2025屆高考物理一輪復(fù)習(xí)第二章相互作用第8講物體的動態(tài)平衡與臨界極值問題教學(xué)案新人教版

PAGE17-第8講物體的動態(tài)平衡與臨界極值問題實力命題點一動態(tài)平衡問題共點力的動態(tài)平衡問題是高考的重點、熱點，主要考查動態(tài)平衡條件的應(yīng)用，可以單獨命題，也可與其他相關(guān)學(xué)問綜合考查。物體從一個受力平衡狀態(tài)到另一個平衡狀態(tài)，一般題目中會出現(xiàn)“緩緩”“緩慢”“漸漸”等關(guān)鍵詞，體現(xiàn)了“動”中有“靜”，“靜”中有“動”的思想。(多選)如圖所示，在粗糙水平地面上放著一個截面為四分之一圓弧的柱狀物體A，A的左端緊靠豎直墻，A與豎直墻之間放一光滑圓球B，已知A的圓半徑為球B的半徑的3倍，球B所受的重力為G，整個裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)。設(shè)墻壁對B的壓力為F1，A對B的支持力為F2，則若把A向右移動少許后，它們?nèi)蕴幱陟o止?fàn)顟B(tài)，則F1、F2的變更狀況分別是()A．F1減小 B．F1增大C．F2增大 D．F2減小解析解法一：解析法以球B為探討對象，受力分析如圖甲所示，依據(jù)合成法，可得出F1＝Gtanθ，F(xiàn)2＝eq\f(G,cosθ)，當(dāng)A向右移動少許后，θ減小，則F1減小，F(xiàn)2減小，A、D正確。解法二：圖解法先依據(jù)平衡條件和平行四邊形定則畫出如圖乙所示的矢量三角形，在θ角減小的過程中，從圖中可直觀地看出，F(xiàn)1、F2都會減小，A、D正確。答案AD解決動態(tài)平衡問題常見的方法(1)解析法對探討對象進行受力分析，先畫出受力示意圖，再依據(jù)物體的平衡條件列式求解，得到因變量與自變量的一般函數(shù)表達式，最終依據(jù)自變量的變更確定因變量的變更。(2)圖解法此法常用于求解三力平衡且有一個力是恒力、另外一個力方向不變的問題。一般依據(jù)以下流程解題。(3)相像三角形法在三力平衡問題中，假如有一個力是恒力，另外兩個力方向都變更，且題目給出了空間幾何關(guān)系，多數(shù)狀況下力的矢量三角形與空間幾何三角形相像，可利用相像三角形對應(yīng)邊成比例進行計算。(4)正弦定理法三個力平衡時可以將三個力的圖示組成一個閉合的三角形，假如知道一個恒力，以及其他力的對角的變更狀況，可以依據(jù)正弦定理推斷其他力的大小變更狀況。1.如圖所示，一小球放置在木板與豎直墻面之間。設(shè)球?qū)γ娴膲毫Υ笮镕N1，球?qū)δ景宓膲毫Υ笮镕N2。以木板與墻連接點所形成的水平直線為軸，將木板從圖示位置起先緩慢地轉(zhuǎn)到水平位置。不計摩擦，在此過程中()A．FN1始終減小，F(xiàn)N2始終增大B．FN1始終減小，F(xiàn)N2始終減小C．FN1先增大后減小，F(xiàn)N2始終減小D．FN1先增大后減小，F(xiàn)N2先減小后增大答案B解析解法一：解析法如圖甲所示，因為FN1＝FN1′＝eq\f(mg,tanθ)，F(xiàn)N2＝FN2′＝eq\f(mg,sinθ)，隨θ漸漸增大到90°，tanθ、sinθ都增大，F(xiàn)N1、FN2都漸漸減小，B正確。解法二：圖解法如圖乙所示，把mg按它的兩個效果進行分解。在木板緩慢轉(zhuǎn)動時，F(xiàn)N1的方向不變，mg、FN1、FN2構(gòu)成一個閉合的矢量三角形，重力大小恒定，F(xiàn)N2始終垂直于木板，隨木板的轉(zhuǎn)動而轉(zhuǎn)動，由圖可知，在木板轉(zhuǎn)動時，F(xiàn)N2變小，F(xiàn)N1也變小，B正確。