專題05 一元一次方程（知識(shí)串講考點(diǎn)提升過關(guān)檢測(cè)）-2025年人教版七年級(jí)《數(shù)學(xué)》寒假自學(xué)提升講義

PAGE1專題05一元一次方程考點(diǎn)聚焦：核心考點(diǎn)+中考考點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)專攻：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺難點(diǎn)強(qiáng)化：難點(diǎn)內(nèi)容標(biāo)注與講解，能力提升提升專練：真題感知+精選專練，全面突破知識(shí)點(diǎn)1：一元一次方程的基礎(chǔ)方程的定義：含有未知數(shù)的等式叫做方程.方程的判斷條件：①等式；②方程.一元一次方程的概念：只含有一個(gè)未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的整式方程叫一元一次方程.一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：ax+b=0（a、b是常數(shù)，且a≠0）.方程的解：能使方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解.解方程：求方程的解得過程叫做解方程.知識(shí)點(diǎn)2：等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)1：等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)（或同一個(gè)式子），所得的結(jié)果仍是等式.即：如果a=b，那么a±c=a±c等式的性質(zhì)2：等式兩邊都乘以同一個(gè)數(shù)，或都除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等.即：如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么ac=等式的性質(zhì)3：如果a=b，則b=a（對(duì)稱性）等式的性質(zhì)4：如果a=b，b=c，則a=c（傳遞性）【易錯(cuò)易混】1）利用等式的性質(zhì)進(jìn)行變形時(shí)，等式兩邊都要參加運(yùn)算，而且是同一種運(yùn)算.2）等式兩邊同時(shí)除以一個(gè)字母時(shí)，字母不能為0，若題目沒有注明該字母不為0，那么這個(gè)變形就不成立.知識(shí)點(diǎn)3：解一元一次方程基本思路：通過適當(dāng)?shù)淖冃?，把一元一次方程化?jiǎn)為ax=b（a、b為常數(shù)，且a≠0）的形式，得出方程的解為x=ba步驟具體做法注意事項(xiàng)去分母在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)1）不要漏乘不含分母的項(xiàng)；2）當(dāng)分母中含有小數(shù)時(shí)，先將小數(shù)化成整數(shù)，再去分母.3）如果分子是多項(xiàng)式，去分母后要加括號(hào).去括號(hào)先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)1)去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前的數(shù)要乘括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng);2)不要弄錯(cuò)符號(hào).移項(xiàng)把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程一邊，其它項(xiàng)都移到方程另一邊1）移項(xiàng)時(shí)不要丟項(xiàng);2）將方程中的項(xiàng)從一邊移到另一邊要變號(hào).而在方程同一邊改變項(xiàng)的位置時(shí)不變號(hào).合并同類項(xiàng)把方程變?yōu)閍x=b（a≠0)的形式1）系數(shù)的符號(hào)處理要得當(dāng)；

2）字母及其指數(shù)不變.系數(shù)化為1將方程兩邊都除以未知數(shù)系數(shù)a，得到方程的解x=b1)未知數(shù)的系數(shù)為整數(shù)或小數(shù)時(shí),方程兩邊同除以該系數(shù);2)未知數(shù)的系數(shù)為分?jǐn)?shù)時(shí),方程兩邊同乘該系數(shù)的倒數(shù).【補(bǔ)充說明】1）解具體的一元一次方程時(shí)，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活安排解題步驟，甚至可以省略某些步驟，有分母的去分母，有括號(hào)的去括號(hào).2)對(duì)于分母中含有小數(shù)的一元一次方程．當(dāng)分母中含有一位小數(shù)時(shí)，含分母項(xiàng)的分子、分母都乘10，化分母中的小數(shù)為整數(shù)；當(dāng)分母中含有兩位小數(shù)時(shí)，含分母項(xiàng)的分子、分母都乘100．知識(shí)點(diǎn)4：一元一次方程與實(shí)際應(yīng)用用一元一次方程解決實(shí)際問題的一般步驟：審：審清題意（注意關(guān)鍵詞），找出題中的等量關(guān)系，理清題中的已知量與未知量；設(shè)：設(shè)未知數(shù)，并用含未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量； ①設(shè)直接未知數(shù)：一般情況下，題中問什么就設(shè)什么； ②設(shè)間接未知數(shù)：特殊情況下，設(shè)直接未知數(shù)難以列出方程時(shí)，可設(shè)另一個(gè)相關(guān)的量為未知數(shù)； ③設(shè)輔助未知數(shù)：在某些問題中，為了便于列方程，可以設(shè)輔助未知數(shù).列：根據(jù)題中相等關(guān)系，列出一元一次方程；解：解所列出的一元一次方程；驗(yàn)：檢驗(yàn)所得的解是不是所列方程的解、是否符合實(shí)際意義（這一步可在草稿紙上完成）；答：寫出答案，包括單位.考點(diǎn)剖析【考點(diǎn)1】一元一次方程的定義1．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）下列方程：①x?2=1x；②3x=11；③x2=5x?1；④y2A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題考查了一元一次方程的定義．熟練掌握一元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元一次方程的定義判斷作答即可．【詳解】解：由題意知，①中x?2=1②中3x=11是一元一次方程，故符合要求；③中x2④中y2⑤中x+2y=1含有兩個(gè)未知數(shù)，故不是一元一次方程，故不符合要求；故選：B．2．（24-25七年級(jí)上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知x=3是關(guān)于x的方程2x+a=0的一個(gè)解，則a的值是（

）A．?4 B．?5 C．?6 D．?7【答案】C【分析】本題考查一元一次方程的解，掌握方程的解即為使方程成立的未知數(shù)的值是解題關(guān)鍵．將x=3代入2x+a=0中，求解a即可．【詳解】解：將x=3代入2x+a=0，得：2×3+a=0，解得：a=?6．故選C．【考點(diǎn)2】已知一元一次方程的解求參數(shù)或代數(shù)式的值3．（24-25七年級(jí)上·廣東東莞·期中）若方程a?3xa?3?7=0是關(guān)于x【答案】±4【分析】本題主要考查一元一次方程的定義，熟練掌握一元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵．根一元一次方程的定義：含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)為1的整式方程為一元一次方程．【詳解】解：由題意可得：a?3≠0a解得a=±4，故答案為：±4．4．（24-25七年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知x=2是關(guān)于x的方程3x?m=x+2n的解，則式子12m+n+2022的值為【答案】2024【分析】把x=2代入方程3x?m=x+2n，得到m+2n=4，整體思想，變形求代數(shù)式的值即可．本題考查了一元一次方程的解，求代數(shù)式的值，熟練掌握一元一次方程的解，正確求代數(shù)式的值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵x=2是關(guān)于x的方程3x?m=x+2n的解，∴6?m=2+2n,解得m+2n=4，∴12∴1故答案為：2024．5．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知3am?1b2與4a【答案】x=m+n2是方程【分析】本題考查了一元一次方程的解和同類項(xiàng)，根據(jù)同類項(xiàng)的定義求出m、n的值，將m、n的值代入x=m+n2，可求得【詳解】解：因?yàn)?am?1b所以m?1=2，n?1=2，解得m=3，n=3，所以x=m+n把x=3代入方程2x?6=0，得左邊=2×3?6=0=右邊．故x=m+n2是方程【考點(diǎn)3】等式的性質(zhì)6．（2024七年級(jí)上·浙江·專題練習(xí)）利用等式的基本性質(zhì)解方程：(1)?2x=?3x+5(2)56=3x+32?2x；(3)3x+4=x；(4)23(5)3y?7?6y=?8；(6)7.9x+1.58+2x=7.9x?8.42．【答案】(1)x=(2)x=24(3)x=?2(4)m=12(5)y=(6)2x=?10【分析】本題考查利用等式的基本性質(zhì)解方程，熟練掌握等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．利用等式的基本性質(zhì)解各個(gè)方程即可．【詳解】（1）解：?2x=?3x+?2x+3x=?3x+3x+x=5（2）解：56=3x+32?2x56?56=3x+32?2x?56x?24=0x?24+24=0+24x=24；（3）解：3x+4=x3x?3x+4=x?3x?2x=4?2x÷x=?2；（4）解：2222m=12；（5）解：3y?7?6y=?83y?7?6y+7=?8+7?3y=?1?3y÷y=（6）解：7.9x+1.58+2x=7.9x?8.427.9x+1.58+2x?7.9x=7.9x?8.42?7.9x1.58+2x=?8.421.58+2x?1.58=?8.42?1.582x=?102x÷2=?10÷2x=?5．