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高考資源網(wǎng)()您身邊的高考專家(AI教學(xué))訂購熱線二數(shù)學(xué)考生注意:1.答題前,考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上,并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若,則z=()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求解.【詳解】根據(jù)題意,,則.故選:A2.已知集合,,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解對數(shù)不等式,得到,根據(jù)交集概念求出答案.【詳解】,故,故.故選:C3.已知向量,,且,則實(shí)數(shù)()A. B. C.5 D.10【答案】C【解析】【分析】由已知條件可求得,再根據(jù)向量平行的條件,即可求得的值.【詳解】由已知可得:,因?yàn)?,所以有,解之得?故選:C.4已知,直線,,若,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件,利用兩條直線垂直列式求解.【詳解】由直線與垂直,得,即,解得,而,所以.故選:B5.設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,若,則()A.10 B.15 C.21 D.38【答案】D【解析】【分析】先由題中條件,結(jié)合等差數(shù)列下標(biāo)之和的性質(zhì)求出,再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式,即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,則,即,所以,則,因此.故選:D6.已知圓與,動圓M與圓內(nèi)切,且與圓外切,則動圓圓心M的軌跡方程為()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由條件可得,結(jié)合橢圓的定義判斷點(diǎn)的軌跡形狀及位置,利用待定系數(shù)法求其方程.【詳解】圓的圓心,半徑,圓的圓心,半徑,設(shè)動圓的半徑為,由動圓與圓內(nèi)切,且與圓外切,得,則,因此點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn),長軸長的橢圓,而焦距,即,則短半軸長,所以動圓圓心的軌跡方程為.故選:B.7.如圖,在長方體中,,,為棱的中點(diǎn),是線段上的動點(diǎn),則下列式子的值為定值的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先計(jì)算的長度,得到,接著利用向量數(shù)量積的幾何意義:等于在上的投影向量與的數(shù)量積,逐一分析選項(xiàng)ABCD即可得解.【詳解】由題意得,,∴,∴.A.如圖,過點(diǎn)作于點(diǎn),
對于A,由向量數(shù)量積的幾何意義得,由于點(diǎn)動點(diǎn),所以不是定值,所以不是定值,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;對于B,,由于點(diǎn)是動點(diǎn),所以不是定值,所以不是定值,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對于C,,由于不是定值,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;對于D,由于向量在向量上的投影向量為,所以為定值.故選:D.8.已知過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先對函數(shù)求導(dǎo),設(shè)切點(diǎn),寫出切線方程,將點(diǎn)代入切線方程,得到,根據(jù)切線有兩條,得到方程有兩根,結(jié)合判別式即可求出結(jié)果.【詳解】由得,設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線切于點(diǎn),則切線斜率為,所以切線方程為因?yàn)榍芯€過點(diǎn),所以,整理得,因?yàn)檫^點(diǎn)的切線有兩條,所以方程有兩不同實(shí)根,因此,解得或,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選:B二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.某快遞公司2020—2024年的快遞業(yè)務(wù)量及其增長率如圖所示,則()A.該公司2020—2024年快遞業(yè)務(wù)量逐年上升B.該公司2020—2024年快遞業(yè)務(wù)量的極差為68.5億件C.該公司2020—2024年快遞業(yè)務(wù)量的增長率的中位數(shù)為29.9%D.該公司2020—2024年快遞業(yè)務(wù)量的增長率的平均數(shù)為21.58%【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)圖像和極差,中位數(shù),平均數(shù)的計(jì)算公式依次判斷每個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對A:由圖可知:2020—2024年快遞業(yè)務(wù)量逐年上升,故A正確;對B:2020—2024年快遞業(yè)務(wù)量的極差為:(億件),故B正確;對C:因?yàn)樵鲩L率從小到大排序,即則中位數(shù)為,故C錯(cuò)誤;對D:由,故D正確.故選:ABD10.記等比數(shù)列的公比為q,前n項(xiàng)積為,已知,,,則()A. B.C.的最大值為 D.【答案】BD【解析】【分析】先用反證法證明可判斷A,判斷數(shù)列是正項(xiàng)遞減數(shù)列,可得,從而可判斷BC;結(jié)合基本不等式可判斷D.【詳解】因?yàn)?,所以一個(gè)大于1,一個(gè)小于1,因?yàn)椋艄?,則都大于等于1,矛盾,所以,A不正確;因?yàn)?,所以,即,所以?shù)列是正項(xiàng)遞減數(shù)列,可得,所以的最大值為,C不正確;,B正確;因?yàn)?,所以,D正確.故選:BD.11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均是,是的唯一零點(diǎn),且,則()A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù),由已知求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞減,即可比較A正確,C錯(cuò)誤,又是的唯一零點(diǎn),所以,借助單調(diào)性可得,,即得B正確,D錯(cuò)誤.【詳解】令,則,由題意知,所以,即在上單調(diào)遞減,所以,,故A正確,C錯(cuò)誤.又是的唯一零點(diǎn),所以,又在上單調(diào)遞減,所以,,即,,故B正確,D錯(cuò)誤.故選:AB.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.若,則________.【答案】2【解析】【分析】利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化關(guān)系,結(jié)合對數(shù)運(yùn)算計(jì)算得解.【詳解】由,得,則,所以.故答案為:213.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且滿足,則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題中遞推公式,得到,與原式作差整理,得到數(shù)列是等比數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列求和公式,即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,兩式作差得,即,則,又,即,所以數(shù)列是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列因此故答案為:14.