高中數(shù)學(xué)《必修第二冊(cè)》課后習(xí)題第八章測(cè)評(píng)

第八章測(cè)評(píng)(時(shí)間:120分鐘滿(mǎn)分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2021新高考Ⅰ卷)已知圓錐的底面半徑為2,其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓,則該圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為()A.2 B.22 C.4 D.42答案B解析設(shè)圓錐底面半徑為r1,圓錐側(cè)面展開(kāi)圖半圓所在圓的半徑為r2.由條件得,2πr1=12·2πr2,則r2=2r1=22,故該圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為22.故選B圖①圖②2.水平放置的△AOB的直觀(guān)圖△A'O'B'如圖所示,則△AOB的面積是()A.2 B.2 C.22 D.4答案D解析由直觀(guān)圖和原圖形的關(guān)系易知,△AOB中底邊OB=2,底邊OB上的高線(xiàn)長(zhǎng)為4,∴△AOB的面積為S=12×4×2=4.故選D3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一,它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐,以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積,則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為()A.5-14 C.5+14 D答案C解析設(shè)正四棱錐的高為h,底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)面三角形底邊上的高為h',則依題意有h2=12ah',h2=h'2-(a2)

2,因此有h'2-a22=12ah'?4h'a24.設(shè)α,β為兩個(gè)平面,則α∥β的充要條件是()A.α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與β平行B.α內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)與β平行C.α,β平行于同一條直線(xiàn)D.α,β垂直于同一平面答案B解析由面面平行的判定定理知,α內(nèi)兩條相交直線(xiàn)都與β平行是α∥β的充分條件,由面面平行性質(zhì)定理知,若α∥β,則α內(nèi)任意一條直線(xiàn)都與β平行,所以α內(nèi)兩條相交直線(xiàn)都與β平行是α∥β的必要條件,故選B.5.已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上,則該圓柱的體積為()A.π B.3π4 C.π2 答案B解析如圖,畫(huà)出圓柱的軸截面,AC=1,AB=12,設(shè)圓柱的底面圓面半徑為r,所以r=BC=32,那么圓柱的體積是V=πr2h=π×322×1=346.(2021全國(guó)乙卷)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為B1D1的中點(diǎn),則直線(xiàn)PB與AD1所成的角為()A.π2 B.π3 C.π4 答案D解析如圖,連接BC1,PC1.由正方體的性質(zhì)可得AD1∥BC1,故∠PBC1為直線(xiàn)PB與AD1所成的角.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則BC1=2,C1P=12A1C1=2而B(niǎo)P=BB可得C1P2+BP2=BC12,故C1P⊥則在Rt△BPC1中,有sin∠PBC1=C1于是∠PBC1=π6,即直線(xiàn)PB與AD1所成的角等于π7.在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球,若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是()A.4π B.9π2 C.6π D答案B解析要使球的體積V最大,必須球的半徑R最大.由題意知球與直三棱柱的上下底面都相切時(shí),球的半徑取得最大值32,此時(shí)球的體積為43πR3=43π323=9π28.在如圖所示的三棱錐容器S-ABC中,D,E,F分別為三條側(cè)棱上的小洞,SD∶DA=CF∶FS=2∶1,BE=SE,若用該容器盛水,則最多可盛水的體積是原三棱錐容器體積的()A.89 B.C.23 D.答案A解析因?yàn)镾D∶DA=2∶1,所以SD=23SA.又因?yàn)锽E=SE,所以SE=12SB.所以△SDE的面積為S△SDE=12SD·SE·sin∠ASB=12×23SA×12SB×sin∠ASB=13S△SAB.又CF∶FS=2∶1,所以SF∶SC=1∶3,設(shè)點(diǎn)F,C到平面SAB的距離分別為h1,h2,所以h1∶h2=1∶3,所以V二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.等腰直角三角形直角邊長(zhǎng)為1,現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周,則所形成的幾何體的表面積可以為()A.2π B.