【初中數(shù)學(xué)】專項03-一元一次方程的應(yīng)用（一）-重難點題型

一元一次方程的應(yīng)用（一）-重難點題型【知識點1一元一次方程的應(yīng)用】列一元一次方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找到符合題意的相等關(guān)系．常見的相等關(guān)系有以下幾種：1．部分量之和＝總量．2．表示同一個量的兩個不同的式子．3．找出題目中表示相等關(guān)系的關(guān)鍵詞，如“相等”，“等于”，“比”，“是”，“占”等等，從而列出相等關(guān)系．【題型1和、差、倍、分問題】【例1】（新華區(qū)模擬）長江比黃河長836km，黃河長度的6倍比長江長度的5倍多1284km，設(shè)長江長度為xkm，則下列方程中正確的是（）A．5x﹣6（x﹣836）＝1284 B．6x﹣5（x+836）＝1284 C．6（x+836）﹣5x＝1284 D．6（x﹣836）﹣5x＝1284【變式1-1】（銅梁區(qū)校級期末）小明今年6歲，他的爸爸今年34歲，x年后爸爸的年齡是小明的年齡的3倍，根據(jù)題意，列出方程為（）A．3（6+x）＝34 B．3（6+x）＝34+x C．3×6＝34+x D．6+x＝3（34+x）【變式1-2】（內(nèi)鄉(xiāng)縣一模）（增刪算法統(tǒng)宗）記載：“有個學(xué)生資性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，問君每日讀多少？“其大意是：有個學(xué)生天資聰慧，三天讀完一部《孟子》，每天閱讀的字數(shù)是前一天的兩倍．問他每天各讀多少個字？已知《孟子）一書共有34685個字，設(shè)他第二天讀x個字，則下面所列方程正確的是（）A．x+2x+4x＝34685 B．x+2x+3x＝34685 C．12x+x+2x＝34685 D．x+12x【變式1-3】（昌圖縣期末）甲、乙兩個旅行團同時去某地旅游，已知乙團人數(shù)比甲團人數(shù)多4人，兩團人數(shù)之和是兩團人數(shù)之差的16倍．（1）問甲、乙兩個旅行團的人數(shù)各是多少？（2）若某景點成人票價為每張80元，兒童票價為每張40元，并且乙團中兒童人數(shù)恰好比甲團中兒童人數(shù)的2倍少2人，兩旅行團在此景點所花門票費用相同．求甲、乙兩團中兒童人數(shù)各是多少？【知識點2等積變形問題】“等積變形”是以形狀改變而體積不變?yōu)榍疤?，常用的關(guān)系有：（1）形狀變而體積不變；（2）原材料體積＝成品體積．【題型2等積變形問題】【例2】（孟津縣期中）如圖，A、B兩個長方體水箱放置在同一水平桌面上，開始時水箱A中沒有水，水箱B盛滿水，現(xiàn)以6dm3/min的流量從水箱B中抽水注入水箱A中，當水箱A與水箱B中的水的體積相等時，兩水箱中水位的高度差（抽水水管的體積忽略不計）．【變式2-1】（射陽縣期末）如圖是邊長為60cm的正方形紙板，裁掉陰影部分后將其折疊成如圖2所示的長方體盒子，已知該長方體的寬是高的2倍，則它的體積是（）A．6000cm3 B．8000cm3 C．10000cm3 D．12000cm3【變式2-2】（定遠縣月考）如圖，在水平桌面上有甲、乙兩個內(nèi)部呈圓柱形的容器，內(nèi)部底面積分別為80cm2、100cm2，且甲容器裝滿水，乙容器是空的．若將甲中的水全部倒入乙中，則乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8cm，則甲的容積是（）A．1280cm3 B．2560cm3 C．3200cm3 D．4000cm3【變式2-3】（歷城區(qū)期末）有一塊棱長為0.6m的正方體鋼坯，想將它鍛成橫截面是0.008m2的長方體鋼材，則鍛成的鋼材高為m．【知識點3數(shù)字問題】1．抓住問題中數(shù)的變化規(guī)律，列一元一次方程解決數(shù)的規(guī)律問題．2．數(shù)位上的數(shù)改變后形成新的十進制數(shù)，在表示新數(shù)時，要注意進率的變化．【題型3數(shù)字問題】【例3】（榮昌區(qū)校級開學(xué)）一個五位數(shù)，個位數(shù)為5，這個五位數(shù)加上6120后所得的新的五位數(shù)的萬位、千位、百位、十位、個位的數(shù)恰巧分別為原來五位數(shù)的個位、萬位、千位、百位、十位上的數(shù)，則原來的五位數(shù)為（）A．