《函數(shù)微分法》課件

函數(shù)微分法課程目標(biāo)理解函數(shù)的概念掌握函數(shù)的基本定義、分類(lèi)、表達(dá)式和圖像。掌握微分法的基本知識(shí)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)、微分的概念和計(jì)算方法，以及它們的幾何意義和應(yīng)用。運(yùn)用微分法解決實(shí)際問(wèn)題能夠利用微分法解決函數(shù)極值問(wèn)題、曲線切線和法線問(wèn)題等實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。函數(shù)的概念函數(shù)是描述兩個(gè)變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型。在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量，一個(gè)變量的變化影響另一個(gè)變量的變化，并且對(duì)于一個(gè)自變量的值，相應(yīng)的因變量的值是唯一確定的，那么就說(shuō)這兩個(gè)變量之間存在著函數(shù)關(guān)系。函數(shù)是數(shù)學(xué)中重要的概念，它可以用來(lái)描述各種各樣的實(shí)際問(wèn)題，比如：物體運(yùn)動(dòng)的軌跡、商品的價(jià)格隨時(shí)間的變化等。函數(shù)的分類(lèi)一次函數(shù)一次函數(shù)是指自變量x的最高次數(shù)為1的函數(shù)，其圖像是一條直線。二次函數(shù)二次函數(shù)是指自變量x的最高次數(shù)為2的函數(shù)，其圖像是一個(gè)拋物線。指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)是指自變量x作為指數(shù)的函數(shù)，其圖像呈指數(shù)型增長(zhǎng)或衰減。對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)是指自變量x作為對(duì)數(shù)的函數(shù)，其圖像呈對(duì)數(shù)型增長(zhǎng)或衰減。函數(shù)的表達(dá)式代數(shù)式使用字母和符號(hào)來(lái)表示函數(shù)，例如，y=f(x)=2x+1.圖形通過(guò)繪制圖像來(lái)表示函數(shù)，例如，y=x^2的圖像是一個(gè)拋物線.表格使用表格來(lái)列出函數(shù)的輸入和輸出值，例如，f(x)=x+2的表格可以包含(0,2),(1,3),(2,4)等值.函數(shù)的圖像函數(shù)的圖像是在平面直角坐標(biāo)系中，所有滿足函數(shù)關(guān)系的點(diǎn)的集合。通過(guò)觀察函數(shù)的圖像，我們可以直觀地了解函數(shù)的性質(zhì)，例如單調(diào)性、奇偶性、周期性等。函數(shù)的單調(diào)性如果一個(gè)函數(shù)在定義域的某個(gè)區(qū)間上，隨著自變量的增大，函數(shù)值也隨之增大，則稱該函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是**單調(diào)遞增**的。如果一個(gè)函數(shù)在定義域的某個(gè)區(qū)間上，隨著自變量的增大，函數(shù)值也隨之減小，則稱該函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是**單調(diào)遞減**的。函數(shù)的單調(diào)性可以用函數(shù)的圖像來(lái)直觀地表示，**單調(diào)遞增**的函數(shù)圖像呈上升趨勢(shì)，**單調(diào)遞減**的函數(shù)圖像呈下降趨勢(shì)。函數(shù)的極值定義在函數(shù)的定義域內(nèi)，如果存在一點(diǎn)，使得該點(diǎn)附近的函數(shù)值都比該點(diǎn)處的函數(shù)值小（或大），則稱該點(diǎn)為函數(shù)的極小值點(diǎn)（或極大值點(diǎn)）。判定方法使用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)來(lái)判定函數(shù)的極值點(diǎn)。應(yīng)用求函數(shù)的極值在實(shí)際問(wèn)題中具有廣泛的應(yīng)用，例如在優(yōu)化問(wèn)題中，我們需要找到函數(shù)的極值點(diǎn)以求得最優(yōu)解。函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)定義函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，是指該點(diǎn)函數(shù)值的變化率，也就是該點(diǎn)切線的斜率。具體地，函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)定義為：導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)通常記為f'(x0)，也可以記為df/dx|x=x0或y'|x=x0。導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)在幾何上表示函數(shù)曲線在某一點(diǎn)的切線的斜率，它反映了函數(shù)在該點(diǎn)處的變化率。通過(guò)導(dǎo)數(shù)，我們可以確定函數(shù)曲線的切線方程，從而更深入地了解函數(shù)的變化趨勢(shì)。導(dǎo)數(shù)的計(jì)算規(guī)則1常數(shù)的導(dǎo)數(shù)常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零2冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于冪指數(shù)乘以該函數(shù)的底數(shù)的n-1次方3和差的導(dǎo)數(shù)和差的導(dǎo)數(shù)等于各函數(shù)導(dǎo)數(shù)的和差4乘積的導(dǎo)數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)加上第一個(gè)函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1鏈?zhǔn)椒▌t求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，需要使用鏈?zhǔn)椒▌t。2求導(dǎo)步驟首先求外層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后乘以內(nèi)層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t在求解各種函數(shù)的導(dǎo)數(shù)中有著廣泛的應(yīng)用。隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義隱函數(shù)是指用方程形式定義的函數(shù)，例如：x2+y2=1。求導(dǎo)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以通過(guò)對(duì)等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)來(lái)得到。應(yīng)用隱函數(shù)求導(dǎo)在幾何學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。高階導(dǎo)數(shù)定義函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是函數(shù)，該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為二階導(dǎo)數(shù)，依次類(lèi)推，稱為高階導(dǎo)數(shù)。符號(hào)用f''(x)、f'''(x)、f(4)(x)等表示，或用y''、y'''、y(4)等表示。應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，例如計(jì)算加速度、曲率等。微分的概念導(dǎo)數(shù)的增量微分是導(dǎo)數(shù)的增量，反映了函數(shù)在某點(diǎn)附近的變化率。線性逼近微分可以用來(lái)近似地表示函數(shù)在某點(diǎn)附近的變化，稱為線性逼近。應(yīng)用廣泛微分在物理、工程、經(jīng)濟(jì)等多個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，例如計(jì)算速度、加速度、成本變化等。微分的應(yīng)用工程設(shè)計(jì)微分在工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用。例如，橋梁建設(shè)中利用微分來(lái)計(jì)算結(jié)構(gòu)應(yīng)力和應(yīng)變，優(yōu)化橋梁的穩(wěn)定性和安全性。金融分析微分在金融領(lǐng)域也發(fā)揮著重要作用。例如，利用微分可以分析股票價(jià)格走勢(shì)，預(yù)測(cè)未來(lái)市場(chǎng)趨勢(shì)，幫助投資者做出投資決策。醫(yī)學(xué)研究微分在醫(yī)學(xué)研究中也有應(yīng)用。例如，利用微分可以分析人體器官的生長(zhǎng)規(guī)律，研究疾病的傳播和治療方法。微分的性質(zhì)微分是線性運(yùn)算微分是可加的微分是可乘的全微分定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，且在點(diǎn)(x,y)處可微分，則稱表達(dá)式df=?z/?x*dx+?z/?y*dy為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的全微分。意義全微分表示函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處因自變量x和y的微小變化而引起的函數(shù)值的微小變化。函數(shù)的極值問(wèn)題1定義尋找函數(shù)取得最大值或最小值的點(diǎn)2方法利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性3應(yīng)用解決優(yōu)化問(wèn)題，找到最佳解最大最小值問(wèn)題1函數(shù)極值找到函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值和最小值，確定函數(shù)取值范圍和函數(shù)的邊界2應(yīng)用場(chǎng)景解決實(shí)際問(wèn)題中的優(yōu)化問(wèn)題，例如，如何設(shè)計(jì)一個(gè)容積最大，材料最少的容器？3求解方法利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)，通過(guò)求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而找到函數(shù)的極值點(diǎn)曲線的切線和法線切線是與曲線在某點(diǎn)相切的直線，其方向與該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)方向一致。法線是與曲線在某點(diǎn)垂直的直線，其方向與切線方向垂直。曲率和曲率圓1曲率描述曲線彎曲程度的量，數(shù)值越大，曲線彎曲越厲害。2曲率圓在曲線上一點(diǎn)，以該點(diǎn)為圓心，以曲率的倒數(shù)為半徑所作的圓。3應(yīng)用在工程領(lǐng)域，曲率和曲率圓用于設(shè)計(jì)道路和鐵路的彎道。曲線的漸近線水平漸近線當(dāng)x趨于正無(wú)窮或負(fù)無(wú)窮時(shí)，曲線無(wú)限接近于一條水平直線，這條直線稱為水平漸近線。垂直漸近線當(dāng)x趨近于某個(gè)特定值時(shí)，曲線無(wú)限接近于一條垂直直線，這條直線稱為垂直漸近線。斜漸近線當(dāng)x趨于正無(wú)窮或負(fù)無(wú)窮時(shí)，曲線無(wú)限接近于一條斜直線，這條直線稱為斜漸近線。與微分相關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題曲線長(zhǎng)度利用定積分求解曲線長(zhǎng)度，解決實(shí)際問(wèn)題平面圖形面積運(yùn)用定積分計(jì)算不規(guī)則圖形的面積旋轉(zhuǎn)體體積利用定積分計(jì)算旋轉(zhuǎn)體體積，解決實(shí)際問(wèn)題定積分的概念面積定積分可以用來(lái)計(jì)算曲線下方區(qū)域的面積。體積定積分也可以用來(lái)計(jì)算旋轉(zhuǎn)體積。功定積分可以用來(lái)計(jì)算力所做的功。定積分的計(jì)算1牛頓-萊布尼茨公式2換元積分法3分部積分法定積分的基本性質(zhì)線性性定積分滿足線性性質(zhì)，可以將常數(shù)因子提出來(lái)，以及對(duì)多個(gè)被積函數(shù)的積分進(jìn)行求和。單調(diào)性若被積函數(shù)在積分區(qū)間上單調(diào)遞增，則定積分的值也隨著積分上限的增大而增大。積分中值定理在一定條件下，存在一個(gè)點(diǎn)，使得定積分的值等于被積函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值乘以積分區(qū)間的長(zhǎng)度。微積分基本定理微積分基本定理建立了微分和積分之間的聯(lián)系它表明導(dǎo)數(shù)是積分的反運(yùn)算