第05章 電容元件和電感元件

第5章

電容元件和電感元件主講教師

齊超能元件。其端口電壓、電流關(guān)系不是代數(shù)關(guān)系而是微分

或積分關(guān)系，因此又稱為動態(tài)元件。通過本章學(xué)習(xí)，應(yīng)

掌握電容元件、電感元件、互感元件的特性方程、能量

計(jì)算及各種等效變換。

此外還介紹理想變壓器。5.3

耦

合

電

感5.4理

想

變

壓

器5.2

電

感

元

件5.1電

容

元

件本章介紹電容元件、電感元件。它們是重要的儲本章目次提要基本要求：熟練掌握電容元件端口特性方程、能量計(jì)算及串

并聯(lián)等效變換。5.1

電容元件

+q

一般電容可變電容電解電容電容的電路符號圖5.1

電容的基本構(gòu)成金屬極板面積A電容構(gòu)成原理ε?qdui3管式空氣可調(diào)電容器

片式空氣可調(diào)電容器5.3b

可

變

電

容

器

4

lual電解電容器

瓷質(zhì)電容器

聚丙烯膜電容器圖

5.3a

固

定

電

容

器實(shí)際電容器示例當(dāng)電容器填充線性介質(zhì)時(shí)，正極板上存儲的電荷量q與極板間電

壓u

成正比q

=

Cu電容[系數(shù)]，單位：

F(法拉)表示。常用單位有μF(微

法)及pF(皮法)，分別表示為10-6F及10-12F。在

u

、q取關(guān)聯(lián)參考方向且

C是正值時(shí)，線性電容的電路符號

和它的電荷、電壓關(guān)系曲線如圖

5.4所示。

圖5.4線性電容電路符號和特性O(shè)qu5

(5.5)?物理意義：t

時(shí)刻電容上的電荷量是此刻以前由電流充電（或放

電）而積累起來的。所以某一瞬時(shí)的電荷量不能由該瞬間時(shí)刻的

電流值來確定，而須考慮此刻以前的全部電流的“歷史”，所以電

容也屬于記憶元件。對于線性電容有

(5.6)6

極板上電荷量增多或減少，在電容的端線中就有

電流產(chǎn)生，如圖5.4(a)所示。

（

電容元件的VCR方程）可見線性電容的端口電流并不取決于當(dāng)前時(shí)刻電壓，而與端口電壓的時(shí)間變化率成正比，所以電容

是一種動態(tài)元件。已知電流

i，求電荷

q

，反映電荷量的積儲過程

iq

=

Cu+u?當(dāng)|u(t)|

↑

→

儲能↑

即吸收能量→吸收功率當(dāng)|u(t)|

↓

→

儲能↓

即釋放能量→發(fā)出功率所以電容是儲能元件。?在關(guān)聯(lián)參考方向下，輸入線性電容端口的功率

電容存儲的電場能量7同時(shí)電容的輸入功率與能量變化關(guān)系為p

=

d

we

電容儲能隨時(shí)間的增加率

反之截止到

t

瞬間，從外部輸入電容的能量為

假設(shè)

u(?∞)=

0,當(dāng)C>

0時(shí),有we

≥

0式（5.8)

、(5.9)說明電容吸收的總能量全部儲存在電場中，所

以電容又是無損元件。?從全過程來看，電容本身不能提供任何能量，正值的電容是無源元件。綜上所述，正值電容是一種動態(tài)、記憶、無損、儲能、無源元件。8[補(bǔ)充5.1]圖示RC串聯(lián)電路，設(shè)uC(0)=0

，i(t)=Ie-t

/RC。求在

0<t<∞時(shí)間內(nèi)電阻消耗的電能和電容存儲的電能，并比較二者

大小。+

·

i

R

[解]

