遼寧省2024屆高三下學(xué)期高考扣題卷（二）（三模）數(shù)學(xué) 含解析

2024年遼寧高考扣題卷（二）數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.已知雙曲線C：的焦點(diǎn)為，則C的方程為（）A B. C. D.3.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（）A B.1 C. D.34.已知平行四邊形ABCD，點(diǎn)P在的內(nèi)部（不含邊界），則下列選項(xiàng)中，可能的關(guān)系式為（）A. B.C. D.5.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則（）A. B.若，則，使最大C.若，則，使最大 D.若，則，使最大6.已知定義在R上的函數(shù)，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.7.A，B，C是直線與函數(shù)（，）的圖象的三個(gè)交點(diǎn)，如圖所示．其中，點(diǎn)，B，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，若，則（）A. B.-1 C. D.28.已知棱長(zhǎng)相等的正三棱錐底面的三個(gè)頂點(diǎn)均在以為球心的球面上（其中為的中心），球面與棱分別交于點(diǎn)，，．若球的表面積為，則多面體的體積為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下圖為某市2023年第一季度全市居民人均消費(fèi)支出構(gòu)成圖．已知城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出7924元，與上一年同比增長(zhǎng)4.4％；農(nóng)村居民人均消費(fèi)支出4388元，與上一年同比增長(zhǎng)7.8％，則關(guān)于2023年第一季度該市居民人均消費(fèi)支出，下列說法正確的是（）A.2023年第一季度該市居民人均消費(fèi)支出6393元B.居住及食品煙酒兩項(xiàng)的人均消費(fèi)支出總和超過了總?cè)司M(fèi)支出的50％C.城鄉(xiāng)居民人均消費(fèi)支出的差額與上一年同比在縮小D.醫(yī)療保健與教育文化娛樂兩項(xiàng)人均消費(fèi)支出總和約占總?cè)司M(fèi)支出的20.6％10.過拋物線的焦點(diǎn)F的直線與C交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則（）A B.若，則C.的最小值為4 D.11.定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.的一個(gè)周期為4C. D.若，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_________．13.已知，則________．14.的展開式中，的系數(shù)為________（用數(shù)字作答）．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）若曲線在處的切線方程為，求實(shí)數(shù)的值；（2）若對(duì)于任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．16.跳繩是一項(xiàng)很好的健體運(yùn)動(dòng)，堅(jiān)持跳繩能夠有效提高人體下肢的爆發(fā)力和身體協(xié)調(diào)能力．2023年暑假期間，某高中以2022年入學(xué)（以下稱2022級(jí)）的學(xué)生為試點(diǎn)，倡議學(xué)生每天堅(jiān)持不超過半小時(shí)的跳繩鍛煉．開學(xué)后，對(duì)2022級(jí)學(xué)生進(jìn)行了一次計(jì)時(shí)一分鐘的跳繩測(cè)試，并從中隨機(jī)抽查了100名學(xué)生在暑期每周跳繩的累計(jì)時(shí)間及測(cè)試成績(jī)（一分鐘跳繩的個(gè)數(shù)），得到如下數(shù)據(jù)：人數(shù)510201515101510每周跳繩的累計(jì)時(shí)間（單位：小時(shí)）00.511.522.533.5成績(jī)區(qū)間（單位：個(gè)）[90，100）[120，130）[140，150）[170，180）[170，180）[160，170）[180，190）[190，200）（1）請(qǐng)完成下面列聯(lián)表，并判斷是否有99.9％的把握認(rèn)為“2022級(jí)學(xué)生的測(cè)試成績(jī)與學(xué)生每周跳繩的累計(jì)時(shí)間有關(guān)”；

跳繩個(gè)數(shù)不少于170個(gè)跳繩個(gè)數(shù)不足170個(gè)合計(jì)每周跳繩的累計(jì)時(shí)間不少于2小時(shí)

每周跳繩的累計(jì)時(shí)間不足2小時(shí)

合計(jì)

