2024年上海高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn) 專題6-1 直線與圓的方程及位置關(guān)系（專題分層練）含詳解

專題驗(yàn)收評(píng)價(jià)

專題6T直線與圓的方程及位置關(guān)系

內(nèi)容概覽

A-常考題不丟分

一.直線的傾斜角（共7小題）

二.直線的斜率（共1小題）

三.直線的截距式方程（共1小題）

四.直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系（共1小題）

五.直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系（共1小題）

六.點(diǎn)到直線的距離公式（共1小題）

七.兩條平行直線間的距離（共1小題）

八.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（共1小題）

九.軌跡方程（共1小題）

十.圓的方程的應(yīng)用（共1小題）

十一.直線與圓相交的性質(zhì)（共1小題）

十二.直線與圓的位置關(guān)系（共3小題）

十三.圓與圓的位置關(guān)系及其判定（共4小題）

B?拓展培優(yōu)拿高分（壓軸題）

C-挑戰(zhàn)真題爭(zhēng)滿分

A??？碱}不丟分、

一.直線的傾斜角（共7小題）

1.（2023春?黃浦區(qū)校級(jí)期中）若直線/的一個(gè)方向向量為（-1,V3），則它的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.（2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期末〉已知直線/的方程為方卷=「則直線/的傾斜角a=.

3.（2023春?浦東新區(qū)期末）直線?x+y+l=0的傾斜角是.

4.（2023秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）直線、”x+y-3=0的傾斜角為.

5.（2023春?黃浦區(qū)校級(jí)期中）過(guò)P（-2,/〃）、Q（m,4）兩點(diǎn)的直線的傾斜角為45°,那么m=.

6.（2023春?靜安區(qū)校級(jí)期中）直線小/§.、葉2023=0的傾斜角的大小為.

7.（2023春?寶山區(qū)期末）直線x=l為傾斜角為.

二.直線的斜率（共1小題）

8.（2023秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）P（x,y）在線段/W上運(yùn)動(dòng)，已知A（2,4）,B（5,-2）,則四的取值

x+1

范圍是.

三.直線的截距式方程（共1小題）

9.（2023?浦東新區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知定點(diǎn)P（6,4）與定直線A：）=4斯過(guò)P點(diǎn)的直線/與人交于第一象限

Q點(diǎn),與x軸正半軸交于點(diǎn)M，求使△OQM面積最小的直線方程為.

四.直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系（共1小題）

10.（2023春?浦東新區(qū)期末）過(guò)點(diǎn)4（2,3）且與直線x+2y?6=0平行的直線方程是.

五.直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系（共1小題）

II.（2023春?浦東新區(qū)期末）直線八：x+叫+7=0和直線注（〃L2）x+3y+2〃尸0互相垂直，則實(shí)數(shù)楸的

值為（）

A.m=-3B.m'C.機(jī)=1或機(jī)=3D.機(jī)=-1或機(jī)=3

2

六.點(diǎn)到直線的距離公式（共1小題）

12.（2023秋?奉賢區(qū)校級(jí)月考）已知直線/：ax-y+2-a=0恒過(guò)點(diǎn)P,且與x軸，），軸分別交于A,B兩點(diǎn),

。為坐標(biāo)原點(diǎn).

（I）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)。到直線/的距離最大時(shí)，求直線/的方程；

（3）當(dāng)附|?|P8|取得最小值時(shí)，求AAOB的而積.

七.兩條平行直線間的距離（共1小題）

13.〔2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）若動(dòng)點(diǎn)八（xi,戶）、B（AZM分別在直線kx+y-7=0和/2：x+y-5=

0上移動(dòng)，則AB中點(diǎn)M到原點(diǎn)距離的最小值為.

A.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（共1小題）

14.（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）同心在第一象限，半徑為1,且同時(shí)與x,y軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

為.

九.軌跡方程（共1小題）

15.（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）阿波羅尼斯是古希月昔著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山

大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻且系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》

一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)A,8的距離之比為入（人,

0,入H1）,那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.如動(dòng)點(diǎn)〃與兩定點(diǎn)A3，0）.8（5,0）的距離之比

5

為5時(shí)的阿波羅尼斯圓為7+）2=9.下面，我們來(lái)研究與此相關(guān)的一個(gè)問(wèn)題：己知圓。：/+『=4上的

5

動(dòng)點(diǎn)M和定點(diǎn)A（-1，0）,8（1,1）,則21MAl+|M8|的最小值為1）

A.2+710B.V21c.V26D.V29

一十.圓的方程的應(yīng)用（共1小題）

16.12023春?靜安區(qū)校級(jí)期中）函數(shù)/（%）=Asin（o）x+（p）（A>0,u）>0,0<（p<n）的部分圖象如圖中實(shí)

線所示，圖中圓C與/（x）的圖象交于M、N兩點(diǎn)，且M在），軸上，圓的半徑為且L,則f（A）

126

一十一.直線與圓相交的性質(zhì)（共1小題）

17.（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）已知直線/過(guò)點(diǎn)（7,0）且與直線產(chǎn)0垂直，則圓）+/-以+8），

=0與直線/相交所得的弦長(zhǎng)為.

