2020年北京市高考數(shù)學(xué)試卷

第=page22頁，共=sectionpages22頁第=page11頁，共=sectionpages11頁2020年北京市高考數(shù)學(xué)試卷題號一二三總分得分一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分）已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|0＜x＜3}，則A∩B=（）A.{-1，0，1} B.{0，1} C.{-1，1，2} D.{1，2}在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標是（1，2），則i?z=（）A.1+2i B.-2+i C.1-2i D.-2-i在（-2）5的展開式中，x2的系數(shù)為（）A.-5 B.5 C.-10 D.10某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為（）

A.6+ B.6+2 C.12+ D.12+2已知半徑為1的圓經(jīng)過點（3，4），則其圓心到原點的距離的最小值為（）A.4 B.5 C.6 D.7已知函數(shù)f（x）=2x-x-1，則不等式f（x）＞0的解集是（）A.（-1，1） B.（-∞，-1）∪（1，+∞）

C.（0，1） D.（-∞，0）∪（1，+∞）設(shè)拋物線的頂點為O，焦點為F，準線為l．P是拋物線上異于O的一點，過P作PQ⊥l于Q，則線段FQ的垂直平分線（）A.經(jīng)過點O B.經(jīng)過點P C.平行于直線OP D.垂直于直線OP在等差數(shù)列{an}中，a1=-9，a5=-1．記Tn=a1a2…an（n=1，2，…），則數(shù)列{Tn}（）A.有最大項，有最小項 B.有最大項，無最小項

C.無最大項，有最小項 D.無最大項，無最小項已知α，β∈R，則“存在k∈Z使得α=kπ+（-1）kβ”是“sinα=sinβ”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2020年3月14日是全球首個國際圓周率日（πDay）．歷史上，求圓周率π的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似，數(shù)學(xué)家阿爾?卡西的方法是：當正整數(shù)n充分大時，計算單位圓的內(nèi)接正6n邊形的周長和外切正6n邊形（各邊均與圓相切的正6n邊形）的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為2π的近似值．按照阿爾?卡西的方法，π的近似值的表達式是（）A.3n（sin+tan） B.6n（sin+tan）

C.3n（sin+tan） D.6n（sin+tan）二、填空題（本大題共5小題，共25.0分）函數(shù)f（x）=+lnx的定義域是______．已知雙曲線C：-=1，則C的右焦點的坐標為______；C的焦點到其漸近線的距離是______．已知正方形ABCD的邊長為2，點P滿足=（+），則||=______；?=______．若函數(shù)f（x）=sin（x+φ）+cosx的最大值為2，則常數(shù)φ的一個取值為______．為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強污水治理，排放未達標的企業(yè)要限期整改．設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時間t的關(guān)系為W=f（t），用-的大小評價在[a，b]這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強弱．已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系如圖所示．

給出下列四個結(jié)論：

①在[t1，t2]這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；

②在t2時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；

③在t3時刻，甲，乙兩企業(yè)的污水排放都已達標；

④甲企業(yè)在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]這三段時間中，在[0，t1]的污水治理能力最強．

其中所有正確結(jié)論的序號是______．三、解答題（本大題共6小題，共85.0分）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BB1的中點．

（Ⅰ）求證：BC1∥平面AD1E；

（Ⅱ）求直線AA1與平面AD1E所成角的正弦值．

在△ABC中，a+b=11，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：

（Ⅰ）a的值；

（Ⅱ）sinC和△ABC的面積．

條件①：c=7，cosA=-；

條件②：cosA=，cosB=．

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．

某校為舉辦甲、乙兩項不同活動，分別設(shè)計了相應(yīng)的活動方案；方案一、方案二．為了解該校學(xué)生對活動方案是否支持，對學(xué)生進行簡單隨機抽樣，獲得數(shù)據(jù)如表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設(shè)所有學(xué)生對活動方案是否支持相互獨立．

（Ⅰ）分別估計該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；

（Ⅱ）從該校全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取1人，估計這3人中恰有2人支持方案一的概率；

（Ⅲ）將該校學(xué)生支持方案二的概率估計值記為p0．假設(shè)該校一年級有500名男生和300名女生，除一年級外其他年級學(xué)生支持方案二的概率估計值記為p1．試比較p0與p1的大?。ńY(jié)論不要求證明）