（2）將測(cè)試成績(jī)位于區(qū)間之內(nèi)評(píng)定為“良好”，位于區(qū)間之內(nèi)評(píng)定為“優(yōu)秀”．在被抽查的這100名學(xué)生中，對(duì)評(píng)定為“良好”和“優(yōu)秀”按分層抽樣抽取11人，再?gòu)倪@11人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中被評(píng)定為“優(yōu)秀”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．附：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82817.棱長(zhǎng)均為2斜三棱柱中，在平面ABC內(nèi)的射影O在棱AC的中點(diǎn)處，P為棱（包含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求點(diǎn)P到平面的距離；（2）若平面，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．18.平面直角坐標(biāo)系xOy中，面積為9的正方形的頂點(diǎn)分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，且，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的動(dòng)直線l與曲線交于不同的兩點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)Q，滿足．試探究點(diǎn)Q是否在某條定直線上？若是，求出定直線方程；若不是，說明理由．19.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，將函數(shù)及在第一象限內(nèi)的圖象分別記作，，點(diǎn)在上．過作平行于x軸的直線，與交于點(diǎn)，再過點(diǎn)作平行于y軸的直線，與交于點(diǎn)．（1）若，請(qǐng)直接寫出，的值；（2）若，求證：等比數(shù)列；（3）若，求證：．

