湖南省岳陽市2025屆高三年級(jí)質(zhì)量監(jiān)測(cè)(一)數(shù)學(xué)試題（一模）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁湖南省岳陽市2025屆高三年級(jí)質(zhì)量監(jiān)測(cè)(一)數(shù)學(xué)試題（一模）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={?3,?2,?1,0,1}，B={x|x2≤5}，則A∩B=A.{?2,?1,0} B.{?2,?1} C.{?2,?1,1} D.{?2,?1,0,1}2.若z1+i=12iA.12+12i B.123.若函數(shù)f(x)=k+eex?1為奇函數(shù)，則A.?e2 B.e2 C.?e4.已知角α頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，則它的終邊過點(diǎn)(3,4)，若將角α的終邊繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)π6得到角β，則sinβ=(

)A.33?410 B.335.將一個(gè)底面半徑為2，高為23的圓錐形石材打磨成一個(gè)球，則該球表面積的最大值為(

)A.16π3 B.32π3 C.326.甲乙兩人參加一項(xiàng)戶外挑戰(zhàn)賽，該挑戰(zhàn)賽設(shè)置了多道關(guān)卡，已知兩人是否通過某道關(guān)卡是相互獨(dú)立的，且兩人中至少有一人通過當(dāng)前關(guān)卡，才有資格同時(shí)進(jìn)入下一關(guān)挑戰(zhàn)，否則挑戰(zhàn)結(jié)束.已知在第一關(guān)中甲乙兩人通過的概率分別為35，310，若兩人有資格挑戰(zhàn)第二關(guān)，則在第一關(guān)中，甲通過的概率為(

)A.712 B.79 C.237.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F(xiàn)1(?1,0)，F(xiàn)2(1,0)A.1 B.2 C.4 D.88.已知函數(shù)f(x)=ex+2x+3，其導(dǎo)函數(shù)為y=f′(x)，當(dāng)x∈[12,3]時(shí)，不等式f′(x)<(a+A.(e,+∞) B.(e33,+∞) C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說法正確的有(

)A.(1?2x)6的展開式中，x3的系數(shù)是160

B.(1+2x)6的展開式中，各二項(xiàng)式系數(shù)和為26

C.從4名男生，3名女生中選2名學(xué)生參加志愿者服務(wù)，X表示參加志愿服務(wù)的男生人數(shù)，則E(X)=10.如下圖，直線y=1與函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(|φ|≤π2)的部分圖象交于A，B，C三點(diǎn)(點(diǎn)A在y軸上)，若|BC|=πA.φ=π6