7．（2024七年級(jí)上·浙江·專題練習(xí)）在下列各題的橫線上填上適當(dāng)?shù)臄?shù)或整式，使所得結(jié)果仍是等式，并說明變形是根據(jù)等式的哪一條性質(zhì)以及是怎樣變形的．(1)如果?x10=y5，那么(2)如果?2x=2y，那么x=，根據(jù)；(3)如果23x=4，那么x=，根據(jù)(4)如果x=3x+2，那么x=，根據(jù)．【答案】(1)?2y，等式的性質(zhì)2；變形過程見解析(2)?y，等式的性質(zhì)2；變形過程見解析(3)6，等式的性質(zhì)2；變形過程見解析(4)?1，等式的性質(zhì)1；變形過程見解析【分析】本題考查解一元一次方程，熟練利用等式的性質(zhì)解一元一次方程是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等式的性質(zhì)2，等號(hào)兩邊都乘以?10，等號(hào)仍成立，得出所求；（2）根據(jù)等式的性質(zhì)2，等號(hào)兩邊都除以?2，等號(hào)仍成立，得出所求；（3）根據(jù)等式的性質(zhì)2，等號(hào)兩邊都除以23（4）根據(jù)等式的性質(zhì)1，等號(hào)兩邊都減去3x，再除以?2，等號(hào)仍成立，得出所求．【詳解】（1）解：如果?x10=y5故答案為：?2y，等式的性質(zhì)2；（2）解：如果?2x=2y，根據(jù)等式的性質(zhì)2，等號(hào)兩邊都除以?2，等號(hào)仍成立，那么x=?y；故答案為：?y，等式的性質(zhì)2；（3）解：如果23x=4，根據(jù)等式的性質(zhì)2，等號(hào)兩邊都除以23故答案為：6，等式的性質(zhì)2；（4）解：如果x=3x+2，根據(jù)等式的性質(zhì)1，等號(hào)兩邊都減去3x，等號(hào)仍成立，那么x?3x=2，?2x=2，等號(hào)兩邊都除以?2，那么x=?1；故答案為：?1，等式的性質(zhì)1．【考點(diǎn)4】解一元一次方程8．（24-25七年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）解方程：(1)x?3(2)5x+4【答案】(1)x=?1(2)x=【分析】本題主要考查解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握解一元一次方程的基本步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1．（1）方程去括號(hào)，移項(xiàng)合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解；（2）方程去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解．【詳解】（1）解：x?3x+1去括號(hào)得：x?3x?3?1=2x，移項(xiàng)得：x?3x?2x=3+1，∴?4x=4，解得：x=?1．（2）解：5x+43去分母得：45x+4去括號(hào)得：20x+16+3x?3=24?5x+5，整理得：28x=16，解得：x=49．（24-25七年級(jí)上·山東濰坊·階段練習(xí)）解下列方程(1)4x?3(2)x+(3)x?1【答案】(1)x=2(2)x=(3)x=8【分析】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解方程的步驟是解題關(guān)鍵．（1）去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，求解即可；（2）去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，求解即可；（3）先整理，再去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，求解即可．【詳解】（1）解：4x?3去括號(hào)，得：4x?6+12x=26，移項(xiàng)，得：4x+12x=26+6，合并同類項(xiàng)，得：16x=32，化系數(shù)為1，得：x=2；（2）解：x+x?3去分母，得：6x+3x?3去括號(hào)，得：6x+3x?9=18?4x+2，移項(xiàng)，得：6x+3x+4x=18+2+9，合并同類項(xiàng)，得：13x=29，化系數(shù)為1，得：x=29（3）解：x?1整理，可得10x?102去分母，得510x?10去括號(hào)，得50x?50?40x?20=10移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得10x=80，系數(shù)化為1，得x=8．10．（23-24七年級(jí)上·貴州遵義·階段練習(xí)）方程3(2x?1)+2(1?2x)=2(2x?1)+3可以有多種不同的解法，觀察此方程，設(shè)2x?1=y．(1)原方程可變形為3y?2y=2y+3，解方程得：y=，從而可得x=．(2)上述解法所用到的數(shù)學(xué)思想是．(3)利用上述方法解方程：2【答案】(1)?3，?1(2)換元思想（整體思想）(3)x=【分析】本題通過代換法的應(yīng)用以及解一元一次方程，掌握換元思想是解題關(guān)鍵．（1）解出方程得到y(tǒng)的值，進(jìn)而得到x的值即可；（2）解題方法用到了換元思想；（3）設(shè)y=x?2，將原方程換成y的方程，解出方程得到y(tǒng)的值，進(jìn)而得到x的值即可．【詳解】（1）解：3y?2y=2y+3，3y?2y?2y=3，?y=3，y=?3，∴2x?1=?3，解得x=?1，故答案為：?3，?1．（2）上述解法用到的數(shù)學(xué)思想為換元思想或者整體思想．故答案為：換元思想（整體思想）．（3）設(shè)y=x?2，原方程變形為：2y?22y?22y?2283y=?9∴x?2=?9∴x=511．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）若單項(xiàng)式2a3bm+1與?3a【答案】x=【分析】本題考查了同類項(xiàng)的定義、解一元一次方程，由同類項(xiàng)的定義求出n=3，m=2，代入方程得出6x?63?2x【詳解】解：因?yàn)閱雾?xiàng)式2a3b所以n=3，m+1=3，所以m=2．把m=2，n=3代入關(guān)于x的方程3mx?2n3?2x=mn，得解得x=4【考點(diǎn)5】以注重過程性學(xué)習(xí)的形式考查一元一次方程12．（2024·浙江杭州·一模）某同學(xué)解方程0.10.2解：0.1兩邊同時(shí)乘以10，得12合并同類項(xiàng)，得16系數(shù)化1，得x=60……③請(qǐng)寫出解答過程中最早出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟序號(hào)，并寫出正確的解答過程．【答案】最早出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟是①，正確的解法見解析．【分析】此題主要考查了解一元一次方程，第1步是將方程中未知數(shù)的系數(shù)化為整數(shù)，而不是去分母可得出錯(cuò)誤的步驟序號(hào)，先將系數(shù)化為整數(shù)得12x?1【詳解】解：最早出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟是①，正確的解法如下：對(duì)于方程0.10.2將系數(shù)化為整數(shù)，得12合并同類項(xiàng)，得16系數(shù)化1，得x=6．13．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）同學(xué)們，你們知道怎樣解“絕對(duì)值方程4x=5”嗎？我們可以這樣考慮：因?yàn)?=5，?5=5，所以有4x=5或4x=?5，分別解得x=54【答案】x=?2或x=【分析】本題主要考查了解一元一次方程，絕對(duì)值等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)得到兩個(gè)一元一次方程，分別解一元一次方程即可，熟練掌握絕對(duì)值和解一元一次方程是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵8＝8，∴?3x+2=8或?3x+2=?8，∴x=?2或x=1014．（24-25七年級(jí)上·福建福州·期中）在學(xué)習(xí)《求解一元一次方程》之后，老師在黑板上出了一道解方程的題，下面是小樂同學(xué)的解題過程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．x+14?2x?13x+3?8x+4=10x+4?12……第二步3x?8x+10x=4?12+3+4……第三步5x=?1……第四步x=?1填空：(1)以上解題過程中，第一步的變形的依據(jù)是__________；第二步去括號(hào)時(shí)依據(jù)的運(yùn)算律是__________；(2)以上解題過程中從第_________步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是__________；(3)求該方程的正確解．【答案】(1)等式的基本性質(zhì)，乘法分配律(2)三，移項(xiàng)時(shí)沒有變號(hào)(3)x=1【分析】本題主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步驟以及注意事項(xiàng)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)解一元一次方程的基本步驟逐步分析、判定即可解答；（2）檢查步驟發(fā)現(xiàn)，移項(xiàng)時(shí)沒有變號(hào)，據(jù)此可解答；（3）直接解方程即可．【詳解】（1）解：以上解題過程中，第一步的變形的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)；第二步去括號(hào)時(shí)依據(jù)的運(yùn)算律是乘法分配律；故答案為：等式的基本性質(zhì)，乘法分配律；（2）解：以上解題過程中從第三步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是移項(xiàng)時(shí)沒有變號(hào)；故答案為：三，移項(xiàng)時(shí)沒有變號(hào)；（3）x+133x+3?8x+4=10x+4?123x?8x?10x=4?12?3?4?15x=?15x=1．15．