線性變換的基本概念

線性變換的基本概念線性變換的基本概念定義5-1設(shè)M和N是兩個(gè)非空集合.如果對(duì)于M中任意一個(gè)元素x，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則f，總存在N中一個(gè)確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱這個(gè)對(duì)應(yīng)法則f為從集合M到N的一個(gè)映射.通常用英文小寫字母f,g,h,…表示映射.特別地，也將一個(gè)非空集合M到自身（M=N時(shí)）的映射f稱為M上的一個(gè)變換.如果映射f將M中的元素x對(duì)應(yīng)到集合N中的元素y，則記y=f(x)或f(x)=y

此時(shí)，稱y為x在映射f下的像，而稱x為y在映射f下的原像.映射的概念就是函數(shù)概念的推廣，或者說(shuō)函數(shù)是映射的一個(gè)特殊情形.如果f是從集合M到N的映射，則將在f下的像的全體所構(gòu)成的集合，稱為映射f的像集，記為f(M)，即f(M)={f(x)|x∈M}顯然，f(M)N.但是，f(M)可能是N的真子集，也可能等于N.提示定義5-2設(shè)f是從集合M到N的映射.如果f(M)=N，那么稱f是從M到N的滿映射，或簡(jiǎn)稱為滿射.根據(jù)映射的定義，定義5-2也可以表述為如下的定義.定義5-2′設(shè)f是從集合M到N的映射.如果對(duì)于N中的每一個(gè)元素y，都存在M中元素x，使得y=f(x)，則稱f是一個(gè)滿射.對(duì)于一個(gè)從集合M到N的映射f，M中每一個(gè)元素x，存在唯一的y=f(x)∈N與之對(duì)應(yīng).但是也可能有M中的元素x1≠x2，使得f(x1)=f(x2).定義5-3

設(shè)f是從集合M到N的映射.如果M中不同元素在f下的像也不同，即只要x1≠x2，就有f(x1)≠f(x2)，則稱f是從集合M到N的單映射，或簡(jiǎn)稱為單射.定義5-4設(shè)f是從集合M到N的映射.如果f既是滿射也是單射，即f滿足(1）f(M)=N.(2）對(duì)于任意的x1,x2，只要f(x1)=f(x2)，就有x1=x2.

則稱f是一個(gè)一一對(duì)應(yīng)，或者雙射.下面給出幾個(gè)具體映射的例子.設(shè)M是一個(gè)非空集合，定義M到M的對(duì)應(yīng)f，滿足f(x)=x,x∈M

則f是M到自身的一個(gè)映射，我們稱其為集合M的單位映射，或恒等映射，記為idM.顯然，M的單位映射idM是一個(gè)一一對(duì)應(yīng).【例5-1】設(shè)Z是全體整數(shù)的集合，定義Z到Z的對(duì)應(yīng)f，滿足f(n)=2n,

n∈R

則f是Z到自身的映射，且f是一個(gè)單射但不是滿射.【例5-2】設(shè)Mn(R)是實(shí)數(shù)域上的所有n階方陣的集合.定義Mn(R)到R的對(duì)應(yīng)f，滿足f(A)=|A|,A∈Mn(R)則f是Mn(R)到R的一個(gè)映射，且f是一個(gè)滿射但不是單射.【例5-3】設(shè)a是一個(gè)已知的正數(shù)，R+是所有正實(shí)數(shù)的集合.定義R+到R+的對(duì)應(yīng)f，滿足f(x)=x－a,x∈R+

則f不是一個(gè)映射.因?yàn)?，?duì)于任意的0<x<a，x－aR+.我們也可以定義映射的相等和乘積.【例5-4】定義5-5設(shè)f和g都是從集合M到N的映射，如果對(duì)于任意的x∈M，都有f(x)=g(x)

則稱映射f與g相等，記為f=g.定義5-6設(shè)f是從集合M到N的一個(gè)映射，g是從集合N到P的一個(gè)映射.則對(duì)于M中的任意元素x，存在P中唯一確定的元素g［f(x)］與之對(duì)應(yīng)，這樣得到一個(gè)M到P的映射，記為g。f，將這個(gè)映射稱為f與g的乘積或復(fù)合映射，即g。f是集合M到P的映射，滿足G。f(x)=g［f(x)］,

x∈M映射f與g的相等和乘積就是函數(shù)相等和函數(shù)復(fù)合概念的推廣.提示顯然，對(duì)于任意從集合M到N的映射f，都有

idN。f=f。idM=f.另外，映射的乘積還滿足結(jié)合律.事實(shí)上，設(shè)f,g,h分別是從集合M1到M2，M2到M3，M3到M4的映射.那么h。(g。f)和(h。g)。f均為M1到M4的映射，且滿足H。(g。f)(x)=h［g。f(x)］=h{g［f(x)］}=h。g［f(x)］=(h。g)。f(x),x∈M1因此H。(g。f)=(h。g)。f定義5-7