(1+2)πC.22π D.2+2π答案AB解析若繞一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周,形成的幾何體為圓錐,則圓錐的底面半徑為1,高為1,所以母線(xiàn)長(zhǎng)l=2,這時(shí)表面積為12·2π·1·l+π·12=(1+2)π;若繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周,旋轉(zhuǎn)體為兩個(gè)底對(duì)底的圓錐組合在一起,且由題意底面半徑為22,每一個(gè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)均為1,所以表面積S=2·12·2π·22·1=2π.綜上所述,該幾何體的表面積可以為2π,(1+2)π10.已知正三棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為2,下底面邊長(zhǎng)為4,側(cè)棱長(zhǎng)為2,則下列說(shuō)法正確的是()A.棱臺(tái)的側(cè)面積為93B.棱臺(tái)的高為3C.棱臺(tái)的側(cè)棱與底面所成角的余弦值為3D.棱臺(tái)的側(cè)面與底面所成二面角的余弦值為2答案AC解析由題意作圖如下,在平面ABB1A1中由點(diǎn)A1向AB作垂線(xiàn),垂足為D,取線(xiàn)段BC的中點(diǎn)E,連接AE,在平面AEA1中由點(diǎn)A1向AE作垂線(xiàn),垂足為F,連接DF,在等腰梯形ABB1A1中,AB=4,B1A1=2,AA1=2,則AD=(4-2)÷2=1,A1D=22-12=3,故棱臺(tái)的側(cè)面積為3×12(2+4)×3=93,故A正確;易知A1F為棱臺(tái)的高,則AD⊥平面A1DF,則AD⊥DF在Rt△ADF中,DF=AD·tanπ6=33,AF=12+13=233,在Rt△A1DF中,A1F=A1D2-DF2=263≠3,故B錯(cuò)誤;棱臺(tái)的側(cè)棱與底面所成角為∠A11.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,E是DD1的中點(diǎn),則()A.直線(xiàn)B1C∥平面A1BDB.B1C⊥BD1C.三棱錐C1-B1CE的體積為1D.異面直線(xiàn)B1C與BD所成的角為90°答案AB解析選項(xiàng)A,如圖,連接A1D,A1B,BD,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,易得A1B1與CD平行且相等,所以四邊形A1B1CD為平行四邊形,有B1C∥A1D,又B1C?平面A1BD,A1D?平面A1BD,所以直線(xiàn)B1C∥平面A1BD,故選項(xiàng)A正確;選項(xiàng)B,如圖,連接BC1,AD1,因?yàn)樗倪呅蜝B1C1C為正方形,所以B1C⊥BC1,因?yàn)檎襟wABCD-A1B1C1D1,所以AB⊥平面BB1C1C,又B1C?平面BB1C1C,所以AB⊥B1C,又AB∩BC1=B,所以B1C⊥平面ABC1D1,又BD1?平面ABC1D1,所以B1C⊥BD1,故選項(xiàng)B正確;選項(xiàng)C,因?yàn)檎襟wABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,所以B1C1⊥平面CC1D1D,且B1C1=1,又S△CC1E=12×1×1=12,所以三棱錐B1-CC1E的體積即三棱錐C1-B1CE的體積為16,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤選項(xiàng)D,如圖,連接A1D,A1B,BD,由選項(xiàng)A的解析可知,A1D∥B1C,所以異面直線(xiàn)B1C與BD所成的角為∠A1DB或其補(bǔ)角,因?yàn)檎襟wABCD-A1B1C1D1,易得△A1DB為等邊三角形,所以∠A1DB=60°,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選AB.12.如圖,在透明塑料制成的長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1容器內(nèi)灌進(jìn)一些水(未滿(mǎn)),現(xiàn)將容器底面一邊BC固定在底面上,再將容器傾斜,隨著傾斜度的不同,有下列四種說(shuō)法,其中正確的是()A.水的部分始終呈棱柱狀B.水面四邊形EFGH的面積為定值C.棱A1D1始終與水面EFGH平行D.若E∈AA1,F∈BB1,則AE+BF是定值答案ACD解析由于四邊形ABFE與四邊形DCGH全等,且平面ABFE∥平面DCGH,則由棱柱的定義可知,水的部分始終呈棱柱狀,所以A正確;因?yàn)锽C∥FG,BC⊥平面ABB1A1,所以FG⊥平面ABB1A1,因?yàn)镋F?平面ABB1A1,所以FG⊥EF,因?yàn)镕G∥EH,FG=EH,所以四邊形EFGH為矩形,所以水面四邊形EFGH的面積等于EF·FG,因?yàn)樗嫠倪呅蜤FGH的邊長(zhǎng)FG不變,EF在變化,所以水面四邊形EFGH的面積在變化,所以B錯(cuò)誤;容器底面一邊BC固定在底面上時(shí),BC∥FG∥A1D1,A1D1?平面EFGH,所以由線(xiàn)面平行的判定定理可知,棱A1D1始終與水面四邊形EFGH平行,所以C正確;由于水平放置時(shí),水的體積是定值,水的高度是定值h,底面面積不變,所以當(dāng)一部分上升a的同時(shí),另一部分下降相同的高度a,設(shè)AE=h-a,則BF=h+a,所以AE+BF=h-a+h+a=2h為定值,所以當(dāng)E∈AA1,F∈BB1時(shí),AE+BF是定值,所以D正確.故選ACD.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.空間中一個(gè)∠A的兩邊和另一個(gè)∠B的兩邊分別平行,∠A=70°,則∠B=.