已知函數(shù)f（x）=12-x2．

（1）求曲線y=f（x）的斜率等于-2的切線方程；

（2）設(shè)曲線y=f（x）在點（t，f（t））處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為S（t），求S（t）的最小值．

已知橢圓C：+=1過點A（-2，-1），且a=2b．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過點B（-4，0）的直線l交橢圓C于點M，N，直線MA，NA分別交直線x=-4于點P，Q．求的值．

已知{an}是無窮數(shù)列．給出兩個性質(zhì)：

①對于{an}中任意兩項ai，aj（i＞j），在{an}中都存在一項am，使得=am；

②對于{an}中任意一項an（n≥3），在{an}中都存在兩項ak，al（k＞l），使得an=．

（Ⅰ）若an=n（n=1，2，…），判斷數(shù)列{an}是否滿足性質(zhì)①，說明理由；

（Ⅱ）若an=2n-1（n=1，2，…），判斷數(shù)列{an}是否同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說明理由；

（Ⅲ）若{an}是遞增數(shù)列，且同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：{an}為等比數(shù)列．

答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】

根據(jù)交集的定義寫出A∩B即可．

本題考查了交集的定義與運算問題，是基礎(chǔ)題目．

【解答】

解：集合A={-1，0，1，2}，B={x|0＜x＜3}，則A∩B={1，2}，

故選：D．

2.【答案】B

【解析】【分析】

???????本題主要考查復(fù)數(shù)的運算，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義求出復(fù)數(shù)的表達式是解決本題的關(guān)鍵．比較基礎(chǔ)．

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義先求出z的表達式，結(jié)合復(fù)數(shù)的運算法則進行計算即可．

【解答】

解：∵復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標是（1，2），

∴z=1+2i，

則i?z=i（1+2i）=-2+i，

故選：B．

3.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)等于2，求出r的值，即可求得x2的系數(shù)．

【解答】

解：（-2）5的展開式中，通項公式為Tr+1=?（-2）r?，

令=2，求得r=1，可得x2的系數(shù)為?（-2）=-10，

故選：C．

4.【答案】D

【解析】解：幾何體的直觀圖如圖：是三棱柱，底面邊長與側(cè)棱長都是2，

幾何體的表面積為：3×2×2+2××2=12+2．

故選：D．

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可．

本題考查三視圖求解幾何體的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵，是基本知識的考查．

5.【答案】A

【解析】解：如圖示：

，

半徑為1的圓經(jīng)過點（3，4），可得該圓的圓心軌跡為（3，4）為圓心，1為半徑的圓，

故當圓心到原點的距離的最小時，

連結(jié)OB，A在OB上且AB=1，此時距離最小，

由OB=5，得OA=4，

即圓心到原點的距離的最小值是4，

故選：A．

結(jié)合題意畫出滿足條件的圖象，結(jié)合圖象求出答案即可．

本題考查了圓的基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合思想，是一道常規(guī)題．

6.【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查其它不等式的解法，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．

不等式即2x＞x+1．由于函數(shù)y=2x和直線y=x+1的圖象都經(jīng)過點（0，1）、（1，2），數(shù)形結(jié)合可得結(jié)論．

【解答】

解：不等式f（x）＞0，即2x＞x+1．

由于函數(shù)y=2x和直線y=x+1的圖象都經(jīng)過點（0，1）、

（1，2），如圖所示：

不等式f（x）＞0的解集是（-∞，0）∪（1，+∞），

故選：D．

7.【答案】B

【解析】解：不妨設(shè)拋物線的方程為y2=4x，則F（1，0），準線為l為x=-1，

不妨設(shè)P（1，2），

∴Q（-1，2），

設(shè)準線為l與x軸交點為A，則A（-1，0），

可得四邊形QAFP為正方形，根據(jù)正方形的對角線互相垂直，

故可得線段FQ的垂直平分線，經(jīng)過點P，

故選：B．

本題屬于選擇題，不妨設(shè)拋物線的方程為y2=4x，不妨設(shè)P（1，2），可得可得四邊形QAFP為正方形，根據(jù)正方形的對角線互相垂直可得答案．