2024年遼寧高考扣題卷（二）數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，以及必要不充分條件的定義可得答案.【詳解】由，得，取，，此時(shí)滿足，但是不滿足，綜上，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.2.已知雙曲線C：的焦點(diǎn)為，則C的方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線C的焦點(diǎn)為在縱軸上，所以，且雙曲線C方程滿足，故，則C的方程為．故選：D．3.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（）A. B.1 C. D.3【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義及圓中最值問題數(shù)形結(jié)合計(jì)算即可.【詳解】的幾何意義是復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z到點(diǎn)的距離為1，即點(diǎn)Z在以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，的幾何意義是點(diǎn)Z到點(diǎn)的距離．如圖所示，故．故選：B．4.已知平行四邊形ABCD，點(diǎn)P在的內(nèi)部（不含邊界），則下列選項(xiàng)中，可能的關(guān)系式為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)，結(jié)合平面向量的基本定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】設(shè)，由平面向量的基本定理，可得：當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在直線BD上；當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)A和直線BD之間；當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)C和直線BD之間；當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在過點(diǎn)C且與直線BD平行的直線上，對(duì)于A中，由向量，滿足，所以點(diǎn)在內(nèi)部，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，滿足，所以點(diǎn)在上，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由，滿足，所以點(diǎn)可能在內(nèi)部，所以C正確；對(duì)于D中，由，滿足，此時(shí)點(diǎn)P在過點(diǎn)C且與直線BD平行的直線上，所以D錯(cuò)誤.故選：C.5.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則（）A. B.若，則，使最大C.若，則，使最大 D.若，則，使最大【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，得到，可判定A錯(cuò)誤；由時(shí)，得到，當(dāng)時(shí)，可判定B錯(cuò)誤；由，得到，可判定C錯(cuò)誤；由，得到，可判定D正確．【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和（d為公差），所以，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，對(duì)于A中，因?yàn)樵诤瘮?shù)的圖象上，可得，，，所以無意義，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，若，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，不存在，使最大，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，若，則，有最小值，無最大值，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，若，則，有最大值，所以D正確．故選：D.6.已知定義在R上的函數(shù)，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)并判斷奇偶性，通過導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較大小即可【詳解】令，因?yàn)?，所以為偶函?shù)．，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，此時(shí)，所以在上單調(diào)遞增．因?yàn)椋?，，因?yàn)椋?，，所以，所以，即．故選：A．7.A，B，C是直線與函數(shù)（，）的圖象的三個(gè)交點(diǎn)，如圖所示．其中，點(diǎn)，B，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，若，則（）A. B.-1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)求得，求得，結(jié)合，得到，得到，即可求解.【詳解】由，可得，因?yàn)?，且點(diǎn)A在圖像的下降部分，所以，故，因?yàn)椋允侵本€與的圖像的三個(gè)連續(xù)的交點(diǎn)；由點(diǎn)橫坐標(biāo)，即，解得，，解得，，所以．因?yàn)?，所以，所以，所以，則．故選：A．8.已知棱長(zhǎng)相等正三棱錐底面的三個(gè)頂點(diǎn)均在以為球心的球面上（其中為的中心），球面與棱分別交于點(diǎn)，，．若球的表面積為，則多面體的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先利用正四面體和球的關(guān)系，利用正弦定理求出正四面體的棱長(zhǎng)，，作，利用幾何關(guān)系得到，再利用體積公式及比列關(guān)系求出多面體的體積即可.【詳解】設(shè)球的半徑為，由，得，依題意，三棱錐為正四面體，且，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為．在等邊三角形中，由正弦定理可得，即，解得．因?yàn)槠矫?，所以，所以．作，垂足為H，在中，由，得，所以在中，．因?yàn)?，，所以為線段的中點(diǎn)，所以，所以．依題意，多面體為正三棱臺(tái)，所以，即，又，所以正三棱臺(tái)的體積為．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下圖為某市2023年第一季度全市居民人均消費(fèi)支出構(gòu)成圖．已知城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出7924元，與上一年同比增長(zhǎng)4.4％；農(nóng)村居民人均消費(fèi)支出4388元，與上一年同比增長(zhǎng)7.8％，則關(guān)于2023年第一季度該市居民人均消費(fèi)支出，下列說法正確的是（）A.2023年第一季度該市居民人均消費(fèi)支出6393元B.居住及食品煙酒兩項(xiàng)的人均消費(fèi)支出總和超過了總?cè)司M(fèi)支出的50％C.城鄉(xiāng)居民人均消費(fèi)支出的差額與上一年同比在縮小D.醫(yī)療保健與教育文化娛樂兩項(xiàng)人均消費(fèi)支出總和約占總?cè)司M(fèi)支出的20.6％【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)消費(fèi)支出構(gòu)成圖及已知條件分析數(shù)據(jù)一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】2023年第一季度全市居民人均消費(fèi)支出為（元），故A正確；易知居住及食品煙酒兩項(xiàng)的人均消費(fèi)支出總和為（元），占總?cè)司M(fèi)支出的，故B正確：依題意可得2022年第一季度城鄉(xiāng)居民人均消費(fèi)支出的差額為（元），2023年第一季度城鄉(xiāng)居民人均消費(fèi)支出的差額為（元），由于，故C錯(cuò)誤；醫(yī)療保健與教育文化娛樂兩項(xiàng)人均消費(fèi)支出總和占總?cè)司M(fèi)支出的，故D正確．故選：ABD．10.過拋物線的焦點(diǎn)F的直線與C交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則（）A. B.若，則C.的最小值為4 D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意，求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)直線l方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，以及根與系數(shù)的關(guān)系和向量的數(shù)量積的運(yùn)算，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，可得，解得，即拋物線方程為的焦點(diǎn)為，對(duì)于A中，設(shè)直線l方程為，聯(lián)立方程組，整理得，所以且，，所以，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，因?yàn)椋蓲佄锞€的定義，可得，所以，又因?yàn)椋傻?，所以，所以B正確；對(duì)于C中，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為4，所以C正確；對(duì)于D中，由，，所以，所以，即，所以D正確．故選：BCD．11.定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.的一個(gè)周期為4C. D.若，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的對(duì)稱性、周期性及函數(shù)圖象變換一一計(jì)算判定選項(xiàng)即可.【詳解】在中，令，則有，即，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，將圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，可得的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，但無法確定的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由，得，即，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且,又因?yàn)榈膱D像關(guān)于直線對(duì)稱，故，所以,所以即即，所以的一個(gè)周期為4，且，故選項(xiàng)B，C正確；若且的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，所以，所以，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選:BC．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：抽象函數(shù)性質(zhì)判斷，往往需要對(duì)原有的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行變換，從而得到新的對(duì)稱性或周期性.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)交集的結(jié)果，根據(jù)端點(diǎn)值的大小，列式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則．故答案為：．13.已知，則________．【答案】【解析】【分析】利用余弦的和角公式，同角三角形函數(shù)的和積關(guān)系及二倍角公式先得，再將三倍角化為二倍角推導(dǎo)計(jì)算得即可.【詳解】由，得即，兩邊平方得，得，所以．故答案為：．14.的展開式中，的系數(shù)為________（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】【分析】將化為，對(duì)，利用二項(xiàng)式定理求項(xiàng)的系數(shù)即可得出.【詳解】因?yàn)?，所以?xiàng)為，所以的系數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)化為，從而利用組合的思想即可得解.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）若曲線在處的切線方程為，求實(shí)數(shù)的值；（2）若對(duì)于任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義和切線方程，可直接構(gòu)造方程組求得結(jié)果；（2）構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立；求導(dǎo)后，分別在、和的情況下，結(jié)合單調(diào)性和最值求得符合題意的范圍.【小問1詳解】，，在處的切線為，，解得：，.【小問2詳解】由得：，令，則當(dāng)時(shí)，恒成立；；①當(dāng)時(shí)，，，，在上單調(diào)遞減，，不合題意；②當(dāng)時(shí)，，i.當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，，符合題意；ii.當(dāng)，即時(shí)，若，則，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，不合題意；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.16.跳繩是一項(xiàng)很好的健體運(yùn)動(dòng)，堅(jiān)持跳繩能夠有效提高人體下肢的爆發(fā)力和身體協(xié)調(diào)能力．2023年暑假期間，某高中以2022年入學(xué)（以下稱2022級(jí)）的學(xué)生為試點(diǎn)，倡議學(xué)生每天堅(jiān)持不超過半小時(shí)的跳繩鍛煉．開學(xué)后，對(duì)2022級(jí)學(xué)生進(jìn)行了一次計(jì)時(shí)一分鐘的跳繩測(cè)試，并從中隨機(jī)抽查了100名學(xué)生在暑期每周跳繩的累計(jì)時(shí)間及測(cè)試成績(jī)（一分鐘跳繩的個(gè)數(shù)），得到如下數(shù)據(jù)：人數(shù)510201515101510每周跳繩的累計(jì)時(shí)間（單位：小時(shí)）00.511.522.533.5成績(jī)區(qū)間（單位：個(gè)）[90，100）[120，130）[140，150）[170，180）[170，180）[160，170）[180，190）[190，200）（1）請(qǐng)完成下面列聯(lián)表，并判斷是否有99.9％的把握認(rèn)為“2022級(jí)學(xué)生的測(cè)試成績(jī)與學(xué)生每周跳繩的累計(jì)時(shí)間有關(guān)”；