2.(2024·云南省大姚一中其次次模擬)(多選)如圖所示，質(zhì)量均可忽視的輕繩與輕桿，A端用鉸鏈固定，滑輪在A點正上方(滑輪大小及摩擦均可不計)，B端吊一重物?，F(xiàn)將繩的一端拴在桿的B端，用拉力F將B端緩慢上拉，在AB桿達到豎直前()A．繩子拉力不變 B．繩子拉力減小C．AB桿受力增大 D．AB桿受力不變答案BD解析以B點為探討對象，分析受力狀況：重物的拉力FT1(等于重物的重力G)、輕桿的支持力FN和繩子的拉力FT2，作出受力圖如圖所示，由平衡條件得，F(xiàn)N和FT2的合力與FT1大小相等、方向相反，依據(jù)力的矢量三角形和△AOB相像可得：eq\f(FN,AB)＝eq\f(FT2,BO)＝eq\f(FT1,AO)，又F＝FT2，解得：FN＝eq\f(AB,AO)·G，F(xiàn)＝eq\f(BO,AO)·G，∠BAO緩慢減小的過程中，AB、AO保持不變，BO減小，則FN保持不變，F(xiàn)減小，故B、D正確。3．(2024·全國卷Ⅰ)(多選)如圖，松軟輕繩ON的一端O固定，其中間某點M拴一重物，用手拉住繩的另一端N。初始時，OM豎直且MN被拉直，OM與MN之間的夾角為αα>eq\f(π,2)。現(xiàn)將重物向右上方緩慢拉起，并保持夾角α不變。在OM由豎直被拉到水平的過程中()A．MN上的張力漸漸增大B．MN上的張力先增大后減小C．OM上的張力漸漸增大D．OM上的張力先增大后減小答案AD解析設(shè)重物的質(zhì)量為m，繩OM中的張力為TOM，繩MN中的張力為TMN。起先時，TOM＝mg，TMN＝0。由于緩慢拉起，則重物始終處于平衡狀態(tài)，兩繩張力的合力與重物的重力mg等大、反向。如圖所示，已知角α不變，在繩MN緩慢拉起的過程中，角β漸漸增大，則角(α－β)漸漸減小，但角θ不變，在三角形中，利用正弦定理得：eq\f(TOM,sinα－β)＝eq\f(mg,sinθ)，(α－β)由鈍角變?yōu)殇J角，則TOM先增大后減小，選項D正確；同理知eq\f(TMN,sinβ)＝eq\f(mg,sinθ)，在β由0變?yōu)閑q\f(π,2)的過程中，TMN始終增大，選項A正確。實力命題點二物體受力平衡中的臨界與極值問題1．臨界問題當(dāng)某物理量變更時，會引起其他幾個物理量的變更，從而使物體所處的平衡狀態(tài)“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”，在問題的描述中常用“剛好”“剛能”“恰好”等語言敘述。2．極值問題平衡中的極值問題，一般是指在力的變更過程中的最大值和最小值問題。3．解題思路解決共點力平衡中的臨界、極值問題的“四字訣”如圖所示，質(zhì)量為m的物體，放在一固定斜面上，當(dāng)斜面傾角為30°時恰能沿斜面勻速下滑，對物體施加一大小為F的水平向右的恒力，物體可沿斜面勻速向上滑行。設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，當(dāng)斜面傾角增大并超過某一臨界角α0時，不論水平恒力F多大，都不能使物體沿斜面對上滑行，試求：(1)物體與斜面間的動摩擦因數(shù)；(2)這一臨界角α0的大小。解析(1)物體恰沿斜面勻速下滑時，由平衡條件有FN1＝mgcos30°mgsin30°＝μFN1解得μ＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)。(2)設(shè)斜面傾角為α，當(dāng)物體在力F作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)時，對物體受力分析如圖所示，由平衡條件有Fcosα＝mgsinα＋FfFN2＝mgcosα＋Fsinα靜摩擦力Ff≤μFN2解得F(cosα－μsinα)≤mgsinα＋μmgcosα要使“不論水平恒力F多大”，上式都成立則有cosα－μsinα≤0，所以tanα≥eq\f(1,μ)＝eq\r(3)＝tan60°即α0＝60°。