2025年北師版九年級(jí)數(shù)學(xué)寒假?gòu)?fù)習(xí) 專題3.13 圓全章專項(xiàng)復(fù)習(xí)【4大考點(diǎn)13種題型】

專題3.13圓全章專項(xiàng)復(fù)習(xí)【4大考點(diǎn)13種題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1圓的有關(guān)性質(zhì)】 1【題型1垂徑定理的應(yīng)用】 2【題型2弧、弦、圓心角的關(guān)系】 4【題型3圓周角定理及其推論的應(yīng)用】 5【題型4巧用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解】 6【考點(diǎn)2點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系】 8【題型5切線的判定】 9【題型6切線的性質(zhì)】 10【題型7切線長(zhǎng)定理】 12【題型8三角形的外接圓與內(nèi)切圓】 13【考點(diǎn)3正多邊形和圓】 15【題型9正多邊形和圓的有關(guān)計(jì)算】 15【題型10正多邊形中的規(guī)律探究性問(wèn)題】 16【考點(diǎn)4弧長(zhǎng)和扇形面積】 18【題型11圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的有關(guān)計(jì)算】 18【題型12不規(guī)則圖形面積的計(jì)算】 20【題型13利用弧長(zhǎng)和扇形面積公式解決幾何圖形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題】 21【考點(diǎn)1圓的有關(guān)性質(zhì)】知識(shí)點(diǎn)一圓的定義圓的定義：第一種：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫作圓。固定的端點(diǎn)O叫作圓心，線段OA叫作半徑。第二種：圓心為O，半徑為r的圓可以瞧成就是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合。比較圓的兩種定義可知：第一種定義就是圓的形成進(jìn)行描述的，第二種就是運(yùn)用集合的觀點(diǎn)下的定義，但就是都說(shuō)明確定了定點(diǎn)與定長(zhǎng)，也就確定了圓。知識(shí)點(diǎn)二圓的相關(guān)概念弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫作直徑?；。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。等圓：等夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓。等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。弦就是線段，弧就是曲線，判斷等弧首要的條件就是在同圓或等圓中，只有在同圓或等圓中完全重合的弧才就是等弧，而不就是長(zhǎng)度相等的弧。知識(shí)點(diǎn)三圓的對(duì)稱性圓就是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都就是它的對(duì)稱軸。知識(shí)點(diǎn)四垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。垂徑定理的推論：平分弦（不就是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧注意：因?yàn)閳A的兩條直徑必須互相平分，所以垂徑定理的推論中，被平分的弦必須不就是直徑，否則結(jié)論不成立。知識(shí)點(diǎn)五弦、弧、圓心角的關(guān)系弦、弧、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等。在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余的各組量也相等。注意不能忽略同圓或等圓這個(gè)前提條件，如果丟掉這個(gè)條件，即使圓心角相等，所對(duì)的弧、弦也不一定相等，比如兩個(gè)同心圓中，兩個(gè)圓心角相同，但此時(shí)弧、弦不一定相等。知識(shí)點(diǎn)六圓周角定理圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角就是直角，90°的圓周角所對(duì)弦就是直徑。圓周角定理揭示了同弧或等弧所對(duì)的圓周角與圓心角的大小關(guān)系?！巴』虻然　本褪遣荒芨臑椤巴一虻认摇钡?，否則就不成立了，因?yàn)橐粭l弦所對(duì)的圓周角有兩類。知識(shí)點(diǎn)七圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)圓內(nèi)接多邊形：如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓。圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)?！绢}型1垂徑定理的應(yīng)用】【例1】（2024·江西吉安·三模）如圖，一座石橋的主橋拱是四弧形，某時(shí)刻添得水面AB的寬度為8米，拱高CD（AB的中點(diǎn)C到水面的距離）為2米．(1)求主橋拱所在圓的半徑．(2)在主橋拱所在圓的圓心處有一水位檢測(cè)儀，若過(guò)幾天某時(shí)刻的水面為EF，檢測(cè)儀觀測(cè)點(diǎn)E的仰角為25.6°，求此時(shí)水面的寬度．（參考數(shù)據(jù)：sin25.6°≈0.43，cos25.6°≈0.90，【變式1-1】（23-24九年級(jí)·安徽淮南·期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問(wèn)題：“今有圓材埋在壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺．問(wèn)徑幾何？”意思是：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小．如圖，用鋸去鋸這木材，鋸口深ED=1寸，鋸道長(zhǎng)AB=1尺（1尺=10寸）．這根圓柱形木材的直徑是多少寸？【變式1-2】（2024·河南周口·二模）《九章算術(shù)》作為古代中國(guó)乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，與古希臘的《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉．在《九章算術(shù)》中記載有一類似問(wèn)題“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶顑纱?，鋸道長(zhǎng)一尺二，問(wèn)徑幾何?”小輝同學(xué)根據(jù)原文題意，畫出圓材截面圖如圖所示，已知：鋸口深為2寸，鋸道AB=1.2尺（1.2尺=12寸），求該圓材的直徑為多少寸?【變式1-3】（23-24九年級(jí)·河北唐山·期末）如圖，裝有水的水槽放在水平桌面上，其橫截面是以AB為直徑的半圓O，AB=40cm，GH為桌面截線，水面截線MN∥GH，直徑一端點(diǎn)B剛好與點(diǎn)N(1)計(jì)算MN的長(zhǎng)度，并比較直徑AB與MN長(zhǎng)度的大小；(2)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出線段CD，用其長(zhǎng)度表示水的最大深度，并求水的最大深度．【題型2弧、弦、圓心角的關(guān)系】【例2】（2024·江蘇南京·二模）如圖，AB、CD是⊙O的兩條弦，AC與BD相交于點(diǎn)E，AB=CD．(1)求證：AC=BD；(2)連接BC，作直線EO，求證：【變式2-1】（23-24九年級(jí)·湖南湘西·期末）如圖，AC=CB，D，E分別是半徑OA，OB的中點(diǎn)．求證：CD=CE【變式2-2】（23-24九年級(jí)·甘肅武威·期末）已知，如圖，在⊙O中，AB=DE，BC=EF，求證：AC=DF．【變式2-3】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知AB，CD是圓O的內(nèi)接四邊形ACBD的兩條對(duì)角線，AB，CD相交于點(diǎn)(1)如圖1，求證：BM=DM．(2)在圖1中找出一組全等的三角形，并給出證明．(3)如圖2，圓O的半徑為5，弦CD⊥AB于點(diǎn)P，當(dāng)△CBP的面積為3.5時(shí)，求AB的長(zhǎng)．【題型3圓周角定理及其推論的應(yīng)用】【例3】（2024·貴州遵義·三模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，D是弧AC的中點(diǎn)，連接BD，AD，CD．CE平分∠ACB交BD于點(diǎn)E．(1)寫出圖中一個(gè)與∠ACD相等的角______；(2)試判斷△CDE的形狀，并說(shuō)明理由；(3)若⊙O的半徑為23，∠ABC=60°，求AC【變式3-1】（2024·安徽合肥·二模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，已知AC⊥BD，垂足為E，弦AB的弦心距為OF．（1）若AF=OF，則∠ADB的度數(shù)為；（2）若⊙O的半徑為5，AB=8，則CD的長(zhǎng)為．【變式3-2】（2024·江蘇南京·二模）千姿百態(tài)的橋問(wèn)題：景區(qū)計(jì)劃在半徑為1km的人工湖⊙O“X型”（1）如圖①，若點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，則AC+BD的最大值為km；“L型”（2）如圖②，若點(diǎn)A，B，C在⊙O上，且AB⊥BC．求AB+BC的最大值；“T型”（3）如圖③，若點(diǎn)A，B，C在⊙O上，且AC⊥BD，垂足為D，則AC+BD的最大值為km．【變式3-3】（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，弦CD，CE分別交AB于點(diǎn)F，G，且∠DCE=1(1)設(shè)∠ACD=α，用含α的式子表示∠CDE的度數(shù)；(2)求證：FG(3)若⊙O的半徑為1，記△ACF，△BCG，△CFG的面積分別為S1，S2，S，設(shè)AF=a，BG=b，且滿足【題型4巧用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解】【例4】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知AB，CD為⊙O的位于圓心兩側(cè)的兩條弦，且AD=(1)如圖1，連接AC，BD．求證：AB∥CD．(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)A作CD的垂線交⊙O于點(diǎn)E．若在AC上取一點(diǎn)F，使得AF=CE．求證：D，O，【變式4-1】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，A,B,C,D,E均是⊙O上的點(diǎn)，且BE是⊙O的直徑，若∠BCD=2∠BAD，則∠DAE的度數(shù)是（