（24-25七年級(jí)上·廣西賀州·期中）下面是小明解方程2x?14解：去分母，得2(2x?1)=8?(3?x)，（第一步）去括號(hào)，得4x?2=8?3+x，（第二步）移項(xiàng)，得4x+x=8?3?2，（第三步）全并同類項(xiàng)，得5x=3，（第四步）系數(shù)化為1，得x=3根據(jù)解答過程完成下列任務(wù)．任務(wù)一：①上述解答過程中，第一步的變形依據(jù)是________________；②第________步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是________________；任務(wù)二：請(qǐng)你根據(jù)平時(shí)解一元一次方程的經(jīng)驗(yàn)，再給其他同學(xué)提一條建議：________________；任務(wù)三：請(qǐng)你寫出解該方程的正確解題過程．【答案】任務(wù)一：①等式的性質(zhì)；②三，移項(xiàng)沒有變號(hào)；任務(wù)二：（答案不唯一）去分母注意不要漏乘或去括號(hào)要注意符號(hào)或養(yǎng)成口頭檢驗(yàn)的習(xí)慣等；任務(wù)三：見解析【分析】此題考查了解一元一次方程，以及等式的性質(zhì)，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1是解本題的關(guān)鍵．任務(wù)一：觀察這位同學(xué)解方程的步驟，利用等式的基本性質(zhì)，判斷即可得到結(jié)果；任務(wù)二：答案不唯一，建議只要合理即可；任務(wù)三：根據(jù)解一元一次方程的步驟解答即可．【詳解】解：任務(wù)一：①第一步的變形依據(jù)是等式的性質(zhì)；②第三步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是：移項(xiàng)沒有變號(hào)；任務(wù)二：（答案不唯一）去分母注意不要漏乘或去括號(hào)要注意符號(hào)或養(yǎng)成口頭檢驗(yàn)的習(xí)慣等任務(wù)三：解方程：2x?14去分母，得22x?1去括號(hào)，得4x?2=5+x，移項(xiàng)，得4x?x=5+2，合并同類項(xiàng)，得：3x=7，系數(shù)化為1，得x=7【考點(diǎn)6】同解方程16．（24-25七年級(jí)上·安徽合肥·期中）若m?4x2|m|?7?4m=0(1)求m的值；(2)若該方程與關(guān)于x的方程6?2k=2x+3的解相同，求k【答案】(1)m=?4(2)k=?2【分析】本題主要考查的是一元一次方程的定義、一元一次方程的解的定義，解一元一次方程，熟練掌握一元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵．（1）依據(jù)一元一次方程的定義可得到2m?7=1，且（2）由（1）可得方程為?8x+16=0，即可求出它的解，將該解代入方程6?2k=2x+3【詳解】（1）解：∵m?4x2|m|?7∴2m解得：m=±4m≠4∴m=?4；（2）解：由（1）得，方程為：?8x+16=0，解得：x=2，∵該方程與關(guān)于x的方程6?2k=2x+3∴6?2k=2×2+3解得：k=?2．17．（24-25七年級(jí)上·浙江杭州·期中）已知關(guān)于x的方程m?x2+m?33=x【答案】m=3【分析】本題考查了同解方程和解一元一次方程，理解方程解的定義，能正確解一元一次方程是解題關(guān)鍵．先求出第一個(gè)方程的解，再把x=1代入第二個(gè)方程得出m?x2【詳解】解：解方程32?x6?3x=2x+1，得：x=1，把x=1代入方程m?x2得：m?123m?13m?3+2m?6=6，5m=15，解得：m=3．18．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知關(guān)于x的兩個(gè)方程4x?a5=5x2【答案】5【分析】本題主要考查解一元一次方程，熟練掌握一元一次方程的解法和步驟是解題的關(guān)鍵；根據(jù)題意，可先求出方程1?2x=7?5x的解，代入方程4x?a5=【詳解】解：因?yàn)??2x=7?5x，即3x=6，解得x=2，因?yàn)閮蓚€(gè)方程的解相同，將x=2代入4x?a5=解得a=?5．故a的值為5．【考點(diǎn)7】根據(jù)一元一次方程解的情況求參數(shù)19．（2024七年級(jí)上·浙江·專題練習(xí)）（1）已知關(guān)于x的方程2(x+1)=3m+1的解與方程5x+3=?7的解互為相反數(shù)，求m的值．（2）已知關(guān)于x的方程5m+3x=x+1的解比關(guān)于x的方程m+2x=3m的解大2，求m的值．【答案】（1）m=53；（2）【分析】此題考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．（1）求出第二個(gè)方程的解，根據(jù)兩方程解互為相反數(shù)求出第一個(gè)方程的解，即可求出m的值；（2）分別求兩個(gè)方程的解，根據(jù)已知可列出關(guān)于m的方程，可求出m的值．【詳解】解：（1）方程5x+3=?7，解得：x=?2，把x=2代入2(x+1)=3m+1得：2×3=3m+1，解得：m=5（2）5m+3x=x+1，移項(xiàng)得：2x=1?5m，系數(shù)化為一得：x=1?5mm+2x=3m，移項(xiàng)得：2x=2m，系數(shù)化為一得：x=m，∴1?5m2解得：m=?320．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知關(guān)于x的方程3x?m2(1)若m=?1，求該方程的解；(2)若x=5是方程的解，求12(3)若該方程的解與方程x+12=3+x?6(4)某同學(xué)在解該方程時(shí)，誤將“56”看成了“65”，得到方程的解為x=1，求(5)若該方程有正整數(shù)解，求整數(shù)m的最小值．【答案】(1)x=0(2)30(3)23(4)?1(5)6【分析】本題考查同解方程、一元一次方程的解法、求代數(shù)式的值，（1）依據(jù)題意得，當(dāng)m=?1時(shí)，方程為3x+12（2）依據(jù)題意，由x=5是方程的解，得15?m2?5+m3=56（3）依據(jù)題意，由方程x+12=3+x?64的解為x=4，從而得（4）依據(jù)題意，由誤將“56”看成了“65”，得到方程的解為x=1，可得3?m2（5）依據(jù)題意，由3x?m2?x+m3=56，可得x=5m+1解題時(shí)要能讀懂題意并列出方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：當(dāng)m=?1時(shí)，方程為3x+12∴33x+1∴9x+3?2x+2=5，∴7x=0，∴x=0；（2）解：∵x=5是方程的解，∴3×5?m2∴315?m∴45?3m?10?2m=5，解得：m=6，∴12∴12m2（3）解：∵x+12解得：x=4，∵方程3x?m2?x+m∴3×4?m2∴312?m解得：m=23∴m的值為235（4）解：∵誤將“56”看成了“65”，得到方程的解為∴x=1是方程3x?m2∴3×1?m2解得：m=?1∴m的值為?1（5）解：∵3x?m2∴33x?m∴9x?3m?2x?2m=5，∴x=5∵x取正整數(shù)，∴m+1為7的正整數(shù)倍數(shù)．又∵m取最小值，∴m+1=7，∴m=6，∴m的值為6．21．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知方程x3(1)當(dāng)a取何值時(shí)，方程無解？(2)當(dāng)a取何值時(shí)，方程有無窮多個(gè)解？(3)當(dāng)a取何值時(shí)，方程有唯一解x=?9？【答案】(1)a=?2(2)a=2(3)a=?4【分析】本題考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，化簡(jiǎn)絕對(duì)值等知識(shí)．熟練掌握一元一次方程的解，解一元一次方程，化簡(jiǎn)絕對(duì)值是解題的關(guān)鍵．（1）由題意知，方程整理得，2?a3?x=2?a，當(dāng)2?（2）由題意知，當(dāng)2?a3=0（3）把x=?9代入2?a3?x=2?a，得?6+3a=2?a【詳解】（1）解：x3整理得，2?a由題意知，當(dāng)2?a3=0解得a=?2，∴當(dāng)a=?2時(shí)，方程無解；（2）解：由題意知，當(dāng)2?a3=0解得a=2，∴當(dāng)a=2時(shí)，方程有無窮多個(gè)解；（3）解：把x=?9代入2?a3?x=2?a當(dāng)a≥0時(shí)，?6+3a=2?a，解得a=2（不合題意，舍去）；當(dāng)a<0時(shí)，?6?3a=2?a，解得a=?4，∴當(dāng)a=?4時(shí)，方程有唯一解x=?9．【考點(diǎn)8】與解一元一次方程有關(guān)的遮擋/污染問題22．（24-25七年級(jí)上·山東·期末）小明在做解方程作業(yè)時(shí)，不小心將方程中的一個(gè)常數(shù)污染了，導(dǎo)致其看不清楚，被污染的方程是2x??=1(1)小明猜想“?”部分是2，請(qǐng)你算一算x的值；(2)小明翻看了書后的答案，此方程的解是x=1．請(qǐng)你算一算這個(gè)常數(shù)應(yīng)是多少．【答案】(1)2(2)1【分析】本題考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常見的過程有去括號(hào)、移項(xiàng)、未知數(shù)系數(shù)化為1．（1）代入?=2，解方程即可；（2）設(shè)常數(shù)為y，把x=1代入解關(guān)于y的方程即可．【詳解】（1）解：由題意得：2x?2=1解得：x=2；（2）解：設(shè)常數(shù)為y，把x=1代入得：2?y=1解得：y=123．（24-25七年級(jí)上·北京·期中）小涵在解關(guān)于x的一元一次方程3x?12+□=3時(shí)，發(fā)現(xiàn)正整數(shù)“□”被污染了，于是就去問同學(xué)小李，小李也記不清“□”的具體值了，只記得這個(gè)方程的解是正整數(shù)．小涵經(jīng)過深入思考，想出了一個(gè)好辦法，她將“□”設(shè)為【答案】2【分析】本題主要考查了解一元一次方程的拓展，設(shè)被污染的正整數(shù)為m，則有3x?12+m=3，解方程得到x=7?2m3，根據(jù)方程的解為正整數(shù)得到7?2m3是正整數(shù)，且m為正整數(shù)，可得m=1【詳解】解：設(shè)被污染的正整數(shù)為m，則有3x?12∴3x?1+2m=6，解得x=7?2m∵這個(gè)方程的解是正整數(shù)，∴7?2m3是正整數(shù)，且m∴m=1或m=2或m=3，∴當(dāng)m=1或m=3時(shí)，7?2m3∴m=2時(shí)，7?2m3∴被污染的正整數(shù)是2．