答案(1)eq\f(\r(3),3)(2)60°解決極值問題和臨界問題的方法(1)極限法：首先要正確地進行受力分析和變更過程分析，找出平衡的臨界點和極值點；臨界條件必需在變更中去找尋，不能停留在一個狀態(tài)來探討臨界問題，而要把某個物理量推向極端，即極大和微小。(2)數(shù)學(xué)分析法：通過對問題的分析，依據(jù)物體的平衡條件寫出物理量之間的函數(shù)關(guān)系(或畫出函數(shù)圖象)，用數(shù)學(xué)方法求極值(如求二次函數(shù)極值、公式極值、三角函數(shù)極值)。(3)物理分析法：依據(jù)物體的平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理過程的分析，利用平行四邊形定則或三角形定則進行動態(tài)分析，確定最大值與最小值。1．如圖所示，在固定斜面上的一物塊受到一外力F的作用，F(xiàn)平行于斜面對上。若要物塊在斜面上保持靜止，F(xiàn)的取值應(yīng)有肯定范圍，已知其最大值和最小值分別為F1和F2(F2>0)。由此可求出()A．物塊的質(zhì)量B．斜面的傾角C．物塊與斜面間的最大靜摩擦力D．物塊對斜面的正壓力答案C解析物塊在斜面上處于靜止?fàn)顟B(tài)，對物塊進行受力分析，當(dāng)F＝F1時物塊即將向上滑動，由平衡條件可得F1＝mgsinθ＋Ff；當(dāng)F＝F2時物塊即將向下滑動，由平衡條件可得F2＝mgsinθ－Ff；由兩式解得Ff＝eq\f(F1－F2,2)，故能求出物塊與斜面間的最大靜摩擦力，但不能求出物塊的質(zhì)量、斜面的傾角和物塊對斜面的正壓力，故C正確。2．如圖所示，質(zhì)量為m的球放在傾角為α的光滑斜面上，用光滑擋板AO將球攔住，使球處于靜止?fàn)顟B(tài)，若擋板與斜面間的夾角為β，則()A．當(dāng)β＝30°時，擋板AO所受壓力最小，最小值為mgsinαB．當(dāng)β＝60°時，擋板AO所受壓力最小，最小值為mgcosαC．當(dāng)β＝60°時，擋板AO所受壓力最小，最小值為mgsinαD．當(dāng)β＝90°時，擋板AO所受壓力最小，最小值為mgsinα答案D解析以球為探討對象，球所受重力產(chǎn)生的效果有兩個：對斜面產(chǎn)生壓力FN1、對擋板產(chǎn)生壓力FN2，依據(jù)重力產(chǎn)生的效果將重力分解，如圖所示。當(dāng)擋板與斜面的夾角β由圖示位置變更時，F(xiàn)N1大小變更但方向不變，始終與斜面垂直，F(xiàn)N2的大小和方向均變更，由圖可看出當(dāng)擋板AO與斜面垂直，即β＝90°時，擋板AO所受壓力最小，最小壓力FN2min＝mgsinα，D正確。課時作業(yè)1.(多選)如圖所示，一條細線一端與地板上的物體B相連，另一端繞過質(zhì)量不計的定滑輪與小球A相連，定滑輪用另一條細線懸掛在天花板上的O′點，細線與豎直方向所成角度為α，起先時系統(tǒng)靜止，則()A．假如將物體B在地板上向右移動一點，α角將增大B．無論物體B在地板上左移還是右移，只要距離足夠小，α角將不變C．增大小球A的質(zhì)量，α角肯定減小D．