48755 B．47585 C．37645 D．36475【變式3-1】（長興縣模擬）“格子乘法”作為兩個數(shù)相乘的一種計算方法，最早在15世紀由意大利數(shù)學(xué)家帕喬利提出，在明代的《算法統(tǒng)宗》一書中被稱為“鋪地錦”．如圖1，計算47×51，將乘數(shù)47計入上行，乘數(shù)51計入右行，然后以乘數(shù)47的每位數(shù)字乘以乘數(shù)51的每位數(shù)字，將結(jié)果計入相應(yīng)的格子中，最后按斜行加起來，得2397．如圖2，用“格子乘法”表示兩個兩位數(shù)相乘，則a的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【變式3-2】（沙坪壩區(qū)校級期末）一個兩位數(shù)，個位數(shù)比十位數(shù)字大4，而且這個兩位數(shù)比它的數(shù)字之和的3倍大2，則這個兩位數(shù)是．【變式3-3】（柘城縣期末）一個兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字之和是7，如果這個兩位數(shù)加上45，則恰好成為個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)之后組成的兩位數(shù)．求這個兩位數(shù)．【知識點4行程問題】1．行程問題有相遇問題，追及問題，順流（風(fēng)）、逆流（風(fēng)）問題，上坡、下坡問題等．在運動形式上分直線運動及曲線運動．2．相遇問題是相向而行，相遇時的總路程＝兩運動物體的路程和．3．追及問題是同向而行，分慢的在快的前面或慢的先行若干時間，快的再追．4．順流（風(fēng)）、逆流（風(fēng)）和上坡、下坡問題應(yīng)注意運動方向和速度不同．【題型4相遇問題】【例4】（北碚區(qū)校級期末）甲乙兩人分別從相隔56km的A、B兩地同時出發(fā)，甲騎自行車的速度為每小時20千米，乙步行的速度為每小時8千米．（1）甲、乙分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，求經(jīng)過幾小時兩人相遇？（2）甲、乙兩人從A地出發(fā)，同向而行，當甲到達B地時立刻掉頭返回A地，求經(jīng)過幾小時兩人相遇？【變式4-1】（萬州區(qū)校級月考）甲乙兩車分別從A、B兩地同時相向勻速行駛，甲車每小時比乙車快20千米，行駛3小時兩車相遇，乙車到達A地后未作停留，繼續(xù)保持原速向遠離B地的方向行駛，而甲車在相遇后又行駛了2小時到達B地后休整了1小時，然后調(diào)頭并保持原速與乙車同向行駛，經(jīng)過一段時間后兩車同時到達C地，則A，C兩地相距千米．【變式4-2】（普陀區(qū)期中）已知環(huán)形跑道一圈長為400米，小麗與小杰的速度之比為3：4，如果小麗和小杰在跑道上相距8米處同時反向出發(fā)，經(jīng)過28秒后兩人首次相遇，求兩人的速度各是多少？【變式4-3】（姜堰區(qū)月考）已知數(shù)軸上有A，B兩點，分別代表﹣40，20，兩只電子螞蟻甲，乙分別從A，B兩點同時出發(fā)，甲沿線段AB以1個單位長度/秒的速度向右運動，甲到達點B處時運動停止，乙沿BA方向以4個單位長度/秒的速度向左運動．（1）A，B兩點間的距離為個單位長度；乙到達A點時共運動了秒．（2）甲，乙在數(shù)軸上的哪個點相遇？（3）多少秒時，甲、乙相距10個單位長度？（4）若乙到達A點后立刻掉頭并保持速度不變，則甲到達B點前，甲，乙還能在數(shù)軸上相遇嗎？若能，求出相遇點所對應(yīng)的數(shù)；若不能，請說明理由．【題型5追及問題】【例5】（新邵縣期末）列方程解應(yīng)用題：如圖，現(xiàn)有AB、BC兩段鄉(xiāng)村公路，AB長為1200米，BC長為2000米，一個人騎摩托車從A處以20m/s的速度勻速沿公路AB、BC向C處行駛；另一人騎自行車從B處以5m/s的速度從B向C處行駛，并且兩人同時出發(fā)．（1）求經(jīng)過多少秒摩托車追上自行車？（2）求兩人均在行駛途中時，經(jīng)過多少秒兩人在行進路線上相距150米？