一十二.直線與圓的位置關(guān)系（共3小題）

18.（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知直線/：,，=依+8上存在點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作

圓。：/+,2=4的切線，切點(diǎn)分別為人（XI,yi）,B（X2，”），且人1￥2+戶”=-2,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍

M是弦PQ的中點(diǎn)；且直線/與直線機(jī)：x+3尸'6=0相交于點(diǎn)N.

（I）當(dāng)直線/與直線機(jī)垂直時(shí)，求證：直線/經(jīng)過(guò)圓心C：

（2）當(dāng)弦長(zhǎng)|PQ=2%時(shí)，求直線/的方程:

（3）設(shè)，=標(biāo).訕，試問(wèn)，是否為定值，若為定值，請(qǐng)求出/的值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

7.（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）已知直線/：y=kx（^0）與圓C：W+y2?2x-3=0相交于A、B兩點(diǎn).

（I）若|A3|=JT^，求A；

（2）在x軸上是否存在點(diǎn)M,使得當(dāng)女變化時(shí)，總有直線MA、MB的斜率之和為0,若存在，求出點(diǎn)M

的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

8.（2023春?楊浦區(qū)校級(jí)期中〉已知圓心在1軸上的圓C經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（1,0）、B（3,2）.

（I）求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）求過(guò)點(diǎn)P（5,4）且與此圓相切的直線/的一般式方程.

9.(2023春?黃浦區(qū)校級(jí)期中)已知圓M經(jīng)過(guò)A(-1,0)、8(1,-2),C(3,0),圓N：/+/-公+24尸/

=0.

(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(2)若圓M與圓N相切，求a的值.

10.(2023春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中)已知圓C：(x-2)2+/=],動(dòng)直線/過(guò)點(diǎn)P(1,2).

(1)若直線/與圓C相切，求直線/的方程；

(2)若直線/與圓C相交于不同的A,8兩點(diǎn)，求弦A8的中點(diǎn)"為軌跡.

C?挑戰(zhàn)真題爭(zhēng)滿分

選擇題(共6小題)

1.(2020?新課標(biāo)川)點(diǎn)(0,-1)到直線y=A(x+1)距離的最大值為()

A.1B.V2C.V3D.2

2.（2023?乙卷）已知實(shí)數(shù)x,y滿足d+y2-4x-2），-4=0,則x-y的最大值是（）

A.1+對(duì)1.B.4C.1+3&D.7

2

3.（2023?全國(guó)）。為原點(diǎn)，。在圓C（x-2）2+（y-|）2=］上，。。與圓C相切，則|OP|=（）

A.2B.273C.V13D.V14

4.（2023?新高考I）過(guò)點(diǎn)（0,-2）與圓/+）2-4x-1=0相切的兩條直線的夾角為a,則sina=（）

A.1B.C.2/12.D.2^

444

5.（2022?北京）若直線Zr+廠1=0是圓（x-a）2+y2=l的一條對(duì)稱軸，貝lja=（）

A.—B.—C.1D.-1

22

6.（2023?乙卷）己知OO的半徑為1,直線附與。。相切于點(diǎn)A,直線與00交于8,C兩點(diǎn)，D為

8C的中點(diǎn)，若|PO|=J5，則有?而的最大值為（）

A.B.C.I+V2D.2+V2

22

二.填空題（共8小題）

7.（2022?甲卷）設(shè)點(diǎn)M在直線1=0上，點(diǎn)（3,0）和（0,1）均在OM上，則G）M的方程

為.

8.（2022?乙卷）過(guò)四點(diǎn)（0,0）,（4,0）,（-1,1）,（4,2）中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為.

9.（2022?天津）若直線4-產(chǎn)m=0（加>0）與圓（x-l）2+（y-1產(chǎn)=3相交所得的弦長(zhǎng)為則m=.

10.（2022?全國(guó)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)。在圓（X+1）2+『=9上，則0*的最小值為.