電阻消耗的電能為u

C

i2

Rdt

補(bǔ)充

5.1電容最終儲存的電荷為

電容最終儲能為

=

0.5R2I2

C由此可知

WR

=WC+uC?9?在使用電容器時(shí)，除了要關(guān)注其電容值外，還要注意它的額定電壓。使用時(shí)若電壓超過額定電壓，電容就有可能會因介質(zhì)被

擊穿而損壞。為了提高總電容承受的電壓，可將若干電容串聯(lián)

起來使用，如圖5.5(a)所示。圖

5.5(a)

電容的串聯(lián)設(shè)在串聯(lián)前電容上無電荷，根據(jù)KVL及電容元件的電壓-電流

關(guān)系得i+u1

?

+u2

?

+uN

?C1

C2

CN

10+u?u

=

u1

+

u2

+

…

+

uN

=

dξ+

…

+

=

串聯(lián)等效電容的倒數(shù)等于各電容的

倒數(shù)之和。如圖5.5(b)所示。1

1

1

1

=

+

+

…

+

C

C

CCeq

1

2

N+

i

u

?

11Ceq由于并聯(lián)電容的總電荷量等于各電容的電荷量之和，即q

=q1

+

q2

+…+

qN

=(C1

+

C2

+…+

CN

)u

=Cequ所以并聯(lián)等效電容等于各電容之和，等效電路如圖

5.6(b)所示C=C

+C

+…

+Ceq12

N注：如果在并聯(lián)或串聯(lián)前電容上存在電荷，則除了須計(jì)算等效

電容外還須計(jì)算等效電容的初始電壓。為了得到電容值較大電容，可將若干電容并聯(lián)起來使用，如

圖5.6(a)所示。u

C1

C2

CN?+

i

i1

i2

iNC

?

eq+

i(b)12u

解

在直流電路中電容相當(dāng)于開路，

據(jù)此求得電容電壓分別為U1

=

×

32V

=

24VU2

=

32V?U1

=

8V所以兩個電容儲存的電場能量分別為w1

=

C1U

=144J

;

w2

=

C2

U

=

8J2212

例題

5.1

圖示電路，設(shè)

C1

=0.5F

，C2

=0.25F

，電路處于直流工作狀態(tài)。

計(jì)算兩個電容各自儲存的電場能量。?u1

+20Ω+u2?12Ω

32VC2

134ΩC1

解

電容電壓計(jì)算如下(1)

0≤t

<3si

=5A>0

電容充電u

=

u(0)

+

i(ξ)dξ=

30V+

5Adξ=30V+

25t并且

u(3s)=(30

+

25×

3)V=105V0t0t設(shè)

0.2F

電容流過的電流波形如圖

(a)所示，已知

u(0)=30V

。試

計(jì)算電容電壓的變化規(guī)律并畫出波形。+u

?t7si?2A5A3sC14i(2)

3s≤t

<7si

=

?2A<0

電容放電u

=

u(3s)

+

s

i

(ξ)dξ=

105V

+

s

(?2)Adξ=

135V

?10t并且

u(7s)=

65V

·(3)

t

≥

7s

：此時(shí)

i

=

0

，電容電壓

保持不變，

u(t)=u(7s)=65V電容電壓的變化規(guī)律波形如右圖3t3t+u

?t3s7s105V65V30V

5A0?2AiCi

153s

7s(a)ut5A?2Au65V30V基本要求：熟練掌握電感元件端口特性方程、能量計(jì)算及

串并聯(lián)等效變換。幾種實(shí)際的電感線圈如圖5.9所示。圖5.9幾種實(shí)際電感線圈示例

16盡管實(shí)際的電感線圈形狀各異，但其共性都是線圈中通以電流

i，在其周圍激發(fā)磁場(magneticfiled)，從而在線圈中形成與電

流相交鏈的磁通(flux)Φ（兩者的方向遵循右手螺旋法則），與

線圈交鏈成磁鏈

ψ

,如圖5.10所示。圖5.10

電感線圈原理示意圖17i如果線圈的磁場存在于線性介質(zhì)，稱為線性電感，磁鏈與

電流成正比電感[系數(shù)](inductance)。單位亨[利](符號H)對應(yīng)的磁鏈-電流關(guān)系是一條通過平面原點(diǎn)的直線且位于Ⅰ、電感元件的特性用電流與磁鏈關(guān)系來表征，其電路符號如圖+u