）A．20° B．30° C．40° D．45°【變式4-2】（2024·吉林白城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AC是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一條對(duì)角線，點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E在邊AB上，若∠ABC=70°，則∠AEC=°．【變式4-3】（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCDABCD的對(duì)角線ACAC，BDBD交于點(diǎn)EE，BDBD平分∠ABC∠ABC，∠BAC=∠AD(1)求證：DB平分∠ADC，并求∠BAD的大??；(2)過(guò)點(diǎn)C作CF∥AD交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若AC=AD，BF=2，試求四邊形ABCD的面積和此圓半徑的長(zhǎng)．【考點(diǎn)2點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系】知識(shí)點(diǎn)一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有：點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)三種。（2）用數(shù)量關(guān)系表示：若設(shè)⊙O的半徑就是r，點(diǎn)P到圓的距離OP=d，則有：點(diǎn)P在圓外d＞r；點(diǎn)p在圓上d=r；點(diǎn)p在圓內(nèi)d＜r。知識(shí)點(diǎn)二過(guò)已知點(diǎn)作圓（1）經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)的圓（如點(diǎn)A）以點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)（如點(diǎn)O）為圓心，以O(shè)A為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無(wú)數(shù)個(gè)?！1A·O2·O3（2）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的圓（如點(diǎn)A、B）以線段AB的垂直平分線上的任意一點(diǎn)（如點(diǎn)O）為圓心，以O(shè)A（或OB）為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無(wú)數(shù)個(gè)。AB（3）經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓①經(jīng)過(guò)在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)不能作圓②不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，即經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以作圓，且只能作一個(gè)圓。如經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C作圓，作法：連接AB、BC（或AB、AC或BC、AC）并作它們的垂直平分線，兩條垂直平分線相交于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A（或OB、OC）的長(zhǎng)為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓只能作一個(gè)。知識(shí)點(diǎn)三三角形的外接圓與外心（1）經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。（2）外接圓的圓心就是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的外心。知識(shí)點(diǎn)四直線與圓的位置關(guān)系（1）直線與圓的位置關(guān)系有：相交、相切、相離三種。（2）直線與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系表示若設(shè)⊙O的半徑就是r，直線l與圓心0的距離為d，則有：直線l與⊙O相交d＜r；直線l與⊙O相切d=r；直線l與⊙O相離d＞r。知識(shí)點(diǎn)五切線的判定與性質(zhì)（1）切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線就是圓的切線。（2）切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。（3）切線的其她性質(zhì)：切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；切線到圓心的距離等于半徑；經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)；必過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。知識(shí)點(diǎn)六切線長(zhǎng)定理（1）切線長(zhǎng)的定義：經(jīng)過(guò)園外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。（2）切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)與圓心的連線平分兩條切線的夾角。（3）注意：切線與切線長(zhǎng)就是兩個(gè)完全不同的概念，必須弄清楚切線就是直線，就是不能度量的；切線長(zhǎng)就是一條線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)一個(gè)就是在圓外一點(diǎn)，另一個(gè)就是切點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)七三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（1）三角形的內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形。（2）三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心。（3）注意：三角形的內(nèi)心就是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，所以當(dāng)三角形的內(nèi)心已知時(shí)，過(guò)三角形的頂點(diǎn)與內(nèi)心的射線，必平分三角形的內(nèi)角?！绢}型5切線的判定】【方法總結(jié)】因?yàn)榍芯€與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn),所以題中信息是否明確給出公共點(diǎn)可以作為判定切線方法選擇的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn).【例5】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在圓上，∠CDB=3∠ABC，CD平分∠ACB，與AB相交于點(diǎn)E．(1)在CA的延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)F，使CF=CD，連接FD（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求證：FD是⊙O的切線．【變式5-1】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，將△ABC沿過(guò)點(diǎn)A的直線翻折并展開(kāi)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′落在邊AB上，折痕為AD，點(diǎn)O在邊AB上，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D．若∠ACB=90°，判斷BC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【變式5-2】（2024·山東青島·一模）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AC是⊙O的直徑，D為BC的中點(diǎn)，∠ABE=∠C，E在CA的延長(zhǎng)線上．(1)EB是⊙O的切線嗎？為什么？(2)若DB=12AC【變式5-3】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，BC的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)A的直線相交于點(diǎn)E，且∠ABE=∠EAC．(1)求證：AE是⊙O的切線；(2)點(diǎn)F是弧AD的中點(diǎn)，點(diǎn)B在弧DF上，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，是否存在常數(shù)k，使AB+BD=kAG？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型6切線的性質(zhì)】【方法總結(jié)】已知圓的切線時(shí),常連接圓心和切點(diǎn),得到半徑垂直于切線,通過(guò)構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題,即“見(jiàn)切線,連半徑,得垂線”.【例6】（2024·湖南·二模）如圖，⊙O為四邊形ABCD的外接圓，△ABC是等邊三角形，AE是⊙O的切線，D是AC的中點(diǎn)，CD的延長(zhǎng)線交AE于點(diǎn)E．(1)求證：AE∥(2)若DE=2，求△ADE的面積．【變式6-1】（2024·天津?yàn)I海新·模擬預(yù)測(cè)）已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AB=2AC．(1)如圖①，點(diǎn)P是弧BC上一點(diǎn)，求∠APC的大?。?2)如圖②，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線MC，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥MC于點(diǎn)D，BD與⊙O交于點(diǎn)E，若AB=4，求CE的長(zhǎng)．【變式6-2】（2024·安徽合肥·三模）如圖，在四邊形ABCD中，AO平分∠BAD．點(diǎn)O在AC上，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑，作⊙O與BC相切于點(diǎn)B，BO延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，連接AE，DE．

(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若AE=DE=8，求AF的長(zhǎng)．【變式6-3】（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AD是⊙O的直徑，B、C都是⊙O上的點(diǎn)，連接AB、BC、OC、AC，E是(1)證明：DE是⊙O的切線；(2)連接OE，交⊙O于點(diǎn)F．當(dāng)CD=AO時(shí)，若CE=2，求EF的長(zhǎng)．【題型7切線長(zhǎng)定理】【例7】（23-24九年級(jí)·河南商丘·期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D在邊BC上，以CD為直徑的⊙O與直線AB相切于點(diǎn)E，連接OA，且OA=OB．連接CE交OA于點(diǎn)F．(1)求證：AB=2AC．(2)若AC=3，求線段OC，CF【變式7-1】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，圓O的圓心在梯形ABCD的底邊AB上，并與其它三邊均相切，若CD∥AB，AB=10，AD=6，則CB長(zhǎng)（