24．（23-24七年級(jí)上·河北承德·期末）嘉淇在解關(guān)于x的一元一次方程x+12+⊙=2+2?x(1)嘉淇猜⊙是?1，請(qǐng)解一元一次方程x+12(2)老師告訴嘉淇這個(gè)方程的解為x=?4，求被污染的常數(shù)⊙．【答案】(1)x=4(2)5【分析】本題考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．（1）運(yùn)用解一元一次方程的一般步驟求解即可；（2）被污染的常數(shù)⊙為k得到x+12+k=2+2?x4，將【詳解】（1）解：x+1去分母得：2x+1去括號(hào)得：2x+2?4=8+2?x，移項(xiàng)得：2x+x=8+2?2+4，合并同類項(xiàng)得：3x=12，系數(shù)化為1得：x=4；（2）設(shè)被污染的常數(shù)⊙為k，則原方程可化為：x+12∵這個(gè)方程的解為x=?4，∴將x=?4代入得：?4+12解得：k=5，即污染的常數(shù)⊙為5．25．（23-24七年級(jí)上·河北廊坊·期中）嘉淇在進(jìn)行解一元一次方程的練習(xí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)有一個(gè)方程“3x+7=■?x”中的常數(shù)被“■”遮擋．(1)嘉淇猜想“■”遮擋的常數(shù)是1，請(qǐng)你算一算x的值；(2)老師說此方程的解與方程2x?1【答案】(1)x=?(2)遮擋的常數(shù)是19【分析】本題主要考查了解一元一次方程；（1）根據(jù)題意得出方程3x+7=1?x，然后解方程即可；（2）先解方程2x?12=12x+4得出x=3，設(shè)遮擋的常數(shù)為a，然后把解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次方程的一般方法，準(zhǔn)確計(jì)算．【詳解】（1）解：由題意得3x+7=1?x，移項(xiàng)，得3x+x=?7+1，合并同類項(xiàng)，得4x=?6，系數(shù)化為1，得x=?3（2）解：2x?1移項(xiàng)，得2x?1合并同類項(xiàng)，得32系數(shù)化為1，得x=3，設(shè)遮擋的常數(shù)為a，把x=3代入方程得3×3+7=a?3，解得a=19．故遮擋的常數(shù)是19．【考點(diǎn)9】與解一元一次方程有關(guān)的新定義問題26．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·期末）定義一種有理數(shù)的新運(yùn)算“￡”其運(yùn)算方式如下∶2￡1=4×2?3×1=5∶1￡?3?5￡…觀察上面的運(yùn)算方式，請(qǐng)解決下列問題(1)對(duì)于任意有理數(shù)m，n，m￡n=（用含m，n的式子表示）∶(2)解方程∶3￡2￡x(3)若關(guān)于x的方程3￡ax?1=6a≠0【答案】(1)4×m?3×n(2)x=(3)a的值為?3，?1，1，3【分析】本題考查有理數(shù)的新運(yùn)算，解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是觀察有理數(shù)的新運(yùn)算，得到規(guī)律，根據(jù)規(guī)律，進(jìn)行計(jì)算，解一元一次方程，即可．（1）觀察有理數(shù)的新運(yùn)算，得到規(guī)律，根據(jù)規(guī)律，進(jìn)行計(jì)算；（2）由（1）得，有理數(shù)新運(yùn)算規(guī)律，再根據(jù)解一元一次方程，即可；（3）由（1）得，有理數(shù)新運(yùn)算規(guī)律，再根據(jù)解一元一次方程，進(jìn)行計(jì)算，即可．【詳解】（1）解：由題意得，m￡n=4m?3n，故答案為：4m?3n．（2）解：∵2￡x=4×2?3x=8?3x，∴3￡=3￡=4×3?3=12?24+9x=?12+9x，∵3￡2￡x∴4?3x=?12+9x，解得：x=4（3）解：∵3￡ax?1=12?3ax+3，=15?3ax，∴15?3ax=6，解得：x=3∵x為整數(shù)，∴3a∵a為整數(shù)，∴a的值為：?3，?1，1，3．27．（24-25七年級(jí)上·北京海淀·期中）給定有理數(shù)a，b，對(duì)整式A,B，定義新運(yùn)算“⊕”：A⊕B=aA+bB；對(duì)正整數(shù)nn≥2和整式A，定義新運(yùn)算““?”n?A=A⊕A⊕???⊕An個(gè)A例如，當(dāng)a=1，b=2時(shí)，若A=x，B=?y，則A⊕B=A+2B=x?2y，2?A=A⊕A=3x．(1)當(dāng)a=2，b=1時(shí)，若A=x+y，B=x?2y，則A⊕B=______，3?A=______；(2)寫出一組a，b的值，使得對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n和整式A，均有n?A=A，并說明理由；(3)當(dāng)a=2，b=1時(shí)，若A=3x2+7xy，B=2x2?30xy?y2，p,q是正整數(shù)，令P=p?A，Q=q?B，且【答案】(1)3x，7x+7y(2)a=0，b=1，理由見解析(3)p=4，q=3【分析】本題主要考查了新運(yùn)算的定義與理解、指數(shù)運(yùn)算與代數(shù)運(yùn)算、方程求解與邏輯推理，熟練掌握新運(yùn)算的理解和指數(shù)運(yùn)算與代數(shù)運(yùn)算是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)新定義直接代入化簡(jiǎn)即可；（2）將n?A運(yùn)算展開，進(jìn)一步化簡(jiǎn)，然后根據(jù)使得這個(gè)方程對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n都成立，代入即可；（3）根據(jù)已知條件分別表示出P、Q，然后化簡(jiǎn)，根據(jù)不含有的項(xiàng)的系數(shù)為0，化簡(jiǎn)，然后找出正整數(shù)的解即可；【詳解】（1）解：當(dāng)a=2，b=1時(shí)，若A=x+y，B=x?2y，A⊕B=aA+bB=2(x+y)+1(x?2y)=2x+2y+x?2y=3x3?A=A⊕A⊕A==23x+3y故答案為：3x，7x+7y．（2）解：取a=0，b=1，理由如下：n?A=a若n?A=A，則an令A(yù)=1，an這是一個(gè)關(guān)于a和b的方程，我們需要找到一組解使得這個(gè)方程對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n都成立∴1n通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)a=1，b=0時(shí)，上式變?yōu)?n即1=1，這個(gè)等式對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n都成立．因此，我們找到了一組滿足條件的a和b的值，即a=1，b=0．所以對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n和整式A，均有n?A=A．（3）解：根據(jù)新運(yùn)算的定義得，P=2p?1當(dāng)a=2，b=1時(shí)，P⊕Q=2P+Q當(dāng)a=2，b=1時(shí)，上式變?yōu)椋篜⊕Q=2P+Q=22p?1∵P⊕Q不含xy項(xiàng)，∴7∴72當(dāng)p=1，7×2=14，此時(shí)q不是正整數(shù)，舍去，當(dāng)p=2，7×22+2當(dāng)p=3，7×23+當(dāng)p=4，7×24+23∴p=4，q=3．28．（2024七年級(jí)上·浙江·專題練習(xí)）定義：如果兩個(gè)一元一次方程的解互為相反數(shù)，我們就稱這兩個(gè)方程為“兄弟方程”．如：方程2x=4和3x+6=(1)若關(guān)于x的方程5x+m=0與方程2x?4=6是“兄弟方程”，求m的值；(2)若某“兄弟方程”的兩個(gè)解的差為8，其中一個(gè)解為n，求n的值．【答案】(1)m=25(2)n1=4【分析】本題考查有關(guān)解一元一次方程、一元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是知道解一元一次方程的方法．（1）根據(jù)關(guān)于x的方程5x+m=0與方程2x?4=6是“兄弟方程”，先求出方程2x?4=6的解為，再代入5x+m=0中求解；（2）根據(jù)“兄弟方程”其中一個(gè)解為n，則“兄弟方程”的另一個(gè)解為?n，利用兩個(gè)解的差為8，列出方程求解．【詳解】（1）解：解方程2x?4=6，得x=5∵關(guān)于x的方程5x+m=0與方程2x?4=6是“兄弟方程”，∴方程5x+m=0的解為x=?5，∴5×?5?25+m=0，∴m=25．（2）解：因?yàn)椤靶值芊匠獭逼渲幸粋€(gè)解為n，則“兄弟方程”的另一個(gè)解為?n．∵兩個(gè)解的差為8，∴n??n=8或∴n1=4，【考點(diǎn)10】一元一次方程與數(shù)軸綜合29．（24-25七年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離AB=a?b(1)數(shù)軸上數(shù)x到原點(diǎn)的距為為4，x可能在原點(diǎn)左邊4個(gè)單位，此時(shí)x的值為______，x也可能在原點(diǎn)右邊4個(gè)單位，此時(shí)x的值為______．(2)x與3之間的距離表示為______，結(jié)合上面的理解，若x?3=2，則x=(3)當(dāng)x是______時(shí)，代數(shù)式x?5+|x?2|=7(4)當(dāng)x+3?x?5取最大值時(shí)，(5)若點(diǎn)A表示的數(shù)?1，點(diǎn)B與點(diǎn)A的距離是5，且點(diǎn)B在點(diǎn)A的右測(cè)，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度是每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，求運(yùn)動(dòng)幾秒后，PQ=1？（請(qǐng)寫出必要的求解過程）【答案】(1)?4，4；(2)x?3，1或5；(3)0或7；(4)x≥5，8；(5)運(yùn)動(dòng)2秒或3秒后，PQ=1．【分析】本題考查了絕對(duì)值的定義，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，解一元一次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握絕對(duì)值的定義．