天津市南開區(qū)2024屆高三下學(xué)期二模試題 數(shù)學(xué) 含答案

2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期高三年級質(zhì)量監(jiān)測（二）數(shù)學(xué)學(xué)科試卷本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.共150分，考試用時120分鐘。第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷4至9頁。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效。祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷注意事項：1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號；2.本卷共9小題，每小題5分，共45分。參考公式：·如果事件A，B互斥，那么.·如果事件A，B相互獨立，那么.·錐體的體積公式，其中S表示錐體的底面積，h表示錐體的高.一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.（1）已知全集，集合，，則（）A． B． C． D．（2）設(shè)a，，則“且”是“”的（）.A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件（3）已知，，，則（）.A． B． C． D．（4）已知函數(shù)的部分圖象如下：則的解析式可能為（）.A． B．C． D．（5）某校抽取100名學(xué)生做體能測試，其中百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，將測試結(jié)果分成五組：第一組，第二組，…，第五組.如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，若成績低于a即為優(yōu)秀，如果優(yōu)秀的人數(shù)為14人，則a的估計值是（）A．14 B．14.5 C．15 D．15.5（6）設(shè)數(shù)列的通項公式為，若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)b的取值范圍為（）.A． B． C． D．（7）已知函數(shù)（），，則（）.A．B．的圖象向左平移個單位長度后關(guān)于y軸對稱C．在上單調(diào)遞減D．（8）如圖，在正方體中，，M，N分別為，的中點，E，F(xiàn)分別為棱AB，CD上的動點，則三棱錐M-NEF的體積（）A．不確定，與E，F(xiàn)的位置有關(guān) B．為定值C．存在最小值，最小值為 D．存在最大值，最大值為（9）已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，過且斜率為的直線與雙曲線在第一象限的交點為A，若，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（）A． B． C． D．第Ⅱ卷注意事項：1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。2.本卷共11小題，共105分二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分。試題中包含兩個空的，答對一個給3分，全部答對的給5分.（10）是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù).（11）在的展開式中，的系數(shù)為.（12）過圓C：上的點作圓C切線l，則l的傾斜角為.（13）連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次，每次結(jié)果要么正面向上，要么反面向上，且兩種結(jié)果等可能，則3次結(jié)果中有正面向上，也有反面向上的概率為；3次結(jié)果中最多一次正面向上的概率為.（14）已知在平行四邊形ABCD中，，，記，，用和表示；若，，則值為.（15）已知函數(shù)，若方程有三個不等實根，則實數(shù)k的取值范圍是.三、解答題：本大題共5題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（16）（本小題滿分14分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知，.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值.（17）（本小題滿分15分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，，，O為CD的中點，二面角A-CD-P為直二面角.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求直線PC與平面PAB所成角的正弦值；（Ⅲ）求平面POB與平面PAB夾角的余弦值.（18）（本小題滿分15分）已知橢圓C：（）的離心率為，且C的左、右焦點與短軸的兩個端點構(gòu)成的四邊形的面積為.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，過點A與x軸垂直的直線與橢圓C的另一個交點為Q.當(dāng)△BPQ的面積取得最大值時，求直線l的方程.（19）（本小題滿分15分）已知是等差數(shù)列，公差，，且是與的等比中項.（Ⅰ）求的通項公式（Ⅱ）數(shù)列滿足，且.（?。┣蟮那皀項和.（ⅱ）是否存在正整數(shù)m，n（），使得，，成等差數(shù)列，若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由.（20）（本小題滿分16分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）證明：對，恒成立（為的導(dǎo)數(shù)）；（Ⅲ）設(shè)，證明：（）.

2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期高三年級質(zhì)量監(jiān)測（二）參考答案數(shù)學(xué)學(xué)科一、選擇題：（本題共9小題，每題5分，共45分）題號（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）答案BACDBADBC二、填空題：（本大題共6個小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個空的，答對一個給3分，全部答對的給5分．）（10）；（11）；（12）150°；（13），；（14），；（15）．三、解答題：（其他正確解法請比照給分）（16）解：（Ⅰ）因為，又由余弦定理，可得，由知，所以，（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理得，又因為，所以，又因為，解得．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，所以，，所以．又由得，所以B還可以為，此時．（17）解：因為，O為CD的中點，所以．又因為平面平面ABCD，平面平面，平面PCD，所以平面ABCD．因為，，，所以．以點O為坐標(biāo)原點，OD，OE，OP所在直線分別為x，y，z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則，，，，，．（Ⅰ），，因為，所以．（Ⅱ）設(shè)平面PAB的一個法向量為，則，即，令，則．設(shè)直線PC與平面PAB所成的角為，又，則，所以直線PC與平面PAB所成的角的正弦值為．（Ⅲ）設(shè)平面POB的一個法向量為，則，即，令，則．設(shè)平面POB與平面PAB的夾角為，則．故平面POB與平面PAB的夾角的余弦值為．（18）解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的焦距為2c，依題意，，，解得，，所以橢圓C的方程為．（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為，，，則，聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，得，則．又，，易知與同號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以△BPQ面積的最大值為，此時直線l的方程為．（19）解：（Ⅰ）因為為等差數(shù)列，且，所以．又是與的等比中項，所以，即．化簡得，解得或（舍），所以．（Ⅱ）（?。┯?，得，所以（），又，當(dāng)時，，又也適合上式，所以，則，所以．（ⅱ）假設(shè)存在正整數(shù)m，n，使得，，成等差數(shù)列，則，即，整理得，顯然是25的正約數(shù)，又，則或，當(dāng)，即時，與矛盾；當(dāng)，即時，，符合題意，所以存在正整數(shù)使得，，成等差數(shù)