高考數(shù)學(xué)模擬大題規(guī)范訓(xùn)練(9)含答案及解析

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（9）15.已知函數(shù)，且在處的切線方程是．（1）求實數(shù)，的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．16.甲、乙兩個班級之間組織乒乓球友誼賽，比賽規(guī)則如下：①兩個班級進行3場單打比賽，每場單打比賽獲勝一方積2分，失敗一方積0分；②若其中一隊累計分達到6分，則贏得比賽的最終勝利，比賽結(jié)束；③若單打比賽結(jié)束后還未能決出最終勝負，則進行一場雙打比賽，雙打比賽獲勝一方積2分，失敗一方積0分．已知每場單打比賽甲班獲勝的概率為，每場比賽無平局，不同場次比賽之間相互獨立．（1）求進行雙打比賽的概率；（2）設(shè)隨機變量為比賽場次，求分布列及數(shù)學(xué)期望．17.如圖，在四棱錐中，平面平面，且．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的正弦值．18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，點（不位于軸左側(cè)）到軸的距離為．（1）求點的軌跡方程；（2）若圓與點的軌跡有且僅有一個公共點，求的最大值；（3）在（2）的條件下，當(dāng)取最大值，且時，過作圓的兩條切線，分別交軸于兩點，求面積的最小值．19.已知為單調(diào)遞增的正整數(shù)數(shù)列，給定整數(shù)，若存在不全為0的，使得，則稱為階維表示數(shù)．（1）若，求的通項公式，判斷2024是否為3階3維表示數(shù)，并說明理由；（2）已知，是否存在，使得同時是0階維表示數(shù)，1階維表示數(shù)，…，階維表示數(shù)．若存在，求出；若不存在，請說明理由．

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（9）15.已知函數(shù)，且在處的切線方程是．（1）求實數(shù)，的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．【答案】（1），（2）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，極小值為，無極大值【解答】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到方程組，解得即可；（2）由（1）可得，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出極值.【小問1詳解】因為，所以，又在處的切線方程為，所以，，解得，．【小問2詳解】由（1）可得定義域為，則，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，則在處取得極小值，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，因此極小值為，無極大值．16.甲、乙兩個班級之間組織乒乓球友誼賽，比賽規(guī)則如下：①兩個班級進行3場單打比賽，每場單打比賽獲勝一方積2分，失敗一方積0分；②若其中一隊累計分達到6分，則贏得比賽的最終勝利，比賽結(jié)束；③若單打比賽結(jié)束后還未能決出最終勝負，則進行一場雙打比賽，雙打比賽獲勝一方積2分，失敗一方積0分．已知每場單打比賽甲班獲勝的概率為，每場比賽無平局，不同場次比賽之間相互獨立．（1）求進行雙打比賽的概率；（2）設(shè)隨機變量為比賽場次，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）分布列見解答，【解答】【分析】（1）利用獨立事件的乘法公式計算即可求解；（2）的可能取值為3，4，求出對應(yīng)的概率，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望即可.【小問1詳解】設(shè)進行雙打比賽為事件A，甲班前3場獲勝2場為事件，乙班前3場獲勝2場為事件，所以，所以，所以．所以進行雙打比賽的概率為；小問2詳解】的可能取值為3，4，，由（1）可知，，的分布列為：34，所以的數(shù)學(xué)期望為．17.如圖，在四棱錐中，平面平面，且．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的正弦值．【答案】（1）證明見解答（2）【解答】【分析】（1）先由線段關(guān)系證，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)判定線線垂直，利用線線垂直證線面垂直；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計算面面角即可.【小問1詳解】由題意，則，因為，所以，因為平面平面，平面平面，且平面，所以平面，因為平面，所以，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小問2詳解】如圖，以A為原點，分別為軸，軸正方向，在平面內(nèi)過點A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，設(shè)平面的一個法向量，則，令，得，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的正弦值為．18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，點（不位于軸左側(cè)）到軸的距離為．（1）求點的軌跡方程；（2）若圓與點的軌跡有且僅有一個公共點，求的最大值；（3）在（2）的條件下，當(dāng)取最大值，且時，過作圓的兩條切線，分別交軸于兩點，求面積的最小值．【答案】（1）（2）2（3）32【解答】【分析】（1）設(shè)，利用兩點距離公式及點線距離計算即可；（2）聯(lián)立圓與C方程計算即可；（3）設(shè)坐標(biāo)，含參表示圓的切線方程，利用直線與圓的位置關(guān)系及同解方程得，利用三角形面積公式結(jié)合基本不等式計算最小值即可.【小問1詳解】設(shè)，則，所以，兩邊平方可得，整理得，所以點的軌跡方程C為；【小問2詳解】依題意，聯(lián)立圓與，可得，解得或，由于僅有一個公共點，所以，解得，所以最大值為2；【小問3詳解】不妨設(shè)，顯然，則直線，直線，依題意直線PA與圓相切，所以，整理可得，同理可得，顯然，所以a，b為關(guān)于一元二次方程的兩根，所以，則，則面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以面積的最小值為32．【小結(jié)】思路小結(jié)：第三問設(shè)點坐標(biāo)，利用斜截式表示圓的切線方程，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得出同解方程，消元轉(zhuǎn)化再結(jié)合基本不等式計算即可.19.已知為單調(diào)遞增的正整數(shù)數(shù)列，給定整數(shù)，若存在不全為0的，使得，則稱為階維表示數(shù)．（1）若，求的通項公式，判斷2024是否為3階3維表示數(shù)，并說明理由；（2）已知，是否存在，使得同時是0階維表示數(shù)，1階維表示數(shù)，…，階維表示數(shù)．若存在，求出；若不存在，請說明理由．【答案】（1），2024是3階3維表示數(shù)，理由見解答（2）當(dāng)時，不存在不全為0的使結(jié)論成立，當(dāng)時，【解答】【分析】（1）利用給定遞推關(guān)系求出，在利用給定定義判斷3階3維表示數(shù)即可.（2）利用給定定義結(jié)合分類討論思想求解即可.【小問1詳解】由于，因此的奇數(shù)項與偶數(shù)項都是等差數(shù)列，且公差均為4，又因為，，因此是2為首項，2為公差的等差數(shù)列，即，當(dāng)時，設(shè)，則，此時取即可（取法不唯一）；【小問2詳解】由題意可知滿足方程組從最后一行開始，分別用前一行的倍加到下一行，對后行的