）A．4 B．5 C．6 D．無(wú)法確定【變式7-2】（2024·山東聊城·二模）如圖，AB為半圓O的直徑，C為半圓弧的三等分點(diǎn)，過(guò)B，C兩點(diǎn)的半圓O的切線交于點(diǎn)P，若AB的長(zhǎng)是2a，則PA的長(zhǎng)是．【變式7-3】（23-24九年級(jí)·江蘇揚(yáng)州·期中）數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在探究等分問(wèn)題的過(guò)程中，得到了很多成果．成果一：制作了三分角儀．圖(1)是示意圖，點(diǎn)B在半徑OC的延長(zhǎng)線上，CD⊥OC，BC=OC，CD足夠長(zhǎng)．若要將∠GAH三等分，只需要適當(dāng)放置三分角儀，使點(diǎn)A在CD上，點(diǎn)B落在AG上，當(dāng)AH與半⊙O相切時(shí)，AC、AO就將∠GAH三等分了．成果二：創(chuàng)造了只用圓規(guī)將圓四等分的方法．如圖(2)，具體步驟為：①將⊙O六等分，等分點(diǎn)分別是點(diǎn)A、B、C、D、E、F；②分別以點(diǎn)A、D為圓心，AE長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)G；③以點(diǎn)A為圓心，OG長(zhǎng)為半徑作弧，交⊙O于點(diǎn)M、N，則點(diǎn)A、M、D、N將⊙O四等分．(1)請(qǐng)你說(shuō)明三分角儀的正確性；(2)證明點(diǎn)A、M、D、N是⊙O四等分點(diǎn)．【題型8三角形的外接圓與內(nèi)切圓】【方法總結(jié)】三角形內(nèi)切圓的常用結(jié)論：【例8】（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）如圖，AB是圓O直徑，弦CE⊥AB，垂足為D，圓O周長(zhǎng)為4π，AC=2(1)AE，求△AEC內(nèi)切圓的面積；(2)BC，OE，求證：【變式8-1】（23-24九年級(jí)·江蘇鹽城·期中）如圖，I是△ABC的內(nèi)心，AI的延長(zhǎng)線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D．(1)求證：∠BAD=∠CBD；(2)求證：BD=ID；(3)連接BI、CI，求證：點(diǎn)D是△BIC的外心．【變式8-2】（23-24九年級(jí)·山東淄博·期末）如圖，O是△ABC的外心，I是△ABC的內(nèi)心，連接AI并延長(zhǎng)交BC和⊙O于D，E．(1)求證：EB=EI；(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的長(zhǎng)．【變式8-3】（23-24九年級(jí)·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長(zhǎng)線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D，連接BE，(1)若∠CBD=34°,求∠BEC的度數(shù)；(2)求證：DE=DB．【考點(diǎn)3正多邊形和圓】知識(shí)點(diǎn)一正多邊形的外接圓與圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形與圓的關(guān)系非常密切，把圓分成n（n就是大于2的自然數(shù)）等份，順次連接各分點(diǎn)所的的多邊形就是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就就是這個(gè)正多邊形的外接圓。正多邊形的中心：一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角。正多邊形的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。知識(shí)點(diǎn)二正多邊形的性質(zhì)（1）正n邊形的半徑與邊心距把正多邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形。（2）所有的正多邊形都就是軸對(duì)稱圖形，每個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都經(jīng)過(guò)正n邊形的中心；當(dāng)正n邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時(shí)，這個(gè)正n邊形也就是中心對(duì)稱圖形，正n邊形的中心就就是對(duì)稱中心。正n邊形的每一個(gè)內(nèi)角等于，中心角與外角相等，等于?！绢}型9正多邊形和圓的有關(guān)計(jì)算】【方法總結(jié)】利用正多邊形和圓的性質(zhì),已知正多邊形的邊長(zhǎng),求解與正多邊形有關(guān)的量時(shí),通常做法是作出正多邊形的邊心距,構(gòu)造由半徑、邊心距、邊長(zhǎng)的一半圍成的直角三角形,然后利用勾股定理解決.【例9】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，AC，EC分別交BD于點(diǎn)H，G．

(1)如圖①，求證：點(diǎn)H，G三等分BD．(2)如圖②，操作并證明．①尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)O作AC的垂線，垂足為K，以點(diǎn)O為圓心，OK的長(zhǎng)為半徑作圓；（在圖②中完成作圖，保留作圖痕跡，不需要寫作法）②求證：CE是①所作圓的切線．【變式9-1】（2024·福建廈門·二模）如圖，正五邊形ABCEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在⊙O上，則∠D的度數(shù)為（

）

A．45° B．50° C．60° D．72°【變式9-2】（2024·廣東廣州·三模）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，線段MN在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)，若⊙O的面積為2π，MN=1，則（1）⊙O的直徑長(zhǎng)為；（2）△AMN周長(zhǎng)的最小值是．【變式9-3】（23-24九年級(jí)·浙江金華·期中）如圖所示，已知正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于⊙O，連接AC、BD，相交于點(diǎn)P．若⊙O的半徑為1，(1)求AC的長(zhǎng)；(2)求∠APD的度數(shù)．【題型10正多邊形中的規(guī)律探究性問(wèn)題】【方法總結(jié)】正多邊形中規(guī)律探究性問(wèn)題是重要的考點(diǎn)之一,解答這類問(wèn)題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用特殊與一般的思想.這類問(wèn)題需要從簡(jiǎn)單的情形入手,由淺入深、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由特殊到一般逐步分析探索,發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律,再根據(jù)變化規(guī)律歸納出最后的結(jié)果.【例10】（2024·湖南湘西·中考真題）觀察下列結(jié)論：（1）如圖①，在正三角形ABC中，點(diǎn)M，N是AB,BC上的點(diǎn)，且AM=BN，則AN=CM，∠NOC=60°；（2）如圖②，在正方形ABCD中，點(diǎn)M，N是AB,BC上的點(diǎn)，且AM=BN，則AN=DM，∠NOD=90°；（3）如圖③，在正五邊形ABCDE中，點(diǎn)M，N是AB,BC上的點(diǎn)，且AM=BN，則AN=EM，∠NOE=108°；……根據(jù)以上規(guī)律，在正n邊形A1A2A3A4??An中，對(duì)相鄰的三邊實(shí)施同樣的操作過(guò)程，即點(diǎn)M，N是【變式10-1】（2015·山東威?！ぶ锌颊骖}）如圖，正六邊形A1B1C1D1E1F1的邊長(zhǎng)為2，正六邊形A2B2C2D2E2F2的外接圓與正六邊形A1B1C1D1E1F1的各邊相切，正六邊形A3B3C3D3E3F3的外接圓與正六邊形A2B2C2D2E2F2的各邊相切，…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，A10B10C10D10E10F10的邊長(zhǎng)為（）A．24329 B．81329 【變式10-2】（23-24九年級(jí)·湖南湘西·期中）如圖1，圖2，圖3?，M、N分別是⊙O的內(nèi)接正三角形ABC，正方形ABCD，正五邊形ABCDE，…的邊AB、BC上的點(diǎn)，且BM=CN，連接OM、ON，圖1中∠MON=120°，圖2中∠MON=90°，圖3中∠MON=72°…，根據(jù)這樣的規(guī)律，圖n中【變式10-3】（23-24九年級(jí)·浙江臺(tái)州·期中）李老師帶領(lǐng)班級(jí)同學(xué)進(jìn)行拓廣探索，通過(guò)此次探索讓同學(xué)們更深刻的了解π的意義．(1)[定義]我們將正n邊形的周長(zhǎng)L與正多邊形對(duì)應(yīng)的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)C的比值，稱作這個(gè)正n邊形的“正圓度”kn．如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，求得其內(nèi)切圓的半徑為36，因此(2)[探索]分別求出正方形和正六邊形的“正圓度”k4(3)[總結(jié)]隨著n的增大，kn【考點(diǎn)4弧長(zhǎng)和扇形面積】知識(shí)點(diǎn)一弧長(zhǎng)公式在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就就是圓的周長(zhǎng)C=2πR，所以n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)的計(jì)算公式l=×2πR=。知識(shí)點(diǎn)二扇形面積公式在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對(duì)的扇形面積就就是圓的面積S=πR2，所以圓心角為n°的扇形的面積為S扇形=。比較扇形的弧長(zhǎng)公式與面積公式發(fā)現(xiàn)：S扇形=知識(shí)點(diǎn)三圓錐的側(cè)面積與全面積圓錐的側(cè)面積就是曲面，沿著圓錐的一條母線將圓錐的側(cè)面展開(kāi)，容易的到圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖就是一個(gè)扇形。設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面圓的半徑為r，那么這個(gè)扇形的半徑為l，扇形的弧長(zhǎng)為2πr，因此圓錐的側(cè)面積。圓錐的全面積為?！绢}型11圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的有關(guān)計(jì)算】【例11】（2024·江蘇鹽城·三模）如圖，∠BPD=120°，點(diǎn)A、C分別在射線PB、PD上，∠PAC=30°，(1)用尺規(guī)在圖中作一段劣弧，使得它在A、C兩點(diǎn)分別與射線PB和PD相切．要求：寫出作法，并保留作圖痕跡；(2)將劣弧AC所在的扇形圍成圓錐的側(cè)面，則該圓錐的底面圓的半徑為．(3)求所得的劣弧與線段PA、PC圍成的封閉圖形的面積．【變式11-1】（23-24九年級(jí)·江蘇泰州·期中）如圖，在直徑為2的圓形紙片上裁剪出圓心角∠ACB=90°的扇形CAB．

