第三章 平面匯交力系

主講老師：王培興第三章平面匯交力系第三章平面匯交力系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解用力多邊形求解平面匯交力系的合力與平衡問(wèn)題；2.了解分力與力的投影的異同點(diǎn)；3.掌握合力投影定理；4.能熟練掌握用解析法求解平面匯交力系的合力與平衡問(wèn)題。第三章平面匯交力系【引言】力系中各力的作用線均在同一平面內(nèi)的力系叫平面力系。在平面力系中各力的作用線均匯交于一點(diǎn)的力系叫平面匯交力系。平面匯交力系是一種最基本的力系，它不僅是研究其它復(fù)雜力系的基礎(chǔ)，而且在工程中用途也比較廣泛，圖3-1所示的平面屋架，結(jié)點(diǎn)C所受的力第三章平面匯交力系圖3-2所示的起重機(jī)，在起吊構(gòu)件時(shí)，作用于吊鉤上C點(diǎn)的力都，屬于平面匯交力系。3.1平面匯交力系的簡(jiǎn)化與合成一、平面匯交力系簡(jiǎn)化與合成的幾何法——力多邊形法則設(shè)一剛體受到平面匯交力系F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)4的作用，各力作用線匯交于點(diǎn)A，如圖a所示。根據(jù)力的平行四邊形法則，可逐步兩兩合成各力，最后求得一個(gè)通過(guò)匯交點(diǎn)A的合力FR。3.1平面匯交力系的簡(jiǎn)化與合成另外，還可以用更簡(jiǎn)便的方法求此合力FR的大小與方向，即用力多邊形法則求解。任取一點(diǎn)，將各分力的矢量依次首尾相連，由此組成一個(gè)不封閉的力多邊形，如圖b所示。3.1平面匯交力系的簡(jiǎn)化與合成此圖中的FR1為F1與F2的合力，F(xiàn)R2為FR1與F3的合力，力多邊形最后的封閉邊FR即為原平面匯交力系F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)4的合力。其實(shí)，F(xiàn)R1與FR2在作力多邊形圖形時(shí)可以不必畫(huà)出。在這里，要強(qiáng)調(diào)的是,合力FR（即矢量）的方向，是從原起點(diǎn)，指向最后的終點(diǎn)。3.1平面匯交力系的簡(jiǎn)化與合成根據(jù)矢量相加的交換律，任意變換各分力矢的作圖次序，可得形狀不同的力多邊形，但其合力矢仍然不變。封閉邊矢量即表示此平面匯交力系合力FR的大小與方向（即合力矢），而合力的作用線仍應(yīng)通過(guò)原匯交點(diǎn)A，如圖所示的FR。3.1平面匯交力系的簡(jiǎn)化與合成所以，平面匯交力系可簡(jiǎn)化為一合力，其合力的大小與方向等于各分力的矢量和（幾何和）,合力的作用線通過(guò)匯交點(diǎn)。設(shè)平面匯交力系包含個(gè)力，以FR表示它們的合力矢，則有合力FR對(duì)剛體的作用與原力系對(duì)該剛體的作用等效。

3.1平面匯交力系的簡(jiǎn)化與合成用力多邊形法則進(jìn)行平面匯交力系的合成，求合力的步驟如下：1.根據(jù)荷載的大小，確定一個(gè)合理的作圖比例；2.任選一起點(diǎn)a；3.將力系的各力矢量按設(shè)定的比例，按照首尾相連的作法，依次畫(huà)出。此時(shí)，將得到一個(gè)開(kāi)口的力多邊形4.畫(huà)合力矢量。注意方向應(yīng)是由原起點(diǎn)指向最后的終點(diǎn)；5.按照比例量出合力的大小，合力作用線與x軸的夾角，確定合力矢量所在的坐標(biāo)象限。3.1平面匯交力系的簡(jiǎn)化與合成二、平面匯交力系簡(jiǎn)化與合成的解析法用幾何法合成平面匯交力系有直觀、明瞭的優(yōu)點(diǎn)，但要求作圖準(zhǔn)確，否則將造成較大誤差.為了簡(jiǎn)便而準(zhǔn)確地獲得結(jié)果，可采用解析法合成平面匯交力系。用解析法合成平面匯交力系時(shí)，必須掌握力在坐標(biāo)軸上的投影。3.1平面匯交力系的簡(jiǎn)化與合成1.力在平面直角坐標(biāo)軸上的投影如圖，設(shè)力F作用于A點(diǎn)（圖3-4），在力F作用線所在的平面內(nèi)任取直角坐標(biāo)系Oxy,,從力矢的兩端向x軸作垂線，垂足的連線冠以相應(yīng)的正負(fù)號(hào)稱為力F在x軸上的投影，以Fx表示。3.1平面匯交力系的簡(jiǎn)化與合成同理，從力矢的兩端向y軸作垂線，兩垂足的連線冠以相應(yīng)的正負(fù)號(hào)稱為力F在y軸上的投影，以Fy表示。3.1平面匯交力系的簡(jiǎn)化與合成關(guān)于力在坐標(biāo)軸上投影的性質(zhì)我們知道，力是F矢量，但是矢量F在坐標(biāo)軸上的投影不再是矢量而是代數(shù)量，并規(guī)定其投影的指向與坐標(biāo)軸的正向相同時(shí)為正值，反之為負(fù)。3.1平面匯交力系的簡(jiǎn)化與合成力的投影與力的大小及方向有關(guān)。通常采用力F與坐標(biāo)軸x所夾的銳角來(lái)計(jì)算投影，其正、負(fù)號(hào)可根據(jù)上述規(guī)定直觀判斷確定。由圖可知，投影Fx、Fy可用下式計(jì)算