11.（2022?新高考H）設(shè)點(diǎn)A（-2,3）,B（0,a）,若直線A6關(guān)于對(duì)稱的直線與圓（A+3）2+（y+2）

2=1有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是.

12.12023?新高考II）已知直線x■〃廳+1=0與0C：（x?1）2+）2=4交于A,B兩點(diǎn),寫出滿足“△48C面

積為的，〃的一個(gè)值_______________________.

5

13.（2023?天津）過(guò)原點(diǎn)的—?條直線與圓C：（x+2）2+）2=3相切，交曲線）?=2〃x（p>0）于點(diǎn)P,若|OP|

=8,則〃的值為.

14.（2022?新高考I）寫出與貝1+尸=1和（x-3）2+（y-G2=16都相切的一條直線的方

程.

三.解答題（共1小題）

15.：2017-上海）某景區(qū)欲建造兩條惻形觀景步道Mi、M2（寬度忽略不計(jì)），如圖所示，已知IABJ_AC,AB

=AC=AD=60（單位：米），要求圓Mi與AB、AO分別相切于點(diǎn)夙。，圓加2與人C、AD分別相切于

點(diǎn)C、。：

（I）若NBAD=6。：求圓Mi、"2的半徑（結(jié)果精確到0.1米）

（2）若觀景步道Mi與M2的造價(jià)分別為每米0.8千元與每米0.9千元，如何設(shè)計(jì)圓Mi、M2的大小，使

總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？（結(jié)果精確到0.1千元）

專題驗(yàn)收評(píng)價(jià)

專題6T直線與圓的方程及位置關(guān)系

內(nèi)容概覽

A-常考題不丟分

一.直線的傾斜角（共7小題）

二.直線的斜率（共1小題）

三.直線的截距式方程（共1小題）

四.直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系（共1小題）

五.直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系（共1小題）

六.點(diǎn)到直線的距離公式（共1小題）

七.兩條平行直線間的距離（共1小題）

八.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（共1小題）

九.軌跡方程（共1小題）

十.圓的方程的應(yīng)用（共1小題）

十一.直線與圓相交的性質(zhì)（共1小題）

十二.直線與圓的位置關(guān)系（共3小題）

十三.圓與圓的位置關(guān)系及其判定（共4小題）

B?拓展培優(yōu)拿高分（壓軸題）

C-挑戰(zhàn)真題爭(zhēng)滿分

A??？碱}不丟分

一.直線的傾斜角（共7小題）

1.（2023春?黃浦區(qū)校級(jí)期中）若直線/的一個(gè)方向向量為（-1,V3）,則它的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【分析】由方向向量可得直線/的斜率，再由攵=lana,得解.

【解答】解：由題意知，直線/的斜率為女=-?,

由A=tana=知，傾斜角a=120°.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，方向向量的概念，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期末）已知直線/的方程為工莖=1，則直線2的傾斜角。=135°.

22

【分析】將直線方程化為斜截式，求出斜率，可得直線的傾斜角.

【解答】解：直線/的方程為x+y=2,即y=-x+2,

一線的斜率為?l=tana,ae（0,rr）,

則直線的傾斜角為135°,

故答案為：135°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的方程，考查直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2023春?浦東新區(qū)期末）直線?x+v+l=（）的傾斜角是一120。.

【分析】化直線方程的一般式為斜截式，利用傾斜角的正切值等于斜率求傾斜角.

【解答】解：由如/y+l=0,得y=W^x-l,

設(shè)直線點(diǎn)x4y+l=0的傾斜角a（0°Wa<180°）,

則tana=-6,所以a=120°.

故答案為：120°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線的一般式方程，考查了一般式化斜截式，考查了斜率是傾斜角的正切值，是基

礎(chǔ)題.

4.（2023秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）直線、3=0的傾斜角為

3

【分析】將直線方程化為斜截式，由斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.

【解答】解；直線J§x4y-3=0可化為），=-?卡3,

設(shè)直線的傾斜角為仇

則tan8=-V^,又8W[0,n),

所以。=空.

3

故答案為：

3

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的傾斜角，考查運(yùn)鳧求解能力，屬丁基礎(chǔ)題.

5.（2023春?黃浦區(qū)校級(jí)期中）過(guò)P（?2,加）、。（皿4）兩點(diǎn)的宜線的傾斜角為45°,那么〃尸1

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線的斜率公式，即可求解.

【解答】解:過(guò)戶（-2,而、Q（m,4）兩點(diǎn)的直線的傾斜角為45°,

則&PQ=tan45=1,

又kpQ=^inm=L

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的斜率公式屬于基礎(chǔ)題.