跳繩個(gè)數(shù)不少于170個(gè)跳繩個(gè)數(shù)不足170個(gè)合計(jì)每周跳繩的累計(jì)時(shí)間不少于2小時(shí)

每周跳繩的累計(jì)時(shí)間不足2小時(shí)

合計(jì)

（2）將測(cè)試成績(jī)位于區(qū)間之內(nèi)評(píng)定為“良好”，位于區(qū)間之內(nèi)評(píng)定為“優(yōu)秀”．在被抽查的這100名學(xué)生中，對(duì)評(píng)定為“良好”和“優(yōu)秀”按分層抽樣抽取11人，再?gòu)倪@11人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中被評(píng)定為“優(yōu)秀”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．附：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有99.9％的把握認(rèn)為“2022級(jí)學(xué)生的測(cè)試成績(jī)與學(xué)生每周跳繩的累計(jì)時(shí)間有關(guān)”（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)條件補(bǔ)全列聯(lián)表，并依據(jù)卡方公式結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)思想判定即可；（2）根據(jù)分層抽樣得出優(yōu)秀人數(shù)的可能取值，并計(jì)算相應(yīng)概率，從而得出離散型隨機(jī)變量的分布列即可.【小問1詳解】依題意補(bǔ)全列聯(lián)表如下：跳繩個(gè)數(shù)不少于170個(gè)跳繩個(gè)數(shù)不足170個(gè)合計(jì)每周跳繩的累計(jì)時(shí)間不少于2小時(shí)401050每周跳繩的累計(jì)時(shí)間不足2小時(shí)153550合計(jì)5545100因?yàn)?，所以有的把握認(rèn)為“2022級(jí)學(xué)生的測(cè)試成績(jī)與學(xué)生每周跳繩的累計(jì)時(shí)間有關(guān)”．【小問2詳解】對(duì)評(píng)定為“良好”和“優(yōu)秀”按分層抽樣抽取11人，其中被評(píng)定為“良好”的有9人，被評(píng)定為“優(yōu)秀”的有2人，則X的可能值為0，1，2．，，，所以X的分布列為：X012PX的數(shù)學(xué)期望．17.棱長(zhǎng)均為2斜三棱柱中，在平面ABC內(nèi)的射影O在棱AC的中點(diǎn)處，P為棱（包含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求點(diǎn)P到平面的距離；（2）若平面，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再利用點(diǎn)到平面距離的向量求法求解即得.（2）由向量共線求出向量的坐標(biāo)，再利用線面角的向量求法列出函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)的值域即可.【小問1詳解】依題意，平面ABC，(底面為正三角形)，且，以O(shè)為原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，由，平面，平面，則平面，即點(diǎn)P到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由，取，得，因此點(diǎn)到平面的距離，所以點(diǎn)P到平面的距離為．【小問2詳解】設(shè)，，則，由，得為平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，令，則，，則，由，得，于是，，則，所以直線與平面所成角的正弦值的取值范圍是.18.平面直角坐標(biāo)系xOy中，面積為9的正方形的頂點(diǎn)分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，且，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的動(dòng)直線l與曲線交于不同的兩點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)Q，滿足．試探究點(diǎn)Q是否在某條定直線上？若是，