本題考查了拋物線的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．

8.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查數(shù)列的函數(shù)特性，考查分析問題與解決問題的能力，是中檔題．

由已知求出等差數(shù)列的通項公式，分析可知數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，且前5項為負值，自第6項開始為正值，進一步分析得答案．

【解答】

解：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為d，由a1=-9，a5=-1，得d=，

∴an=-9+2（n-1）=2n-11．

由an=2n-11=0，得n=，而n∈N*，

可知數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，且前5項為負值，自第6項開始為正值．

可知T1=-9＜0，T2=63＞0，T3=-315＜0，T4=945＞0為最大項，

自T5起均小于0，且逐漸減小．

∴數(shù)列{Tn}有最大項，無最小項．

故選：B．

9.【答案】C

【解析】【分析】

???????本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合三角函數(shù)值的性質(zhì)，利用分類討論思想進行判斷是解決本題的關(guān)鍵．難度不大．

根據(jù)充分條件和必要條件的定義，分別討論k為偶數(shù)和奇數(shù)時，是否成立即可．

【解答】

解：當k=2n，為偶數(shù)時，α=2nπ+β，此時sinα=sin（2nπ+β）=sinβ，

當k=2n+1，為奇數(shù)時，α=2nπ+π-β，此時sinα=sin（π-β）=sinβ，即充分性成立，

當sinα=sinβ，則α=2nπ+β，n∈Z或α=2nπ+π-β，n∈Z，即α=kπ+（-1）kβ，即必要性成立，

則“存在k∈Z使得α=kπ+（-1）kβ”是“sinα=sinβ”的充要條件，

故選：C．

10.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查數(shù)學(xué)中的文化，考查圓的內(nèi)接和外切多邊形的邊長的求法，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．

設(shè)內(nèi)接正6n邊形的邊長為a，外切正6n邊形的邊長為b，運用圓的性質(zhì)，結(jié)合直角三角形的銳角三角函數(shù)的定義，可得所求值．

【解答】

解：如圖，設(shè)內(nèi)接正6n邊形的邊長為a，外切正6n邊形的邊長為b，

可得a=2sin=2sin，

b=2tan=2tan，

則2π≈=6n（sin+tan），

即π≈3n（sin+tan），

故選：A．

11.【答案】{x|x＞0}

【解析】【分析】

本題主要考查函數(shù)定義域的求解，根據(jù)函數(shù)成立的條件建立不等式是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)函數(shù)成立的條件建立不等式組，解不等式即可．

【解答】

解：要使函數(shù)有意義，則，

得，

即x＞0，

即函數(shù)的定義域為{x|x＞0}，

故答案為：{x|x＞0}.

12.【答案】（3，0）

【解析】解：雙曲線C：-=1，則c2=a2+b2=6+3=9，則c=3，則C的右焦點的坐標為（3，0），

其漸近線方程為y=±x，即x±y=0，

則點（3，0）到漸近線的距離d==，

故答案為：（3，0），．

根據(jù)雙曲線的方程可得焦點，再根據(jù)點到直線的距離可得．

本題考查了雙曲線的方程和其性質(zhì)，以及點到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．

13.【答案】

；-1

【解析】【分析】

???????本題考查了向量的幾何意義和向量的數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)向量的幾何意義可得P為BC的中點，再根據(jù)向量的數(shù)量積的運算和正方形的性質(zhì)即可求出．

【解答】

解：由=（+），可得P為BC的中點，

則|CP|=1，

∴|PD|==，

∴?=?（+）=-?（+）=-2-?=-1，

故答案為：，-1．

14.【答案】（答案不唯一）

【解析】【分析】

???????本題考查三角恒等變換，輔助角公式，三角函數(shù)最值，以及考查運算能力，屬于中檔題．

由兩角和差公式，及輔助角公式化簡得f（x）=sin（x+θ），其中cosθ=，sinθ=，

結(jié)合題意可得=2，解得φ，即可得出答案．

【解答】

解：f（x）=sin（x+φ）+cosx

=sinxcosφ+cosxsinφ+cosx

=sinxcosφ+（1+sinφ）cosx

=sin（x+θ），

其中cosθ=，sinθ=，

所以f（x）最大值為=2，

所以cos2φ+（1+sinφ）2=4，

即2+2sinφ=4，

所以sinφ=1，

所以φ=+2kπ，k∈Z，

當k=0時，φ=．

故答案為：（答案不唯一）．

15.【答案】①②③

【解析】解：設(shè)甲企業(yè)的污水排放量W與時間t的關(guān)系為W=f（t），乙企業(yè)的污水排放量W與時間t的關(guān)系為W=g（t）．