6.（2023春?靜安區(qū)校級(jí)期中）直線H?y+2023=0的傾斜角的大小為一旦匚_

6

【分析】首先求出直線的斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系”算可得.

【解答】解:直線乂砥丫+2023=0的斜率卜=云=當(dāng)，

設(shè)直線的傾斜角為a,則女二七一八0二雪，

O

又0°WaV1800,

所以a=150°.

故答案為：150°

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

7.（2023春?寶山區(qū)期末）直線尸17傾斜角為90°.

【分析］利用直線的性質(zhì)求解.

【解答】解：???直線x=l垂直于x軸，

??.直線x=l的傾斜角為90°.

故答案為：90c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的傾斜角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線性質(zhì)的合理運(yùn)用.

二.直線的斜率（共1小題）

8.（2023秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）P（%,y）在線段A3上運(yùn)動(dòng)，已知A（2,4）,B（5,-2）,則？的取值

x+1

范圍是「告,

^^6-3

【分析】畫出圖形，求出。C的斜率，即可得到工旦的取值范圍.

x+l

【解答】解：如圖：四表示線段上的點(diǎn)與c（-1,-1）連線的斜率,

x+l

：.KAC=—,KBC=-—,

36

則工旦的取值范圍是[_2，1]

x+l63

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的斜率的求法，考查計(jì)算能力.

三.直線的截距式方程（共1小題）

9.（2023?浦東新區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知定點(diǎn)?（6,4）與定直線A：y=4x.過(guò)戶點(diǎn)的直線/與八交于第一象限

Q點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)M,求使△OOM面枳最小的直線方程為x+v-10=0.

【分析】本題通過(guò)引入?yún)?shù)，設(shè)出Q，M的坐標(biāo)，建立關(guān)于目標(biāo)函數(shù)SAOQM的函數(shù)關(guān)系式，再由基本不

等式求出目標(biāo)函數(shù)的最值.

【解答】解：設(shè)。（AO,4m）,Mtm,0）?由題意xo>O,">0,

因?yàn)?。，P,M共線，所以攵PQ=APM,

4-4xo45x0

所以，解之得：m=一"T

6-XQ6-mx0-1

因?yàn)閤o>O,機(jī)>0,所以xo-l>O.

10x02

所以S^OQM-IOM|?4xo=2〃m=

乙x0-1

令.vo-l=r,則/>0,

S=W（t+1）_!=］（）（，+_l+2）240,

tt

當(dāng)且僅當(dāng)/=l,即xo=2時(shí)，等號(hào)成立,

此時(shí)Q（2,8）,

故使△OQM面積最小的直線方程為：x+y-10=0.

故答案為：x+y-10=0.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩點(diǎn)連線的斜率公式，直線方程，三角形面積及基本不等式，屬中檔題.

四.直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系（共1小題）

10.（2023春?浦東新區(qū)期末）過(guò)點(diǎn)4（2,3）且與直線A2），-6=0平行的直線方程是x+218=（）.

【分析】由所求的直線與直線x+2），-6=0平行，設(shè)出直線的方程，再將點(diǎn)A（2,3）代入直線方程，求

出參數(shù)，可得答案.

【解答］解：由題意，所求的直線與直線x+2y-6=0平行，

不設(shè)為x+2y+m=0,又直線過(guò)點(diǎn)A（2,3）,貝lj2+2X3+m=0,解得機(jī)=-8,

因此過(guò)點(diǎn)A（2,3）且與直線x+2y-6=0平行的直線方程是x+2），?8=0.

故答案為：x+2y-8=0.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩直線的平行關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

五.直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系（共1小題）

11.（2023春?浦東新區(qū)期末）直線A：工+,〃產(chǎn)7=0和直線/2：?！?2）4+3尹2m=0互相垂直，則實(shí)數(shù)m的

值為（）

A.ni=-3B.m,C.，〃=1或，〃=3D.〃?=-1或加=3

2

【分析】直接利用直線垂直的充要條件求出機(jī)的值.

【解答】解：由于直線/1：x+my+l=0和直線/2：（zn-2）x+3y+2m=0互相垂直,

故〃2+3卅=0,

故〃尸

2

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳的知識(shí)要點(diǎn)：直線垂直的充要條件，?元?次方程的解法，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力

和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

六.點(diǎn)到直線的距離公式（共1小題）

12.《2023秋?奉賢區(qū)校級(jí)月考）已知直線/：辦-）葉2-。=0恒過(guò)點(diǎn)以且與x軸，y軸分別交于A,8兩點(diǎn)，

O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)。到直線/的距離最大時(shí)，求直線/的方程：

（3）當(dāng)|網(wǎng)"明取得最小值時(shí),求△AOB的面積.