設(shè)f是從集合M到N的一個(gè)映射.如果存在N到M的一個(gè)映射g，使得G。f=

idM，f。g=idN

則稱f是一個(gè)可逆映射，并將映射g稱為f的逆映射.定理5-1設(shè)f是從集合M到N的一個(gè)映射，則f是可逆映射當(dāng)且僅當(dāng)f是一個(gè)一一對(duì)應(yīng).證必要性：設(shè)f是一個(gè)可逆映射.由定義知，存在N到M的一個(gè)映射g，使得G。f=

idM，f。g=

idN

因此，對(duì)于任意的y∈N，有y=

idN(y)=f。g(y)=f［g(y)］令x=g(y).故存在x=g(y)∈M，使得y=f(x).從而f是一個(gè)滿射.另外，對(duì)于任意的x1,x2∈M，如果f(x1)=f(x2)，則有G。f(x1)=g［f(x1)］=g［f(x2)］=g。f(x2)

又g。f=

idM，因此x1=x2.于是f也是一個(gè)單射.這樣f就是一個(gè)一一對(duì)應(yīng).充分性：設(shè)f是一個(gè)一一對(duì)應(yīng).由f是一個(gè)滿射知，對(duì)于任意的y∈N，存在x∈M，使得y=f(x)，并且這個(gè)x是由y唯一確定的.事實(shí)上，如果還存在x′∈M，使得y=f(x′)，那么，由f是單射得x=x′.這樣，就可以定義一個(gè)從N到M的映射g，使得g(y)=x，如果y=f(x).對(duì)于任意的x∈M，令y=f(x)，則有G。f(x)=g［f(x)］=g(y)=x

即g。f=idM.另外，若對(duì)于任意的y∈N，令g(y)=x，則有F。g(y)=f［g(y)］=f(x)=y

即f。g=idN.因此f是一個(gè)可逆映射.上述定理說(shuō)明，一個(gè)映射不一定是可逆映射.但是，如果一個(gè)從集合M到N的映射f是可逆映射，那么它的逆映射是唯一的.因此，通常將f的逆映射記成f－1.事實(shí)上，如果g1和g2均為f的逆映射，則有Gi。f=

idM，f。gi=idN，i=1,2

故g1=idM。g1=(g2。f)。g1=g2。(f。g1)=g2。idN=g2線性變換的定義二、研究?jī)蓚€(gè)集合之間的映射，可以幫助我們確定這兩個(gè)集合之間的關(guān)系.如果這兩個(gè)集合是線性空間，那么這兩個(gè)空間之間的映射又會(huì)是什么樣呢？這一章主要介紹一個(gè)線性空間到其自身的映射.定義5-8設(shè)V是數(shù)域F上的一個(gè)線性空間.如果V上的一個(gè)變換σ，滿足（1）對(duì)于任意的α,β∈V，有

σ(α+β)=σ(α)+σ(β)（5-1）（2）對(duì)于任意的α∈V，k∈F，有

σ(kα)=kσ(α)（5-2）則稱σ為線性空間V上的一個(gè)線性變換，通常用希臘字母σ,τ,θ,…表示.定義中變換σ所滿足的兩個(gè)條件可以一并表述為：對(duì)于任意的α,β∈V，k1,k2∈F，有

σ(k1α+k2β)=k1σ(α)+k2σ(β)（5-3）由式（5-1）和式（5-2）知，線性變換就是保持線性空間中向量的線性運(yùn)算（加法和數(shù)量乘法）的變換，這也是我們之所以將其稱為線性變換的原因.根據(jù)式（5-3），也可以說(shuō)線性變換是保持線性空間中向量的線性組合的變換.提示本章中，不特別說(shuō)明，所有涉及的線性變換均為數(shù)域F上的一個(gè)線性空間V上的線性變換.下面先看幾個(gè)線性變換的例子.容易驗(yàn)證，V上的單位映射idV滿足式（5-3），因此是一個(gè)線性變換，我們將其稱為單位變換，或者恒等變換，記為ι，即ι(α)=α,α∈V也可以定義V上的一個(gè)變換0，使得0(α)=0,α∈V即將空間中的每個(gè)向量都映射到零向量.也容易驗(yàn)證0也滿足式（5-3），因此是一個(gè)線性變換，稱其為零變換.【例5-5】另外，設(shè)數(shù)k∈F.定義V上的一個(gè)變換kι，滿足kι(α)=kα,α∈V