B.ω=2

C.將函數(shù)f(x)的圖象向左平移π6個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)=2sin(2x+π611.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線與雙曲線C的左右兩支分別交于P，Q兩點(diǎn)，△PF1F2和△QF1F2的內(nèi)切圓半徑分別為r1，rA.|QF1|=|F1F2| B.雙曲線C三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(1,2)，b=(m,3).若(a?b)//(13.已知數(shù)列{an}滿足4n?1a14.已知函數(shù)f(x)=|ln(1?x)|,x<1(x?2)2+a,x?1,g(x)=1e(1?x)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知a，b，c分別為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且3asinC+acosC?b=c，點(diǎn)D為(1)求A;(2)求△ABC的面積．16.(本小題15分)已知拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)F在直線2x+3y?2=0上，A，B(1)求拋物線C的方程;(2)設(shè)直線OA，OB的斜率為kOA，kOB，若kOA?17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，PA=PD，底面ABCD為平行四邊形，BC=23，CD=6，E為邊BC的中點(diǎn)，∠BCD=(1)求證：PA⊥DE;(2)已知二面角P?BC?D的平面角等于π3，則在線段AB上是否存在點(diǎn)M，使得M到平面PBC的距離為34，若存在，指出點(diǎn)M的位置;18.(本小題17分)已知函數(shù)f(x)=ex?6kx+1，(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)令?(x)=f′(x)?g′(x)，當(dāng)k=1時(shí)，求?(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù);(3)令φ(x)=f(x)?g(x)，當(dāng)φ(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求k的取值范圍．19.(本小題17分)“m?外觀數(shù)列”(設(shè)m各位上的數(shù)字均不為0)是指以下特點(diǎn)的整數(shù)序列：它以正整數(shù)m開始，逐項(xiàng)地描述前一項(xiàng)的外觀，將描述結(jié)果作為下一項(xiàng)．比如11?外觀數(shù)列為：第一項(xiàng)：11，第二項(xiàng)：21(描述第一項(xiàng)為2個(gè)1)，第三項(xiàng)：1211(描述第二項(xiàng)為1個(gè)2，1個(gè)1)，第四項(xiàng)：111221(描述第三項(xiàng)為1個(gè)1，1個(gè)2，2個(gè)1)，第五項(xiàng)：312211(描述第四項(xiàng)3個(gè)1，2個(gè)2，1個(gè)1)．(1)求“31?外觀數(shù)列”的第三項(xiàng)和第五項(xiàng);(2)若從“m?外觀數(shù)列”(1≤m≤999)中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)列，求該數(shù)列第二項(xiàng)小于第一項(xiàng)的概率;(3)證明：當(dāng)m是六位數(shù)時(shí)，“m?外觀數(shù)列”從首項(xiàng)開始最多連續(xù)4項(xiàng)單調(diào)遞減．

參考答案1.D

2.C

3.B

4.C

5.A

6.D

7.C

8.B

9.BCD

10.AD

11.BCD

12.3213.4?3n

14.(?∞,?1)∪{1?4e15.

解：(1)3asinC+acosC?b=c，利用正弦定理可得3sinAsinC+sinAcosC?sinB=sinC，

又sinB=sin(A+C)，則2sin(A?π6)=1，

又?π6<A?π6<5π6即A?π616.解：(1)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)在x軸上，為(p2,0)，

直線2x+3y?2=0與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，

則p2=1，即p=2，

所以拋物線為y2=4x；

(2)由題意可知AB所在直線斜率不為0，

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

AB所在直線方程為x=my+n，聯(lián)立y2=4x，

化簡(jiǎn)可得：y2?4my?4n=0，則17.(1)證明：BC=23，E為邊BC的中點(diǎn)，EC=3，

又在△DCE中，CD=6，∠BCD=π4，

由余弦定理可得ED=3，即∠DEC=90°，則BC⊥DE，

又ABCD為平行四邊形，所以AD/?/BC，則DE⊥AD，

又平面PAD⊥底面ABCD，

所以DE⊥平面PAD，

所以DE⊥PA．

(2)解：取AD的中點(diǎn)O，又PA=PD

所以PO⊥AD，

又平面PAD⊥底面ABCD

所以PO⊥底面ABCD

又DE/?/BO，所以BO⊥OA，

所以O(shè)P，OA，OB兩兩垂直．

如圖，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A，OB，OP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系：

O(0,0,0)，A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(?23,3,0)，

設(shè)OP=m，則P(0,0,m)，BP=(0,?3,m)，BC=(?23,0,0)，

設(shè)平面PBC的法向量為n=(x1,y1,z1)

則n?BP18.