(1)求陰影部分面積；(2)用所裁剪的扇形紙片CAB圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，求圓錐底面圓的半徑．【變式11-2】（23-24九年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末）如圖，在半徑為4的扇形AOB中，∠AOB=90°，點(diǎn)C是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接AC，BC，OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分別為點(diǎn)D，E．

(1)若扇形AOB是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，求該圓錐的底面半徑；(2)在△DOE中是否存在長(zhǎng)度為定值的邊?若存在，請(qǐng)求出這條邊的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式11-3】（2024·廣東東莞·二模）【綜合與實(shí)踐】主題：制作圓錐形生日帽．素材：一張圓形紙板、裝飾彩帶．步驟1：如圖1，將一個(gè)底面半徑為r的圓錐側(cè)面展開(kāi)，可得到一個(gè)半徑為l、圓心角為n°的扇形．制作圓錐形生日帽時(shí)，要先確定扇形的圓心角度數(shù)，再度量裁剪材料．步驟2：如圖2，把剪好的紙板粘合成圓錐形生日帽，

(1)現(xiàn)在需要制作一個(gè)r=10cm，l=30(2)為了使（1）中所制作的生日帽更美觀，要粘貼彩帶進(jìn)行裝飾，其中需要粘貼一條從點(diǎn)A處開(kāi)始，繞側(cè)面一周又回到點(diǎn)A的彩帶（彩帶寬度忽略不計(jì)），求彩帶長(zhǎng)度的最小值．【題型12不規(guī)則圖形面積的計(jì)算】【例12】（23-24九年級(jí)·浙江臺(tái)州·期末）如圖，扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=4，點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，將扇形OAB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到扇形O′A′A．4π3+5C．4π3+7【變式12-1】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，AC=BC=22，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)D為圓心，作圓心角為90°的扇形DEF，點(diǎn)C恰好在EF上（點(diǎn)E，F(xiàn)不與點(diǎn)C重合），半徑DE，DF分別與AC，BC相交于點(diǎn)G，H，則陰影部分的面積為【變式12-2】（23-24九年級(jí)·新疆烏魯木齊·期末）如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點(diǎn)O是邊BC的中點(diǎn)，半圓O與△ABC相切于點(diǎn)D、EA．32 B．22 C．2 【變式12-3】（2024·廣東惠州·三模）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，∠A=30°，BC=4，弦CD⊥AB于F，點(diǎn)E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AF=EF，連接DE．(1)填空：∠BCD=°；(2)判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)取CB的中點(diǎn)M，連接DM，求圖中陰影部分的面積．【題型13利用弧長(zhǎng)和扇形面積公式解決幾何圖形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題】【例13】（23-24九年級(jí)·云南曲靖·階段練習(xí)）如圖，在等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=2，PB=3，PC=1，若把BP繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BP′，連接P(1)求∠BPC的度數(shù)；(2)求PP(3)求點(diǎn)P劃過(guò)的路徑長(zhǎng)；(4)當(dāng)BC=52時(shí)，如果△BP′A【變式13-1】（2024·江蘇南通·一模）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為22cm，將正方形ABCD在直線l上順時(shí)針連續(xù)翻轉(zhuǎn)4次，則點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為(

A．4πcm B．2+22πcm C．22πcm D．【變式13-2】（16-17九年級(jí)·山東濟(jì)南·期末）如圖，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=4，將矩形ABCD繞著點(diǎn)D在桌面上順時(shí)針旋磚至A1B1C1D，使其?？吭诰匦?/p>

A．5π6 B．5π3 C．5π2【變式13-3】（2024·山東淄博·二模）如圖①，小慧同學(xué)把一個(gè)等邊三角形紙片（即△OAB）放在直線l1上，OA邊與直線l1重合，然后將三角形紙片繞著頂點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O1處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B1處；小慧又將三角形紙片AO1B1繞B1點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)A1處，點(diǎn)O1運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O2處（即頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)上述兩次旋轉(zhuǎn)到達(dá)O2處）．小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是兩段圓弧，即弧OO1和弧O1O2，頂點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的路程是這兩段圓弧的長(zhǎng)度之和，并且這兩段圓弧與直線l1圍成的圖形面積等于扇形AOO1的面積、△AO1B1的面積和扇形B1O1O2的面積之和．小慧進(jìn)行類比研究：如圖②，她把邊長(zhǎng)為1的正方形紙片OABC放在直線l2上，OA邊與直線l2重合，然后將正方形紙片繞著頂點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O1處（即點(diǎn)B處），點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)C1處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B1處；小慧又將正方形紙片AO1C1B1繞B1點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，……，按上述方法經(jīng)過(guò)若干次旋轉(zhuǎn)后，她提出了如下問(wèn)題：（1）若正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過(guò)3次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路程，并求頂點(diǎn)O在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積；若正方形OABC按上述方法經(jīng)過(guò)5次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路程；（2）正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過(guò)多少次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路程是21+102

專題3.13圓全章專項(xiàng)復(fù)習(xí)【4大考點(diǎn)13種題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1圓的有關(guān)性質(zhì)】 2【題型1垂徑定理的應(yīng)用】 3【題型2弧、弦、圓心角的關(guān)系】 7【題型3圓周角定理及其推論的應(yīng)用】 12【題型4巧用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解】 21【考點(diǎn)2點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系】 26【題型5切線的判定】 27【題型6切線的性質(zhì)】 33【題型7切線長(zhǎng)定理】 40【題型8三角形的外接圓與內(nèi)切圓】 46【考點(diǎn)3正多邊形和圓】 52【題型9正多邊形和圓的有關(guān)計(jì)算】 52【題型10正多邊形中的規(guī)律探究性問(wèn)題】 57【考點(diǎn)4弧長(zhǎng)和扇形面積】 62【題型11圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的有關(guān)計(jì)算】 63【題型12不規(guī)則圖形面積的計(jì)算】 69【題型13利用弧長(zhǎng)和扇形面積公式解決幾何圖形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題】 76【考點(diǎn)1圓的有關(guān)性質(zhì)】知識(shí)點(diǎn)一圓的定義圓的定義：第一種：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫作圓。固定的端點(diǎn)O叫作圓心，線段OA叫作半徑。第二種：圓心為O，半徑為r的圓可以瞧成就是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合。比較圓的兩種定義可知：第一種定義就是圓的形成進(jìn)行描述的，第二種就是運(yùn)用集合的觀點(diǎn)下的定義，但就是都說(shuō)明確定了定點(diǎn)與定長(zhǎng)，也就確定了圓。知識(shí)點(diǎn)二圓的相關(guān)概念弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫作直徑?；。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。等圓：等夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓。等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。弦就是線段，弧就是曲線，判斷等弧首要的條件就是在同圓或等圓中，只有在同圓或等圓中完全重合的弧才就是等弧，而不就是長(zhǎng)度相等的弧。知識(shí)點(diǎn)三圓的對(duì)稱性圓就是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都就是它的對(duì)稱軸。