也就是將V中每一個(gè)向量乘以數(shù)k，則kι是一個(gè)線性變換，將其稱為數(shù)乘變換.顯然，當(dāng)k=1時(shí)，kι即為單位變換ι，這也是用k乘以ι表示的原因；當(dāng)k=0時(shí)，kι即為零變換.設(shè)F［x］是以數(shù)域F中的數(shù)作為系數(shù)的多項(xiàng)式的全體，按多項(xiàng)式的加法和數(shù)量乘法，構(gòu)成的F上的線性空間.對(duì)于任意f(x)=anxn+an－1xn－1+…+a1x+a0∈F［x］定義f(x)的微商δ，滿足δ［f(x)］=f′(x)=nanxn－1+(n－1)an－1xn－2+…+a1

【例5-6】于是δ是F［x］到自身的一個(gè)映射.直接驗(yàn)證可得，對(duì)于任意的f(x),g(x)∈F［x］，以及k∈F，有δ［f(x)+g(x)］=δ［f(x)］+δ［g(x)］δ［kg(x)］=kδ［f(x)］δ［f(x)g(x)］=δ［f(x)］g(x)+f(x)δ［g(x)］由前兩個(gè)式子知，δ是線性空間F［x］上的一個(gè)線性變換.在平面解析幾何中，將平面繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角，如果一個(gè)向量α在直角坐標(biāo)系xOy下的坐標(biāo)為(x1,y1)T，將其在旋轉(zhuǎn)之后對(duì)應(yīng)的向量記為Tθ(α)，則可以證明Tθ構(gòu)成2維空間R2的一個(gè)線性變換.將Tθ(α)在坐標(biāo)系xOy下的坐標(biāo)記為(x2,y2)T，那么(x1,y1)T和(x2,y2)T滿足下面關(guān)系：事實(shí)上，也可以利用上面的矩陣乘法性質(zhì)驗(yàn)證Tθ是一個(gè)線性變換.【例5-7】線性變換的基本性質(zhì)及運(yùn)算三、設(shè)σ是V上的一個(gè)線性變換，則有下面的性質(zhì).性質(zhì)5-1σ(0)=0，σ(－α)=－σ(α).證明因?yàn)?α=0，(－1)α=－α，故σ(0)=σ(0α)=0σ(α)=0，σ(－α)=σ［(－1)α］=(－1)σ(α)=－σ(α)性質(zhì)5-2如果β是α1,α2,…,αs的線性組合，且組合系數(shù)是k1,k2,…,ks，即

β=k1α1+k2α2+…+ksαs

那么σ(β)是σ(α1),σ(α2),…,σ(αs)的線性組合，組合系數(shù)也是k1,k2,…,ks，即

σ(β)=k1σ(α1)+k2σ(α2)+…+ksσ(αs)證明這個(gè)性質(zhì)即式（5-3）在多個(gè)向量情形的推廣，利用數(shù)學(xué)歸納法很容易證明.性質(zhì)5-3如果α1,α2,…,αs線性相關(guān)，那么σ(α1),σ(α2),…,σ(αs)也線性相關(guān).也就是說(shuō)線性變換將線性相關(guān)的向量組仍然變成線性相關(guān)的向量組.證明因?yàn)棣?,α2,…,αs線性相關(guān)，則存在一組不全為0的數(shù)k1,k2,…,ks，使得0=k1α1+k2α2+…+ksαs

即0是α1,α2,…,αs的線性組合，且k1,k2,…,ks是其組合系數(shù).由性質(zhì)5-1和性質(zhì)5-2知，k1,k2,…,ks滿足0=σ(0)=k1σ(α1)+k2σ(α2)+…+ksσ(αs)