對于①，在[t1，t2]這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力為，

乙企業(yè)的污水治理能力為-．

由圖可知，f（t1）-f（t2）＞g（t1）-g（t2），∴＞-，

即甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強，故①正確；

對于②，由圖可知，f（t）在t2時刻的切線的斜率小于g（t）在t2時刻的切線的斜率，但兩切線斜率均為負值，

∴在t2時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強，故②正確；

對于③，在t3時刻，甲，乙兩企業(yè)的污水排放都小于污水達標排放量，

∴在t3時刻，甲，乙兩企業(yè)的污水排放都已達標，故③正確；

對于④，由圖可知，甲企業(yè)在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]這三段時間中，在[t1，t2]的污水治理能力最強，

故④錯誤．

∴正確結(jié)論的序號是①②③．

故答案為：①②③．

由兩個企業(yè)污水排放量W與時間t的關(guān)系圖象結(jié)合平均變化率與瞬時變化率逐一分析四個命題得答案．

本題考查利用數(shù)學(xué)解決實際生活問題，考查學(xué)生的讀圖視圖能力，是中檔題．

16.【答案】解：（Ⅰ）由正方體的性質(zhì)可知，AB∥C1D1中，且AB=C1D1，

∴四邊形ABC1D1是平行四邊形，∴BC1∥AD1，

又BC1?平面AD1E，AD1?平面AD1E，∴BC1∥平面AD1E．

（Ⅱ）以A為原點，AD、AB、AA1分別為x、y和z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

設(shè)正方體的棱長為a，則A（0，0，0），A1（0，0，a），D1（a，0，a），E（0，a，a），

∴，，，

設(shè)平面AD1E的法向量為，則，即，

令z=2，則x=-2，y=-1，∴=（-2，-1，2），

設(shè)直線AA1與平面AD1E所成角為θ，則sinθ=|cos＜，＞|==，

故直線AA1與平面AD1E所成角的正弦值為．

【解析】（Ⅰ）根據(jù)正方體的性質(zhì)可證得BC1∥AD1，再利用線面平行的判定定理即可得證；

（Ⅱ）以A為原點，AD、AB、AA1分別為x、y和z軸建立空間直角坐標系，設(shè)直線AA1與平面AD1E所成角為θ，先求出平面AD1E的法向量，再利用sinθ=|cos＜，＞|=以及空間向量數(shù)量積的坐標運算即可得解．

本題考查空間中線面的位置關(guān)系和線面夾角問題，熟練掌握線面平行的判定定理和利用空間向量求線面夾角是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．

17.【答案】解：選擇條件①（Ⅰ）由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，即a2-b2=49-14b×（-）=49+2b，

∴（a+b）（a-b）=49+2b，

∵a+b=11，

∴11a-11b=49+2b，

即11a-9b=49，

聯(lián)立，解得a=8，b=3，

故a=8．

（Ⅱ）在△ABC中，sinA＞0，

∴sinA==，

由正弦定理可得=，

∴sinC===，

∴S△ABC=absinC=×8×3×=6．

選擇條件②（Ⅰ）在△ABC中，sinA＞0，sinB＞0，C=π-（A+B），

∵cosA=，cosB=，

∴sinA==，sinB==，

由正弦定理可得=，

∴==，

∵a+b=11，

∴a=6，b=5，

故a=6；

（Ⅱ）在△ABC中，C=π-（A+B），

∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=，

∴S△ABC=absinC=×6×5×=

【解析】選擇條件①（Ⅰ）由余弦定理求出（a+b）（a-b）=49+2b，再結(jié)合a+b=11，即可求出a的值，

（Ⅱ）由正弦定理可得sinC，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出，

選擇條件②（Ⅰ）根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系和正弦定理可得==，再結(jié)合a+b=11，即可求出a的值，