(1)?f(x)的定義域?yàn)镽，f′(x)=ex?6k，

當(dāng)k≤0時(shí)，f′(x)>0，f(x)在R上單調(diào)遞增，

當(dāng)k>0時(shí)，由f′(x)<0，得x∈(?∞,ln(6k))，

由f′(x)>0，得x∈(ln(6k),+∞)，

綜上，當(dāng)k≤0時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞增;當(dāng)k>0時(shí)，f(x)在(?∞,ln(6k))上單調(diào)遞減，在(ln(6k),+∞)上單調(diào)遞增．

(2)?(x)=f′(x)?g′(x)=ex?6k?3kx2，?′(x)=ex?6kx，設(shè)?′(x)的導(dǎo)數(shù)為?′′(x)，則?′′(x)=ex?6k，

當(dāng)k=1時(shí)，?′′(x)=ex?6，x∈(?∞,ln6)時(shí)?′(x)單調(diào)遞減，x∈(ln6,+∞)時(shí)，?′(x)單調(diào)遞增，?′(x)min=?′(ln6)=6?6ln6<0，

又?′(0)=1>0;x→+∞時(shí)，?′(x)→+∞，

所以?′(x)分別在(?∞,ln6)和(ln6,+∞)上存在唯一的變號(hào)零點(diǎn)，即?(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)．

(3)φ(x)=f(x)?g(x)=ex?6kx?kx3?1，φ′(x)=ex?6k?3kx2=ex(1?6k+3kx2ex)

又φ(0)=0，x=0為一個(gè)零點(diǎn)，

?①若k≤0，則φ′(x)>0，φ(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，又φ(0)=0，所以φ(x)只有一個(gè)零點(diǎn)；

?②若k>0，φ′(x)=ex?6k?3kx2=ex(1?6k+3kx2ex)，

令?(x)=1?6k+3kx2ex，?′(x)=6kx?6k?3kx2?ex=3k(x2?2x+2)ex，

又x2?2x+2>0，則?′(x)>0，即?(x)單調(diào)遞增，?(0)=1?6k；

i.當(dāng)k=16時(shí)，即19.【解答】解：(1)第三項(xiàng)為111321，第五項(xiàng)為132113111221；

(2)?①m為一位數(shù)時(shí)，第2項(xiàng)為兩位數(shù)，不符合；

?②m為兩位數(shù)時(shí)，即m為aa時(shí)，第二項(xiàng)為2a，當(dāng)a大于2時(shí)第二項(xiàng)小于第一項(xiàng)，此時(shí)有7個(gè)符合。當(dāng)m由兩種不同的數(shù)字構(gòu)成時(shí)，第二項(xiàng)為四位數(shù)，不符合；

?③m為三位數(shù)時(shí)，即m為aaa時(shí)，第二項(xiàng)為3a，第二項(xiàng)小于第一項(xiàng)，此時(shí)有9個(gè)符合。當(dāng)m由兩種或三種數(shù)字構(gòu)成時(shí)，第二項(xiàng)為四位數(shù)或六位數(shù)，不符合．

綜上，總共有16個(gè)數(shù)列符合，在所有數(shù)列中含0的數(shù)有9+9+162=180個(gè)，故總數(shù)為999?180=819個(gè)，故第二項(xiàng)小于第一項(xiàng)的概率為16819．

(3)證明：定義一個(gè)數(shù)列中連續(xù)相同若干個(gè)數(shù)字為一個(gè)數(shù)字串，數(shù)列中第i項(xiàng)為ai．

?①若m只有一個(gè)數(shù)字串，即m=a1=aaaaaa，則a2=6a。若a≠6，則a3為4位數(shù)，a3>a2;若a=6，則a3=26，a4=1216>a3，兩種都不存在連續(xù)4項(xiàng)單調(diào)遞減．

?②若m只有兩個(gè)數(shù)字串，即m=a1=a?ap個(gè)b?bq個(gè)(p+q=6,a≠b)，則a2=paqb;

若p≠a，則a2至少三個(gè)數(shù)字串，a3至少是6位數(shù)，a3>a2，不存在連續(xù)4項(xiàng)單調(diào)遞減;

若p=a，此時(shí)a2=aaqb，同理q=a或q=b，否則a3>a2;

若q=b，則a+b=6，a2=aabb;當(dāng)a=2，b=4時(shí)，a3=2224，a4=3214>a3;

當(dāng)a=4，b=2時(shí)，a3=2422，a4=