《函數(shù)極限與無窮小》課件

函數(shù)極限與無窮小極限的定義函數(shù)極限當(dāng)自變量趨于某個值時，函數(shù)值無限接近于某個常數(shù)，這個常數(shù)就叫做函數(shù)在這個點(diǎn)的極限。無窮小當(dāng)自變量趨于某個值時，函數(shù)值無限接近于零，這個函數(shù)就叫做無窮小。極限的性質(zhì)唯一性如果函數(shù)的極限存在，那么這個極限是唯一的。有界性如果函數(shù)的極限存在，那么函數(shù)在極限點(diǎn)附近一定是有界的。保號性如果函數(shù)在極限點(diǎn)附近取正值，那么它的極限也是正值。無窮小的定義當(dāng)自變量趨于某個確定的值或無窮大時，如果函數(shù)的值無限接近于零，那么這個函數(shù)就稱為無窮小.無窮小是函數(shù)的極限，當(dāng)自變量趨于某個確定的值或無窮大時，函數(shù)的極限為零.無窮小是一個動態(tài)的概念，它指的是函數(shù)的值隨著自變量的改變而無限接近于零.無窮小的性質(zhì)加減性兩個無窮小之和或差仍為無窮小。乘積性無窮小與有界函數(shù)的乘積仍為無窮小。商性當(dāng)分母不為零且有界時，無窮小與有界函數(shù)的商仍為無窮小。極限與無窮小的關(guān)系1無窮小是極限為零的函數(shù)當(dāng)自變量趨于某個值時，函數(shù)的值無限接近于零，則該函數(shù)稱為無窮小。2極限為零的函數(shù)一定是無窮小任何一個函數(shù)如果它的極限為零，那么它就一定是無窮小。3無窮小是極限的特殊情況無窮小是極限的一種特殊情況，它指的是函數(shù)的值趨于零的極限。極限的計算方法利用定義求極限直接根據(jù)極限的定義來求極限。該方法適用于一些簡單的極限問題。利用定理求極限利用已知的極限定理來求極限，例如極限的四則運(yùn)算定理、夾逼定理等。利用換元法求極限將原極限轉(zhuǎn)化為更易于計算的極限，例如將無窮大極限轉(zhuǎn)化為有限值極限。利用洛必達(dá)法則求極限對于一些特殊的極限問題，例如分式函數(shù)的極限，可以利用洛必達(dá)法則來簡化計算。利用定義求極限1ε-δ定義精確地描述函數(shù)極限2步驟設(shè)定ε,求δ,驗(yàn)證3應(yīng)用證明極限存在利用定理求極限1極限存在定理如果limf(x)=A,且limg(x)=B，則lim[f(x)+g(x)]=A+B.2極限運(yùn)算法則極限可以進(jìn)行加減乘除運(yùn)算，且運(yùn)算結(jié)果仍然是極限值。3夾逼定理如果f(x)≤g(x)≤h(x)，且limf(x)=limh(x)=A，則limg(x)=A。利用換元法求極限1表達(dá)式轉(zhuǎn)化將原極限表達(dá)式中的自變量或函數(shù)用新的變量或函數(shù)替換2新極限計算求解新的極限表達(dá)式，通常是已知的或更容易計算的3結(jié)果轉(zhuǎn)換將新極限的結(jié)果轉(zhuǎn)換回原變量，得到原極限的結(jié)果換元法是求解極限的常用方法之一，它可以將復(fù)雜的極限表達(dá)式轉(zhuǎn)化為更簡單的表達(dá)式。換元法通常用于處理包含三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等復(fù)雜函數(shù)的極限表達(dá)式。利用洛必達(dá)法則求極限1條件當(dāng)函數(shù)滿足極限為0/0或∞/∞的形式時，可以使用洛必達(dá)法則。2過程對分子和分母分別求導(dǎo)，并求新的極限。如果新的極限存在，則原極限也存在，且等于新的極限。3應(yīng)用洛必達(dá)法則可以用于解決許多難以直接計算的極限問題，例如含有指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等的極限。單側(cè)極限1左側(cè)極限當(dāng)x趨近于a的左側(cè)時，函數(shù)f(x)無限接近于某個常數(shù)A，則稱A為f(x)在x趨近于a的左側(cè)的極限，記作lim(x->a-)f(x)=A。2右側(cè)極限當(dāng)x趨近于a的右側(cè)時，函數(shù)f(x)無限接近于某個常數(shù)B，則稱B為f(x)在x趨近于a的右側(cè)的極限，記作lim(x->a+)f(x)=B。兩個函數(shù)的極限比較比較大小若兩個函數(shù)在某個點(diǎn)處都有極限，則可以比較它們的極限大小。比較增長速度若兩個函數(shù)在某個點(diǎn)處都趨于無窮大，則可以比較它們的增長速度。無窮小的比較定義如果兩個無窮小α(x)和β(x)滿足lim(x→a)α(x)/β(x)=0，則稱α(x)是比β(x)高階的無窮小，記作α(x)=o(β(x))。性質(zhì)如果α(x)=o(β(x))，則有：lim(x→a)α(x)/β(x)=0；如果α(x)=o(β(x))且β(x)=o(γ(x))，則α(x)=o(γ(x))；如果α(x)=o(β(x))，則對于任意常數(shù)k，kα(x)=o(β(x))。高階無窮小定義設(shè)α(x)和β(x)是當(dāng)x→a時的無窮小，如果lim(x→a)[α(x)/β(x)]=0，則稱α(x)是比β(x)高階的無窮小，記作α(x)=o(β(x))(x→a)。解釋當(dāng)x趨近于a時，α(x)趨近于0的速度比β(x)趨近于0的速度快很多。性質(zhì)若α(x)=o(β(x))(x→a)，則α(x)β(x)=o(β2(x))(x→a)若α(x)=o(β(x))(x→a)，且γ(x)為有界函數(shù)，則α(x)γ(x)=o(β(x))(x→a)等價無窮小定義當(dāng)自變量趨于某個值時，如果兩個無窮小的比值的極限為1，則稱這兩個無窮小是等價無窮小。性質(zhì)等價無窮小可以互相替換，在求極限時可以簡化計算。應(yīng)用等價無窮小在求極限、無窮小的比較、高階無窮小等方面有著廣泛的應(yīng)用。無窮大的概念無限大當(dāng)自變量趨于某個值時，函數(shù)的值無限增大，稱為函數(shù)趨于正無窮大，記作limf(x)=+∞。