2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練23正弦定理和余弦定理含解析理新人教版

PAGE專練23正弦定理和余弦定理命題范圍：正弦定理、余弦定理、三角形面積公式．[基礎(chǔ)強(qiáng)化]一、選擇題1．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若a＝eq\r(2)，b＝eq\r(3)，B＝eq\f(π,3)，則A＝()A.eq\f(π,6)B.eq\f(5,6)πC.eq\f(π,4)D.eq\f(π,4)或eq\f(3,4)π2．在△ABC中，b＝40，c＝20，C＝60°，則此三角形解的狀況是()A．有一解B．有兩解C．無解D．有解但解的個數(shù)不確定3．[2024·吉林舒蘭測試]在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝2，b＝3，c＝eq\r(7)，則角C＝()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)4．已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，則△ABC的面積為()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\r(3)D．25．在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊．若bsinA＝3csinB，a＝3，cosB＝eq\f(2,3)，則b＝()A．14B．6C.eq\r(14)D.eq\r(6)6．[2024·湖南師大附中高三測試]設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形態(tài)為()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不確定7．[2024·合肥一中高三測試]鈍角三角形ABC的面積是eq\f(1,2)，AB＝1，BC＝eq\r(2)，則AC＝()A．5B.eq\r(5)C．2D．18．如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為()A．50eq\r(2)mB．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)mD.eq\f(25\r(2),2)m9．在△ABC中，coseq\f(C,2)＝eq\f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，則AB＝()A．4eq\r(2)B.eq\r(30)C.eq\r(29)D．2eq\r(5)二、填空題10．[2024·山東棗莊一中高三測試]在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，則B＝________.11．[2024·四川瀘州一中高三測試]在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且c＝acosB，①則A＝________；②若sinC＝eq\f(1,3)，則cos(π＋B)＝________.12．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，則B＝________.[實(shí)力提升]13．[2024·吉林一中高三測試]在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC為銳角三角形，且滿意sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，則下列等式成立的是()A．a(chǎn)＝2bB．b＝2C．A＝2BD．B＝214．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若△ABC的面積為eq\f(a2＋b2－c2,4)，則C＝()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)15．[2024·全國卷Ⅱ]△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝eq\f(π,3)，則△ABC的面積為________．16．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為S，且6S＝(a＋b)2－c2，則tanC等于________．專練23正弦定理和余弦定理1．C由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(\r(2)×\f(\r(3),2),\r(3))＝eq\f(\r(2),2)，又a<b，∴A為銳角，∴A＝eq\f(π,4).2．C由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∴sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(40×\f(\r(3),2),20)＝eq\r(3)>1，∴角B不存在，即滿意條件的三角形不存在．3．C由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(4＋9－7,2×2×3)＝eq\f(1,2)，又C為△ABC內(nèi)角，∴C＝eq\f(π,3).4．C由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，又a2＝b2＋c2－bc，∴2cosA＝1，cosA＝eq\f(1,2)，∴sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(\r(3),2)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).5．D∵bsinA＝3csinB，由正弦定理得ab＝3bc，∴a＝3c，又a＝3，∴c由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝9＋1－2×3×eq\f(2,3)＝6，∴b＝eq\r(6).6．B∵bcosC＋ccosB＝asinA，∴sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sinA＝1，又A為△ABC的內(nèi)角，∴A＝90°，∴△ABC7．B∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB×BC×sinB＝eq\f(\r(2),2)sinB＝eq\f(1,2)，∴sinB＝eq\f(\r(2),2)，若B＝45°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos45°＝1＋2－2×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1，則AC＝1，則AB2＋AC2＝BC2，△ABC為直角三角形，不合題意；當(dāng)B＝135°時，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos135°＝1＋2＋2×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝5，∴AC＝eq\r(5).8．A由正弦定理得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，∴AB＝eq\f(AC·sinC,sinB)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),sin180°－45°－105°)＝50eq\r(2).9．A∵coseq\f(C,2)＝eq\f(\r(5),5)，∴cosC＝2cos2eq\f(C,2)－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))2－1＝－eq\f(3,5).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝25＋1－2×5×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝32，所以AB＝4eq\r(2)，故選A.10.eq\f(2,3)π解析：由(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac得a2＋c2－b2＋ac＝0.由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝－eq\f(1,2)，又B為△ABC的內(nèi)角，∴B＝eq\f(2,3)π.11．①90°②－eq\f(1,3)解析：①∵c＝a·cosB，∴c＝a·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，得a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°；②∵cosB＝cos(π－A－C)＝sinC＝eq\f(1,3).∴cos(π＋B)＝－cosB＝－sinC＝－eq\f(1,3).12.eq\f(π,3)解析：∵△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴2bcosB＝acosC＋ccosA可化為2bcosB＝b，∴cosB＝eq\f(1,2).又0<B<π，∴B＝eq\f(π,3).13．A由sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，得sinB＋2sinBcosC＝sinB＋sinAcosC，∴2sinBcosC＝sinAcosC，∵cosC>0，∴2sinB＝sinA，即a＝2b.14．C因?yàn)閍2＋b2－c2＝2abcosC，且S△ABC＝eq\f(a2＋b2－c2,4)，所以S△ABC＝eq\f(2abcosC,4)＝eq\f(1,2)absinC，所以tanC＝1，又C∈(0，π)，所以C＝eq\f(π,4).故選C.15．6eq\r(3)解析：本題主要考查余弦定理、三角形的面積公式，意在考查考生的邏輯思維實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力，考查方程思想，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算．解法一：因?yàn)閍＝2c，b＝6，B＝eq\f(π,3)，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccoseq\f(π,3)，得c＝2eq\r(3)，所以a＝4eq\r(3)，所以△ABC的面積S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×2eq\r(3)×sineq\f(π,3)＝6eq\r(3).解法二：因?yàn)閍＝2c，b＝6，B＝eq\f(π,3)，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccoseq\f(π,3)，得c＝2eq\r(3)，所以a＝4eq\r(3)，所以a2＝b2＋c2，所以A＝eq\f(π,2)，所以△ABC的面積S＝eq\f(1,2)×2eq\r(