懸掛定滑輪的細線的彈力不行能等于小球A的重力答案AD解析對小球A進行受力分析，受重力和拉力，依據(jù)平衡條件，有T＝mg，假如將物體B在地板上向右移動稍許，則∠AOB增大，對滑輪分析，受三個拉力，受力分析如圖所示，∠AOB＝2α，故α角將增大，A正確，B錯誤；增大小球A的質(zhì)量，物體B可能仍保持不動，系統(tǒng)平衡，拉力的方向不變，故α角可能不變，C錯誤；由于∠AOB＝2α<90°，懸掛定滑輪的細線的彈力F與兩個拉力T的合力平衡，F(xiàn)＝2Tcosα，而T＝mg,2α<90°，則F>2mgcos45°＝eq\r(2)mg，故懸掛定滑輪的細線的彈力不行能等于小球A的重力，D正確。2.(多選)如圖，半圓柱體Q放在水平地面上，表面光滑的圓柱體P放在Q和墻壁之間，Q的軸線與墻壁之間的距離為L，假如L增大，但P、Q仍處于靜止?fàn)顟B(tài)，則()A．墻壁對P的支持力增大B．墻壁對P的支持力減小C．Q受到地面的摩擦力減小D．Q受到地面的摩擦力增大答案AD解析對P受力分析如圖所示，由幾何學(xué)問可得墻壁對P的支持力N1＝mPgtanα，當(dāng)L增大時，α增大，tanα也增大，所以N1增大，A正確，B錯誤；將P、Q作為整體，整體受力平衡，所以Q受到的靜摩擦力大小等于N1，N1增大，則Q受到地面的摩擦力增大，C錯誤，D正確。3.如圖所示，兩個小球a、b的質(zhì)量均為m，用細線相連并懸掛于O點?，F(xiàn)用一輕質(zhì)彈簧給小球a施加一個拉力F，使整個裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)，且Oa與豎直方向夾角為30°，已知彈簧的勁度系數(shù)為k，重力加速度為g，則彈簧的最短伸長量為()A.eq\f(mg,2k) B．eq\f(mg,k)C．eq\f(\r(3)mg,3k) D．eq\f(\r(3)mg,k)答案B解析以兩個小球組成的整體為探討對象，分析受力如圖。依據(jù)平衡條件得知：F與細線拉力FT的合力與重力總是大小相等、方向相反，由力的合成圖可知，當(dāng)F與細線Oa垂直時，F(xiàn)有最小值，即圖中2位置，F(xiàn)的最小值為2mgsin30°＝mg，則彈簧的最短伸長量為x＝eq\f(mg,k)，故B正確。4．有甲、乙兩根完全相同的輕繩，甲繩A、B兩端按圖甲的方式固定，然后將一掛有質(zhì)量為M的重物的光滑輕質(zhì)動滑輪掛于甲輕繩上，當(dāng)滑輪靜止后，設(shè)甲繩子的張力大小為FT1；乙繩D、E兩端按圖乙的方式固定，然后將同樣的定滑輪且掛有質(zhì)量為M的重物掛于乙輕繩上，當(dāng)滑輪靜止后，設(shè)乙繩子的張力大小為FT2?，F(xiàn)將甲繩的B端緩慢向下移動至C點，乙繩的E端緩慢向右移動至F點，在兩繩的移動過程中，下列說法正確的是()A．FT1、FT2都變大 B．FT1變大、FT2變小C．FT1、FT2都不變 D．FT1不變、FT2變大答案D解析設(shè)繩子總長為L，兩堵豎直墻之間的距離為s，左側(cè)繩長為L1，右側(cè)繩長為L2。由于同一根繩子上的拉力到處相等，所以兩繩與豎直方向的夾角相等，設(shè)為θ，則由幾何學(xué)問，得：s＝L1sinθ＋L2sinθ＝(L1＋L2)sinθ，又L1＋L2＝L，得sinθ＝eq\f(s,L)；設(shè)繩子上的拉力大小為FT，重物的重力為G。以滑輪和重物整體為探討對象，依據(jù)平衡條件得2FTcosθ＝G，解得：FT＝eq\f(G,2cosθ)；可見，對題圖甲，在繩子右端緩慢向下移時，s、L沒有變更，則θ不變，繩子拉力FT1不變；對題圖乙，在繩子的右端從E向F緩慢移動的過程中，由于繩子的長度不變，所以兩個繩子之間的夾角2θ增大，cosθ減小，則繩子上的拉力FT2增大，故A、B、C錯誤，D正確。5.如圖所示，固定在豎直平面內(nèi)的光滑圓環(huán)的最高點有一個光滑的小孔，質(zhì)量為m的小球套在圓環(huán)上，一根細線的下端系著小球，上端穿過小孔用手拉住?