（1）數(shù)軸上到原點(diǎn)距離為4的點(diǎn)有兩個(gè)，分別在原點(diǎn)的左右兩邊，根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的特征即可求解；（2）根據(jù)絕對(duì)值的定義即可求解．（3）根據(jù)x的取值范圍取絕對(duì)值，分①當(dāng)x≥5時(shí)；②當(dāng)2≤x<5時(shí)；③當(dāng)x<2時(shí)，三種情況進(jìn)行討論求解即可；（4）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)分類討論，可得答案；（5）設(shè)運(yùn)動(dòng)x秒后PQ=1，根據(jù)題意求得點(diǎn)B表示的數(shù)為4，得到x秒后點(diǎn)P表示的數(shù)為?1+3x，點(diǎn)Q表示的數(shù)為4+x，則?1+3x?4+x【詳解】（1）解：數(shù)軸上到原點(diǎn)距離為4的點(diǎn)有兩個(gè)，當(dāng)x在原點(diǎn)左邊時(shí)，x的值為?4，當(dāng)x在原點(diǎn)右邊時(shí)，x的值為4，故答案為：?4，4；（2）解：x與3之間的距離表示為：x?3，若x?3=2,則解得：x=1或x=5故答案為：x?3，1或5；（3）解：①當(dāng)x≥5時(shí)，原方程可化為：x?5+x?2=7，解得：x=7，②當(dāng)2≤x<5時(shí)，原方程可化為：5?x+x?2=7，此時(shí)方程無解，③當(dāng)x<2時(shí)，原方程可化為：5?x+2?x=7，解得：x=0，綜上可得x的值為0或7，故答案為：0或7；（4）解：當(dāng)x<?3時(shí)，x+3<0，x?5<0，∴x+3?當(dāng)?3≤x<5時(shí)，x+3≥0，x?5<0，∴x+3?∴?3×2?2≤2x?2<5×2?2，即?8≤2x?2<8；當(dāng)x≥5時(shí)，x+3>0，x?5≥0，∴x+3?綜上可知：當(dāng)x≥5時(shí)，x+3?x?5取最大值，最大值為故答案為：x≥5，8；（5）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)x秒后PQ=1，∵點(diǎn)A表示的數(shù)為?1，點(diǎn)B與點(diǎn)A的距離是5，且點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)∴點(diǎn)B表示的數(shù)為：?1+5=4，由題意可得x秒后點(diǎn)P表示的數(shù)為?1+3x，點(diǎn)Q表示的數(shù)為4+x，則?1+3x?4+x整理得：2x?5=1∴2x?5=?1或2x?5=1解得：x=2或x=3，∴運(yùn)動(dòng)2秒或3秒后PQ=1．30．（24-25七年級(jí)上·廣東韶關(guān)·期中）已知數(shù)軸上A，B，C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為?2、1、5，點(diǎn)P為數(shù)軸上任意一點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x．點(diǎn)A與點(diǎn)P之間的距離表示為AP，點(diǎn)B與點(diǎn)P之間的距離表示為BP．(1)若AP=BP，則x=________；(2)若AP+BP=8，求x的值；(3)若點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B以每秒3個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)與另外兩個(gè)點(diǎn)的距離相等時(shí)，求這時(shí)三個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)各是多少？【答案】(1)?(2)x的值為?92(3)這時(shí)點(diǎn)P、A、B表示的數(shù)各是525，?215，【分析】本題考查了數(shù)軸在有理數(shù)加減運(yùn)算中的簡(jiǎn)單應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合及分類討論是解題的關(guān)鍵．（1）可得點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，即可解答；（2）分三種情況，點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)，點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)，點(diǎn)P在點(diǎn)A、B之間，列方程即可解答；（3）分三種情況，BA=BP，點(diǎn)B在P左側(cè)；AB=AP，點(diǎn)B、P相遇；PA=PB，點(diǎn)B追上點(diǎn)P，在點(diǎn)P右側(cè)，列方程即可解答．【詳解】（1）解：當(dāng)AP=BP時(shí)，可得點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，可得x=?2+1故答案為：?1（2）解：∵AP+BP=8分3種情況①若點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)∵AP+BP=8∴?2?x+1?x=8，∴x=?9②若點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)∵AP+BP=8∴x+2+x?1=8，∴x=7③若點(diǎn)P在點(diǎn)A、B之間∵AB=4∴AP+BP=4這與題目條件AP+BP=8矛盾∴綜上所述x的值為?92或（3）解：設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒，則動(dòng)點(diǎn)P，A，B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為5+2t，?2?t，1+3t，分三種情況：①BA=BP，點(diǎn)B在P左側(cè)∴1+3t??2?t∴t=1此時(shí)，點(diǎn)P表示的數(shù)為5+2×1點(diǎn)A表示的數(shù)為?2?1點(diǎn)B表示的數(shù)為1+3×1②AB=AP，點(diǎn)B、P相遇∴1+3t??2?t∴t=4，此時(shí)，點(diǎn)P表示的數(shù)為：5+2×4=13，點(diǎn)A表示的數(shù)為：?2?4=?6，點(diǎn)B表示的數(shù)為：1+3×4=13．③PA=PB，點(diǎn)B追上點(diǎn)P，在點(diǎn)P右側(cè)5+2t?∴t=?4（舍去）；綜上所述，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)與另外兩個(gè)點(diǎn)的距離相等時(shí)，求這時(shí)點(diǎn)P、A、B表示的數(shù)各是525，?215，31．（24-25七年級(jí)上·四川成都·期中）如圖，在以點(diǎn)O為原點(diǎn)的數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)是6，點(diǎn)B在原點(diǎn)的左側(cè)，且AB=5AO（點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離記作AB）(1)則B點(diǎn)表示的數(shù)為；點(diǎn)C到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，則C點(diǎn)表示的數(shù)為；(2)若動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速向左運(yùn)動(dòng)，問經(jīng)過幾秒鐘后2PA=3PB，并求出此時(shí)P點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)；(3)若動(dòng)點(diǎn)M從A出發(fā)，以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā)，以3個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)B點(diǎn)后，立即以原速返回，到達(dá)A點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)A點(diǎn)立即以原速返回，到達(dá)B點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求t為多少時(shí)，點(diǎn)M和點(diǎn)N之間的距離是18個(gè)長(zhǎng)度單位．【答案】(1)?24；?9(2)?12或?84(3)t為2.4或9.6或12或24秒時(shí)，點(diǎn)M和點(diǎn)N之間的距離是18個(gè)長(zhǎng)度單位【分析】本題考查了數(shù)軸上數(shù)的表示，線段的和差，列一元一次方程方程解決問題，熟練應(yīng)用一元一次方程，結(jié)合數(shù)軸，進(jìn)行分類討論解決數(shù)軸問題是解題的關(guān)鍵．（1）AO=6，AB=5AO=30，得出B點(diǎn)表示的數(shù)；點(diǎn)C到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，則C是AB的中點(diǎn)，據(jù)此可得C點(diǎn)表示的數(shù)；（2）根據(jù)題意列方程解答即可；（3）根據(jù)題意列方程解答即可．【詳解】（1）解：∵AO=6，∵AB=5AO=30，∴OB=24，∴B點(diǎn)表示的數(shù)是?24．∴AB=6??24∵點(diǎn)C到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，∴C點(diǎn)表示的數(shù)為6?30故答案為：?24；?9；（2）設(shè)經(jīng)過x秒鐘后2PA=3PB，根據(jù)題意得：26+3x=324?3x解得x=4或x=28，0?3×4=?12，0?3×28=?84；∴P點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是?12或?84．（3）①第一次相遇前，2t+3t+18=30，t=2.4．②第一次相遇后，2t+3t=30+18，t=9.6．