自我相關(guān)的意義與對OLS估計式的影響

1自我相關(guān)的意義與對OLS估計式的影響2學習目標自我相關(guān)的意義與對OLS估計式的影響檢測自我相關(guān)

存在自我相關(guān)的修正

Generalizedleastsquares(GLS)估計自我相關(guān)系數(shù)的方法ThefirstdifferencemethodEstimatedfromDurbin-WatsondStatisticsEstimatedfromOLSresiduals3自我相關(guān)與影響(1/10)

Thetermautocorrelationmaybedefinedas“correlationbetweenmembersofseriesofobservationsorderedintime(time-seriesdata)orspace(asincross-sectionaldata.”古典線性回歸模型假設誤差項無自我相關(guān)，也就是“thedisturbancetermrelatingtoanyobservationisnotinfluencedbythedisturbancetermrelatingtoanyotherobservation”簡單來說，就是影響某個觀察值的隨機因素與影響另個觀察值的隨機因素是否有關(guān)，倘若無關(guān)，則為無自我相關(guān)。比如說某季的產(chǎn)出因為罷工而減少，此干擾并未影響下一季的產(chǎn)出，或是某個家計單位的消費因為意外所得而增加，此干擾因素并未影響其他家計單位的消費。4自我相關(guān)與影響(2/10)存在自我相關(guān)(autocorrelation)

比如前例中某季的罷工會影響到下一季的產(chǎn)出(時間序列)或是某個家計單位的消費增加會影響到其他家計單位的消費(橫斷面)產(chǎn)生自我相關(guān)的原因Inertia(sluggishness):時間序列資料(GDP,employment,priceindexes等等)多數(shù)都存在著緩慢調(diào)整的現(xiàn)象。比如當景氣從谷底復甦時，許多總體數(shù)據(jù)會慢慢向上攀升，因此successiveobservationsarelikelytobeinterdependentinvolvingtimeseriesdata.5自我相關(guān)與影響(3/10)SpecificationBias:Excludingvariables

當回歸模型設定錯誤，遺漏了重要解釋變量時，往往會造成殘差項顯現(xiàn)出相關(guān)性，比如說正確的模型為

其中應變數(shù)為每季的牛肉需求量，X2為牛肉價格X3

為消費者所得，

X4

為豬肉價格。若錯誤設定為則，theerrortermvwillreflectasystematicpatternthuscreating(false)autocorrelation.

6自我相關(guān)與影響(4/10)SpecificationBias:IncorrectFunctionalForm

當回歸模型的函數(shù)形式設定錯誤時，往往會造成殘差項顯現(xiàn)出相關(guān)性，比如說正確的模型為

卻錯誤地設定為則，hencevwillcatchthesystematiceffectofoutput2termonmarginalcost.Inthiscasevwillreflectautocorrelationbecauseoftheuseofanincorrectfunctionalform.7自我相關(guān)與影響(5/10)TheCobwebphenomenon:蛛網(wǎng)現(xiàn)象

許多農(nóng)產(chǎn)品的生產(chǎn)都有所謂的蛛網(wǎng)現(xiàn)象假設t期的干擾因素造成供給增加，使得，則農(nóng)夫可能決定減少t+1期的生產(chǎn)量:Iffarmersoverproduceinyeart,theyarelikelytoreducetheirproductionint+1.

Lag:應變數(shù)可能受到自身落后期的影響8自我相關(guān)與影響(6/10)Theaboveregressionisknownasautoregressionbecauseoneoftheexplanatoryvariablesisthelaggedvalueofthedependentvariable.Ifweignorethelaggedterm,theresultingerrortermwillreflectasystematicpatternduetotheinfluenceoflaggedconsumptiononcurrentconsumption.DataTransformationOriginalmodel

Transformedmodel

若原本模型的誤差項為無自我相關(guān)，可證明轉(zhuǎn)換之模型的誤差項有自我相關(guān)。

9自我相關(guān)與影響(7/10)自我相關(guān)對OLS估計式統(tǒng)計性質(zhì)的影響

在CLRM假設下，OLS估計式具有BLUE的良好性質(zhì)，倘若其他假設仍成立，但無自我相關(guān)的假設不滿足，則OLS估計式的性質(zhì)為:仍為線性不偏。不再具有最小變異數(shù)(不滿足效率性)。OLS估計式變異數(shù)的估計偏誤，對于真實母體變異數(shù)之估計式

亦為偏誤。經(jīng)由信賴區(qū)間與假設檢定所得推論也不可靠。

10自我相關(guān)與影響(8/10)

存在自我相關(guān)對OLS估計式之變異數(shù)的影響以簡單回歸模型與AR(1)為例，假設對誤差項的設定為(Markov)first-orderautoregressivescheme,usuallydenotedasAR(1).:

thefirst-ordercoefficientofautocorrelation,orthecoefficientofautocorrelationatlag1.