【變式5-1】（雨花區(qū)校級模擬）古代名著《算學(xué)啟蒙》中有一題：良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里．駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之？意思是：跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每天走150里．慢馬先走12天，快馬幾天可追上慢馬？若設(shè)快馬x天可追上慢馬，則由題意，可列方程為（）A．240x＝150x+12×150 B．240x＝150x﹣12×150 C．240（x﹣12）＝150x+150 D．240x+150x＝12×15【變式5-2】（延慶區(qū)期末）列方程解應(yīng)用題：晚飯后，小明的爸爸像往常一樣去散步．半小時后，媽媽發(fā)現(xiàn)爸爸沒有帶手機，就讓小明騎自行車去給爸爸送手機．如果爸爸的速度是4千米/時，小明騎自行車的速度是12千米/時，小明用多少時間可以追上爸爸？（要求：先寫出審題過程，再設(shè)未知數(shù)列方程）【變式5-3】（清澗縣期末）一天早晨，小華和爸爸在1000米的環(huán)形跑道上跑步，他們8點整時在同一地點沿著同一方向同時出發(fā)，小華跑了半圈時，看到爸爸剛好跑完一圈，8點零8分時爸爸第一次追上小華．（1）求小華和爸爸的跑步速度；（2）爸爸第一次追上小華后，在第二次相遇前，再經(jīng)過多少分，小華和爸爸相距150米？【題型6流水問題與上下坡問題】【例6】（越秀區(qū)校級期中）兩船從同一港口同時出發(fā)反向而行，甲船順水，乙船逆水，兩船在靜水中的速度都是30千米/時，水流速度是a千米/時（1）甲船順水的速度是千米/時；乙船逆水的速度是千米/時；（2）3小時后兩船相距多遠？（3）若a＝10，3小時后甲船能比乙船多航行70千米嗎？請說明理由．【變式6-1】（隨縣期末）汽車上坡時每小時走28km，下坡時每小時走35km，去時，下坡路的路程比上坡路的路程的2倍還少14km，原路返回比去時多用了12分鐘．求去時上、下坡路程各多少千米？【變式6-2】（萬州區(qū)校級月考）漁夫在靜水劃船總是每小時5里，現(xiàn)在逆水行舟，水流速度是每小時3里；一陣風(fēng)把他帽子吹落在水中，假如他沒有發(fā)現(xiàn)，繼續(xù)向前劃行；等他發(fā)覺時人與帽子相距2.5里；于是他立即原地調(diào)頭追趕帽子，原地調(diào)轉(zhuǎn)船頭用了10分鐘．（1）求順水速度，逆水速度是多少？（2）從帽子丟失到發(fā)覺經(jīng)過了多少時間？（3）從發(fā)覺帽子丟失到撿回帽子經(jīng)過了多少時間？【變式6-3】（海珠區(qū)期末）如圖，A、B兩地相距90千米，從A到B的地形依次為：60千米平直公路，10千米上坡公路，20千米平直公路．甲從A地開汽車以120千米/小時的速度前往B地，乙從B地騎摩托車以60千米/小時的速度前往A地，汽車上坡的速度為100千米/小時，摩托車下坡的速度為80千米/小時，甲、乙兩人同時出發(fā)．（1）求甲從A到B地所需要的時間．（2）求兩人出發(fā)后經(jīng)過多少時間相遇？（3）求甲從A地前往B地的過程中，甲、乙經(jīng)過多少時間相距10千米？

一元一次方程的應(yīng)用（一）-重難點題型（解析版）【知識點1一元一次方程的應(yīng)用】列一元一次方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找到符合題意的相等關(guān)系．常見的相等關(guān)系有以下幾種：1．部分量之和＝總量．2．表示同一個量的兩個不同的式子．3．找出題目中表示相等關(guān)系的關(guān)鍵詞，如“相等”，“等于”，“比”，“是”，“占”等等，從而列出相等關(guān)系．【題型1和、差、倍、分問題】【例1】（新華區(qū)模擬）長江比黃河長836km，黃河長度的6倍比長江長度的5倍多1284km，設(shè)長江長度為xkm，則下列方程中正確的是（）A．5x﹣6（x﹣836）＝1284 B．6x﹣5（x+836）＝1284 C．6（x+836）﹣5x＝1284 D．6（x﹣836）﹣5x＝1284【解題思路】根據(jù)長江比黃河長836km，設(shè)長江長度為xkm，即可得到黃河的長度為（x﹣834）km，再根據(jù)黃河長度的6倍比長江長度的5倍多1284km，可以列出相應(yīng)的方程，從而可以解答本題．