE=EF+CF，理由如下：在AE上截取AQ=CF，連接BQ，∵AB⊥AD，BC⊥CD，∴∠A=∠BCF=90°，∵AB=BC，∴△BCF≌△BAQ（SAS），∴BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，∵∠MBN=60°=∠CBF+∠CBE，∴∠CBE+∠ABQ=60°，∵∠ABC=120°，∴∠QBE=120°-60°=60°=∠MBN，∴∠FBE=∠QBE，∴△FBE≌△QBE（SAS），∴EF=QE，∵AE=QE+AQ=EF+CF，∴AE=EF+CF．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、含30°角的直角三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、含30°角的直角三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】．在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及△AMN的周長(zhǎng)Q與等邊△ABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM＝DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時(shí)；（2）如圖2，點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DM≠DN時(shí)，猜想（I）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論；若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，探索BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系如何？并給出證明．【答案】（1）BM+NC＝MN，23；（2）結(jié)論仍然成立，詳見(jiàn)解析；（3）NC﹣BM＝MN，【分析】（1）由DM＝DN，∠MDN＝60°，可證得△MDN是等邊三角形，又由△ABC是等邊三角形，CD＝BD，易證得Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性質(zhì)，即可求得BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系BM+NC＝MN，此時(shí)；（2）在CN的延長(zhǎng)線上截取CM1＝BM，連接DM1．可證△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，易證得∠CDN＝∠MDN＝60°，則可證得△MDN≌△M1DN，然后由全等三角形的性質(zhì)，即可得結(jié)論仍然成立；（3）首先在CN上截取CM1＝BM，連接DM1，可證△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，然后證得∠CDN＝∠MDN＝60°，易證得△MDN≌△M1DN，則可得NC﹣BM＝MN．【解析】（1）如圖1，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系BM+NC＝MN．此時(shí)．理由：∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等邊三角形，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°，∵DM＝DN，BD＝CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDN，∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，∴DM＝2BM，DN＝2CN，∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN；∴AM＝AN，∴△AMN是等邊三角形，∵AB＝AM+BM，∴AM：AB＝2：3，∴；（2）猜想：結(jié)論仍然成立．證明：在NC的延長(zhǎng)線上截取CM1＝BM，連接DM1．∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC，∴△AMN的周長(zhǎng)為：AM+MN+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC，∴；（3）證明：在CN上截取CM1＝BM，連接DM1．∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N．∴NC﹣BM＝MN．【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理．考點(diǎn)九:以上模型在線段的垂直平分線、角平分線的應(yīng)用例9．如圖，中，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，連接AD，過(guò)點(diǎn)B作AD的垂線交AD于M，交于點(diǎn)N，且．(1)求證：AD平分．(2)點(diǎn)E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，，求證：．(3)在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)A作交CE于點(diǎn)X，過(guò)點(diǎn)A作交CE于點(diǎn)H，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)已知證明AD垂直平分，易證是等腰三角形，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)，則，進(jìn)而求出，，再根據(jù)三角形外角得到，即可得出結(jié)論；（3）如圖，延長(zhǎng)CE到點(diǎn)，使得，設(shè)，利用三角形內(nèi)角定理及外角的性質(zhì)證明，，推出，，設(shè)，則，利用勾股定理即可求解．【解析】（1）證明：∵，∴AD垂直平分，∴，∴是等腰三角形，∴，∴AD平分；（2）證明：設(shè)，則，∵AD平分，，∴，∴，，∴，∴，∴；（3）解：如圖，延長(zhǎng)CE到點(diǎn)，使得，設(shè)，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，,∵，∴，在中，，在中，，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理勾股定理等知識(shí)，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理與外角的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式9-1】．如圖1，點(diǎn)為的外角的平分線上一點(diǎn)，，于．