?e

O

L可調(diào)電感固定電感ΨiⅢ象限，圖5.11(c)表示其特性

.圖5.11線性電感的符號及其特性5.11所示

18LΨ=LiL

i根據(jù)電磁感應(yīng)定律和楞茨定律，當(dāng)電壓、電流方向如下圖所示，并且電流與磁通的參考方向遵循右螺旋法則時(shí)，端口電壓u與感應(yīng)電動勢

e

關(guān)系如下

+

u

?u

=

?e

=

(5.17)e對線性電感，其端口特性方程u=

?e

=

(5.18)即線性電感的端口電壓與端口電流的時(shí)間變化率成正比。因

為電感上電壓-電流關(guān)系是微分或積分關(guān)系，所以電感也屬

動態(tài)元件。

19i

L若已知電壓求磁鏈或電流，則dξ=Ψ

(5.19)

dξ=

i

(5.20)此兩式表明，電感中某一瞬間的磁鏈和電流決定于此瞬間以前

的全過程的電壓，因此電感也屬于記憶元件。線性電感吸收的功率為

電感存儲的磁場能量(wm

)

20

截止到

t

時(shí)刻電感吸收的能量為:

若假設(shè)i(?∞)=

0,則有wm

=

1

Li2

=

Ψ

電感也是儲能元件。上式說明電感吸收的總能量全部儲存在磁場中，所以電感又是

無損元件。2電感的串聯(lián)：電感也可以串聯(lián)或并聯(lián)。仿照電容串、并聯(lián)電路的分析可以得出結(jié)論：電感串聯(lián)時(shí)，等效電感等于各電感之和，即…

i圖5.12

電感的串聯(lián)等效

2122L電感的并聯(lián)：電感并聯(lián)時(shí)，等效電感的倒數(shù)等于各電感倒數(shù)之

和，即

圖5.13

電感的并聯(lián)等效說明：

從電路模型上講，電感在串聯(lián)或并聯(lián)之前可以假設(shè)存在

一定的磁鏈或電流。這樣，串聯(lián)或并聯(lián)聯(lián)接后，除須計(jì)算等效電

感外，還須計(jì)算等效電感的初始磁鏈或初始電流。

22

解

根據(jù)電流的變化規(guī)律，分段計(jì)算如下(1)0

<

t

<

2s

:i

=

1.5t

Au=L=(0.1

×

1.5)V

=0.15V1

2

2p

=

ui=

0.225tWwm

=

2

Li

=

0.1125t

J

例題

5.3

電路如圖

(a)所示，

0.1H電感通以圖(b)所示的電流。求時(shí)間

t>

0電感電壓、吸收功率及儲存能量的變化規(guī)律。i3At2s

4si+u?

圖5.14

例題5.3

23L6

s=(0.225t?1.35)WLi2

=(0.1125t2

?1.35t+

0.45)

J

24

(2)2s<

t<

4s:i=

3

A

p=

ui

=0

(3)4s<

t

<

6s

:i

=(?1.5t+

9

)Au

=L=?0.1

×

1.5V=?0.15Vi3At2s

4sp

=

ui1w

=

m

2(b)6

s(4)t

>

6s

:

i

=

0電壓、功率及能量均為零。各時(shí)段的電壓、功率及能量的變化規(guī)律如右圖

(c)

、(d)

、(e)

所示。小結(jié)：本題可見，電流源的端

電壓取決于外電路，即決定于

電感。而電感電壓與電流的變

化率成正比。因而當(dāng)