【解答過程】解：由題意可得，6（x﹣836）﹣5x＝1284，故選：D．【變式1-1】（銅梁區(qū)校級期末）小明今年6歲，他的爸爸今年34歲，x年后爸爸的年齡是小明的年齡的3倍，根據(jù)題意，列出方程為（）A．3（6+x）＝34 B．3（6+x）＝34+x C．3×6＝34+x D．6+x＝3（34+x）【解題思路】根據(jù)x年后爸爸的年齡是小明的年齡的3倍，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．【解答過程】解：依題意得：34+x＝3（6+x）．故選：B．【變式1-2】（內(nèi)鄉(xiāng)縣一模）（增刪算法統(tǒng)宗）記載：“有個學(xué)生資性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，問君每日讀多少？“其大意是：有個學(xué)生天資聰慧，三天讀完一部《孟子》，每天閱讀的字數(shù)是前一天的兩倍．問他每天各讀多少個字？已知《孟子）一書共有34685個字，設(shè)他第二天讀x個字，則下面所列方程正確的是（）A．x+2x+4x＝34685 B．x+2x+3x＝34685 C．12x+x+2x＝34685 D．x+12x【解題思路】設(shè)他第二天讀x個字，根據(jù)題意可得第一天讀了12x個字，第三天讀了2x【解答過程】解：他第二天讀x個字，根據(jù)題意可得：12x+x+2x故選：C．【變式1-3】（昌圖縣期末）甲、乙兩個旅行團同時去某地旅游，已知乙團人數(shù)比甲團人數(shù)多4人，兩團人數(shù)之和是兩團人數(shù)之差的16倍．（1）問甲、乙兩個旅行團的人數(shù)各是多少？（2）若某景點成人票價為每張80元，兒童票價為每張40元，并且乙團中兒童人數(shù)恰好比甲團中兒童人數(shù)的2倍少2人，兩旅行團在此景點所花門票費用相同．求甲、乙兩團中兒童人數(shù)各是多少？【解題思路】（1）設(shè)甲旅行團的人數(shù)為x人，那么乙旅行團的人為（x+4）人，由于兩團人數(shù)之和是兩團人數(shù)之差的16倍，即：兩數(shù)之和為：4×16＝64，以兩數(shù)之和為等量關(guān)系列出方程求解；（2）設(shè)甲團兒童人數(shù)為y人，則可知乙團兒童人數(shù)為（2y﹣2）人，根據(jù)等量關(guān)系：甲乙所花門票相等可以列出方程，求解即可．【解答過程】解：（1）設(shè)甲旅行團的人數(shù)為x人，那么乙旅行團的人數(shù)為（x+4）人．根據(jù)題意，得x+x+4＝4×16，解這個方程，得x＝30，x+4＝34．答：甲、乙兩個旅行團的人數(shù)分別是30人，34人；（2）設(shè)甲團兒童人數(shù)為y人，則可知乙團兒童人數(shù)為（2y﹣2）人，所以甲團成人有（30﹣y）人，乙團成人有[34﹣（2y﹣2）]人．根據(jù)題意，得40y+80（30﹣y）＝40（2y﹣2）+80[34﹣（2y﹣2）]，解這個方程，得y＝10，則2y﹣2＝2×10﹣2＝18．答：甲、乙兩團兒童人數(shù)分別是10人和18人．【知識點2等積變形問題】“等積變形”是以形狀改變而體積不變?yōu)榍疤?，常用的關(guān)系有：（1）形狀變而體積不變；（2）原材料體積＝成品體積．【題型2等積變形問題】【例2】（孟津縣期中）如圖，A、B兩個長方體水箱放置在同一水平桌面上，開始時水箱A中沒有水，水箱B盛滿水，現(xiàn)以6dm3/min的流量從水箱B中抽水注入水箱A中，當水箱A與水箱B中的水的體積相等時，兩水箱中水位的高度差（抽水水管的體積忽略不計）2dm．【解題思路】設(shè)水箱A中的水位高度為xdm，由水箱A與水箱B中的水的體積相等，列出方程可求解．【解答過程】解：設(shè)水箱A中的水位高度為xdm，由題意可得：2×3×x=1∴x＝5，∴兩水箱中水位的高度差＝5﹣3＝2（dm），故答案為：2dm．【變式2-1】（射陽縣期末）如圖是邊長為60cm的正方形紙板，裁掉陰影部分后將其折疊成如圖2所示的長方體盒子，已知該長方體的寬是高的2倍，則它的體積是（）A．6000cm3 B．8000cm3 C．10000cm3 D．12000cm3【解題思路】將長方體的高設(shè)為xcm，則寬可表示為2xcm，由長方體展開圖為正方形，可得出邊的關(guān)系列方程求得x，進一步求出長方體的長寬，即可求得體積．