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專題五綜合型問題幾何與代數(shù)相結(jié)合的綜合題是初中數(shù)學(xué)中知識(shí)點(diǎn)涵蓋廣、綜合性最強(qiáng)的題型.它可以包含初中階段所學(xué)的代數(shù)與幾何的若干知識(shí)點(diǎn)和各種數(shù)學(xué)思想方法,還能有機(jī)結(jié)合探索性、開放性等有關(guān)問題.它既突出考查了初中數(shù)學(xué)的主干知識(shí),又突出了與高中銜接的重要內(nèi)容,如函數(shù)、方程、不等式、三角形、四邊形、相似形、圓等.它不但考查學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和靈活運(yùn)用知識(shí)的能力,還可以考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)遷移整合能力,既考查學(xué)生對(duì)幾何與代數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系的理解,以及多角度、多層面綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法分析問題和解決問題的能力,還考查學(xué)生知識(shí)網(wǎng)絡(luò)化、創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力.
例1:拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x=-2.拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)(-4,0)和點(diǎn)(-3,0)之間,其部分圖象如圖所示,下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有()
①4a-b=0;②c≤3a;③關(guān)于x的方程ax2+bx+c=2有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根;④b2+2b>4ac.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)答案:CB兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,其頂點(diǎn)在直線y=-2x上. (1)求a的值; (2)求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo); (3)以AC,CB為一組鄰邊作?ACBD,則點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′是否在該拋物線上?請(qǐng)說明理由.
例3:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C.(1)b=________,c=__________;(2)若點(diǎn)D在該二次函數(shù)的圖象上,且S△ABD=2S△ABC,求點(diǎn)D的坐標(biāo);(3)若點(diǎn)P是該二次函數(shù)圖象上位于x軸上方的一點(diǎn),且S△APC=S△APB,直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).解:(1)-2-3(2)連接BC,如圖,由題意可得:(3)設(shè)P(n,n2-2n-3),∵點(diǎn)P在拋物線位于x軸上方的部分,∴n<-1或n>3,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè),即n<-1時(shí),可知點(diǎn)C到AP的距離小于點(diǎn)B到AP的距離,∴S△APC<S△APB,等式不成立;當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè),即n>3時(shí),
∵△APC和△APB都以AP為底,若要面積相等,則點(diǎn)B和點(diǎn)C到AP的距離相等,即BC∥AP,
設(shè)直線BC的解析式為y1=kx+p,∴y1=x-3.則設(shè)直線AP的解析式為y2=x+q,將點(diǎn)A(-1,0)代入,則-1+q=0,解得q=1,則直線AP的解析式為y2=x+1,將P(n,n2-2n-3)代入,即n2-2n-3=n+1,解得n=4或n=-1(舍去),n2-2n-3=5,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,5).
1.(2021·東莞一模)如圖,?ABCD的邊AB=5,對(duì)角線AC平分∠BAD,點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度運(yùn)動(dòng),點(diǎn)F從C點(diǎn)出發(fā)沿CA方向以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度運(yùn)動(dòng),其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)求證:四邊形ABCD是菱形;(2)若對(duì)角線BD=6,當(dāng)t為多少秒時(shí),△AEF為等腰三角形;
(3)如圖,若∠BAD=60°,點(diǎn)G是DE是中點(diǎn),作GH⊥DE交AC于H.點(diǎn)E在AB邊上運(yùn)動(dòng)過程中,線段GH存在最小值,請(qǐng)你直接寫出這個(gè)最小值.圖1圖2(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD.∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC=∠ACD,∴AD=CD,∴?ABCD是菱形.(2)解:如圖,AC交BD于點(diǎn)O.∵四邊形ABCD是菱形,BD=6,∴OB=3,AC⊥BD.∵AB=5,∴AC=8.∵AE=t,CF=2t,∴AF=8-2t.當(dāng)AE=AF時(shí),t=8-2t,∴t=83.當(dāng)AE=EF時(shí),如圖,過點(diǎn)E作EM⊥AC于點(diǎn)M.則AM=12AF=4-t.∵AC⊥BD,∴EM∥OB,當(dāng)EF=AF時(shí),如圖,過點(diǎn)F作FN⊥AB于點(diǎn)N.則AN=EN=12t,∠ANF=90°=∠AOB.又∵∠FAN=∠BAO,∴△AFN∽△ABO,(3)解:如圖,過點(diǎn)H作HM⊥AB于點(diǎn)M,過點(diǎn)H作HN⊥AD于點(diǎn)N,連接DH,EH,BH.∵四邊形ABCD是菱形,∴AD=AB,∠DAC=∠BAC.又∵AH=AH,∴△ADH≌△ABH(SAS),∴DH=BH.∵∠DAC=∠BAC,HN⊥AD,HM⊥AB,∴HN=HM.∵GH是線段DE的中垂線,∴DH=EH,∴BH=EH.∴Rt△DHN≌Rt△EHM(HL),∴∠DHN=∠EHM.∵∠BAD=60°,∴∠DCA=∠BCA=30°,∠ADC=∠ABC=120°,
∴∠DHE=∠DHN+∠NHE=∠NHE+∠EHM=360°-∠NHC-∠MHC=360°-(360°-120°-30°-90°)-(360°-120°-30°-90°)=120°,∴∠DEH=30°,
2.(2022·廣東四模)在矩形ABCD中,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的直角三角形EFG的兩邊EF,EG始終與矩形AB,BC兩邊相交,AB=2,F(xiàn)G=8.圖1圖2圖3(1)如圖1,當(dāng)EF,EG分別過點(diǎn)B,C時(shí),求∠EBC的大??;
(2)在(1)的條件下,如圖,將2FFG繞點(diǎn)E按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),當(dāng)旋轉(zhuǎn)到EF與AD重合時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng).若EF,EG分別與AB,BC相交于點(diǎn)M,N.
①在△EFG旋轉(zhuǎn)過程中,四邊形BMEN的面積是否發(fā)生變化?若不變,求四邊形BMEN的面積;若變化,請(qǐng)說明理由;
②如圖3,設(shè)點(diǎn)O為FG的中點(diǎn),連接OB,OE,若∠F=30°,當(dāng)OB的長(zhǎng)度最小時(shí),求tan∠EBG的值.解:(1)如圖,∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=DC,∠A=∠D=90°.∵AE=DE,∴△AEB≌△DEC(SAS),∴EB=EC.∵∠BEC=90°,∴∠EBC=45°.(2)①結(jié)論:四邊形BMEN的面積不變.理由:由(1)可知,∠EBM=∠ECN=45°.∵∠MEN=∠BEC=90°,∴∠BEM
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