2s<

t<

4s

時(shí)，雖然電流最大，電壓卻為

零。t2s

4s

6stptt

i3Au0.15V?0.15V0.45W?0.45Wwm

0.45J25基本要求：透徹理解同名端的概念、熟練掌握互感元件端

口方程和互感元件的串并聯(lián)等效電路。當(dāng)幾個線圈之間存在著磁耦合，便形成了多端口電感。本節(jié)只

討論二端口電感，習(xí)慣上稱為互感[元件]

，如圖5.15所示。(a)

(b)圖5.15兩個線圈的磁耦合

26每一線圈的總磁鏈?zhǔn)亲愿写沛満突ジ写沛湸鷶?shù)和。在線性條件下，自感磁鏈和互感磁鏈均正比與激發(fā)它們的電流

，設(shè)電流與自

感磁鏈的參考方向符合右手螺旋關(guān)系，則Ψ

1

=

Ψ

11

±

Ψ12

=

L11

i1

±

L12

i2Ψ

2

=

±Ψ21

+

Ψ22

=

±

L21

i1

+

L

22

i2式中互感磁鏈前正負(fù)號，由自感磁鏈和互感磁鏈的方向而定

，

一致取

“+

”；否則取

“–”簡寫成

L1

、L2一般實(shí)際線圈

L12

=

L21

=

M(a)

(b)圖5.15兩個線圈的磁耦合自感應(yīng)磁鏈互感應(yīng)磁鏈L11

、L22L12

、L21自感；互感；i1Ψ11Ψ21iΨ22

Ψ12

27————2在圖5.16a中，可明顯地判斷自感磁鏈和互感磁鏈的方向是相同

或相反。但當(dāng)將實(shí)際線圈抽象成圖5.16(b)所示的電路模型時(shí)，

就靠電流進(jìn)、出同名端來判斷互感磁鏈的+（或

-）。i2

+u2?i1

*1

L1圖5.16b互感元件的模型

28*

L2+u?uiuMiii21同名端使所激發(fā)的自感磁鏈和互感磁鏈方向一致的兩個線圈電流的進(jìn)端或出端。換言之，兩個端口電流都流進(jìn)（或流出）同名端，表示它們所激

發(fā)的自感磁鏈和互感磁鏈方向一致，（總磁鏈在原自感磁鏈基礎(chǔ)

上增強(qiáng)）。當(dāng)兩個電流的參考方向是從非同名端流入時(shí)，它們所

激發(fā)的自感磁鏈與互感磁鏈方向相反，（總磁鏈在原自感磁鏈基

礎(chǔ)上削弱）。如圖5.17所示。M

M

2

L1u2

=?M十u2

=

M十u1

=?Mi2i2L2i1i1十=

Mdi

dtdi2

dtdi1

dtdi1

dt十u2MMu291同名端也可以等價(jià)說成：當(dāng)某線圈電流增加時(shí)，流入電流的端

子與另一線圈互感電壓為正極性的端子為同名端。根據(jù)這一原

理，在實(shí)驗(yàn)中，使某線圈流入遞增電流，通過測試另一線圈互

感電壓的極性便可找出同名端。di2

dtu2

=?M

2

L1十u2

=

Mi2i2

L2M

Mi1i1

30十=

Mdi

dtdi1

dtdi1

dt十u2=?MMMuu11

若式中

u1

、i1

或

u2

、i2

的參考方向相反，則

L1

或

L2

前應(yīng)添入

負(fù)號；若u1

、

i2

或

u2

、

i1

的參考方向相對星標(biāo)