假設

則11自我相關(guān)與影響(9/10)

Asaresult,undertheAR(1)schemethevarianceofuiisstillhomoscedastic,butuiiscorrelatednotonlywithitsimmediatepastvaluebutitsvaluesseveralperiodsinthepast.

meansthevarianceofunderAR(1)scheme.

12自我相關(guān)與影響(10/10)

若，前兩式相等。否則有自我相關(guān)時，OLS估計式變異數(shù)有偏誤。

13檢測自我相關(guān)(1/10)檢測自我相關(guān)的概念和檢測異質(zhì)變異雷同，皆是透過OLS回歸所得到的殘差來進行。GraphicalMethod

Therearevariouswaysofexaminingtheresiduals.

Plotresidualsagainsttime(figure12.8)

Plotstandardizedresidualsagainsttime(figure12.8)standardizedresidualsaretheresidualsdividedbythestandarderroroftheregression

OrPlotagainst

,akindofempiricaltestoftheAR(1)scheme.14檢測自我相關(guān)(2/10)RunsTest

Arethe5runsobservedinourillustrativeexampleconsistingof46observationstoomanyortoofewcomparedwiththenumberofrunsexpectedinastrictlyrandomsequenceof46observations?

Runs:definedanrunasanuninterruptedsequenceofonesymbol

Underthenullhypothesisthattheresidualsareindependent,thenumberofrunsRis(asymptotically)normallydistributedwith()15檢測自我相關(guān)(3/10)因此，虛無假設成立之下，R的95%信賴區(qū)間為若the

number

of

runs

R落于信賴區(qū)間，則在5%顯著水平下，不拒絕殘差為隨機的虛無假設。

Rejectthehypothesisthattheresidualsarerandomwith95%confidence.Inotherwords,theresidualsexhibitautocorrelation.

16檢測自我相關(guān)(4/10)Durbin-Watsondtest

此檢定法由DurbinandWatson提出，檢定量d的公式如下:

d:theratioofthesumofsquareddifferencesinsuccessiveresidualstotheRSS

雖然Durbin-Watsondstatistic是常用的自我相關(guān)檢定量，但必須注意使用該檢定量背后的假設。

17這些假設包括回歸模型必須包含截距項、隨機項自我相關(guān)的形式必須為AR(1)、隨機項為常態(tài)分配、回歸模型中的解釋變量不包括被解釋變量的落后期等。

如何根據(jù)d值判斷是否存在自我相關(guān)?

令則

:samplefirst-ordercoefficientofautocorrelation檢測自我相關(guān)(5/10)18由于相關(guān)系數(shù)值在于-1與1之間，可知。

若，:ifthereisnoserialcorrelation,disexpectedtobeabout2;若

，:perfectpositivecorrelationintheresiduals;若

，:perfectnegativecorrelationintheresiduals.因此若d值愈接近零，顯示可能有positiveautocorrelation，愈接近2可能是noautocorrelation愈接近于4愈可能有negativeautocorrelation。Criticalvalues:DurbinandWatson提出criticalvalues表(lowerlimit與upperlimit

)檢測自我相關(guān)(6/10)19

本例d=0.2175，查表，(at5%significantlevel)，因此wecannotrejectthehypothesisthatthereispositiveserialcorrelationintheresiduals.

檢測自我相關(guān)(7/10)TheDurbin-Watsondstatistic.2021檢測自我相關(guān)(8/10)

Breusch-GodfreyTest此檢定法屬于LM(Lagrangemultiplier)test，比Durbin-Watson更為一般化，可使用于更高階的自我相關(guān)模式，以及解釋變量含應變數(shù)落后期等?？紤]一個簡單回歸模型假設

虛無假設為22檢測自我相關(guān)(9/10)

step1:跑原始回歸得到殘差

step2:將殘差對解釋變量與殘差落后期跑輔助回歸，得到判定系數(shù)step3:樣本數(shù)大時，若檢定值大于卡方臨界值，則拒絕虛無假設，即有自我相關(guān)的現(xiàn)象。23檢測自我相關(guān)(10/10)

AdrawbackofBGtestisthatthevalueofp,thelengthofthelag,cannotbespecifiedapriori.Sometimeswecanusetheso-calledAICandSICtoselectthelaglength.

以前例來說，假設

aAR(6)scheme

遠超過

的臨界值，theconclusionisthatatleastoneofthesixautocorrelationsmustbenonzero.24存在自我相關(guān)的修正(1/3)檢測出有自我相關(guān)之后，修正方法大致可分