Fx=Fcosα

Fy=F

sinα3.1平面匯交力系的簡(jiǎn)化與合成兩個(gè)特例：1.當(dāng)力與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，力在該軸上的投影為零；2.力與坐標(biāo)軸平行時(shí)，其投影的絕對(duì)值與該力的大小相等3.1平面匯交力系的簡(jiǎn)化與合成反過(guò)來(lái)，如果已知力F在x和y軸上的投影Fx和Fy，則由力與投影的幾何關(guān)系，可以唯一確定力F的大小和方向而力F所在的象限，由力F在x和y軸上的投影Fx和Fy的正負(fù)確定。3.1平面匯交力系的簡(jiǎn)化與合成在這里，要注意投影與分力的關(guān)系（1）投影與分力是兩個(gè)不同的概念，力的投影是標(biāo)量，只有大小和正負(fù)；而力的分力是矢量，有大小和方向。（2）在直角坐標(biāo)系中，分力的大小和力在對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸上投影的絕對(duì)值是相同的。3.1平面匯交力系的簡(jiǎn)化與合成2.合力投影定理設(shè)作用于剛體的平面匯交力系是F1、F2、F3、F4，作一個(gè)力多邊形abcde,求得封閉邊表示該力系的合力矢，其合力矢FR，如圖所示。3.1平面匯交力系的簡(jiǎn)化與合成取坐標(biāo)系Oxy，將所有的力都向x軸及y軸投影，可有：a1e1=a1b1+b1c1+c1d1+d1e1

a2e2=a2b2+b2c2+c2d2-d2e2

3.1平面匯交力系的簡(jiǎn)化與合成因此，有

FRx=Fx1+Fx2+Fx3+Fx4

FRy=Fy1+Fy2+Fy3+Fy4上式即為合力投影定理的表達(dá)式：即：合力在任一軸上的投影，等于它的各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。3.1平面匯交力系的簡(jiǎn)化與合成應(yīng)用合力投影定理求平面匯交力系合力的有關(guān)計(jì)算公式：式中

為合力FR與x軸所夾的銳角。合力的作用線通過(guò)力系的匯交點(diǎn)O。3.1平面匯交力系的簡(jiǎn)化與合成合力FR的方向，由FRx與FRy的正負(fù)號(hào)確定。當(dāng)FRx與FRy均為正時(shí),合力FR指向右上方,即合力為第一象限的力；當(dāng)FRx與FRy均為負(fù)時(shí)，F(xiàn)R指向左下方，即合力為第三象限的力；3.1平面匯交力系的簡(jiǎn)化與合成當(dāng)FRx為正而FRy為負(fù)時(shí)，F(xiàn)R指向右下方，即合力為第四象限的力；當(dāng)FRx為負(fù)而FRy為正時(shí)，F(xiàn)R指向左上方。3.1平面匯交力系的簡(jiǎn)化與合成用解析法求解平面匯交力系的合力，其計(jì)算步驟如下：(1)選定投影坐標(biāo)軸；(2)根據(jù)合力投影定理，分別求出合力在兩坐標(biāo)軸上的投影；(3)根據(jù)公式（3-5），求出合力的大小，以及合力與x軸的夾角，夾角一般表示為銳角。再根據(jù)合力在兩坐標(biāo)軸上的投影FRx與FRy的正負(fù)，確定合力在坐標(biāo)系內(nèi)的象限數(shù)。3.1平面匯交力系的簡(jiǎn)化與合成例3-1在剛體的A點(diǎn)作用有四個(gè)平面匯交力（圖a），其中F1=2kN，F(xiàn)2=3kN，F(xiàn)3=1kN，F(xiàn)4=2.5kN，方向如圖所示。用解析法求該力系的合成結(jié)果。3.1平面匯交力系的簡(jiǎn)化與合成解：（1）取坐標(biāo)系A(chǔ)xy，求合力在坐標(biāo)軸上的投影（列表）F1=2F2=3F3=1F4=2.5∑FiFix2cos30°–3cos60°–1cos45°2.5cos45°1.29kNFiy2sin30°3sin60°–1sin45°–2.5sin45°1.12kN3.1平面匯交力系的簡(jiǎn)化與合成(2)求合力FR的大小及合力FR與x軸的夾角由于FRx