*

是相同的，則

M

前取正號，否則應(yīng)取負(fù)號。根據(jù)電磁感應(yīng)定律，在端口電

壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向，并

且自感磁通與電流符合右手螺

旋關(guān)系時(shí)，互感元件的電壓電

流關(guān)系方程為i2

+u2?i11

L1

31+u?L2M1）從圖(a)知，端口

1

的電壓和電流為關(guān)聯(lián)參考方向，自感電壓u11

前為

正

，2）引起互感電壓

u12

的電流

i2

參考方向是從所在端口2的非

*指

向

*端，與引起

u11

的電流

i1

從自端口

*端指向非

*端方向相反，

因此

u12

前取

負(fù)；

[補(bǔ)充5.2]列出圖示兩個互感元件的特性方程i2

L2?u2

+i11

L1

32分析+u?M正。

u2

=

M

上述列寫互感方程的方法稱為逐項(xiàng)判斷法。

故圖（a）所示的互感元件特性方成為

3）端口

2

的電壓和電流為非關(guān)聯(lián)參考方向,自感電壓

u22前為負(fù)，4）引起互感電壓u21

的電流

i1

參考方向是從端口1的

*指向非

*

端，相對與端口2來說與

u2

的參考方向關(guān)聯(lián)一致，故

u21前取i2

L2?u2

+i11

L1

33+u?M基于相似解釋，圖（b）所示互感元件的特性方程。

u2

=

M

34

?L2i21

L1

i1+u?u2+MP

=

u1i1

+

u2

i2=

[L1

(di1

dt)

±

M(di2

dt)]i1

+

[±M(di1

dt)

+

L2

(di2

dt)]i2=

(

L1i

)

±

(Mi1i2

)

+

(

L2

i

)=

(

L1i

±

Mi1i2

+

L2

i

)

=

正如一端口電感那樣，輸入互感的總能量將全部轉(zhuǎn)化為磁場能量w=

Li

+

L

i

±

Mi

i

w

≥0m

2

1

1

2

2

2

1

2

m

35

22122212互感總功率，在關(guān)聯(lián)參考方向下

+

i1

u1

L1?

i21

2

1

2+u2?L2M如果沒有磁耦合，M=0，磁能就是兩個自感元件分別儲能之和。

存在磁耦合時(shí)，要增減一項(xiàng)Mi1

i2，增與減要視互感的作用是使

磁場增強(qiáng)還是使磁場減弱而定。定義耦合系數(shù)

k=

M

L1L2用來衡量互感耦合的程度

兩個線圈無耦合兩個線圈全耦合0

≤

k

≤

1

?lk

=

1

36w≥

0m?k

=

0u

=

u1

+

u2

=

(L1

±

M)

+

(±M+

L2

)=

(L1

+

L2

±

2M)

=

Leq

由此可得串聯(lián)等效電感如圖5.18c所示

為Leq

=

L1

+

L2

±

2M注：正串2M前取正,等效電感大于倆自感之和;反串2M前取負(fù)，等效電

感小于倆自感之和。含互感元件電路的連接1互感元件的串聯(lián)iM

L2i

L1ML2電流從異名端流入→反串(或反接)電流從同名端流入→正串(或順接)+

iu?圖5.18a

圖5.18

b

Leq+

u1

?+u2?+

u1

?圖5.18

c+u2?+u?+u?37

L1圖5.

19(a)互感兩同名端并聯(lián)電路圖5.19(a)表示兩個同名端相接。

為求其等效電路，分別列KCL

和KVL方程：u

=L1

+

M

(1)u=M

+L2

(2)i

=

i1

+

i2

(3)（3）代入（1）得：u=M

+(L1

?

M)

=La

+Lb

（3）代（2）得：

由此消去互感的等效電路如

圖5.

19(b)圖中各等

效電感為L

=

MaLb

=

L1

?

Mc

2???

(5.36)?i

i1

L1

M

L2iLbILc2互感元件的并聯(lián)La

i1

i2?

38L

=L?

M+u?+u?等效電感L

=

L

+

Lb

Lc

=

L1L2

?

M

eq

a

Lb

+

Lc

L1

+

L2

?

2M同理，異名端連接時(shí)的總等

效電感為L

L

?