③第二次相遇前，點(diǎn)M還沒有到達(dá)B，點(diǎn)N返回后，M、N就相距18個(gè)單位．3t?30+18=2t，t=12．④設(shè)y秒后第二次相遇，2y+3y=90，y=18，即第18秒時(shí)第二次相遇，t=20后，N不動(dòng)，M動(dòng)．2t=30+18，t=24．∴t為2.4或9.6或12或24秒時(shí)，點(diǎn)M和點(diǎn)N之間的距離是18個(gè)長(zhǎng)度單位．32．（24-25七年級(jí)上·重慶渝北·期中）如圖：在數(shù)軸上點(diǎn)A表示數(shù)?2，點(diǎn)B表示數(shù)1，點(diǎn)C表示數(shù)8，點(diǎn)A，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度、1個(gè)單位長(zhǎng)度和4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在數(shù)軸上同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t>0）．(1)請(qǐng)利用上述結(jié)論，結(jié)合數(shù)軸，完成下列問題：AC表示點(diǎn)A到點(diǎn)C之間的距離，運(yùn)動(dòng)之前，AC的距離為____________，運(yùn)動(dòng)t秒后，點(diǎn)A表示的數(shù)為____________（用含t的式子表示）；(2)若t秒鐘過后，點(diǎn)C在線段AB之間，且AC?2BC=0，求t值；(3)當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，是否存在常數(shù)m，使m?BC?AB的值為定值？若存在，求出m和m?BC?AB的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)10，?2?2t(2)t=3(3)當(dāng)m=?13時(shí)m?BC?AB【分析】本題考查數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題，一元一次方程的應(yīng)用，整式加減中的無關(guān)型問題．（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離等于兩數(shù)之差的絕對(duì)值直接求解即可得到答案；（2）表示出A，B，C三點(diǎn)所表示的數(shù)，得當(dāng)點(diǎn)C在線段AB之間時(shí)，AC=?2t+10，BC=3t?7，根據(jù)題意列出方程；（3）表示出m?BC?AB，根據(jù)值為定值得到t的系數(shù)為0，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵運(yùn)動(dòng)前點(diǎn)A表示數(shù)?2，點(diǎn)C表示數(shù)8，∴AC=8??2∵點(diǎn)A以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度速度運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)A表示的數(shù)為：?2?2t，故答案為：10，?2?2t；（2）點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度、1個(gè)單位長(zhǎng)度和4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在數(shù)軸上同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)A表示的數(shù)為：?2?2t，點(diǎn)B表示的數(shù)字為：1?t，點(diǎn)C表示的數(shù)字為：8?4t，∵1?t?∴點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，則當(dāng)點(diǎn)C在線段AB之間時(shí)，AC=8?4t??2?2t∵AC?2BC=0，∴?2t+10?2解得：t=3；（3）存在，當(dāng)m=?13時(shí)m?BC?AB的值為定值∵點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)，∴AB=1?t??2?2t則m?BC?AB=m??3t+7當(dāng)?3m?1=0時(shí)，即：m=?13，∴當(dāng)m=?13時(shí)m?BC?AB的值為定值【考點(diǎn)11】列方程33．（24-25七年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）一根鐵絲，第一次用去它的一半少1米，第二次用去剩下的一半多1米，結(jié)果還剩下3米．求這根鐵絲原來有多長(zhǎng)？設(shè)這根鐵絲原來的長(zhǎng)度為x，可列出方程（

）A．x?x2?1C．x?x2?1【答案】B【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次方程，利用剩下的部分=鐵絲原來的長(zhǎng)度?第一次用去的長(zhǎng)度?第二次用去的長(zhǎng)度，即可列出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．【詳解】解：∵第一次用去它的一半少1米，即x2∴第一次剩余x?x∵第二次用去剩下的一半多1米，∴第二次用去12根據(jù)題意，得x?x故選：B．34．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）惠怡媽媽在商場(chǎng)購(gòu)買了x元的東西，結(jié)賬時(shí)發(fā)現(xiàn)商場(chǎng)推出一種優(yōu)惠卡，優(yōu)惠方案：卡售價(jià)50元，購(gòu)物打八折，惠怡媽媽掐指一算，發(fā)現(xiàn)使用優(yōu)惠卡后可以少付10元．則下面所列方程正確的是（

）A．50+0.8x=x?10 B．50+0.8x+x=10C．0.850+x=x?10 【答案】A【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵理解：“卡售價(jià)50元，購(gòu)物打八折，發(fā)現(xiàn)使用優(yōu)惠卡后可以少付10元”，設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)題中的關(guān)鍵描述語(yǔ)列出方程求解即可．【詳解】解：惠怡媽媽在商場(chǎng)購(gòu)買了x元的東西，則有：50+0.8x=x?10．故選：A．35．（23-24七年級(jí)上·河北石家莊·期末）如圖，兩根鐵棒直立于圓柱形水桶的桶底．一根露出水面的長(zhǎng)度是它的13，另一根露出水面的長(zhǎng)度是它的15，兩根鐵棒長(zhǎng)度之和為55cm，如果設(shè)此時(shí)水桶中水的深度是xcmA．13x+1C．32x+5【答案】C【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，找出題目中的等量關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．設(shè)此時(shí)水桶中水的深度是xcm，根據(jù)一根露出水面的長(zhǎng)度是它的13，另一根露出水面的長(zhǎng)度是它的15，表示出兩根鐵棒的長(zhǎng)度分別為x1?1【詳解】解：設(shè)此時(shí)水桶中水的深度是xcm根據(jù)題意得：32故選：C．36．（2024七年級(jí)上·河南·專題練習(xí)）在做科學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)，老師將第一個(gè)量筒（圓柱）中的水全部倒入第二個(gè)量筒中，如圖所示，根據(jù)圖中給出的信息，可得正確的方程是（

）A．π?82C．π?82【答案】A【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次方程，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程．根據(jù)等量關(guān)系為“第一個(gè)量筒中水的體積=第二個(gè)量筒中水的體積”建立方程即可解題．【詳解】解：由題知，第一個(gè)量筒（圓柱）中的水的體積為：π?第二個(gè)量筒中的水的體積為：π?根據(jù)表示同一個(gè)量的兩個(gè)式子相等有π?故選：A．37．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）某車間有90名工人生產(chǎn)螺絲與螺母，平均每人每天生產(chǎn)50個(gè)螺絲或80個(gè)螺母，要使每天生產(chǎn)的螺絲和螺母按1:2配套，如果有m人生產(chǎn)螺絲，根據(jù)題意可列方程為（

）A．80m=2×50×90?m B．C．2×80m=50×90?m D．【答案】B【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用（配套問題），讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系并列出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)分配m人生產(chǎn)螺絲，則有90?m人生產(chǎn)螺母，根據(jù)每天生產(chǎn)的螺絲和螺母按1:2配套，列出方程即可．【詳解】解：設(shè)分配m人生產(chǎn)螺絲，則有90?m人生產(chǎn)螺母，每天生產(chǎn)螺絲50m個(gè)，生產(chǎn)螺母80×90?m∵每天生產(chǎn)的螺絲和螺母按1:2配套，∴2×50m=80×90?m故選：B．【考點(diǎn)12】一元一次方程與實(shí)際問題38．（24-25七年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）(列一元一次方程解決問題)甲、乙兩個(gè)車站相距240km，一列貨車從甲站開出，每小時(shí)行駛48km，一列客車從乙站開出，每小時(shí)行駛(1)兩列火車同時(shí)開出，相向而行，多少小時(shí)后兩車相遇？