知識(shí)點(diǎn)四垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。垂徑定理的推論：平分弦（不就是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧注意：因?yàn)閳A的兩條直徑必須互相平分，所以垂徑定理的推論中，被平分的弦必須不就是直徑，否則結(jié)論不成立。知識(shí)點(diǎn)五弦、弧、圓心角的關(guān)系弦、弧、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等。在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余的各組量也相等。注意不能忽略同圓或等圓這個(gè)前提條件，如果丟掉這個(gè)條件，即使圓心角相等，所對(duì)的弧、弦也不一定相等，比如兩個(gè)同心圓中，兩個(gè)圓心角相同，但此時(shí)弧、弦不一定相等。知識(shí)點(diǎn)六圓周角定理圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角就是直角，90°的圓周角所對(duì)弦就是直徑。圓周角定理揭示了同弧或等弧所對(duì)的圓周角與圓心角的大小關(guān)系。“同弧或等弧”就是不能改為“同弦或等弦”的，否則就不成立了，因?yàn)橐粭l弦所對(duì)的圓周角有兩類。知識(shí)點(diǎn)七圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)圓內(nèi)接多邊形：如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓。圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)?！绢}型1垂徑定理的應(yīng)用】【例1】（2024·江西吉安·三模）如圖，一座石橋的主橋拱是四弧形，某時(shí)刻添得水面AB的寬度為8米，拱高CD（AB的中點(diǎn)C到水面的距離）為2米．(1)求主橋拱所在圓的半徑．(2)在主橋拱所在圓的圓心處有一水位檢測(cè)儀，若過(guò)幾天某時(shí)刻的水面為EF，檢測(cè)儀觀測(cè)點(diǎn)E的仰角為25.6°，求此時(shí)水面的寬度．（參考數(shù)據(jù)：sin25.6°≈0.43，cos25.6°≈0.90，【答案】(1)主橋拱所在圓的半徑長(zhǎng)為5米(2)此時(shí)水面的寬度約為9米【分析】（1）連接OA，OD，構(gòu)造△ADO，通過(guò)垂徑定理得出是直角三角形，再利用勾股定理即可求解．（2）設(shè)OC與EF相交于點(diǎn)G，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠OEG=25.6°，△OGE為直角三角形，再利用銳角三角形的余弦值即可求解．【詳解】（1）解：如圖，連接OA，OD．∵C是AB的中點(diǎn)，CD⊥AB，∴AD=BD=12AB=4，CD設(shè)半徑OA=OC=r，則OD=OC?CD=r?2．∵在Rt△ADO中，O∴r2=4答：主橋拱所在圓的半徑長(zhǎng)為5米．（2）（2）如圖，設(shè)OC與EF相交于點(diǎn)G．由題意得∠EOH=25.6°．∵EF//OH，∴∵EF//AB∴OD⊥EF，∴∠OGE=90°．∵在Rt△OGE中，OE=5∴EG=OE?cos∴EF=2EG=9．答：此時(shí)水面的寬度約為9米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形及應(yīng)用，涉及垂徑定理，勾股定理的應(yīng)用及平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．【變式1-1】（23-24九年級(jí)·安徽淮南·期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問(wèn)題：“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺．問(wèn)徑幾何？”意思是：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大?。鐖D，用鋸去鋸這木材，鋸口深ED=1寸，鋸道長(zhǎng)AB=1尺（1尺=10寸）．這根圓柱形木材的直徑是多少寸？【答案】這根圓形木材的直徑為26寸【分析】本題考查垂徑定理結(jié)合勾股定理計(jì)算半徑長(zhǎng)度．根據(jù)題意可得OE⊥AB，由垂徑定理可得AD=BD=12AB=12尺=5【詳解】解：由題可知OE⊥AB，∵OE為⊙O半徑，∴AD=BD=設(shè)OA=OE=r，∵ED=1，∴OD=r?1，在Rt△OAD由勾股定理得r?12解得r=13，∴這根圓形木材的直徑為26寸．【變式1-2】（2024·河南周口·二模）《九章算術(shù)》作為古代中國(guó)乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，與古希臘的《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉．在《九章算術(shù)》中記載有一類似問(wèn)題“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶顑纱?，鋸道長(zhǎng)一尺二，問(wèn)徑幾何?”小輝同學(xué)根據(jù)原文題意，畫出圓材截面圖如圖所示，已知：鋸口深為2寸，鋸道AB=1.2尺（1.2尺=12寸），求該圓材的直徑為多少寸?【答案】該圓材的直徑為20寸【分析】本題考查垂徑定理和勾股定理，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)C，連接OA，設(shè)⊙O半徑為x，則OD=x?2，由勾股定理建立方程即可求得x，從而求得圓的直徑．【詳解】解：設(shè)該圓材的半徑為x寸．如圖所示，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)C，連接OA，則CD=2寸，設(shè)OA=x寸，AB=1.2尺=12寸，所以AD=BD=1在Rt△AOD中，即x解得x=10，則2x=2×10=20，即該圓材的直徑為20寸．【變式1-3】（23-24九年級(jí)·河北唐山·期末）如圖，裝有水的水槽放在水平桌面上，其橫截面是以AB為直徑的半圓O，AB=40cm，GH為桌面截線，水面截線MN∥GH，直徑一端點(diǎn)B剛好與點(diǎn)N(1)計(jì)算MN的長(zhǎng)度，并比較直徑AB與MN長(zhǎng)度的大??；(2)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出線段CD，用其長(zhǎng)度表示水的最大深度，并求水的最大深度．【答案】(1)MN的長(zhǎng)度為40π3；直徑AB小于MN(2)水的最大深度為10【分析】本題主要考查了圓周角定理的推論，垂徑定理，含30度角的直角三角形，弧長(zhǎng)公式．（1）連接OM，由OM=OB，∠ANM=30°，求出∠MOB=120°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解；（3）過(guò)點(diǎn)O作OD⊥MN交MN于點(diǎn)C，根據(jù)含30度角的直角三角形的特征，由OB=12AB，求出OC=【詳解】（1）解：如圖，連接OM．∵OM=OB，∴∠OMB=∠ANM=30°，∴∠MOB=180°?∠OMB?∠ANM=120°，∴l(xiāng)∵40π∴直徑AB小于MN長(zhǎng)度；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥MN交MN于點(diǎn)C，在Rt△OCB中，∠ANM=30°，AB=40∵OB=1∴OC=1∴CD=OD?OC=20?10=10cm∴水的最大深度為10cm【題型2弧、弦、圓心角的關(guān)系】【例2】（2024·江蘇南京·二模）如圖，AB、CD是⊙O的兩條弦，AC與BD相交于點(diǎn)E，AB=CD．(1)求證：AC=BD；(2)連接BC，作直線EO，求證：【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查了垂直平分線的判定與性質(zhì)，利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)利用弧、弦、圓心角的關(guān)系得出AB?+AD（2）因?yàn)锳B=CD，所以AB=CD，即∠ACB=∠DBC．結(jié)合OB=OC，得出E、O都在【詳解】（1）證明：∵AB=CD，∴AB∴AB?即BD=∴AC=BD．（2）證明：連接OB、OC、BC∵AB=CD∴AB=∴∠ACB=∠DBC．∴EB=EC∵OB=OC∴E、O都在BC的垂直平分線上．∴EO⊥BC【變式2-1】（23-24九年級(jí)·湖南湘西·期末）如圖，AC=CB，D，E分別是半徑OA，OB的中點(diǎn)．求證：CD=CE【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，以及全等三角形的判定與性質(zhì)．連接OC，構(gòu)建全等三角形ΔCOD和ΔCOE；然后利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證得【詳解】證明：連接OC．在⊙O中，∵AC=∴∠AOC=∠BOC，∵OA=OB，D、E分別是半徑OA和OB的中點(diǎn)，∴OD=OE，∵OC=OC，∴△COD≌△COE(SAS∴CD=CE．【變式2-2】（23-24九年級(jí)·甘肅武威·期末）已知，如圖，在⊙O中，AB=DE，BC=EF，求證：AC=DF．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】此題考查了弧與弦的關(guān)系，熟練掌握在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等是解題的關(guān)鍵．利用AB=DE，BC=EF，得出AB=DE，BC=【詳解】證明：∵AB=DE，BC=EF，∴AB=DE，∴AC=∴AC=DF．【變式2-3】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知AB，CD是圓O的內(nèi)接四邊形ACBD的兩條對(duì)角線，AB，CD相交于點(diǎn)(1)如圖1，求證：BM=DM．(2)在圖1中找出一組全等的三角形，并給出證明．(3)如圖2，圓O的半徑為5，弦CD⊥AB于點(diǎn)P，當(dāng)△CBP的面積為3.5時(shí)，求AB的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)△ABD≌△CDB，證明見(jiàn)解析；(3)8．【分析】（1）由AB=CD得AB=CD，即得BC=（2）△ABD≌△CDB．由（1）得，∠ABD=∠CDB，再利用SAS即可求證；（3）如圖2，連接OB、OC，由垂直得∠BPD=∠BPC=90°，同理（1）可得BP=DP，得到△BPD為等腰直角三角形，即得∠PDB=∠PBD=45°，進(jìn)而得∠BOC=2∠BDC=90°，利用勾股定理得BC=OB2+OC2=52，設(shè)BP=DP=x，CP=y，可得【詳解】（1）證明：∵AB=CD，∴AB=∴AB?即BC=∴∠CDB=∠ABD，即∠MDB=∠MBD，∴BM=DM；（2）解：△ABD≌△CDB．證明：由（1）得，∠ABD=∠CDB，在△ABD和△CDB中，AB=CD∠ABD=∠CDB∴△ABD≌△CDBSAS（3）解：如圖2，連接OB、OC，∵CD⊥AB，∴∠BPD=∠BPC=90°，同理（1）可得BP=DP，∴△BPD為等腰直角三角形，∴∠PDB=∠PBD=45°，∴∠BOC=2∠BDC=2×45°=90°，∴BC=O設(shè)BP=DP=x，CP=y，在Rt△BPC中，由勾股定理得B∴x2又∵△CBP的面積為3.5，∴12∴xy=7，∴x+y2∴x+y=8，∴AB=CD=CP+DP=x+y=8．