湖南省長(zhǎng)沙市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期新高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題 含答案

長(zhǎng)沙市2025年新高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)本試卷共5頁(yè),19小題,滿分150分,考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.請(qǐng)保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后,將本試題卷和答題卡一并交回.一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)的值是()A.1 B.-1 C.i D.2.若空間中三條不同直線滿足,且,則直線與直線必定()A.平行 B.相交 C.垂直 D.異面3.已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),則()A. B. C. D.4.已知函數(shù)的圖象如下圖所示,則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是()5.若在區(qū)間上是增函數(shù),則的最大值是()A. B. C.1 D.6.在中,.若于,則()A. B.C. D.7.已知拋物線上兩點(diǎn)滿足,若線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值為4,則()A.2 B.4 C.5 D.68.已知函數(shù)若在存在最小值,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.二、選擇題:本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得6分,選對(duì)但不全的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.為了解某種新產(chǎn)品的加工情況,并設(shè)定工人每天加工該產(chǎn)品的最少數(shù)量.相關(guān)部門(mén)從工廠隨機(jī)抽查了100名工人在某天內(nèi)加工該產(chǎn)品的數(shù)量.現(xiàn)將這些觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)分組后(每組為左閉右開(kāi)的區(qū)間),繪制出如圖所示的頻率分布直方圖,則()A.樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)的極差不大于50B.樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)落在區(qū)間上的頻率為0.025C.樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于中位數(shù)D.若將工人每天加工產(chǎn)品的最少數(shù)量設(shè)為55,估計(jì)80%的工人能完成任務(wù)10.已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和,滿足成等差數(shù)列,則()A.成等比數(shù)列 B.成等差數(shù)列C.成等比數(shù)列 D.成等差數(shù)列11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?若存在常數(shù)與,且,使得任意,恒有,則稱函數(shù)是廣義周期函數(shù).下列說(shuō)法正確的有()A.一次函數(shù)(為常數(shù))是廣義周期函數(shù)B.若是廣義周期函數(shù),則存在實(shí)數(shù),使得是周期函數(shù)C.若有兩個(gè)不同的對(duì)稱中心,則是廣義周期函數(shù)D.若與都是廣義周期函數(shù),則也是廣義周期函數(shù)三、填空題:本大題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知長(zhǎng)為2的線段的兩個(gè)端點(diǎn)和分別在軸和軸上滑動(dòng),則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是.13.如圖所示,將一個(gè)圓心角為的扇形紙板剪掉扇形,得到扇環(huán),現(xiàn)將扇環(huán)圍成一個(gè)圓臺(tái).若,則該圓臺(tái)的體積為.14.在中,角所對(duì)的邊分別為,且外接圓半徑為,則的最大值為.四、解答題:本大題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.(本小題滿分13分)甲同學(xué)計(jì)劃去參觀某景點(diǎn),但門(mén)票需在網(wǎng)上預(yù)約.該同學(xué)從第一天開(kāi)始,每天在規(guī)定的預(yù)約時(shí)間段開(kāi)始預(yù)約,若預(yù)約成功,便停止預(yù)約；若連續(xù)預(yù)約三天都沒(méi)成功,則放棄預(yù)約.假設(shè)該同學(xué)每天預(yù)約門(mén)票成功的概率均為0.7,(1)求甲同學(xué)到第三天才預(yù)約成功的概率；(2)記為甲同學(xué)預(yù)約門(mén)票的天數(shù),求的分布列和期望.16.(本小題滿分15分)如圖,在平行六面體中,,且,設(shè)與的交于點(diǎn).(1)證明:平面;(2)若,且,求直線與平面所成角的正弦值.

17.(本小題滿分15分)已知函數(shù),其中.(1)若在點(diǎn)(1,0)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積為,求的值；(2)若是的極小值點(diǎn),證明:.

18.(本小題滿分17分)已知橢圓的左頂點(diǎn)為,焦距為,且離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩點(diǎn),點(diǎn)為的外心.(i)若為等邊三角形,求點(diǎn)的坐標(biāo);(ii)若點(diǎn)在直線上,求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.