>0；FRy

>0故合力FR指向右上方(第I象限)，作用線過(guò)匯交點(diǎn)A3.1平面匯交力系的簡(jiǎn)化與合成如圖合力FRFR=1.71kN

=41°3.2平面匯交力系的平衡一、平面匯交力系平衡的必要和充分條件根據(jù)上節(jié)結(jié)論，平面匯交力系可合成為一個(gè)合力FR，即合力FR與原力系等效。顯然，平面匯交力系平衡的必要和充分條件是該力系的合力等于零。即

FR=∑F=0（3-6）3.2平面匯交力系的平衡二、平面匯交力系平衡的幾何條件因?yàn)榱Χ噙呅蔚姆忾]邊代表平面匯交力系合力的大小和方向，如果力系平衡，其合力一定為零，則力多邊形的封閉邊的長(zhǎng)度應(yīng)當(dāng)為零。這時(shí)，力多邊形中第一個(gè)力F1的起點(diǎn)一定和最后一個(gè)力Fn(設(shè)力系由n個(gè)力組成)的終點(diǎn)相重合。當(dāng)為平衡力系時(shí)，任選各力的次序，按照首、尾相接的規(guī)則畫(huà)出的力多邊形必定是封閉而沒(méi)有缺口的。反之，如果平面匯交力系的力多邊封閉，則力系的合力必定為零。3.2平面匯交力系的平衡所以，平面匯交力系平衡的必要與充分的幾何條件是：力多邊形自行封閉。物體受到平面匯交力系的作用且處于平衡狀態(tài)時(shí)，可利用平面匯交力系平衡的幾何條件，通過(guò)作用在物體上的已知力，求出所需的兩個(gè)未知量。3.2平面匯交力系的平衡例3-2桿AC和桿BC鉸接于C，兩桿的另一端分別鉸支在墻上。在C點(diǎn)懸掛重物G=60kN，如圖a所示。如不計(jì)桿自重，試用幾何法求兩桿所受的力。3.2平面匯交力系的平衡解：（1）取節(jié)點(diǎn)C為研究對(duì)象，畫(huà)C點(diǎn)的受力圖，如圖b所示。根據(jù)幾何條件求解平面匯交力系的平衡問(wèn)題，畫(huà)受力圖時(shí)未知力可以只畫(huà)出作用線方位（而其方向待定）。3.2平面匯交力系的平衡顯然，C點(diǎn)受G、FAC、FBC作用而平衡，根據(jù)平面匯交力系平衡的幾何條件，此三力組成的三角形自行封閉。3.2平面匯交力系的平衡（2）選擇比例：1cm代表15kN；（3）選任意a點(diǎn)為起點(diǎn)，按比例進(jìn)行作圖。按首尾相連的作法，先畫(huà)出所有已知力的矢量，得到一個(gè)開(kāi)口的力多邊形（本例為一條直線），即有一個(gè)原始起點(diǎn)a和一個(gè)終點(diǎn)b；3.2平面匯交力系的平衡（4）從原始起點(diǎn)和終點(diǎn)各引一條未知力的平行線，得到一個(gè)交點(diǎn)，使力多邊形封閉。（此時(shí)未知力方向待定）3.2平面匯交力系的平衡（5）按力多邊形自行閉合條件，定出力FAC和FBC的指向，如圖