，F(xiàn)拉動細線，使小球沿圓環(huán)緩慢上移，在移動過程中手對線的拉力F和圓環(huán)對小球的彈力N的大小變更狀況是()A．F不變，N增大 B．F不變，N減小C．F增大，N減小 D．F減小，N不變答案D解析小球沿圓環(huán)緩慢上移可看做小球始終處于平衡狀態(tài)，對小球進行受力分析，小球受重力G、F、N三個力，作出受力分析圖如圖，由圖知△OAB與△GFA相像，則eq\f(G,R)＝eq\f(F,AB)＝eq\f(N,R)，當(dāng)A點上移時，半徑不變，AB長度減小，則F減小，N不變。故D正確，A、B、C錯誤。6.如圖所示，在傾角為θ的粗糙斜面上，有一個質(zhì)量為m的物體被水平力F推著靜止于斜面上，物體與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ，且μ＞tanθ，求：(1)力F多大時，物體不受摩擦力；(2)為使物體靜止在斜面上，力F的取值范圍。答案(1)mgtanθ(2)eq\f(mgsinθ－μcosθ,cosθ＋μsinθ)≤F≤eq\f(mgsinθ＋μcosθ,cosθ－μsinθ)解析(1)物體不受摩擦力時受力如圖1所示，由平衡條件得：Fcosθ＝mgsinθ，解得：F＝mgtanθ。(2)當(dāng)物體恰不沿斜面對下滑動時，F(xiàn)最小，物體受力如圖2所示，由平衡條件得：沿斜面方向：Fmincosθ＋f1＝mgsinθ垂直斜面方向：Fminsinθ＋mgcosθ＝N1又f1＝μN1。解得：Fmin＝eq\f(mgsinθ－μcosθ,cosθ＋μsinθ)，當(dāng)物體恰不沿斜面對上滑動時，F(xiàn)最大，物體受力如圖3所示，由平衡條件得：沿斜面方向：Fmaxcosθ＝f1＋mgsinθ垂直斜面方向：Fmaxsinθ＋mgcosθ＝N2又f2＝μN2解得：Fmax＝eq\f(mgsinθ＋μcosθ,cosθ－μsinθ)為使物體靜止在斜面上，力F的取值范圍是：eq\f(mgsinθ－μcosθ,cosθ＋μsinθ)≤F≤eq\f(mgsinθ＋μcosθ,cosθ－μsinθ)。7．(2024·全國卷Ⅱ)質(zhì)量為m的物體用輕繩AB懸掛于天花板上。用水平向左的力F緩慢拉動繩的中點O，如圖所示。用T表示繩OA段拉力的大小，在O點向左移動的過程中()A．F漸漸變大，T漸漸變大B．F漸漸變大，T漸漸變小C．F漸漸變小，T漸漸變大D．F漸漸變小，T漸漸變小答案A解析以O(shè)點為探討對象，設(shè)繩OA與豎直方向的夾角為θ，物體的重力為G，依據(jù)力的平衡可知，F(xiàn)＝Gtanθ，T＝eq\f(G,cosθ)，隨著O點向左移，θ變大，則F漸漸變大，T漸漸變大，A項正確。8.(2024·全國卷Ⅰ)(多選)如圖，一光滑的輕滑輪用細繩OO′懸掛于O點；另一細繩跨過滑輪，其一端懸掛物塊a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物塊b。外力F向右上方拉b，整個系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)。若F方向不變，大小在肯定范圍內(nèi)變更，物塊b仍始終保持靜止，則()A．繩OO′的張力也在肯定范圍內(nèi)變更B．物塊b所受到的支持力也在肯定范圍內(nèi)變更C．連接a和b的繩的張力也在肯定范圍內(nèi)變更D．物塊b與桌面間的摩擦力也在肯定范圍內(nèi)變更答案BD解析系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，連接a和b的繩的張力大小T1等于物塊a的重力Ga，C項錯誤；以O(shè)′點為探討對象，受力分析如圖甲所示，T1恒定，夾角θ不變，由平衡條件知，繩OO′的張力T2恒定不變，A項錯誤；以b為探討對象，受力分析如圖乙所示，則FN＋T1cosθ＋Fsinα－Gb＝0f＋T1sinθ－Fcosα＝0FN、f均隨F的變更而變更，故B、D兩項正確。