【分析】（1）將直線方程化為“（1?1）?）葉2=0,即可確定定點(diǎn)；

（2）由題意。到直線/的距離d=|OP|,列方程求參數(shù)，即可得直線方程：

（3）由題意A（亙2，0），8（0,2-a）,且aWO、“W2,結(jié)合基本不等式求|網(wǎng)|P用最小值，確定取

a

值條件，進(jìn)而求aAOB的面積.

【解答】解：（1）直線/：a1.y+2-a=0,整理可得：a（x-1）-），+2=0,

可得直線恒過(guò)產(chǎn)（1,2）；

（2）要使點(diǎn)。到直線/的距離最大，則OPJJ,可得|0/1=正7=4可，

即O到直線I的距離d-/2~a?=|0P|=V5?

Va2+1

兩邊平方可得：1f+4=5,整理得4/+4a+l=(2.+1)2=0,

a2+l

所以a=」，

2

,

所以-yx-y+-^-=0BPx+2y-5=0.

乙乙

（3）由題意，直線的截距均不為0,由題意和（1）可得A（總工，0）,B（0,2-“），且“WO、“H2,

因?yàn)?(1,2),所以陷=J(呼T)2+(O_2)2=2出■+1,|PB\=V(l-0)2+(2-a-2)2=Va2+1，

所以|PA|-|PB|=2^-y+l*Va2+l=2(Ia|僅當(dāng)a=±1時(shí)等號(hào)成立，

所以a=±l時(shí)照||PB|取最小值,

當(dāng)a=l,則4(7,0),B(0,1),此時(shí)aAOB的面積為工;

2

當(dāng)。=-1,則A(3,0),8(0,3),此時(shí)△AOB的面積為?：

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到直線的最大距離的求法，屬于基礎(chǔ)題.

七.兩條平行直線間的距離(共1小題)

13.(2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期中)若動(dòng)點(diǎn)A(Xi,yi).B(X2,")分別在直線八：x+y-7=0和①x+y-5=

0上移動(dòng)，則A8中點(diǎn)M到原點(diǎn)距離的最小值為3a.

【分析】根據(jù)題意可推斷出M點(diǎn)的軌跡為平行于直線A、/2且到八、/2距離相等的直線/進(jìn)而根據(jù)兩直線

方程求得M的軌跡方程，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離求得原點(diǎn)到直線的距離為線段AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的

距離的最小值為，求得答案.

【解答】解：由題意知，M點(diǎn)的軌跡為平行于直線力、/2且到人、/2距離相等的直線/,故其方程為什)，

-6=0,

：.M到原點(diǎn)的距離的最小值為"=3=3'5.

V2

故答案為：372.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用.考查了數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用，基本的運(yùn)算能力.

A.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(共1小題)

14.(2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考)圓心在第一象限，半徑為1,且同時(shí)與軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(.r

-1)2+(y-1)2=1.

【分析】由題意利用待定系數(shù)法求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【解答】解：?.?圓心在第一象限，且同時(shí)與尤，y軸相切，

可設(shè)圓心為C(a,?),?>0,則半徑為小由題意可得。=1,

故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(>>-1)2=1,

故答案為：（X-1）2+（＞'-1）2=1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查用待定系數(shù)法求圓的方程，屬于基礎(chǔ)題.

九.軌跡方程（共1小題）

15.（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐兒里得、阿基米德被稱為亞歷山

大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻且系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》

一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)A,3的距離之比為入（入,

0,人手1）,那么點(diǎn)M的凱跡就是阿波羅尼斯圓.如動(dòng)點(diǎn)M與兩定由Al1"，0），4（5,。）的距離之比

為3時(shí)的阿波羅尼斯圓為f+『=9.下面，我們來(lái)研究與此相關(guān)的一個(gè)問(wèn)題：己知圓O：/+『=4上的

5

動(dòng)點(diǎn)M和定點(diǎn)A（-1,0）,8（1,1）,則21MAi+|M8|的最小值為（）

A.2W10B.V21C.V26D.V29

【分析】取點(diǎn)N（-4,0）,推理證明得|MM=2|MA|,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)M到定點(diǎn)8,N距離和的最小值

作答.