(2)貨車從甲站開出1h后，客車從乙站開出，兩車同向行駛，客車開出幾小時(shí)后兩車相距48【答案】(1)兩列火車同時(shí)開出，相向而行，2小時(shí)后兩車相遇；(2)兩車同向行駛，客車開出24小時(shí)或20小時(shí)后兩車相距48【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用；（1）設(shè)兩列火車同時(shí)開出，相向而行，x小時(shí)后兩車相遇，可得48x+72x=240，即可解得答案；（2）設(shè)客車開出y小時(shí)后兩車相距48km，根據(jù)題意得：72y?48(y+1)=480+48或72y?48(y+1)=480?48【詳解】（1）解：設(shè)兩列火車同時(shí)開出，相向而行，x小時(shí)后兩車相遇，根據(jù)題意得：48x+72x=240，解得；x=2，∴兩列火車同時(shí)開出，相向而行，2小時(shí)后兩車相遇；（2）設(shè)客車開出y小時(shí)后兩車相距48km根據(jù)題意得：72y?48(y+1)=480+48或72y?48(y+1)=480?48，解得y=24或y=20，∴兩車同向行駛，客車開出24小時(shí)或20小時(shí)后兩車相距48km39．（24-25七年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）某校新進(jìn)了一批課桌椅，七年級(jí)（2）班的學(xué)生利用活動(dòng)課時(shí)間幫助學(xué)校搬運(yùn)部分課桌椅，已知七年級(jí)（2）班共有學(xué)生45人，其中男生人數(shù)比女生人數(shù)的2倍少24人，要求每個(gè)學(xué)生搬運(yùn)6張桌子或者搬運(yùn)15把椅子．請(qǐng)解答下列問題：(1)七年級(jí)（2）班男生、女生分別有多少人？(2)一張桌子配兩把椅子，為了使搬運(yùn)的桌子和椅子剛好配套，應(yīng)該分配多少個(gè)學(xué)生搬運(yùn)桌子，多少個(gè)學(xué)生搬運(yùn)椅子？【答案】(1)七年（2）班有男生22人、女生23人(2)應(yīng)該分配25名學(xué)生搬運(yùn)桌子，20名學(xué)生搬運(yùn)椅子【分析】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵；（1）設(shè)女生有x人，根據(jù)男生人數(shù)比女生人數(shù)的2倍少24人得到男生人數(shù)，再利用總?cè)藬?shù)建立方程求解即可；（2）設(shè)分配y名學(xué)生搬運(yùn)桌子，可得45?y人搬運(yùn)椅子，利用搬運(yùn)的桌子和椅子剛好配套，再建立方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)女生有x人，由題意得：2x?24+x=45，解得x=23，45?23=22（人），答：七年（2）班有男生22人、女生23人；（2）解：設(shè)分配y名學(xué)生搬運(yùn)桌子，由題意得：2×6y=1545?y解得y=25，45?25=20（名），答：應(yīng)該分配25名學(xué)生搬運(yùn)桌子，20名學(xué)生搬運(yùn)椅子．40．（24-25七年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期末）某公司為迎接新年，計(jì)劃定購(gòu)一批禮品，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工廠可以生產(chǎn)這批禮品，若這兩個(gè)工廠單獨(dú)生產(chǎn)這批禮品，則甲工廠比乙工廠多用5天完成，已知甲工廠每天生產(chǎn)240件，乙工廠每天生產(chǎn)360件．(1)求這批禮品共有多少件？(2)在禮品生產(chǎn)過程中，該公司每天支付給甲工廠的費(fèi)用是5000元，每天支付給乙工廠的費(fèi)用是9000元，公司有兩種方案可選擇，方案一：由乙工廠單獨(dú)生產(chǎn)；方案二：甲、乙兩個(gè)工廠共同生產(chǎn)．請(qǐng)計(jì)算兩種方案的費(fèi)用差．【答案】(1)這批禮品共有3600件；(2)兩種方案的費(fèi)用差為6000元．【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)乙工廠單獨(dú)生產(chǎn)這批禮品需要x天，則甲工廠單獨(dú)生產(chǎn)這批禮品需要x+5天，利用公式：生產(chǎn)總量=生產(chǎn)時(shí)間×生產(chǎn)效率，列出方程240x+5（2）分別計(jì)算乙工廠單獨(dú)生產(chǎn)，甲、乙兩個(gè)工廠共同生產(chǎn)的費(fèi)用，再將2個(gè)計(jì)算結(jié)果作差即可解答．【詳解】（1）解：設(shè)乙工廠單獨(dú)生產(chǎn)這批禮品需要x天，則甲工廠單獨(dú)生產(chǎn)這批禮品需要x+5天，根據(jù)題意得：240x+5解得：x=10，∴360x=360×10=3600．答：這批禮品共有3600件．（2）乙工廠單獨(dú)生產(chǎn)的費(fèi)用：10×9000=90000（元），甲、乙兩個(gè)工廠共同生產(chǎn)的費(fèi)用：3600240+360∴兩種方案的費(fèi)用差為90000?84000=6000（元）．答：兩種方案的費(fèi)用差為6000元．41．（24-25七年級(jí)上·江蘇淮安·階段練習(xí)）（1）【情境導(dǎo)入】某服裝成本為100元，售價(jià)為120元，則利潤(rùn)為元．（2）【課本再現(xiàn)】下面是蘇教版初中數(shù)學(xué)教科書七年級(jí)上冊(cè)第129頁(yè)的部分內(nèi)容（銷售中的盈虧）．某商店以240元的相同售價(jià)賣出兩件不同的襯衫，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，商店賣出這兩件襯衫是盈利，還是虧損？回答：（3）【解決問題】七年級(jí)實(shí)踐小組去商場(chǎng)調(diào)查，了解到某款羽絨服以每件80元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)了200件，并以每件120元的價(jià)格銷售了一部分，為回籠資金，商場(chǎng)將剩下的羽絨服在原售價(jià)的基礎(chǔ)上每件降價(jià)40%【答案】（1）20；（2）虧損；（3）150件【分析】本題主要考查了有理數(shù)減法的實(shí)際應(yīng)用，一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用：（1）根據(jù)利潤(rùn)=售價(jià)?進(jìn)價(jià)即可得出答案．（2））設(shè)盈利的襯衫的進(jìn)價(jià)為x元，虧損的襯衫的進(jìn)價(jià)為y元，根據(jù)題意分別求出兩件衣服的進(jìn)價(jià)，再根據(jù)利潤(rùn)=售價(jià)?進(jìn)價(jià)把兩件衣服的利潤(rùn)相加即可得出答案．（3）設(shè)降價(jià)前共售出m件，則降價(jià)后售出200?m件，根據(jù)利潤(rùn)=（單價(jià)售價(jià)?單價(jià)進(jìn)價(jià)）×銷售量列出方程求解即可．【詳解】解：（1）服裝成本為100元，售價(jià)為120元，則利潤(rùn)為120?100=20（元）（2）設(shè)盈利的襯衫的進(jìn)價(jià)為x元，虧損的襯衫的進(jìn)價(jià)為y元，根據(jù)題意得：240?x=25%x解得：x=192，y=320，∴240?x+240?y=240?192+240?320=?32答：商店賣出這兩件襯衫虧損了．（3）設(shè)降價(jià)前共售出m件，則降價(jià)后售出200?m件，由題意得，120?80m+解得m=150，答：降價(jià)前共售出150件．42．（24-25七年級(jí)上·河北邯鄲·階段練習(xí)）某電視臺(tái)組織知識(shí)競(jìng)賽，共設(shè)20道選擇題，各題分值相同，每題必答．下表記錄了3個(gè)參賽者的得分情況：參賽者答對(duì)題數(shù)答錯(cuò)題數(shù)總得分甲200100乙19194丙14664(1)由表可知：答對(duì)1題得______分，答錯(cuò)1題得______分；(2)參賽者丁得了88分，他答對(duì)了幾道題？(3)參賽者戊說他得了80分，你認(rèn)為可能嗎？為什么？【答案】(1)5，?1(2)她答對(duì)了18道題(3)不可能，理由見解析【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、有理數(shù)的混合運(yùn)算的應(yīng)用，理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)表格列式計(jì)算即可得出答案；（2）設(shè)他答對(duì)了x道題，則答錯(cuò)了20?x道題，根據(jù)“參賽者丁得88分”列出一元一次方程，解方程即可得出答案；（3）設(shè)他答對(duì)了y道題，則答錯(cuò)了20?y道題，根據(jù)“參賽者戊說他得了80分”列出一元一次方程，解方程即可得出答案．【詳解】（1）解：由題意得：答對(duì)1題得：100÷20=5（分），答錯(cuò)1題得：94?19×5=?1（分），故答案為：5，?1；（2）解：設(shè)他答對(duì)了x道題，則答錯(cuò)了20?x道題，由題意得：5x+20?x解得：x=18，則他答對(duì)了18道題；（3）解：不可能，理由如下：設(shè)他答對(duì)了y道題，則答錯(cuò)了20?y道題，由題意得：5y+20?y解得：y=50∴參賽者戊說他得了80分，是不可能的．43．（24-25七年級(jí)上·吉林·階段練習(xí)）七年級(jí)準(zhǔn)備組織學(xué)生到某社會(huì)實(shí)踐基地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，門票為每人20元，由各班班長(zhǎng)負(fù)責(zé)買票．下面是1班班長(zhǎng)與售票員咨詢的對(duì)話：你好！我們每個(gè)班的學(xué)生人數(shù)都超過40人，請(qǐng)問購(gòu)買團(tuán)隊(duì)票有優(yōu)惠嗎？你好！購(gòu)票人數(shù)超過40人的團(tuán)體票，有兩種優(yōu)惠方案：方案一：若每人都購(gòu)票，每張門票打8折；方案二：若打9折，有7人可免票．(1)已知1班學(xué)生人數(shù)為44，選擇了方案一購(gòu)票，求1班購(gòu)票需要多少元？(2)若2班選擇了方案二，購(gòu)票費(fèi)用為702元，求2班有多少人？(3)求當(dāng)人數(shù)為多少時(shí)，兩種方案所需錢數(shù)一樣．