【點(diǎn)睛】本題考查了弧、弦、圓心角之間的關(guān)系，等角對(duì)等邊，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，完全平方公式，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【題型3圓周角定理及其推論的應(yīng)用】【例3】（2024·貴州遵義·三模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，D是弧AC的中點(diǎn)，連接BD，AD，CD．CE平分∠ACB交BD于點(diǎn)E．(1)寫出圖中一個(gè)與∠ACD相等的角______；(2)試判斷△CDE的形狀，并說(shuō)明理由；(3)若⊙O的半徑為23，∠ABC=60°，求AC【答案】(1)∠ABD（或∠CBD或∠DAC）；(2)△DEC是等腰三角形，理由見(jiàn)解析(3)6【分析】（1）根據(jù)題意得AD=CD,則（2）根據(jù)題意得AD=CD,則∠ABD=∠CBD，由角平分線的∠ACE=∠BCE，結(jié)合∠DEC=∠CBD+∠BCE和∠DCE=∠ACD+∠ACE，則∠DEC=∠DCE，故（3）連接OD，交AC于點(diǎn)F，連接OA．由題意得∠ABD=30°，∠OFA=90°，則∠AOD=60°，在Rt△OFA中AF=OA?sin60°【詳解】（1）解：∵D是弧AC的中點(diǎn)，∴AD=∴∠ACD=∠ABD=∠CBD=∠DAC，故答案為：∠ABD（或∠CBD或∠DAC）；（2）解：△DEC是等腰三角形，理由如下：∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴AD=∴∠ABD=∠CBD，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，在△DEC中，∠DEC=∠CBD+∠BCE，∵∠DCE=∠ACD+∠ACE，∴∠DEC=∠DCE，∴DE=DC，即△DEC是等腰三角形．（3）解：連接OD，交AC于點(diǎn)F，連接OA．如圖，∵∠ABC=60°，D是弧AC的中點(diǎn)，∴∠ABD=30°，∠OFA=90°，∵AD=∴∠AOD=60°，在Rt△OFA中，OA=2∴AF=OA?sin又OF⊥AC，∴AC=2AF=2×3=6?！军c(diǎn)睛】本題主要考查圓的知識(shí)，涉及同弧所對(duì)圓周角相等、角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理和解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟悉圓的相關(guān)知識(shí)。【變式3-1】（2024·安徽合肥·二模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，已知AC⊥BD，垂足為E，弦AB的弦心距為OF．（1）若AF=OF，則∠ADB的度數(shù)為；（2）若⊙O的半徑為5，AB=8，則CD的長(zhǎng)為．【答案】45°6【分析】（1）連接OA,OB，證明△AOF和△BOF都是等腰直角三角形即可；（2）延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)G，連接BG，則OF是△ABG的中位線，可以求出BG=6，然后根據(jù)垂直證明∠CAD=∠BAG，根據(jù)圓周角相等則所對(duì)的弦相等得到CD=BG=6．【詳解】解：（1）如圖，連接OA,OB，∵OF是弦AB的弦心距，∴OF⊥AB，∴AF=BF.∵AF=OF,∴△AOF和△BOF都是等腰直角三角形，∴∠AOF=∠BOF=45°,∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=90°,∵AB=∴∠ADB=1故答案為：45°；（2）如圖，延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)G，連接BG，由AF=BF,OA=OG，得OF是△ABG的中位線，∴BG=2OF，在Rt△AOF中，OA=5,AF=由勾股定理得OF=∴BG=6，∵AC⊥BD∴∠CAD+∠ADB=90°，∵AG是⊙O的直徑，∴∠ABG=90°，∠BAG+∠G=90°，∵AB∴∠G=∠ADB,∴∠CAD=∠BAG,∴DC=∴CD=BG=6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理及其推論，圓周角定理，圓心角與弧、弦的關(guān)系，三角形的中位線定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2024·江蘇南京·二模）千姿百態(tài)的橋問(wèn)題：景區(qū)計(jì)劃在半徑為1km的人工湖⊙O“X型”（1）如圖①，若點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，則AC+BD的最大值為km；“L型”（2）如圖②，若點(diǎn)A，B，C在⊙O上，且AB⊥BC．求AB+BC的最大值；“T型”（3）如圖③，若點(diǎn)A，B，C在⊙O上，且AC⊥BD，垂足為D，則AC+BD的最大值為km．【答案】（1）4；（2）22km【分析】（1）根據(jù)題意得出AC≤2，BD≤2，即可得出結(jié)論；（2）連接AC，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，根據(jù)90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑及勾股定理得AB2+BC2=AC（3）如圖，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AC于點(diǎn)G，延長(zhǎng)GO交⊙O于點(diǎn)H，連接OC，設(shè)GC=x，AC+GO=mm>0，得到DB≤GH，由垂徑定理得AG=GC=x，根據(jù)勾股定理得GO2+GC2=OC2【詳解】解：（1）∵點(diǎn)A，B，C，D在半徑為1km的⊙O∴AC≤2，BD≤2，∴AC+BD≤4，∴AC+BD的最大值為4km故答案為：4；（2）連接AC，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，∵AB⊥BC，⊙O的半徑為1，∴AB∴AB+BC=A∵S△ABC即當(dāng)BE=1時(shí)，△ABC的面積取得最大值，∴12AB?BC≤1∴AB+BC=4+2AB?BC∴AB+BC的最大值為22（3）如圖，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AC于點(diǎn)G，延長(zhǎng)GO交⊙O于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)O作OK⊥BD于點(diǎn)K，連接OC，OB，設(shè)GC=x，AC+GO=mm>0∵AC⊥BD，∴∠OGD=∠GDK=∠DKO=90°，∴四邊形OGDK是矩形，∴DK=OG，∴DB=DK+KB≤GO+OB=GO+OH=GH，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)G重合時(shí)，取“=”，∵OG⊥AC，AG=GC=x，∴GO=m?AC=m?2x，∵GO2+G整理，得：5x∴?4m2解得：?5∴0<m≤5∴AC+BD≤AC+GH=AC+GO+OH=m+1≤5∴AC+BD的最大值為5故答案為：5+1【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了弦與直徑的關(guān)系，90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑，垂徑定理，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程根的判別式等知識(shí)點(diǎn)．掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，弦CD，CE分別交AB于點(diǎn)F，G，且∠DCE=1(1)設(shè)∠ACD=α，用含α的式子表示∠CDE的度數(shù)；(2)求證：FG(3)若⊙O的半徑為1，記△ACF，△BCG，△CFG的面積分別為S1，S2，S，設(shè)AF=a，BG=b，且滿足【答案】(1)∠CDE=90°?α(2)見(jiàn)解析(3)a=3?52【分析】本題考查圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程；（1）連接AE，由AB是⊙O的直徑可得∠ACB=90°，則∠DCE=12∠ACB=45°，即可得到∠BAE=∠BCE=45°?α（2）把△ACF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則CA與CB重合，即可得到△ACF≌△BCM，得到AF=BM，∠CAB=∠CBA=∠CBM=45°，則GM2=BM2+BG（3）連接OC，則OC⊥AB，即可表示出S1，S2，【詳解】（1）連接AE，OC，∵AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，∴∠CAB=∠CBA=45°，∠ACB=90°，∴∠DCE=1∵∠ACD=α，∴∠BAE=∠BCE=∠ACB?∠ACD?∠DCE=45°?α，∴∠CDE=∠CAE=∠CAB+∠BAE=45°+45°?α=90°?α；（2）把△ACF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)F對(duì)應(yīng)點(diǎn)M，連接GM，則∠FCM=90°，∵∠ACB=90°，∴CA與CB重合，∴△ACF≌△BCM，∴AF=BM，∠CAB=∠CBA=∠CBM=45°，CF=CM，∴∠GBM=90°，∴GM∵∠FCM=90°，∠DCE=45°，∴∠DCE=∠MCG=45°，∵CF=CM，CG=CG，∴△FCG≌△MCG，∴FG=MG，∴FG（3）∵⊙O的半徑為1，∴OC=OA=OB=1，∵點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，∴OC⊥AB，∵AF=a，BG=b，∴FG=AB?AF?BG=2?a?b，∴S1=S△ACF=由（2）可得FG2=AF2∴S=S△CFG=∵S△MCG∴S+1∴S=S∵S1∴S1整理得2S12∴2∴2×12∵FG∴2?a?b2∴2?a?2a整理可得a2?3a+1=0，解得∵a<2，∴a=3?∴b=2a=3?5【題型4巧用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解】【例4】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知AB，CD為⊙O的位于圓心兩側(cè)的兩條弦，且AD=(1)如圖1，連接AC，BD．求證：AB∥CD．(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)A作CD的垂線交⊙O于點(diǎn)E．若在AC上取一點(diǎn)F，使得AF=CE．求證：D，O，【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）連接AC、BD，由AD=BC可得∠ACD=∠BDC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠ACD+∠ABD=180°，可得∠BDC+∠ABD=180°，即可得（2）連接CF，由AF=CE可得AC=EF，則∠EAF=∠AEC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠AEC+∠AFC=180°，可得∠EAF+∠AFC=180°，可得AE∥CF，則FC⊥CD，∠FCD=90°，即可得本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等，合理添加輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵AD=∴∠ACD=∠BDC，∵∠ACD+∠ABD=180°，∴∠BDC+∠ABD=180°，∴AB∥CD；（2）如圖2，連接CF，AF，CE，DF，∵AF=CE∴AC=∴∠EAF=∠AEC，∵∠AEC+∠AFC=180°，∴∠EAF+∠AFC=180°，∴AE∥CF，∵AE⊥CD，∴FC⊥CD，∴∠FCD=90°，∴DF經(jīng)過(guò)圓心O．∴D，O，F(xiàn)三點(diǎn)共線【變式4-1】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，A,B,C,D,E均是⊙O上的點(diǎn)，且BE是⊙O的直徑，若∠BCD=2∠BAD，則∠DAE的度數(shù)是（