【解答過程】解：設(shè)長方體的高為xcm，則寬為2xcm，根據(jù)題意得：x+2x+x+2x＝60，解得x＝10，所以，長方體盒子的寬為20cm，長為60﹣20＝40cm．體積：40×10×20＝8000（cm3）．故選：B．【變式2-2】（定遠縣月考）如圖，在水平桌面上有甲、乙兩個內(nèi)部呈圓柱形的容器，內(nèi)部底面積分別為80cm2、100cm2，且甲容器裝滿水，乙容器是空的．若將甲中的水全部倒入乙中，則乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8cm，則甲的容積是（）A．1280cm3 B．2560cm3 C．3200cm3 D．4000cm3【解題思路】設(shè)甲的容積為x，得出甲的高度為x80cm，乙的高度為x100cm，根據(jù)甲中的水全部倒入乙中，則乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8【解答過程】解：設(shè)甲的容積為x，根據(jù)題意得：x80解得：x＝3200，答：甲的容積為3200cm3．故選：C．【變式2-3】（歷城區(qū)期末）有一塊棱長為0.6m的正方體鋼坯，想將它鍛成橫截面是0.008m2的長方體鋼材，則鍛成的鋼材高為27m．【解題思路】有一塊棱長為0.6m的正方體鋼坯，想將它鍛成橫截面是0.008m2的長方體鋼材，則鍛成的鋼材高為【解答過程】解：設(shè)鍛成的長方體鋼材高為xm，根據(jù)題意，得：0.008x＝0.63，解得x＝27，即鍛成的長方體鋼材高為27m，故答案為：27．【知識點3數(shù)字問題】1．抓住問題中數(shù)的變化規(guī)律，列一元一次方程解決數(shù)的規(guī)律問題．2．數(shù)位上的數(shù)改變后形成新的十進制數(shù)，在表示新數(shù)時，要注意進率的變化．【題型3數(shù)字問題】【例3】（榮昌區(qū)校級開學(xué)）一個五位數(shù)，個位數(shù)為5，這個五位數(shù)加上6120后所得的新的五位數(shù)的萬位、千位、百位、十位、個位的數(shù)恰巧分別為原來五位數(shù)的個位、萬位、千位、百位、十位上的數(shù)，則原來的五位數(shù)為（）A．48755 B．47585 C．37645 D．36475【解題思路】設(shè)這個數(shù)的萬位、千位、百位、十位分別為a、b、c、d．都小于等于9．那么這個數(shù)可寫為abcd5，根據(jù)題意列出方程并解答．【解答過程】解：設(shè)這個數(shù)的萬位、千位、百位、十位分別為a、b、c、d．都小于等于9．那么這個數(shù)可寫為10000a+1000b+100c+10d+5+6120＝50000+1000a+100b+10c+d．∴1000a+100b+10c+d＝4875，∴a＝4，b＝8，c＝7，d＝5，∴這個數(shù)為4875．故選：A．【變式3-1】（長興縣模擬）“格子乘法”作為兩個數(shù)相乘的一種計算方法，最早在15世紀由意大利數(shù)學(xué)家帕喬利提出，在明代的《算法統(tǒng)宗》一書中被稱為“鋪地錦”．如圖1，計算47×51，將乘數(shù)47計入上行，乘數(shù)51計入右行，然后以乘數(shù)47的每位數(shù)字乘以乘數(shù)51的每位數(shù)字，將結(jié)果計入相應(yīng)的格子中，最后按斜行加起來，得2397．如圖2，用“格子乘法”表示兩個兩位數(shù)相乘，則a的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】根據(jù)題意可得方程10（a﹣2）+（﹣a+8）＝3a，解方程即可求解．【解答過程】解：由題意可得，如圖，則有10（a﹣2）+（﹣a+8）＝3a，解得：a＝2．故選：A．【變式3-2】（沙坪壩區(qū)校級期末）一個兩位數(shù)，個位數(shù)比十位數(shù)字大4，而且這個兩位數(shù)比它的數(shù)字之和的3倍大2，則這個兩位數(shù)是26．【解題思路】設(shè)十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為x+4，根據(jù)數(shù)字問題的數(shù)量關(guān)系建立方程組求出其解即可．