(1)求證：；(2)若，連接，，，求的長(zhǎng)度；(3)如圖2，若，分別是邊，上的點(diǎn)，且，求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)見(jiàn)解析【分析】（1）過(guò)作交于，根據(jù)角平分線性質(zhì)得到，結(jié)合，得到，即得；（2）根據(jù)全等三角形性質(zhì)得到，，得到，推出四邊形是正方形，根據(jù)，得到，設(shè)，得到，，根據(jù)勾股定理得到，解得，即得；（3）在上截取，連接，證明，得到，，得到，根據(jù)，得到，得到，推出，得到，即得；本題主要考查了角平分線，全等三角形．熟練掌握角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，是解題的關(guān)鍵．【解析】（1）如圖1，過(guò)作交于，∵點(diǎn)為的平分線上一點(diǎn)，于，∴，∵，∴，∴；（2）如圖2，∵，∴，，∴，即，∵，，∴四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，在中，，，∴，∵，∴，∴；（3）如圖3，在上截取，連接，∵，，∴，∴，，∴，即，∵，∴，即，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【變式9-2】．如圖1，和都是等腰直角三角形，，，的頂點(diǎn)在的斜邊上，連接，交于點(diǎn)，，垂足為，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．(1)填空：①______（填寫“＞”“＜”或“”）；②______；(2)證明：；(3)①記四邊形，，，，的面積依次為，，，，，若滿足，，求的值；②在線段上取一點(diǎn)，連接，，如圖2，當(dāng)平分時(shí)，求的值．【答案】(1)①＝；②90；(2)證明詳見(jiàn)解析；(3)．【分析】（1）證明，利用全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）連接，先證明，得出，，繼而證得，即可由勾股定理得出結(jié)論；（3）①先證明，，得出；然后過(guò)作于點(diǎn)，證明，得出，即可求解；②過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，先證明，得，再證明，得到，即可代入計(jì)算求解．【解析】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，∴，∴∴在與中，，∴，∴，∴．故答案為：，90．（2）證明：連接，，，在和中，，，，，是的中垂線，，，，，，，；（3）解：①且，，，①，同理，②，①＋②得：，可化為，即，，；過(guò)作于點(diǎn)，故，，又由（2）知，，在等腰中，由，∴∴，②如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，由（2）知平分，，又是的中垂線，，∴又由（2）知，．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)．本題屬三角形綜合題目，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．一、解答題1．央視科教頻道播放的《被數(shù)學(xué)選中的人》節(jié)目中說(shuō)到，“數(shù)學(xué)區(qū)別于其它學(xué)科最主要的特征是抽象與推理”．幾何學(xué)習(xí)尤其需要我們從復(fù)雜的問(wèn)題中進(jìn)行抽象，形成一些基本幾何模型，用類比等方法，進(jìn)行再探究、推理，以解決新的問(wèn)題．(1)【模型探究】如圖1，和中，，，且，連接，．這一圖形稱“手拉手模型”．求證，請(qǐng)你完善下列過(guò)程．證明：，．即．在和中（________）．(2)【模型指引】如圖2，中，，，以為端點(diǎn)引一條與腰相交的射線，在射線上取點(diǎn)，使，求的度數(shù)．小亮同學(xué)通過(guò)觀察，聯(lián)想到手拉手模型，在上找一點(diǎn)，使，最后使問(wèn)題得到解決．請(qǐng)你幫他寫出解答過(guò)程．(3)【拓展延伸】如圖3，中，，為任意角度，若射線不與腰相交，而是從端點(diǎn)向右下方延伸．仍在射線上取點(diǎn)，使，試判斷與有何數(shù)量關(guān)系？并寫出簡(jiǎn)要說(shuō)明．【答案】(1)，；(2)見(jiàn)解析(3)；見(jiàn)解析【分析】（1）由全等三角形的判定可得出結(jié)論；（2）在上取一點(diǎn)，使，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，由三角形內(nèi)角和定理可得出答案；（3）在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使得，由全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．【解析】（1）證明：，，即，在和中，，，故答案為：，；；（2）解：如圖2，在上取一點(diǎn)，使，，，，，，，，，又，，，，設(shè)和交于點(diǎn)，，．（3）解：．理由：如圖3，在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使得，同理可證：，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，證明是解本題的關(guān)鍵．2．如圖，在中，，，是的角平分線，于點(diǎn)．(1)如圖1，連接，求證：是等邊三角形；(2)點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），以為一邊，在的下方作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．試探究、與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)若點(diǎn)是射線上的一點(diǎn)，以為一邊，在的下方作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．請(qǐng)直接寫出，與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)，理由見(jiàn)解析(3)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)角平分線的定義得出，根據(jù)等角對(duì)等邊得出，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出，推得，根據(jù)有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形，即可證明；（2）延長(zhǎng)使得，連接，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出，結(jié)合對(duì)頂角相等和有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形可得出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等得出，