無限小當(dāng)自變量趨于某個值時，函數(shù)的值無限減小，稱為函數(shù)趨于負(fù)無窮大，記作limf(x)=-∞。無窮大的性質(zhì)無窮大加減常數(shù)無窮大加減常數(shù)依然為無窮大。無窮大乘以常數(shù)無窮大乘以非零常數(shù)依然為無窮大。無窮大除以無窮大無窮大除以無窮大，結(jié)果可能為常數(shù)、無窮大或無窮小，需要具體分析。無窮大乘以無窮大無窮大乘以無窮大，結(jié)果為無窮大。無窮大的運(yùn)算1加減法無窮大與有限數(shù)的加減運(yùn)算，結(jié)果仍為無窮大。2乘除法無窮大與有限數(shù)的乘除運(yùn)算，結(jié)果仍為無窮大。3無窮大與無窮大的運(yùn)算無窮大與無窮大的加減乘除運(yùn)算，結(jié)果可能為無窮大，也可能為有限數(shù)，具體情況要根據(jù)具體函數(shù)進(jìn)行分析。無窮大與無窮小的關(guān)系互為倒數(shù)無窮大是無窮小的倒數(shù)，無窮小是無窮大的倒數(shù)。聯(lián)系緊密當(dāng)一個量趨向于無窮大時，其倒數(shù)趨向于無窮小，反之亦然。相互依存無窮大與無窮小是兩個相互依存的概念，它們共同構(gòu)成了極限理論的基礎(chǔ)。極限存在的充要條件當(dāng)自變量趨于某個值時，函數(shù)值無限接近于某個常數(shù)。當(dāng)自變量趨于某個值時，函數(shù)值趨于無窮大或無窮小。函數(shù)的左極限和右極限相等。夾逼定理定義如果函數(shù)f(x),g(x)和h(x)在x趨近于a時，滿足以下條件：f(x)≤g(x)≤h(x)lim(x→a)f(x)=lim(x→a)h(x)=L則lim(x→a)g(x)=L.應(yīng)用夾逼定理可用于求解一些難以直接求解的極限問題，特別是當(dāng)被積函數(shù)難以直接積分時。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1介值定理若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)≠f(b)，則對于介于f(a)和f(b)之間的任意實(shí)數(shù)y，必存在一點(diǎn)c∈(a,b)，使得f(c)=y。2最值定理若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必取得最大值和最小值。3一致連續(xù)性若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上一致連續(xù)。間斷點(diǎn)的分類可去間斷點(diǎn)函數(shù)在該點(diǎn)存在極限，但函數(shù)值不存在或與極限值不相等。跳躍間斷點(diǎn)函數(shù)在該點(diǎn)左右極限存在且有限，但左右極限不相等。無窮間斷點(diǎn)函數(shù)在該點(diǎn)至少有一個側(cè)極限為無窮大或無窮小。連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算1加減法兩個連續(xù)函數(shù)的和差仍然是連續(xù)函數(shù).2乘法兩個連續(xù)函數(shù)的積仍然是連續(xù)函數(shù).3除法兩個連續(xù)函數(shù)的商在分母不為零的情況下仍然是連續(xù)函數(shù).4復(fù)合函數(shù)如果內(nèi)層函數(shù)連續(xù)，外層函數(shù)也連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)也連續(xù).連續(xù)函數(shù)的應(yīng)用1物理在物理學(xué)中，連續(xù)函數(shù)可以用來描述物體運(yùn)動、溫度變化等。2化學(xué)在化學(xué)中，連續(xù)函數(shù)可以用來描述反應(yīng)速率、濃度變化等。3經(jīng)濟(jì)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，連續(xù)函數(shù)可以用來描述供求關(guān)系、成本函數(shù)等。函數(shù)的微分法1導(dǎo)數(shù)的定義函數(shù)的微分2導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求函數(shù)的最值微分的應(yīng)用求曲線切線利用導(dǎo)數(shù)求曲線在某點(diǎn)處的切線方程，這是一個經(jīng)典應(yīng)用。研究函數(shù)的單調(diào)性通過導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)遞增或遞減區(qū)間，幫助理解函數(shù)變化趨勢。求函數(shù)的最值利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)，進(jìn)而確定函數(shù)的最大值和最小值，在優(yōu)化問題中至關(guān)重要。近似計算微分可以用來近似地計算函數(shù)在某點(diǎn)附近的函數(shù)值，尤其在一些復(fù)雜函數(shù)的計算中十分有用。導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)1導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)代表函數(shù)曲線在該點(diǎn)的切線的斜率。2導(dǎo)數(shù)的物理意義導(dǎo)數(shù)代表函數(shù)在該點(diǎn)的變化率，例如速度是位移的導(dǎo)數(shù)。3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)可以用來求函數(shù)的最值、拐點(diǎn)、單調(diào)區(qū)間等。導(dǎo)數(shù)的計算基本公式利用導(dǎo)數(shù)定義，我們可以推導(dǎo)出一些基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，如