所示；（6）按所選比例量出：FAC

=30kN、FBC

=52kN。3.2平面匯交力系的平衡例3-3如圖a所示一水平梁AB，在梁中點(diǎn)C作用集中力FP=20kN，不計(jì)梁自重。試用幾何法求支座A和B的反力。3.2平面匯交力系的平衡解：（1）取梁AB為研究對(duì)象，畫(huà)受力圖，如圖b所示。梁在FA、FB、FP作用下保持平衡，根據(jù)三力平衡匯交原理，此三力必匯交于O點(diǎn)構(gòu)成一平面匯交力系。3.2平面匯交力系的平衡（2）按圖示比例,自任意點(diǎn)a畫(huà)出FP、FA、FB三力的封閉三角形，如圖C所示；（3）按力三角形封閉條件定出力FA、FB的指向（4）按比例量得：FA=18.5kN，F(xiàn)B=5.1k3.2平面匯交力系的平衡三、平面匯交力系平衡的解析條件從前面知道，平面匯交力系平衡的必要與充分條件是該力系的合力FR等于零。由于合力FR的解析式表達(dá)為3.2平面匯交力系的平衡所以，要使力系的合力FR等于零，應(yīng)使下式成立上式中FRx2和FRy2恒為正，因此，要使FR=0，必須同時(shí)滿足∑Fx=0∑Fy=0(3-7)3.2平面匯交力系的平衡

∑Fx=0∑Fy=0(3-7)反之，若（3-7）式成立，則力系的合力FR必為零。由此可知，平面匯交力系平衡的必要與充分條件的解析條件是：力系中所有各力在作用面內(nèi)兩個(gè)任選的坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和同時(shí)等于零。式（3-7）稱為平面匯交力系的平衡方程。3.2平面匯交力系的平衡應(yīng)用平面匯交力系平衡的解析條件可以求解兩個(gè)未知量。解題時(shí)，未知力的指向先假設(shè)，若計(jì)算結(jié)果為正值，則表示所設(shè)指向與力的實(shí)際指向相同；若計(jì)算結(jié)果為負(fù)值，則表示所設(shè)指向與力的實(shí)際指向相反。選坐標(biāo)系以投影方便為原則，計(jì)算時(shí)注意投影的正負(fù)和大小的計(jì)算。3.2平面匯交力系的平衡例3-4如圖所示，重物W=20kN，用鋼絲繩掛在支架的滑輪上，鋼絲繩的另一端纏繞在絞車(chē)D上。桿AB與BC鉸接，

A，C與墻的連接都是鉸鏈連結(jié)。兩桿和滑輪的自重不計(jì)，并忽略摩擦和滑輪的大小，試求平衡時(shí)桿AB與BC所受的力。3.2平面匯交力系的平衡解：（1）受力分析由于支架AB與BC桿為鉸接，A，C與墻的連接都是鉸鏈連結(jié)，所以AB與BC桿都是二力桿，根據(jù)桿件在支架中的位置，初步判定BC桿為受壓，而AB桿暫時(shí)設(shè)為受拉，如圖如圖b所示。3.2平面匯交力系的平衡（2）選取滑輪B為研究對(duì)象,滑輪受到鋼絲繩的拉力F1和F2（F1=

F2=

W）.此外桿AB和BC對(duì)滑輪鉸鏈有約束反力為FBA和FBC.由于滑輪的大小可忽略不計(jì),因此這些力可視為是匯交力系,如圖c所示.3.2平面匯交力系的平衡（3）列平衡方程并求解選取坐標(biāo)軸如圖所示。為盡量使每一個(gè)投影方程中只出現(xiàn)一個(gè)未知力，坐標(biāo)軸應(yīng)盡量取在與未知力作用線相垂直的方向。這樣在每一個(gè)平衡方程中只有一個(gè)未知力，不必解聯(lián)立方程。3.2平面匯交力系的平衡求解過(guò)程：3.2平面匯交力系的平衡所求結(jié)果，F(xiàn)BC為正值，表示這力的假設(shè)方向與實(shí)際方向相同，即桿BC受壓。FBA為負(fù)值，表示桿AB的實(shí)際受力方向（性質(zhì)）與假設(shè)方向與相反，即桿AB也受壓力。3.2平面匯交力系的平衡例3-5如圖a所示，某桁架的一個(gè)結(jié)點(diǎn)由四根角鋼鉚接在連接板上所構(gòu)成。已知桿A和桿B的受力分別為FA=8kN、FB=6kN，方向如圖a所示。試求桿C和桿D的受力FC和FD3.2平面匯交力系的平衡解：取連接