ML

=

L1

+

L2

+

2M2對于實(shí)際的耦合線圈，無論何種串聯(lián)或何種并聯(lián)，其等效電感均

為正值。所以自感和互感滿足如下關(guān)系如無需計(jì)算電流

i1、i2

，根

據(jù)電感的串、并聯(lián)等效，圖5.19(b)可進(jìn)一步等效成一個電

感，如圖5.19(c)，i

La

iLbIi1Lc

M

≤

L1L2Mk

=≤

1

L1L2

M

≤(L1

+

L2

)耦合系數(shù)滿足+

iu?

39圖5.19(c)'

1

2+u?Leq(b)i223互感線圈的T型聯(lián)接如圖5.20(a)所示，圖5.20(b)是不含磁耦合的等效電路其等效電感的計(jì)算與式(5.36)相同。就是說，即

便模型中含有串聯(lián)電阻,

也可以通過這種方法來消

除互感，得到無互感等效

電路。由于耦合線圈含有電

阻，在較接近實(shí)際的

電路模型中兩自感都

含有串聯(lián)電阻。L

=

MaLb

=

L1

?

Mc

2圖5.20(b)中各等

效電感為i

LaLbR1圖5.20互感的T型等效電路ML2

R2i

i1L1R1

40L

=L?

MLR2?????i2i2i1c一個實(shí)際耦合電感，例如空心變壓器(一種繞在非鐵磁材料上的變

壓器)

，一般需要考慮繞組電阻，此時(shí)可用帶有串聯(lián)等效電阻的互

感來表示其電路模型，如圖5.21所示。圖中u1

與i2

參考方向相對星標(biāo)*是相反的，u2

與i1

也是相反的，故M前均應(yīng)取負(fù)號，端口特性方程將是：

+u1?i1L1i2L2?

41+u2M2)每個線圈的漏磁通為零,

即兩個線圈為全耦合

Ψ1

=

N1Φ

,

Ψ2

=

N2

Φ3)線圈電阻為零,

端口電壓等于感應(yīng)電動勢

,

u2

=

4)鐵心的損耗為零

H

.

dl

=

N1i1+

N2

i2=

0l

=

n或

u1

=

nu

2

;

或

i1

=

程想方理變壓器的端口由此得圖5.23基本要求：熟練掌握理想變壓器特性方程，理解實(shí)際變壓器與理想變

壓器的關(guān)系、理想變壓器的電阻變換作用。

理想變壓器是實(shí)際電磁耦合元件的一種理想化模型，如圖

5.22和

5.23。理想化認(rèn)為1)鐵心的磁導(dǎo)率

μ

→

∞相應(yīng)有ii'圖5.24同名端與理想變壓器端口方程的關(guān)系示例對應(yīng)的特性方程分別為(注意符號)???l?

??

???l?

i4322121n1ui1u22iun1ni2un1ni1u變比（匝數(shù)比）

==

n

或

u1

=

nu2

(5.45)=

?

=

?

或

i1

=

(?1

/

n)i2

(5.47)理想變壓器方程與

u、i

的參考方向和兩線圈同名端位置有關(guān)圖5.24給出了一些同名端與理想變壓器端口方程的關(guān)系示例。u1u1i1

n

:

1

i2i1

n

:

1

i2n

:

1

i2n

:

1u2u2u2u2u1u1i2i1i1理想變壓器輸入的總功率為p

=

u1i1

+

u2

i2

=

(nu2

)(?

)

+

u2

i2

=

?u2

i2

+

u2

i2

=0

(5.48)說明

變壓器元件不僅是無源的,而且每一瞬間輸入功率等于輸出功

率,

即傳輸過程中既無能量的損耗,也無能量的存儲,屬于非能元件.

在實(shí)際中變壓器不但可以變壓、變流，還可用于變換電阻。圖圖5.25(a)

變壓器電阻變換變壓器輸入端