【解答】解：如圖，點(diǎn)M在圓O：/+『=4上，取點(diǎn)N（-4,0）,連接MO,MM有QM=2|OM]=4，

OMON

當(dāng)點(diǎn)O,M,N不共線時(shí),=2，又NAOM=NMOM因此△AOMs/^MOM

OAOM

IHN|_|OM=2，當(dāng)點(diǎn)O,歷，N共線時(shí)，有-p叫=2，則|MM=2|M4|,

則有=

IMAIIOAINAI

因此2|MA|+|MB|=|MN|+|MB|)|BN|=V(-4-l)2+l2=V26>當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)”是線段與圓

。的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào),

所以21MAi+|MB|的最小值為倔.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓中最值或范圍問(wèn)題，常見(jiàn)解法：（1）兒何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體

現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來(lái)解決：(2)代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函

數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍.屬于中檔題.

一十.圓的方程的應(yīng)用(共1小題)

16.：2023春?靜安區(qū)校級(jí)期中)函數(shù)/(%)=Asin(o)x+(p)(A>0,w>0,0<(p<TT)的部分圖象如圖中實(shí)

線所示，圖中圓C?與/■)的圖象交于M、N兩點(diǎn)，且M在)，軸上，圓的半徑為空，則ff)=

126

兀

T-,

【分析】求解圓的圓心坐標(biāo)，通過(guò)周期求解0),然后求解初相,

【解答】解：圓。與/(x)的圖象交于M、N兩點(diǎn)，且M在)，軸上，圓的半徑為旦L,點(diǎn)c二，0).

123

故工」L.(工)JL,即

因丁邛土，所以3=2.

I3I

由f(?)=Asin岑+。)=5得等+0=k兀，k€2.

J3o

7?

又因ov(pvn,所以0=——，故f(x)=Asin(2x=")?

3

由圖可知O"2+OC2=MC2,

又因c(4-，0)旦圓的半徑為爺，所以

oJL/*

rj-t.I,、7T^3TT口,1^3口

因“匕f(0)=Asi-nA=~r，即A=~~-，

所以f(x)“VLsin(2x+).因此聾=4

63bb34

故答案為：—.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的方程的應(yīng)用，三角函數(shù)的解析式的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題.

一十一.直線與圓相交的性質(zhì)（共1小題）

17.（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）已知直線/過(guò)點(diǎn)（?1,0）且與直線）=0垂直，則圓入2+『-4盧8），

=0與直線/相交所得的弦長(zhǎng)為」后

【分析】先求出直線/的方程，再求出圓心C與半徑r,計(jì)算圓心到直線/的距離4由垂徑定理求弦長(zhǎng)

\AB\.

【解答】解：由題意可得，/的方程為x+2y+l=0,

???/+）2-4才+8），=0可化為（x-2）2+（）葉4）2=20,

圓心（2,-4）,半徑，=2函，

???圓心（2,-4）至山的距離d=2-*！'ll=爬,

V5

22

.,.4fi=2^r.J=2420-5=2^^15.

故答案為：2^15.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用問(wèn)題，考查兩條直線垂直以及直線與圓相交所得弦長(zhǎng)的計(jì)算問(wèn)

題，是基礎(chǔ)題.

一十二.直線與圓的位置關(guān)系（共3小題）

18.（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系入。\，中，已知直線/：>，=匕+8上存在點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)戶作

圓。：/+）2=4的切線，切點(diǎn)分別為4（xi,yi）,B（X2,"），且xix2+yi”=-2,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍

為（-8,］川心+8）.

【分析】根據(jù)題意，設(shè)NAO8=e,分析圓。的圓心和半徑，表示向量正、正的坐標(biāo)，由向量夾角公式

可得cos。的值，進(jìn)而可得8的值，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系分析可得IOPI的值，進(jìn)而可得若直線/：>'=

心+6上存在點(diǎn)P,必有。到直線/的距離dW4,由點(diǎn)到直線的距離公式可得關(guān)于女的不等式，解可得A

的取值范圍，即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)NA08=B,圓。：?+/=4的圓心為(0,0),半徑r=2：

又由A(xi,yi)、B(xz,")，則贏=(xi,yi),0B=(xz,y2)>|0A|=|0B|=r=2,

則cose=￥?迫=2=-1,

10AIIOBI42

又由0°SOW180°，則0=120。，

則NA。尸=60°,則有|OP|=2|OA|=4,

若直線/：)，=心+8即質(zhì)-y+8=0上存在點(diǎn)P,必有O到直線/的距離dW4,

即,*w4,解可得攵2?或2W■愿,

則實(shí)數(shù)%的取值范圍為(-8,-V3]U[V3,+?>),

故答案為：(-8,-V3]U(V3,+~).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查宜線與圓的位置關(guān)系，注意將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線距離的最值問(wèn)題，屬于中檔題.