（Ⅱ）由兩角和的正弦公式求出sinC，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出．

本題考查了同角的三角函數(shù)的關(guān)系，兩角和的正弦公式，正余弦定理，三角形的面積公式等知識，考查了運算能力求解能力，轉(zhuǎn)化月化歸能力，屬于中檔題．

18.【答案】解：（Ⅰ）設(shè)“該校男生支持方案一”為事件A，“該校女生支持方案一”為事件B，

則；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

設(shè)“這3人中恰有2人支持方案一”為事件C，

則；

（Ⅲ）P0＞P1．

【解析】（Ⅰ）根據(jù)古典概型的概率公式直接求解即可；

（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）及相互獨立事件同時發(fā)生的概率直接求解即可；

（Ⅲ）直接寫出結(jié)論即可．

本題考查古典概型及相互獨立事件同時發(fā)生的概率求法，考查計算能力及推理能力，屬于基礎(chǔ)題．

19.【答案】解：（1）f（x）=12-x2的導(dǎo)數(shù)=-2x，

令切點為（m，n），可得切線的斜率為-2m=-2，

∴m=1，∴n=12-1=11，

∴切線的方程為y=-2x+13；

（2）曲線y=f（x）在點（t，f（t））處的切線的斜率為k=-2t，

切線方程為y-（12-t2）=-2t（x-t），

令x=0，可得y=12+t2，令y=0，可得x=t+，

∴S（t）=?|t+|?（12+t2），

由S（-t）=S（t），可知S（t）為偶函數(shù)，

不妨設(shè)t＞0，則S（t）=（t+）（12+t2），

∴=（3t2+24-）=?，

由=0，得t=2，

當t＞2時，＞0，S（t）單調(diào)遞增；當0＜t＜2時，＜0，S（t）單調(diào)遞減，

則S（t）在t=2處取得極小值，且為最小值32，

所以S（t）的最小值為32．

【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，考查方程思想和運算能力，屬于較難題．

（1）求得f（x）=12-x2的導(dǎo)數(shù)，設(shè)切點為（m，n），可得切線的斜率，解方程可得m，n，進而得到切線的方程；

（2）求得切線的斜率和方程，分別令x=0，y=0，求得切線的橫截距和縱截距，可得三角形的面積，考慮t＞0的情況，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值，然后求出S（t）的最小值．

20.【答案】解：（Ⅰ）橢圓C：+=1過點A（-2，-1），且a=2b，

則，解得b2=2，a2=8，

∴橢圓方程為+=1，

（Ⅱ）由題意可得直線l的斜率存在，設(shè)直線方程為y=k（x+4），

由，

消y整理可得（1+4k2）x2+32k2x+64k2-8=0，

∴△=-32（4k2-1）＞0，

解得-＜k＜，

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），

∴x1+x2=-，x1x2=，

則直線AM的方程為y+1=（x+2），直線AN的方程為y+1=（x+2），

分別令x=-4，

可得yP=-1=-，yQ=-

∴|PB|=|yP|=||，|QB|=|yQ|=||，

∴=||=||

∵（2k+1）x1x2+（4k+2）（x1+x2）+8（2k+1）=，

∴||=||=||=1，

故=1．

【解析】（Ⅰ）由題意可得，解得b2=2，a2=8，即可求出橢圓方程；

（Ⅱ）設(shè)直線方程為y=k（x+4），設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），可得直線AM的方程為y+1=（x+2），直線AN的方程為y+1=（x+2），分別令x=-4，求出yP=-，yQ=-，代入化簡整理即可求出．

本題考查了直線和橢圓的位置關(guān)系，考查了運算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，分類與整合能力，屬于難題．

21.【答案】解：（Ⅰ）不滿足，理由：=?N*，不存在一項am使得=am．

（Ⅱ）數(shù)列{an}同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，

理由：對于任意的i和j，滿足=22i-j-1，因為i∈N*，j∈N*且i＞j，所以2i-j∈N*，則必存在m=2i-j，此時，2m-1∈{ai}且滿足=22i-j-1=am，性質(zhì)①成立，

對于任意的n，欲滿足an=2n-1==22k-l-1