）A．20° B．30° C．40° D．45°【答案】B【分析】本題主要考查圓與內(nèi)接四邊形的綜合，掌握內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，直徑所對(duì)圓周角是直角的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)A,B,C,D,E均是⊙O上的點(diǎn)，可得四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形，則∠BAD+∠BCD=180°，由此可求出∠BAD的度數(shù)，根據(jù)BE是⊙O的直徑，可得∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°，由此即可求解．【詳解】解：A,B,C,D,E均是⊙O上的點(diǎn)，∴四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BCD=2∠BAD，∴∠BAD+2∠BAD=180°，∴∠BAD=60°，∵BE是⊙O的直徑，∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°，∴∠DAE=90°?∠BAD=90°?60°=30°，故選：B．【變式4-2】（2024·吉林白城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AC是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一條對(duì)角線，點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E在邊AB上，若∠ABC=70°，則∠AEC=°．【答案】110【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理及軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理可得∠D=110°，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即得答案．【詳解】∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∠ABC=70°，∴∠D=180°?∠ABC=180°?70°=110°，∵點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E在邊AB上，∴△ADC≌△AEC，∴∠D=∠AEC=110°．故答案為：110．【變式4-3】（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCDABCD的對(duì)角線ACAC，BDBD交于點(diǎn)EE，BDBD平分∠ABC∠ABC，∠BAC=∠AD(1)求證：DB平分∠ADC，并求∠BAD的大??；(2)過(guò)點(diǎn)C作CF∥AD交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若AC=AD，BF=2，試求四邊形ABCD的面積和此圓半徑的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)163；【分析】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，平行線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ABD+∠ADB=90°，由垂徑定理推出ΔACD（1）由圓周角定理得到∠BAC=∠CDB，而∠BAC=∠ADB，因此∠ADB=∠CDB，得到BD平分∠ADC，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ABD+∠ADB=90°，即可求出∠BAD=90°；（2）由垂徑定理推出ΔACD是等邊三角形，得到∠ADC=60°由BD⊥AC，得到∠BDC=12∠ADC=30°，由平行線的性質(zhì)求出∠F=90°，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠FBC=∠ADC=60°，得到BC=2BF=4，由直角三角形的性質(zhì)得到【詳解】（1）證明：∵∠BAC=∠ADB，∠BAC=∠CDB，∴∠ADB=∠CDB，∴BD平分∠ADC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB=180°，∴2(∠ABD+∠ADB)=180°，∴∠ABD+∠ADB=90°，∴∠BAD=180°?90°=90°；（2）解：∵∠BAE+∠DAE=90°，∠BAE=∠ADE，∴∠ADE+∠DAE=90°，∴∠AED=90°，∵∠BAD=90°，∴BD是圓的直徑，∴BD垂直平分AC，∴AD=CD，∵AC=AD，∴Δ∴∠ADC=60°∵BD⊥AC，∴∠BDC=1∵CF∥AD，∴∠F+∠BAD=180°，∴∠F=90°，∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠FBC+∠ABC=180°，∴∠FBC=∠ADC=60°，∴BC=2BF=4，∵∠BCD=90°，∠BDC=30°，∴BC=1∵BD是圓的直徑，∴圓的半徑長(zhǎng)是4，∴S【考點(diǎn)2點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系】知識(shí)點(diǎn)一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有：點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)三種。（2）用數(shù)量關(guān)系表示：若設(shè)⊙O的半徑就是r，點(diǎn)P到圓的距離OP=d，則有：點(diǎn)P在圓外d＞r；點(diǎn)p在圓上d=r；點(diǎn)p在圓內(nèi)d＜r。知識(shí)點(diǎn)二過(guò)已知點(diǎn)作圓（1）經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)的圓（如點(diǎn)A）以點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)（如點(diǎn)O）為圓心，以O(shè)A為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無(wú)數(shù)個(gè)?！1A·O2·O3（2）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的圓（如點(diǎn)A、B）以線段AB的垂直平分線上的任意一點(diǎn)（如點(diǎn)O）為圓心，以O(shè)A（或OB）為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無(wú)數(shù)個(gè)。AB（3）經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓①經(jīng)過(guò)在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)不能作圓②不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，即經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以作圓，且只能作一個(gè)圓。如經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C作圓，作法：連接AB、BC（或AB、AC或BC、AC）并作它們的垂直平分線，兩條垂直平分線相交于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A（或OB、OC）的長(zhǎng)為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓只能作一個(gè)。知識(shí)點(diǎn)三三角形的外接圓與外心（1）經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。（2）外接圓的圓心就是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的外心。知識(shí)點(diǎn)四直線與圓的位置關(guān)系（1）直線與圓的位置關(guān)系有：相交、相切、相離三種。（2）直線與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系表示若設(shè)⊙O的半徑就是r，直線l與圓心0的距離為d，則有：直線l與⊙O相交d＜r；直線l與⊙O相切d=r；直線l與⊙O相離d＞r。知識(shí)點(diǎn)五切線的判定與性質(zhì)（1）切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線就是圓的切線。（2）切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。（3）切線的其她性質(zhì)：切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；切線到圓心的距離等于半徑；經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)；必過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。知識(shí)點(diǎn)六切線長(zhǎng)定理（1）切線長(zhǎng)的定義：經(jīng)過(guò)園外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。（2）切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)與圓心的連線平分兩條切線的夾角。（3）注意：切線與切線長(zhǎng)就是兩個(gè)完全不同的概念，必須弄清楚切線就是直線，就是不能度量的；切線長(zhǎng)就是一條線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)一個(gè)就是在圓外一點(diǎn)，另一個(gè)就是切點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)七三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（1）三角形的內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形。（2）三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心。