19.(2023秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考)圓/+陜_2「8>+13=0的圓心到直線at+y-1=0的距離為1,則。的值

為二.

-3—

【分析】由己知圓的方程求出圓心坐標(biāo)，代入點(diǎn)到直線距離公式，即可求得。值.

【解答】解：圓/+/-2X-8尸■門二。的圓心坐標(biāo)為：(1,4),

故圓心到直線or+\，-[=0的距離?=1，

Va2+1

解得：〃=-￡,

3

故答案為：~4.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓的一般方程，點(diǎn)到直線的距離公式，是基礎(chǔ)題.

20.（2023春?思明區(qū)校級(jí)期末）若直線/：%-2），+/〃=0與圓。：/+￥2-2,-4=0相切，則實(shí)數(shù),〃=7或

-3.

【分析】由直線/：x-2.y+/〃=0與圓『+（y-1）2=5,相切，可得圓心（0,1）到直線x-2y+m=0的

距離d=』0-±m(xù)1=病,可求.

V5

【解答】解：由圓C：2y-4=0,得f+（y?I）2=5,

二圓心為（0,1）,半徑為西，

一直線/：x-2y+m=0與圓C相切,

???圓心（0,1）到直線X-2a7〃=0的距離d=?=返,

炳

即向-2|=5,

m=l或m=-3,

故答案為：7或-3.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系：相切關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用圓心到直線的距離

d=r,解答本題也可聯(lián)立方程進(jìn)行求解，屬中檔題.

一十三,圓與圓的位置關(guān)系及其判定（共4小題）

21.（2023春?黃浦區(qū)期末）圓01：/+./-4.r-6y+12=0與R102：『+9-8x-6y+16=0的位置關(guān)系是（）

A.相交B.外離C.內(nèi)含D.內(nèi)切

【分析】將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)兩圓圓心之間的距離和半徑之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.

【解答】解：圓0/乂2+丫2-4乂?6丫+12=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）2+（＞--3）2=1,圓心0|（2,3）,

半徑r=l,

1^1o：x2+y2-8x-6y+16=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（公4）2+（y-3）2=9,圓心3（4,3）,半徑R=3.

兩圓心之間的距離|OIO2|=4-2=2=R-r,

J兩圓內(nèi)切.

故選：O.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系的判斷，利用圓心距離和半徑之間的關(guān)系是解決圓與圓位置關(guān)

系的主要依據(jù).

22.12023春?靜安區(qū)校級(jí)期中)若圓Ci：f+)2=l和圓C2：，+)2-6-8)，-&=0沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)2的

取值范圍是()

A.(-9,11)B.(-25,-9)

C.(-8,-9)U(11,+oo)D.(-25,-9)U(11,+OO)

【分析】求出兩圓的圓心坐標(biāo)與半徑，再由圓心距與半徑間的關(guān)系列式求解.

22

【解答】解：化圓。2：-6A-Sy-k=0為(A-3)+<>,-4)=25+A.

則Q>-25,圓心坐標(biāo)為(3,4),半徑為“25+k,

圓Ci：/+)2=］的圓心坐標(biāo)為(0,0),半徑為1.

要使圓C1：八/=1和圓C2：『+y2-6x-8)，r=0沒(méi)有公共點(diǎn)，

則|。心|>V25+k+l?k|CiC2|<V25+kT,

即5>V25+k+1或5——25+k-1,

解得-25v&v-9或k>11.

???實(shí)數(shù)女的取值范圍是(-25,-9)U(11,+OO).

故選：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓與圓位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.

23.(2023春?虹口區(qū)校級(jí)月考)圓7+)2-2x=0和圓x2+y^+4y=0的位置關(guān)系是相交.

【分析】把兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，分別找出圓心坐標(biāo)和半徑，利用兩點(diǎn)間的距離公式，求出兩圓心

的距離d,然后求出R-r和R+/?的值，判斷d與R-，?及R+，的大小關(guān)系即可得到兩圓的位置關(guān)系.

【解答】解：把圓/+)，2-2*=0與圓/+)2+4y=0分別化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：

(X-I)2+)2=］,+()42)2=4,

故圓心坐標(biāo)分別為(1,0)和(0,-2),半徑分別為R=2和r=l,

:圓心之間的距離d=yj(1-0)2+(0+2)2=V5，則R+r=3，R-r=I,

：.R-r<d<R+r,

???兩圓的位置關(guān)系是相交.

