2-3-3-2-3-4-點(diǎn)到直線的距離公式、兩條平行直線間的距離(導(dǎo)學(xué)案)-(原卷版)

班級：姓名：日期：2.3.3點(diǎn)到直線的距離公式2.3.4兩條平行直線間的距離導(dǎo)學(xué)案地位：本節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》人教A版（2019）第二章直線和圓的方程2.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.會(huì)用向量工具推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式，理解兩條平行線間的距離公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)。.2.掌握點(diǎn)到直線的距離公式,會(huì)求兩條平行直線間的距離，能應(yīng)用點(diǎn)到直線距離公式解決有關(guān)距離問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).3.通過點(diǎn)到直線的距離公式的探索和推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng).學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：重點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)思路分析；點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用．理解和掌握兩條平行線間的距離公式難點(diǎn)：應(yīng)用距離公式解決綜合問題自主預(yù)習(xí)：本節(jié)所處教材的第頁.復(fù)習(xí)——兩點(diǎn)之間的距離公式：3.預(yù)習(xí)——點(diǎn)到直線的距離公式：平行直線間的距離公式：新課導(dǎo)學(xué)學(xué)習(xí)探究（一）新知導(dǎo)入【問題1】在公路附近有一家鄉(xiāng)村飯館,現(xiàn)在需要鋪設(shè)一條連接飯館和公路的道路.請同學(xué)們幫助設(shè)計(jì)一下：在理論上怎樣鋪路可以使這條連接道路的長度最短?【問題2】立定跳遠(yuǎn)測量的是什么距離？A.兩平行線的距離B.點(diǎn)到直線的距離C.點(diǎn)到點(diǎn)的距離（二）點(diǎn)到直線的距離、兩條平行直線間的距離◆知識(shí)點(diǎn)1點(diǎn)到直線的距離 【探究1】1．如圖，什么是平面上點(diǎn)P到直線l的距離？2．如上圖，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，直線l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，如何求垂足Q的坐標(biāo)？如何求|PQ|的長？3．我們知道，向量是解決距離、夾角問題的有力工具．如圖，設(shè)n是與直線l的方向向量垂直的單位向量，如何從向量投影的角度得出eq\o(PQ,\s\up6(→))的模的表達(dá)式？4．設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直線l：Ax＋By＋C＝0上的任意兩點(diǎn)，如何利用直線l的方程得到與l的方向向量垂直的單位向量n？5．根據(jù)問題3,4的內(nèi)容，你能得出|PQ|的長嗎？◆點(diǎn)到直線的距離(1)概念：過一點(diǎn)向直線作垂線，則該點(diǎn)與垂足之間的距離，就是該點(diǎn)到直線的距離．(2)公式：點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).【點(diǎn)睛】(1)運(yùn)用此公式時(shí)要注意直線方程必須是一般式,若給出其他形式,應(yīng)先化成一般式再用公式.(2)當(dāng)點(diǎn)P0在直線l上時(shí),點(diǎn)到直線的距離為零,公式仍然適用.（3）點(diǎn)到直線的距離即是點(diǎn)與直線上點(diǎn)連線的距離的最小值?！咀鲆蛔?】(教材P77練習(xí)1改編)原點(diǎn)到直線x＋2y－5＝0的距離為()A．1 B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)◆知識(shí)點(diǎn)2兩條平行直線間的距離【探究2】1．兩條平行直線間的距離是指什么線段的長？2．直線l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)、B(0,1)、C(－1,2)三點(diǎn)，直線l2：x＋y－2＝0與直線l1平行，那么點(diǎn)A、B、C到直線l2的距離分別為多少？有什么規(guī)律嗎？3．已知l1：Ax＋By＋C1＝0(A，B不同時(shí)為0)，l2：Ax＋By＋C2＝0(C2≠C1)，如何推導(dǎo)出l1與l2間的距離公式呢？◆兩條平行直線間的距離：(1)概念：兩條平行直線間的距離是指夾在這兩條平行直線間的公垂線段的長．(2)求法：兩條平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離．(3)公式：兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).【做一做2】(教材P78例7改編)兩條平行線l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距離為()A．3 B．2C．1 D.eq\f(1,2)【做一做3】(教材P79練習(xí)2改編)已知直線l1：x＋y－1＝0，l2：2x+2y＋a＝0，且兩直線間的距離為eq\r(2)，則a＝________.（三）典型例題1.