【解答過程】解：設(shè)十位數(shù)為x，個位數(shù)字為x+4，根據(jù)題意得：10x+x+4＝3（x+x+4）+2，解得：x＝2，則這個兩位數(shù)是26；故答案為：26．【變式3-3】（柘城縣期末）一個兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字之和是7，如果這個兩位數(shù)加上45，則恰好成為個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)之后組成的兩位數(shù)．求這個兩位數(shù)．【解題思路】先設(shè)這個兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字分別為x，7﹣x，根據(jù)題意列出方程，求出這個兩位數(shù)．【解答過程】解：設(shè)這個兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，則個位數(shù)字為7﹣x，由題意列方程得，10x+7﹣x+45＝10（7﹣x）+x，解得x＝1，∴7﹣x＝7﹣1＝6，∴這個兩位數(shù)為16．【知識點4行程問題】1．行程問題有相遇問題，追及問題，順流（風(fēng)）、逆流（風(fēng)）問題，上坡、下坡問題等．在運動形式上分直線運動及曲線運動．2．相遇問題是相向而行，相遇時的總路程＝兩運動物體的路程和．3．追及問題是同向而行，分慢的在快的前面或慢的先行若干時間，快的再追．4．順流（風(fēng)）、逆流（風(fēng)）和上坡、下坡問題應(yīng)注意運動方向和速度不同．【題型4相遇問題】【例4】（北碚區(qū)校級期末）甲乙兩人分別從相隔56km的A、B兩地同時出發(fā)，甲騎自行車的速度為每小時20千米，乙步行的速度為每小時8千米．（1）甲、乙分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，求經(jīng)過幾小時兩人相遇？（2）甲、乙兩人從A地出發(fā)，同向而行，當甲到達B地時立刻掉頭返回A地，求經(jīng)過幾小時兩人相遇？【解題思路】（1）兩人同時相向而行時，相遇總路程等于兩人的路程和，即可求解；（2）設(shè)經(jīng)過y小時兩人相遇，兩人的路程和等于總路程的二倍，即可求解．【解答過程】解：（1）；設(shè)經(jīng)過x小時兩人相遇，由題意得20x+8x＝56，解得x＝2，答：經(jīng)過2小時兩人相遇（2）設(shè)經(jīng)過y小時兩人相遇，由題意得20y+8y＝56×2，解得y＝4，答：經(jīng)過4小時兩人相遇．【變式4-1】（萬州區(qū)校級月考）甲乙兩車分別從A、B兩地同時相向勻速行駛，甲車每小時比乙車快20千米，行駛3小時兩車相遇，乙車到達A地后未作停留，繼續(xù)保持原速向遠離B地的方向行駛，而甲車在相遇后又行駛了2小時到達B地后休整了1小時，然后調(diào)頭并保持原速與乙車同向行駛，經(jīng)過一段時間后兩車同時到達C地，則A，C兩地相距420千米．【解題思路】設(shè)乙車每小時行駛x千米，則甲車每小時行駛（x+20）千米，由題意得3x＝2（x+20），解得x＝40，則x+20＝60，求出A，B兩地的距離為300千米，設(shè)兩車相遇后經(jīng)過y小時到達C地，由題意得60（y﹣3）＝40（y+3），解得y＝15，求出B，C兩地的距離為720千米，即可得出答案．【解答過程】解：設(shè)乙車每小時行駛x千米，則甲車每小時行駛（x+20）千米，由題意得：3x＝2（x+20），解得：x＝40，則x+20＝60，即乙車每小時行駛40千米，則甲車每小時行駛60千米，∴A，B兩地的距離為：3×60+3×40＝300（千米），設(shè)兩車相遇后經(jīng)過y小時到達C地，由題意得：60（y﹣3）＝40（y+3），解得：y＝15，∴B，C兩地的距離為：60（15﹣3）＝720（千米），∴A，C兩地的距離為：720﹣300＝420（千米），故答案為420．【變式4-2】（普陀區(qū)期中）已知環(huán)形跑道一圈長為400米，小麗與小杰的速度之比為3：4，如果小麗和小杰在跑道上相距8米處同時反向出發(fā)，經(jīng)過28秒后兩人首次相遇，求兩人的速度各是多少？