故答案為：相交.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系有五種，分別是：當(dāng)OWdVR-「時(shí)，兩圓內(nèi)

含：當(dāng)［=!<-/?時(shí)，兩圓內(nèi)切：當(dāng)R-rVdVR+r時(shí)，兩圓相交：當(dāng)4=1<+「時(shí)，兩圓外切：當(dāng)d>R+r

時(shí)，兩圓外離（其中d表示兩圓心間的距離，R,「分別表示兩圓的半徑），是基礎(chǔ)題.

24.12023春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）設(shè)兩圓。：?+/-1=0與圓。2：f+『-2計(jì)4），=0的公共弦所在的直線方

程為2r-4y-l=0.

【分析】利用兩圓的方程相減即可求解.

【解答】解：因?yàn)閳A：/+）2-1=0（1）,圓。2：f+）?-2t+4y=0@,

由①-②得，2M-4.v-1=0，

所以兩圓的公共弦所在的直線方程為2人一4），-1=0.

故答案為：2x-4y-1=0.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩個(gè)圓的位置關(guān)系，考查公共弦所在的直線方程，是中檔題.

B?拓展培優(yōu)拿高分、

一.填空題（共5小題）

1.（2023春?閔行區(qū)校級(jí)月考）已知在△4BC中，其中8（1,4）,C（6,3）,N84C的平分線所在的直線

方程為x-）葉1=0,則A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）

【分析】求出8關(guān)于直線x-y+l=0的對(duì)稱點(diǎn)可得CB，的直線方程，聯(lián)立解出即可得出A的坐標(biāo).

【解答】解：B（I,4）關(guān)于直線i-y+l=0的對(duì)稱點(diǎn)8（小〃）；

a+1_b+4

+1=0

~2Ta=3

b=2'

：.K(3,2),C(6,3),

??.CB'的直線方程為x-3.y+3=O,

則由角平分線以及對(duì)稱可知*（〃，b）一定在直線AC上,

曄,x-3y+3=0x=0

聯(lián)乂,，解得〈，

x-y+l=0Iy=l

（0,1）,

故答案為：（0,1）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)稱性、直線方程、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力

與計(jì)算能力，屬于中檔題.

2.（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）圓/+/+紈+2,八升2"2+。-|=0的半徑的最大值為2返.

'-3—

【分析】首先把圓的一般式轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)式，進(jìn)一步利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出/■的最大值.

【解答】解：圓9+『+辦+初葉2/+。-1=0,轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)式為：(x玲)2+(y+a)2=Va2-a+l.

17,232q_3,2x22

以r=-^-a-a+1---(a-^y)7：

當(dāng)〃=-2時(shí)，/取得最大值為2,即r的最大值為2近.

333

故答案為：率.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：圓的方程之間的轉(zhuǎn)換，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能

力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題.

3.(2023春?靜安區(qū)校級(jí)期中)若圓(x-a>2+(>--3)2=20上有四個(gè)點(diǎn)到直線2x->+1=0的距離為祈，

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是(笈，工).

—'22

【分析】將圓a-a)2+(廠3)2=20上有四個(gè)點(diǎn)到直線2x-y+l=0的距離為泥，轉(zhuǎn)化為圓心到直線

的距離J<V5,從而利用點(diǎn)到直線的距離公式求出結(jié)果.

【解答】解：因?yàn)閳A的方程為(A-?)2+(y-3)2=20,所以圓心為(?,3),半徑為2市，

又圓(x-a)2+()，-3)2=20上有四個(gè)點(diǎn)到直線2A?-尸d=0的距離為西，

所以圓心到直線2t-產(chǎn)1=0的距離J<V5,

所以」2%2j_<遙,即2|<5,得至lj-l<a<l.

V522

故答案為：(得，1).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題.

4.(2023春?楊浦區(qū)校級(jí)期中)已知乂(.ri,)，|)、8(刈，)吆)是圓/+f=9上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，且xi)2=

xiyi,貝lj5.MI+X2+4.W+”的最大值為15.

【分析】利用參數(shù)表示A，B,然后利用三角函數(shù)求解表達(dá)式的最大值即可.

【解答】解：A(xi,yi)、B(AZ”)是國(guó)/+y2=9上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，且xi.y2=x2yi,

可設(shè)A(3cosa,3sina)、B(3cos。，3sinp),a、0的終邊不重合,

可得9sinacosP-9cosasinP=0,即sinacosP-cosasinp=0.

即sin(a-p)=0,，a=2Kr+n+B,kEZ,

則5xi+x2+4yi+)^