因此σ(α1),σ(α2),…,σ(αs)也線性相關(guān).但是由σ(α1),σ(α2),…,σ(αs)線性相關(guān)，不一定能得到α1,α2,…,αs線性相關(guān).例如，零變換將任何非零向量都變成了零向量，而單個(gè)零向量是線性相關(guān)的向量.下面，介紹線性變換之間的一些運(yùn)算.乘法1.在本節(jié)第一部分中，已經(jīng)定義兩個(gè)映射的乘積.那么一個(gè)線性空間上的線性變換當(dāng)然也可以定義乘積.設(shè)σ,τ是V上的兩個(gè)線性變換.定義σ和τ的乘積στ為στ(α)=σ。τ(α)=σ［τ(α)］,α∈V

由線性變換的定義，對(duì)于任意的α,β∈V，k1,k2∈F，有στ(k1α+k2β)=σ［τ(k1α+k2β)］=σ［k1τ(α)+k2τ(β)］=k1σ［τ(α)］+k2σ［τ(β)］=k1στ(α)+k2στ(β)

因此，σ和τ的乘積στ也是一個(gè)線性變換.由于線性空間的單位變換就是線性空間作為集合的單位映射，因此，對(duì)于任意的線性變換σ，均有

σι=ισ=σ又因?yàn)橛成涞某朔e滿足結(jié)合律，那么線性變換的乘積也滿足結(jié)合律，即(στ)ξ=σ(τξ)

其中σ,τ,ξ為V上任意的三個(gè)線性變換.但是，線性變換的乘積不滿足交換律.例如，可以定義線性空間F［x］上的一個(gè)變換τ，滿足

τ［f(x)］=∫x0f(t)dt,

f(x)∈F［x］容易驗(yàn)證τ是F［x］上的一個(gè)線性變換.另外，在前面【例5-6】中，定義的F［x］中的微商δ也是一個(gè)線性變換.直接驗(yàn)證，可得δτ=ι，但是τδ不一定等于單位變換ι.加法2.設(shè)σ,τ是V上的兩個(gè)線性變換.定義σ和τ的和σ+τ為(σ+τ)(α)=σ(α)+τ(α),α∈V

由線性空間中的運(yùn)算法則及線性變換的定義，對(duì)于任意的α,β∈V，k1,k2∈F，有(σ+τ)(k1α+k2β)=σ(k1α+k2β)+τ(k1α+k2β)=k1σ(α)+k2σ(β)+k1τ(α)+k2τ(β)=k1σ(α)+k1τ(α)+k2σ(β)+k2τ(β)=k1(σ+τ)(α)+k2(σ+τ)(β)

因此，σ和τ的和σ+τ也是一個(gè)線性變換.中定義了零變換0，則對(duì)于任意一個(gè)變換σ，均有σ+0=0+σ=σ

也可以定義σ的負(fù)變換－σ為(－σ)(α)=－σ(α),α∈V顯然，σ的負(fù)變換－σ滿足σ+(－σ)=0【例5-5】另外，直接驗(yàn)證可得，線性變換的加法滿足結(jié)合律和交換律，以及乘法對(duì)加法的左右分配律，即(σ+τ)+ξ=σ+(τ+ξ)σ+τ=τ+σ(σ+τ)ξ=σξ+τξξ(σ+τ)=ξσ+ξτ其中σ,τ,ξ為V上任意的線性變換.數(shù)量乘法3.設(shè)σ是V上的一個(gè)線性變換，k∈F.定義k和σ的數(shù)量乘積kσ為(kσ)(α)=kσ(α),

α∈V

由線性變換的定義，對(duì)于任意的α,β∈V，k1,k2∈F，有(kσ)(k1α+k2β)=kσ(k1α+k2β)=k［k1σ(α)+k2σ(β)］

=k［k1σ(α)］+k［k2σ(β)］=(kk1)σ(α)+(kk2)σ(β)=(k1k)σ(α)+(k2k)σ(β)=k1［kσ(α)］+k2［kσ(β)］=k1(kσ)(α)+k2(kσ)(β)

因此，k和σ的數(shù)量乘積kσ也是一個(gè)線性變換.容易驗(yàn)證，線性變換的數(shù)量乘法滿足1σ=σ(kl)σ=k(lσ)(k+l)σ=kσ+lσk(σ+τ)=kσ+kτ其中σ,τ為V上任意的線性變換，k,l∈F.將數(shù)域F上一個(gè)線性空間V的所有線性變換的全體記為End(V).那么前面我們就已經(jīng)定義了End(V)中的加法和數(shù)量乘法，根據(jù)這些運(yùn)算所滿足的規(guī)律和線性空間的定義，End(V)構(gòu)成F上的一個(gè)線性空間.