答案70°或110°解析①若∠A的兩邊和∠B的兩邊分別平行,且方向相同,則∠A與∠B相等,此時(shí)∠B=∠A=70°;②當(dāng)∠A的兩邊和∠B的兩邊分別平行,且一邊方向相同另一邊方向相反,則∠A與∠B互補(bǔ),此時(shí)∠B=180°-∠A=110°.14.三棱錐O-ABC中,三條OA,OB,OC兩兩垂直,OA=1,OB=2,OC=3,則三棱錐O-ABC外接球的表面積是.

答案14π解析如圖,把三棱錐O-ABC放置在長(zhǎng)方體中,則三棱錐O-ABC的外接球即長(zhǎng)方體的外接球,外接球的直徑為12+22+32=14,半徑R=142,∴三棱錐15.已知圓錐的底面半徑為1,母線(xiàn)長(zhǎng)為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.

答案23解析易知半徑最大的球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球,球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖所示,其中BC=2,AB=AC=3,且點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn),設(shè)內(nèi)切球的球心為O,由于AM=32-12=22,故S△ABC=12×2×2設(shè)內(nèi)切球半徑為r,則S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=12×AB×r+12×BC×r+12×AC×r=12×(3+3+2)×解得r=22,其體積V=43πr3=216.中國(guó)有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體,但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖①).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美.圖②是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體,它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上,且此正方體的棱長(zhǎng)為1.則該半正多面體共有個(gè)面,其棱長(zhǎng)為.

答案262-1解析由圖可知第一層與第三層各有9個(gè)面,計(jì)18個(gè)面,第二層共有8個(gè)面,所以該半正多面體共有18+8=26個(gè)面.將該半正多面體放入正方體部分圖示如下,設(shè)該半正多面體的棱長(zhǎng)為x,則AB=BE=x,延長(zhǎng)BC與FE交于點(diǎn)G,延長(zhǎng)BC交正方體棱于H,由半正多面體對(duì)稱(chēng)性可知,△BGE為等腰直角三角形.∵BG=GE=CH=22x∴GH=2×22x+x=(2+1)x=∴x=12+1=2-1,即該半正多面體棱長(zhǎng)為四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.(10分)在三棱錐P-ABC中,PA=PB=PC=AC=22,BA=BC=2,O是線(xiàn)段AC的中點(diǎn),M是線(xiàn)段BC的中點(diǎn).(1)求證:PO⊥平面ABC;(2)求直線(xiàn)PM與平面PBO所成角的正弦值.(1)證明由BA=BC=2,AC=22,有BA2+BC2=AC2,從而有∠ABC=π2,∴BO⊥AC且BO=2又△PAC是邊長(zhǎng)等于22的等邊三角形,∴PO⊥AC,PO=6.又PB=22,從而有PB2=PO2+BO2,∴∠POB=π2,∴PO⊥BO又AC∩BO=O,AC?平面ABC,BO?平面ABC,∴PO⊥平面ABC.(2)解過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BO交BO于點(diǎn)N,連接PN.由(1)知PO⊥平面ABC,得MN⊥PO,又MN⊥BO,∴MN⊥平面POB,∴∠MPN是直線(xiàn)PM與平面PBO所成的角.由(1)BO⊥AC,從而N為線(xiàn)段BO的中點(diǎn),∴MN=12OC=14AC=PM=PC∴sin∠MPN=MNPM∴直線(xiàn)PM與平面PBO所成角的正弦值為141418.