點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用例1.求點(diǎn)P0(－1,2)到下列直線的距離：(1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0.例2.求過點(diǎn)M(－2,1)且與A(－1,2)，B(3,0)兩點(diǎn)距離相等的直線方程．【類題通法】1.在使用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)，首先把直線方程化為一般式，再利用公式求解．2.在已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)時(shí)，只需根據(jù)公式列方程求解參數(shù)即可．【鞏固練習(xí)1】1.若點(diǎn)M(－2,1)到直線x＋2y＋C＝0的距離為1，則C的值為______．2．求過點(diǎn)A(－1,2)且到原點(diǎn)的距離等于eq\f(\r(2),2)的直線方程．2.兩條平行直線間的距離【例3】已知直線l與直線3x＋4y－1＝0平行，且兩直線間的距離為4，則直線l的方程為________．【類題通法】求兩平行直線間距離的兩種思路1.利用“化歸”法將兩條平行線的距離轉(zhuǎn)化為求一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離.2.直接利用兩平行線間的距離公式，當(dāng)直線l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2時(shí)，d＝eq\f(|b1－b2|,\r(k2＋1))；當(dāng)直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2時(shí)，d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))，必須注意兩直線方程中x，y的系數(shù)對應(yīng)相等.【鞏固練習(xí)2】直線l1過點(diǎn)A(0,1)，l2過點(diǎn)B(5,0)，如果l1∥l2，且l1與l2間的距離為5，求l1，l2的方程．3.對稱問題例4.已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)．求：（1）點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)；（2）直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程；（3）直線l關(guān)于點(diǎn)A對稱的直線l′的方程．【類題通法】對稱主要有以下四種：點(diǎn)點(diǎn)對稱、點(diǎn)線對稱、線點(diǎn)對稱、線線對稱，其中后兩種可以化歸為前兩種類型，所以“點(diǎn)關(guān)于直線對稱”是最重要的類型。點(diǎn)A(x0，y0)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0的對稱點(diǎn)M(x，y)可由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－y0,x－x0)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1AB≠0，,A·\f(x＋x0,2)＋B·\f(y＋y0,2)＋C＝0))求得．【鞏固練習(xí)3】根據(jù)條件求直線方程．（1）已知直線，求其關(guān)于對稱的直線的直線方程；（2）求直線關(guān)于直線對稱的直線的方程．4.最值問題例5.兩條互相平行的直線分別過點(diǎn)A(6,2)和B(－3，－1)，如果兩條平行直線間的距離為d，求：(1)d的變化范圍；(2)當(dāng)d取最大值時(shí)，兩條直線的方程．【類題通法】數(shù)形結(jié)合、運(yùn)動(dòng)變化的思想和方法是數(shù)學(xué)中常用的思想方法．當(dāng)圖形中的元素運(yùn)動(dòng)變化時(shí)我們能直觀觀察到一些量的變化情況，進(jìn)而可求出這些量的變化范圍．類似地，當(dāng)一條直線過定點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)B到這條直線l的距離d也是當(dāng)l⊥AB時(shí)最大，l過B點(diǎn)時(shí)，最小為零．【鞏固練習(xí)4】點(diǎn)P在直線x＋y－4＝0上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OP|的最小值為（）A． B．2C． D．2（四）操作演練素養(yǎng)提升1.如果關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則直線的方程是()A．B．C．D．2.兩條平行線l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0間的距離等于（）A． B． C． D．3.直線y＝4x﹣5關(guān)于點(diǎn)P（2，1）對稱的直線方程是（）A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+94.直線與直線交于點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的最大距離為（）A． B． C． D．課堂小結(jié)通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？學(xué)習(xí)評價(jià)【自我評價(jià)】你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）A.很好B.較好C.一般D.較差【導(dǎo)學(xué)案評價(jià)】本節(jié)導(dǎo)學(xué)案難度如何（）A.很好B.較好