【解題思路】設(shè)小麗的速度為3x米/秒，則小杰的速度為4x米/秒，利用路程＝速度×?xí)r間，結(jié)合經(jīng)過28秒后兩人首次相遇，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再將其代入3x和4x中即可求出結(jié)論．【解答過程】解：設(shè)小麗的速度為3x米/秒，則小杰的速度為4x米/秒，依題意得：（3x+4x）×28+8＝400，解得：x＝2，∴3x＝6（米/秒），4x＝8（米/秒）．答：小麗的速度為6米/秒，小杰的速度為8米/秒．【變式4-3】（姜堰區(qū)月考）已知數(shù)軸上有A，B兩點，分別代表﹣40，20，兩只電子螞蟻甲，乙分別從A，B兩點同時出發(fā)，甲沿線段AB以1個單位長度/秒的速度向右運動，甲到達點B處時運動停止，乙沿BA方向以4個單位長度/秒的速度向左運動．（1）A，B兩點間的距離為60個單位長度；乙到達A點時共運動了15秒．（2）甲，乙在數(shù)軸上的哪個點相遇？（3）多少秒時，甲、乙相距10個單位長度？（4）若乙到達A點后立刻掉頭并保持速度不變，則甲到達B點前，甲，乙還能在數(shù)軸上相遇嗎？若能，求出相遇點所對應(yīng)的數(shù)；若不能，請說明理由．【解題思路】（1）根據(jù)A，B兩點之間的距離AB＝|﹣40﹣20|，根據(jù)題意即可求解；（2）根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；（4）設(shè)甲到達B點前，甲，乙經(jīng)過a秒在數(shù)軸上相遇，根據(jù)題意得方程解方程即可．【解答過程】解：（1）A、B兩點的距離為AB＝|﹣40﹣20|＝60，乙到達A點時共運動了60÷4＝15秒；故答案為：60，15；（2）設(shè)甲，乙經(jīng)過x秒會相遇，根據(jù)題意得x+4x＝60，解得x＝12，﹣40+x＝﹣28．答：甲，乙在數(shù)軸上的﹣28點相遇；（3）兩種情況，相遇前，設(shè)y秒時，甲、乙相距10個單位長度，根據(jù)題意得，y+4y＝60﹣10，解得y＝10；相遇后，設(shè)y秒時，甲、乙相距10個單位長度，根據(jù)題意得，y+4y﹣60＝10，解得：y＝14，答：10秒或14秒時，甲、乙相距10個單位長度；（4）乙到達A點需要15秒，甲位于﹣40+15＝﹣25，乙追上甲需要25÷（1+4）＝5秒，此時相遇點的數(shù)是﹣25+5＝﹣20，故甲，乙能在數(shù)軸上相遇，相遇點表示的數(shù)是﹣2【題型5追及問題】【例5】（新邵縣期末）列方程解應(yīng)用題：如圖，現(xiàn)有AB、BC兩段鄉(xiāng)村公路，AB長為1200米，BC長為2000米，一個人騎摩托車從A處以20m/s的速度勻速沿公路AB、BC向C處行駛；另一人騎自行車從B處以5m/s的速度從B向C處行駛，并且兩人同時出發(fā)．（1）求經(jīng)過多少秒摩托車追上自行車？（2）求兩人均在行駛途中時，經(jīng)過多少秒兩人在行進路線上相距150米？【解題思路】（1）設(shè)經(jīng)過x秒摩托車追上自行車，根據(jù)“摩托行駛路程＝1200+騎自行車行駛路程”列出方程并解答；（2）需要分兩種情況解答：①摩托車還差150米追上自行車；②摩托車超過自行車150米，根據(jù)他們行駛路程間的數(shù)量關(guān)系列出方程并解答．【解答過程】解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒摩托車追上自行車，根據(jù)題意得，20x＝5x+1200，解得x＝80．答：經(jīng)過80秒摩托車追上自行車；（2）（1200+2000）÷20＝160（秒）．設(shè)經(jīng)過y秒兩人相距150米，第一種情況：摩托車還差150米追上自行車時，根據(jù)題意得，20y﹣1200＝5y﹣150，解得y＝70，符合題意．第二種情況：摩托車超過自行車150米時，根據(jù)題意得，20y＝150+5y+1200，解得y＝90，符合題意．答：經(jīng)過70秒或90秒兩人在行進路線上相距150米．【變式5-1】（雨花區(qū)校級模擬）古代名著《算學(xué)啟蒙》中有一題：良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里．駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之？意思是：跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每天走150里．慢馬先走12天，快馬幾天可追上慢馬？若設(shè)快馬x天可追上慢馬，則由題意，可列方程為（）A．240x＝150x+12×150 B．240x＝150x﹣12×150 C．240（x﹣12）＝150x+150 D．240x+150x＝12×15【解題思路】設(shè)快馬x天可以追上慢馬，根據(jù)快馬和慢馬所走的路程相等建立方程即可．【解答過程】解：設(shè)快馬x天可以追上慢馬，據(jù)題題意：240x＝150x+12×150，故選：A．【變式5-2】（延慶區(qū)期末）列方程解應(yīng)用題：晚飯后，小明的爸爸像往常一樣去散步．半小時后，媽媽發(fā)現(xiàn)爸爸沒有帶手機，就讓小明騎自行車去給爸爸送手機．如果爸爸的速度是4千米/時，小明騎自行車的速度是12千米/時，小明用多少時間可以追上爸爸？（要求：先寫出審題過程，再設(shè)未知數(shù)列方程）【解題思路】設(shè)小明用x小時可以追上爸爸，根據(jù)路程＝速度×?xí)r間結(jié)合小明追上爸爸時兩人的路程相等，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解方程即可．【解答過程】解：設(shè)小明用x小時可以追上爸爸，依題意得：4×0.5+4x＝12x．解得：x＝0.25．答：小明用0.25小時可以追上爸爸．【變式5-3】（清澗縣期末）一天早晨，小華和爸爸在1000米的環(huán)形跑道上跑步，他們8點整時在同一地點沿著同一方向同時出發(fā)，小華跑了半圈時，看到爸爸剛好跑完一圈，8點零8分時爸爸第一次追上小華．（1）求小華和爸爸的跑步速度；（2）爸爸第一次追上小華后，在第二次相遇前，再經(jīng)過多少分，小華和爸爸相距150米？【解題思路】（1）設(shè)小華的跑步速度為x米/分，則爸爸的跑步速度為2x米/分，根據(jù)8點零8分時爸爸第一次追上小華列方程，解方程結(jié)可求解；（2）設(shè)再經(jīng)過y分，小華和爸爸相距150米，根據(jù)小華和爸爸相距150米分兩種情況列方程，解方程即可求解．【解答過程】解：（1）設(shè)小華的跑步速度為x米/分，則爸爸的跑步速度為2x米/分，由題意得（2x﹣x）×8＝1000，解得x＝125，∴2x＝125×2＝250（米/分），答：小華的跑步速度為125米/分，爸爸的跑步速度為250米/分；（2）設(shè)再經(jīng)過y分，小華和爸爸相距150米，由題意得250y﹣125y＝150，或250y﹣125y＝1000﹣150，解得y=65或答：再經(jīng)過65或34【題型6流水問題與上下坡問題】【例6】（越秀區(qū)校級期中）兩船從同一港口同時出發(fā)反向而行，甲船順水，乙船逆水，兩船在靜水中的速度都是30千米/時，水流速度是a千米/時（1）甲船順水的速度是（30+a）千米/時；乙船逆水的速度是（30﹣a）千米/時；（2）3小時后兩船相距多遠？（3）若a＝10，3小時后甲船能比乙船多航行70千米嗎？請說明理由．【解題思路】（1）甲船順水的速度＝水速+船速，乙船逆水的速度＝船速﹣水速；（2）反向出發(fā)，兩船相距路程為：甲路程+乙路程＝順水速度×3+逆水速度×3＝（30+a）×3+（30﹣a）×3；（3）順水航行的速度＝靜水速度+水流速度，逆水航行速度＝靜水速度﹣水流速度，路程＝速度×?xí)r間，根據(jù)此等量關(guān)系可列式求解．【解答過程】解：（1）甲船順水的速度是（30+a）千米/時；乙船逆水的速度是（30﹣a）千米/時；故答案是：（30+a）；（30﹣a）；（2）依題意得：（30+a）×3+（30﹣a）×3＝180（千米）；答：3小時后兩船相距180千米；（3）依題意得：（30+10）×3﹣（30﹣10）×3＝60（千米）；因為60＜70，所以若a＝10，3小時后甲船不能比乙船多航行70千米．【變式6-1】（隨縣期末）汽車上坡時每小時走28km，下坡時每小時走35km，去時，下坡路的路程比上坡路的路程的2倍還少14km，原路返回比去時多用了12分鐘．求去時上、下坡路程各多少千米？【解題思路】由已知設(shè)去時上坡路為x千米，則下坡路為（2x﹣14）千米，