(12分)如圖,P為平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn),M,N分別是AB,PC的中點(diǎn),平面PAD∩平面PBC于直線(xiàn)l.(1)判斷MN與平面PAD的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(2)判斷BC與l的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.解(1)MN∥平面PAD,證明如下:取PD中點(diǎn)E,連接AE,NE,因?yàn)镹,E分別為PC,PD中點(diǎn),所以NE∥DC,且NE=12DC又M為AB中點(diǎn),AB∥DC,AB=DC,所以AM∥NE,且AM=NE,所以四邊形AMNE為平行四邊形,所以AE∥MN.又AE?平面PAD,MN?平面PAD,所以MN∥平面PAD.(2)BC∥l,證明如下:因?yàn)锳D∥BC,AD?平面PAD,BC?平面PAD,所以BC∥平面PAD.又BC?平面PBC,且平面PAD∩平面PBC=l,根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理可得BC∥l.19.(12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD是直角梯形,DC=2AD=2AB=2PB,∠DAB=∠ADC=90°,△PDC為等邊三角形.(1)證明:平面PBC⊥平面PBD;(2)若△PBC的面積為1,求點(diǎn)B到平面PCD的距離d.(1)證明∵在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD是直角梯形,DC=2AD=2AB=2PB,∠DAB=∠ADC=90°,△PDC為等邊三角形,設(shè)AB=x,則BC=BD=x2+∴BD2+BC2=4x2=CD2,PB2+BC2=4x2=PC2,∴BD⊥BC,PB⊥BC.∵BD∩PB=B,∴BC⊥平面PBD.∵BC?平面PBC,∴平面PBC⊥平面PBD.(2)解∵SRt△PBC=1,∴12PB·PC=x2=1,即x=由(1)知,S△PCD=34×4=3∵BD2+BP2=DP2,BD=2,PB=2,∴S△PBD=12×∴V三棱錐B-PCD=V三棱錐C-PBD,即13×3·d=13×1×2,∴點(diǎn)B到平面PCD的距離為6320.(12分)如圖,在三棱錐P-ABC中,△PAB是等邊三角形,∠PAC=∠PBC=90°.(1)證明:AB⊥PC;(2)若PC=4,且平面PAC⊥平面PBC,求三棱錐P-ABC的體積.(1)證明因?yàn)椤鱌AB是等邊三角形,∠PAC=∠PBC=90°,所以Rt△PBC≌Rt△PAC,可得AC=BC.如圖,取AB中點(diǎn)D,連接PD,CD,則PD⊥AB,CD⊥AB,PD∩DC=D,PD?平面PDC,CD?平面PDC.所以AB⊥平面PDC,又PC?平面PDC,所以AB⊥PC.(2)解作BE⊥PC,垂足為E,連接AE.因?yàn)镽t△PBC≌Rt△PAC,所以AE⊥PC,AE=BE.由已知,平面PAC⊥平面PBC,故∠AEB=90°.因?yàn)镽t△AEB≌Rt△PEB,所以△AEB,△PEB,△CEB都是等腰直角三角形.由已知PC=4,得AE=BE=2,△AEB的面積S=2.因?yàn)镻C⊥平面AEB,所以三棱錐P-ABC的體積V=V三棱錐P-AEB+V三棱錐C-AEB=13S(PE+EC)=13×S×PC=21.(12分)(2021全國(guó)甲卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1B1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC和CC1的中點(diǎn),BF⊥A1B1.(1)求三棱錐F-EBC的體積;(2)已知D為棱A1B1上的點(diǎn),證明:BF⊥DE.(1)解在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥A1B1,∵BF⊥A1B1,BB1∩BF=B,BB1,BF?平面BCC1B1,∴A1B1⊥平面BCC1B1.∵AB∥A1B1,∴AB⊥平面BCC1B1,∴AB⊥BC.∵AB=AC,∴AC=22+22=22,∴∴CF=12CC1=12∴V三棱錐F-EBC=13S△EBC×CF=13×12(2)證明如圖,連接A1E,取BC