已知,分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),以點(diǎn)為圓心且與C的漸近線相切的圓與C在第一象限交于點(diǎn)A,B為的中點(diǎn),若,則C的漸近線的斜率為________.【答案】【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線的距離求得圓的半徑為,利用雙曲線的定義及中位線的性質(zhì)得,由余弦定理建立方程求得,從而得到漸近線斜率.【詳解】由題意,雙曲線一條漸近線為,則點(diǎn)到漸近線的距離,即圓的半徑為,連接,則,由雙曲線的定義知,所以,在中,為的中點(diǎn),B為的中點(diǎn),所以,,則為.在中,,在中,,因?yàn)椋?,所以,所以漸近線斜率.故答案為:四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)的最小正周期為,且的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.(1)求的解析式;(2)若,且,求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)周期求得;利用對稱中心求得,得到結(jié)果;(2)由條件結(jié)合誘導(dǎo)公式二倍角余弦公式求,再由平方關(guān)系求,根據(jù)兩角差余弦公式求結(jié)論.【小問1詳解】因?yàn)榈淖钚≌芷?,所以,因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對稱,所以,即,所以,,又,所以,故.【小問2詳解】,所以,又,所以,從而,所以.16.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知.(1)證明:是等差數(shù)列;(2)若,證明:.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式的關(guān)系消去,根據(jù)等差數(shù)列的定義即可判斷;(2)利用裂項(xiàng)相消求和即可求出不等式左邊,從而判斷其范圍.【小問1詳解】∵,又,兩式相減可得,∴,∴,∴是以為公差的等差數(shù)列.【小問2詳解】由已知得.∴,∴.∴.17.如圖,在四棱錐中,是邊長為2的等邊三角形,,,.(1)求證:平面;(2)若,且,求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)先由題中條件,求出,根據(jù)勾股定理證明,再由,根據(jù)線面垂直的判定定理,即可證明結(jié)論成立;(2)取的中點(diǎn),連接并延長交于,結(jié)合(1)中結(jié)論,證明平面平面,得到,,兩兩互相垂直,以為原點(diǎn),,,所在的直線分別為,,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求出兩平面的法向量,根據(jù)平面夾角公式的向量表示,即可求出結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)槭沁呴L為2的等邊三角形,且,,所以,.又,所以.此時(shí),所以.又,,平面,平面,所以平面;【小問2詳解】取的中點(diǎn),連接并延長交于,則,又,,平面,平面,所以平面,平面,所以,再由(1)可知平面,平面,故,又平面,所以平面,可得,,兩兩互相垂直,故以為原點(diǎn),,,所在的直線分別為,,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,因?yàn)?,所以,所以,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,令,可得;設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,令,可得.因?yàn)椋云矫媾c平面夾角的余弦值為.18.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,拋物線的焦點(diǎn)與重合,點(diǎn)G是C與E在第一象限的交點(diǎn),且.(1)求E的方程.(2)設(shè)過點(diǎn)的直線l與E交于點(diǎn)M,N,交C于點(diǎn)A,B,且A,B,M,N互不重合.(?。┤鬺的傾斜角為45°,求的值;(ⅱ)若P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn),設(shè)PA,PB,PF2的斜率分別為,證明:為和的等差中項(xiàng).【答案】(1)(2)(?。唬áⅲ┳C明見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)拋物線的定義求出焦點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而得到橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo),再利用橢圓和拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩個(gè)方程來確定橢圓方程.(2)(i)根據(jù)直線的傾斜角得到直線方程,然后分別代入橢圓和拋物線方程,利用弦長公式求出和的值,進(jìn)而求出它們的比值.(ii)設(shè)出直線方程,求出交點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)斜率公式計(jì)算出,然后證明.【小問1詳解】由已知得C的焦點(diǎn)為,即,所以.①因?yàn)?,由拋物線的定義可得,所以.代入E的方程可得.②由①②解得,,所以E的方程為.【小問2詳解】設(shè),,,.(ⅰ)因?yàn)橹本€l的傾斜角為45°,所以,直線l的方程為.聯(lián)立整理得,則,所以.聯(lián)立整理得,則,,所以.所以.(ⅱ)由題意知,,設(shè),且直線AB的方程為.聯(lián)立整理得,顯然,則,,所以,,,,又,即,所以為和的等差中項(xiàng).【點(diǎn)睛】知識點(diǎn)點(diǎn)睛:本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用問題,解答此類題目確定橢圓(圓錐曲線)方程是基礎(chǔ),通過聯(lián)立直線方程與橢圓(圓錐曲線)方程的方程組,應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,得到“目標(biāo)函數(shù)”的解析式,確定函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解,此類問題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足,導(dǎo)致錯(cuò)漏百出,本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等.19.已知函數(shù),.(1)若,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)若對任意,不等式恒成立,求a的值;(3)若實(shí)數(shù)m,n滿足,證明:.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【解析】【分析】(1)求導(dǎo),得到,結(jié)合,利用導(dǎo)數(shù)幾何意義得到切線方程;(2)求導(dǎo),得到的單調(diào)性,進(jìn)而得到所以,設(shè),求導(dǎo),得到的單調(diào)性,,故,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立,若滿足,必有,求出;(3)變形后得到,換元后化為,由(2)知,當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,故,從而成立,同理,要證明,即證明,即,令,,求導(dǎo)得到的單調(diào)性,所以,即,整理得,從而成立.【小問1詳解】若,則,定義域?yàn)?,,則,又,所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.【小問2詳解】,令,得,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,在
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