（3）注意：三角形的內(nèi)心就是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，所以當(dāng)三角形的內(nèi)心已知時(shí)，過(guò)三角形的頂點(diǎn)與內(nèi)心的射線，必平分三角形的內(nèi)角。【題型5切線的判定】【方法總結(jié)】因?yàn)榍芯€與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn),所以題中信息是否明確給出公共點(diǎn)可以作為判定切線方法選擇的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn).【例5】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在圓上，∠CDB=3∠ABC，CD平分∠ACB，與AB相交于點(diǎn)E．(1)在CA的延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)F，使CF=CD，連接FD（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求證：FD是⊙O的切線．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)基本作圖的基本要求作圖解答即可．（2）連接OD．根據(jù)直徑，得到∠ACB=90°，進(jìn)而得出∠1=∠2=45°，再由圓周角定理，得到∠BOD=90°，∠CAB=∠CDB，從而推出∠CFD=∠CAE，得到AB∥FD，即可證明FD是⊙O的切線．本題考查了基本作圖，圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定定理，熟練掌握作圖，切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，作圖如下：則點(diǎn)F、FD為所求．（2）證明：連接OD．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠1=∠2=1∵BD∴∠BOD=2∠2=90°，∵CF=CD，∴∠CFD=∠CDF=1∵CB∴∠CAB=∠CDB，∵∠CDB=3∠ABC，∴∠CAB=3∠ABC，∵∠CAB+∠ABC=90°，∴3∠ABC+∠ABC=90°．∴∠ABC=22.5°，∠CAB=67.5°，∴∠CFD=∠CAE，∴AB∥FD，∴∠FDO=∠3=90°，∴FD⊥OD．又∵OD為⊙O半徑，∴FD是⊙O切線．【變式5-1】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，將△ABC沿過(guò)點(diǎn)A的直線翻折并展開(kāi)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′落在邊AB上，折痕為AD，點(diǎn)O在邊AB上，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D．若∠ACB=90°，判斷BC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】BC與⊙O相切，理由見(jiàn)解析【分析】連接OD，由等腰三角形的性質(zhì)得∠OAD=∠ODA，再由折疊的性質(zhì)得∠CAD=∠OAD，進(jìn)而證明AC∥OD，則∠ODB=∠ACB=90°，因此【詳解】解：BC與⊙O相切．證明：連接OD．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．∵圖形沿過(guò)點(diǎn)A的直線翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'落在邊AB∴∠CAD=∠OAD．∴∠CAD=∠ODA．∴AC∥∴由∠ACB=90°，得∠ODC=90°，即OD⊥BC．∴BC與⊙O相切．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握切線的判定和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2024·山東青島·一模）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AC是⊙O的直徑，D為BC的中點(diǎn)，∠ABE=∠C，E在CA的延長(zhǎng)線上．(1)EB是⊙O的切線嗎？為什么？(2)若DB=12AC【答案】(1)EB是⊙O的切線，理由見(jiàn)解析；(2)30【分析】本題考查切線的判定，等邊三角形的判定及性質(zhì)，圓周角定理，關(guān)鍵是掌握切線的判定方法，圓周角定理．（1）由圓周角定理得到∠C+∠CAB=90°，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠EBA+∠OBA=90°，即可證明問(wèn)題；（2）連接OD，得到△OBD是等邊三角形，得到∠BOD=60°，由D為BC的中點(diǎn)，得到∠COD=∠BOD=60°，由圓周角定理即可求出∠DBC的度數(shù)．【詳解】（1）解：EB是⊙O的切線，理由如下，連接OB，∵AC是圓的直徑，∴∠CBA=90°，∴∠C+∠CAB=90°，∵OB=OA，∴∠OBA=∠OAB，∴∠C+∠OBA=90°，∵∠EBA=∠C，∴∠EBA+∠OBA=90°，∴半徑OB⊥BE，∴EB是⊙O的切線；（2）解：連接OD，∵BD=12∴BD=OD=OB，∴△OBD等邊三角形，∴∠BOD=60°，∵D為BC的中點(diǎn)，∴∠COD=∠BOD=60°，∴∠DBC=1故答案為：30．【變式5-3】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，BC的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)A的直線相交于點(diǎn)E，且∠ABE=∠EAC．(1)求證：AE是⊙O的切線；(2)點(diǎn)F是弧AD的中點(diǎn)，點(diǎn)B在弧DF上，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，是否存在常數(shù)k，使AB+BD=kAG？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)k=2．【分析】（1）由圓周角定理的推論得∠ABD=∠DBC+∠ABC=90°，從而得∠DAE=∠DAC+∠CAE=90°，即可證明結(jié)論成立；（2）在AB上取一點(diǎn)M，使得AM=BD，連接AF、FM、FD、FB，證明ΔAFM≌△DFBSAS，得BF=MF，∠AFM=∠DFB，又由圓周角定理及等腰直角三角形的性質(zhì)得∠AED=90°，【詳解】（1）∵AD是⊙O的直徑,∴∠ABD=∠DBC+∠ABC=90°，∵∠EAC=∠ABC，∠DBC=∠DAC，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=90°，∴AD⊥AE，∵OA是⊙O的半徑，∴AE是⊙O的切線；（2）解:存在，k=2，理由如下:在AB上取一點(diǎn)M，使得AM=BD，連接AF、FM、FD、FB，∵點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，∴DF=AF，在△AFM和△DFB中，AM=BD∠FDB=∠FAM∴△AFM≌△DFBSAS∴BF=MF，∠AFM=∠DFB，∵AD是⊙O的直徑，∴∠AED=∠AFM+∠DFM=∠DFB+∠DFM=90°，∵BF=MF，GF⊥BM，∴BG=GM=GF，∴BM=2GF，∴AB+BD=AM+2GM+AM=2AG，∴k=2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理的推理，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，切線的判定，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型6切線的性質(zhì)】【方法總結(jié)】已知圓的切線時(shí),常連接圓心和切點(diǎn),得到半徑垂直于切線,通過(guò)構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題,即“見(jiàn)切線,連半徑,得垂線”.【例6】（2024·湖南·二模）如圖，⊙O為四邊形ABCD的外接圓，△ABC是等邊三角形，AE是⊙O的切線，D是AC的中點(diǎn)，CD的延長(zhǎng)線交AE于點(diǎn)E．(1)求證：AE∥(2)若DE=2，求△ADE的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)△ADE的面積為2【分析】（1）由等邊三角形得∠B=∠ACB=60°，因?yàn)锳C=AC，所以∠AOC=2∠B=120°，結(jié)合三角形內(nèi)角和列式計(jì)算∠OAC=∠OCA=30°，再因?yàn)锳E是⊙O的切線，所以（2）先由圓內(nèi)角四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，得∠ADC=120°，再由圓周角定理得出∠DAC=∠DCA=30°，然后證明△AED為直角三角形．運(yùn)用勾股定理列式代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，即可作答．【詳解】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠ACB=60°．連接OA,OC，∵AC則∠AOC=2∠B=120°．∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=∵AE是⊙O的切線，∴∠OAE=90°．∴∠EAC=∠OAE?∠OAC=90°?30°=60°．∴∠EAC=∠ACB．∴AE∥BC．（2）解：∵⊙O為四邊形ABCD的外接圓，∠B=60°．∴∠ADC=180°?60°=120°∵D是AC的中點(diǎn)，∴AD∴∠DAC=∠DCA=30°．∵∠EAC=60°∴∠EAD=30°,∠E=90°∴△AED為直角三角形．∴AD=2DE=4．∴AE=A∴△ADE的面積為12【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形，切線性質(zhì)，勾股定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2024·天津?yàn)I海新·模擬預(yù)測(cè)）已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AB=2AC．(1)如圖①，點(diǎn)P是弧BC上一點(diǎn)，求∠APC的大小；(2)如圖②，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線MC，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥MC于點(diǎn)D，BD與⊙O交于點(diǎn)E，若AB=4，求CE的長(zhǎng)．【答案】(1)∠APC=30°(2)CE=2【分析】（1）連接OC，由AB為⊙O的直徑，AB=2AC，得到△AOC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠AOC=60°，于是得到結(jié)論；（2）連接AE，OC與AE相交于F，由MC是⊙O的切線，得到MC⊥OC，求得∠MCO=∠CDB=90°，根據(jù)平行線的判定定理得到BD∥OC，由平行線的性質(zhì)得到∠AFO=∠AEB，由AB為⊙O的直徑，得到∠AEB=90°，由垂徑定理得到【詳解】（1）解：連接OC，∵AB為⊙O的直徑，AB=2AC，∴OA=OC=AC，∴△AOC是等邊三角形，∴∠AOC=60°，∴∠APC=1（2）解：