9．(2024·全國卷Ⅱ)物塊在輕繩的拉動下沿傾角為30°的固定斜面對上勻速運動，輕繩與斜面平行。已知物塊與斜面之間的動摩擦因數(shù)為eq\f(\r(3),3)，重力加速度取10m/s2。若輕繩能承受的最大張力為1500N，則物塊的質(zhì)量最大為()A．150kg B．100eq\r(3)kgC．200kg D．200eq\r(3)kg答案A解析物塊沿斜面對上勻速運動，受力如圖，依據(jù)平衡條件有F＝Ff＋mgsinθ①Ff＝μFN②FN＝mgcosθ③由①②③式得F＝mgsinθ＋μmgcosθ所以m＝eq\f(F,gsinθ＋μgcosθ)故當(dāng)Fmax＝1500N時，有mmax＝150kg，A正確。10．(2024·全國卷Ⅰ)(多選)如圖，一粗糙斜面固定在地面上，斜面頂端裝有一光滑定滑輪。一細繩跨過滑輪，其一端懸掛物塊N，另一端與斜面上的物塊M相連，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)。現(xiàn)用水平向左的拉力緩慢拉動N，直至懸掛N的細繩與豎直方向成45°。已知M始終保持靜止，則在此過程中()A．水平拉力的大小可能保持不變B．M所受細繩的拉力大小肯定始終增加C．M所受斜面的摩擦力大小肯定始終增加D．M所受斜面的摩擦力大小可能先減小后增加答案BD解析選N為探討對象，受力狀況如圖甲所示，用水平拉力F緩慢拉動N的過程中，水平拉力F漸漸增大，細繩的拉力T漸漸增大，A錯誤，B正確。對于M，受重力GM、支持力FN、繩的拉力T以及斜面對它的摩擦力f；如圖乙所示，若起先時斜面對M的摩擦力f沿斜面對上，則T＋f＝GMsinθ，T漸漸增大，f漸漸減小，可能會出現(xiàn)f減小到零后，再反向增大；若起先時斜面對M的摩擦力沿斜面對下，則T＝GMsinθ＋f，當(dāng)T漸漸增大時，f漸漸增大，C錯誤，D正確。11．(2024·天津高考)(多選)如圖所示，輕質(zhì)不行伸長的晾衣繩兩端分別固定在豎直桿M、N上的a、b兩點，懸掛衣服的衣架掛鉤是光滑的，掛于繩上處于靜止?fàn)顟B(tài)。假如只人為變更一個條件，當(dāng)衣架靜止時，下列說法正確的是()A．繩的右端上移到b′，繩子拉力不變B．將桿N向右移一些，繩子拉力變大C．繩的兩端高度差越小，繩子拉力越小D．若換掛質(zhì)量更大的衣服，則衣架懸掛點右移答案AB解析設(shè)繩長為l，兩桿間距離為d，選O點為探討對象，因aOb為同一根繩，故aO、bO對O點的拉力大小相等，因此平衡時aO、bO與水平方向的夾角相等，設(shè)為θ。對于O點受力狀況如圖所示，依據(jù)平衡條件，得2Tsinθ＝mg，而sinθ＝eq\f(\r(l2－d2),l)，所以T＝eq\f(mg,2)·eq\f(l,\r(l2－d2))。由以上各式可知，當(dāng)l、d不變時，θ不變，故換掛質(zhì)量更大的衣服時，懸掛點不變，選項D錯誤。若衣服質(zhì)量不變，變更b的位置或繩兩端的高度差，繩子拉力不變，選項A正確，選項C錯誤。當(dāng)N桿向右移一些時，d變大，則T變大，選項B正確。12.(2024·遼寧省大連市高三上學(xué)期模擬)(多選)如圖所示，處于豎直平面內(nèi)的正六邊形ABCDEF，可繞過C點且與平面垂直的水平軸自由轉(zhuǎn)動，該金屬框架的邊長為L，中心記為O，用兩根不行伸長、長度均為L的輕質(zhì)細線將質(zhì)量為m的金屬小球懸掛于A、E兩個頂點并處于靜