【答案】(1)1班購(gòu)票需要704元(2)2班有46人(3)當(dāng)人數(shù)為63人時(shí)，兩種方案所需錢數(shù)一樣【分析】此題考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，方案選擇問題，找準(zhǔn)題目間等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）用人數(shù)44乘以票價(jià)20再乘以0.8即可；（2）設(shè)2班有x人，列方程20(x?7)×0.9=702，求解即可得到答案；（3）設(shè)有a人，由題意得20(a?7)×0.9=20a×0.8，得a=63，當(dāng)班級(jí)人數(shù)為63人時(shí)，兩種方案費(fèi)用相等．【詳解】（1）解：44×20×0.8=704（元)，答：1班購(gòu)票需要704元；（2）解：設(shè)2班有x人，由題意得20(x?7)×0.9=702，解得x=46，答：2班有46人；（3）解：設(shè)有a人，由題意得20(a?7)×0.9=20a×0.8，解得a=63，∴當(dāng)班級(jí)人數(shù)為63人時(shí)，兩種方案費(fèi)用相等．44．（24-25七年級(jí)上·湖北宜昌·期中）將連續(xù)的奇數(shù)1，3，5；7，9，……排成如圖所示：(1)十字框中5個(gè)數(shù)之和是41的幾倍？(2)設(shè)十字框中間的數(shù)為a，用式子分別表示十字框中其它四個(gè)數(shù)，并求出這五個(gè)數(shù)的和．(3)十字框中的五個(gè)數(shù)之和能等于2000嗎？若能，請(qǐng)寫出這五個(gè)數(shù)，若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)5倍(2)見解析，5a(3)不能，見解析【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，列代數(shù)式，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，根據(jù)十字框中5個(gè)數(shù)之間的關(guān)系求出5個(gè)數(shù)之和是解題的關(guān)鍵．（1）將十字框中的5個(gè)數(shù)相加除以41即可得出結(jié)論；（2）觀察圖形，根據(jù)5個(gè)數(shù)之間的關(guān)系即可求出這十字框中五個(gè)數(shù)的和；（3）假設(shè)能，令5x=2000，求出x的值，根據(jù)x為偶數(shù)不是奇數(shù)即可得出假設(shè)不成立，此題得解．【詳解】（1）解：25+39+41+43+57÷41=205÷41=5答：十字框中5個(gè)數(shù)之和是41的5倍．（2）解：∵十字框中間的數(shù)為a，左邊的數(shù)為a?2，右邊的數(shù)為a+2，上面的數(shù)為a?16，下面的數(shù)為a+16，∴這十字框中五個(gè)數(shù)的和為：a?16+（3）解：假設(shè)能，設(shè)中間的數(shù)為x，根據(jù)題意，得：5x=2000，解得：x=400．∵400為偶數(shù)，∴假設(shè)不成立，即十字框中的五個(gè)數(shù)之和不能等于2000．45．（24-25七年級(jí)上·廣東江門·期中）把若干宣紙分給七年級(jí)優(yōu)秀繪畫愛好者，若每人分3張，則剩余12本，若每人分5張，則缺10張，繪畫愛好者有幾人？這批宣紙有多少?gòu)垼敬鸢浮坷L畫愛好者有11人，這批宣紙有45張【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)繪畫愛好者有x人，根據(jù)題意分別這批宣紙的張數(shù)，根據(jù)這批宣紙的張數(shù)不變列方程，求解即可．【詳解】解：設(shè)繪畫愛好者有x人，3x+12=5x?10，解得x=11，即繪畫愛好者有11人，則3x+12=3×11+12=45，即這批宣紙有45張，答：繪畫愛好者有11人，這批宣紙有45張．46．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）為了倡導(dǎo)節(jié)約用水，某市自去年開始實(shí)行階梯水價(jià)．具體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：每戶每月用水量不超過12噸，每噸3.2元；超過12噸的部分，每噸4.6元．(1)林敏家今年5月用水15噸，他家應(yīng)付多少元水費(fèi)？(2)馬老師家5月份共交了84.4元水費(fèi)，馬老師家5月份一共用水多少噸？【答案】(1)林敏家今年5月用水15噸，他家應(yīng)付52.2元水費(fèi)(2)馬老師家5月份一共用水22噸【分析】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意；（1）15噸大于12噸，所以把15噸分成兩部分，第一部分是12噸，按照每噸3.2元繳費(fèi)；第二部分是剩下的3噸，按照每噸4.6元繳費(fèi)，分別根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量求出兩部分需要繳費(fèi)的錢數(shù)，再相加；（2）設(shè)他家5月份用水x噸，先確定用水12噸應(yīng)交的水費(fèi)為38.4元，可知他家5月份用水超過12噸，超過12噸部分的水費(fèi)為4.6x?12元，可列方程38.4+4.6x?12=84.4【詳解】（1）解：12×3.2=38.4（元），15?12×4.6=13.838.4+13.8=52.2（元），答：林敏家今年5月用水15噸，他家應(yīng)付52.2元水費(fèi)．（2）解：設(shè)馬老師家5月份一共用水x噸，用水12噸時(shí)，水費(fèi)為12×3.2=38.4（元），∵84.4元＞38.4元，∴馬老師家5月份5月份用水量超過了12噸，根據(jù)題意得38.4+4.6x?12解得x=22，答：馬老師家5月份一共用水22噸．47．（24-25七年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）列一元一次方程解決實(shí)際問題．《九章算術(shù)》是我國(guó)第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，其中“盈不足術(shù)”記載：今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．問人數(shù)幾何？譯文：今有人合伙買金，每人出400錢，剩余3400錢；每人出300錢，剩余100錢．問合伙人數(shù)是多少？【答案】合伙人數(shù)為33人【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)合伙人數(shù)為x人，根據(jù)題意列出一元一次方程，解方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)合伙人數(shù)為x人由題意得：400x?3400=300x?100解得：x=33答：合伙人數(shù)為33人48．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）《孫子算經(jīng)》中有一道闡述“盈不足術(shù)”的問題，原文如下：今有木，不知長(zhǎng)短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．問：幾何？譯文為：現(xiàn)在有一根木頭，不知道有多長(zhǎng)，用一段繩子去測(cè)量，拉直后繩子還多四尺五寸；將繩子對(duì)折后去量木頭，木頭還剩一尺．問：木頭多長(zhǎng)？（一尺等于十寸）【答案】6.5尺【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)拉直后繩子還多四尺五寸，將繩子對(duì)折后去量木頭，木頭還剩一尺，列一元一次方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)木頭長(zhǎng)x尺，根據(jù)題意，得4.5+x=2x?1解得x=6.5，答：木頭長(zhǎng)6.5尺．【考點(diǎn)13】一元一次方程與幾何綜合49．（24-25七年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期末）【定義】若0°<∠α<180°，0°<∠β<180°，且∠α?∠β=45°，則稱∠α、∠β互為“半余角”．已知，如圖，O為直線AB上一點(diǎn)，∠AOM=15°，∠BON=60°(1)圖中的“半余角”有哪幾對(duì)？(2)若射線ON繞點(diǎn)O以每秒10°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒0<t<21．①當(dāng)t=13.5時(shí)，請(qǐng)判斷∠BON與∠MON是否互為“半余角”，并說明理由；②若射線OM同時(shí)繞點(diǎn)O以每秒15°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠AON與∠MON互為“半余角”時(shí)，直接寫出t的值．【答案】(1)三對(duì)，∠AOM和∠BON，∠MON和∠BON，∠AON和∠BOM(2)①是，理由見解析；②2或18【分析】本題主要考查了結(jié)合圖形中角的計(jì)算，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，注意進(jìn)行分類討論．（1）根據(jù)半余角定義進(jìn)行求解即可；（2）①先求出∠BON=10°×13.5?60°=75°，∠MON=15°+180°?75°②分兩種情況：當(dāng)∠AON與∠MON在AB的上方時(shí)，當(dāng)∠AON與∠MON在AB的下方時(shí)，分別列出方程，求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：三對(duì)：∠AOM和∠BON，∠MON和∠BON，∠AON和∠BOM．∵∠AOM=15°，∠BON=60°，∴∠MON=180°?15°?60°=105°，∠AON=180°?60°=120°，∠BOM=180°?15°=165°，∴∠AOM?∠BON=∠MON?∠BON=∠AON?∠BOM=∴∠AOM和∠BON互為“半余角”，∠MON和∠BON互為“半余角”，∠AON和∠BOM互為“半余角”；（2）解：①是；理由如下：當(dāng)t=13.5時(shí)，∠BON=10°×13.5?60°=75°，∴∠MON=15°+180°?75°∴∠MON?∠BON=45°，∴∠MON和∠BON是互為“半余角”；②當(dāng)∠AON與∠MON在AB的上方時(shí)，由題意可知：∠AON=15°+105°+10t=120°+10t，∠MON=105°?15t+10t=105°?5t，∴120°+10t?105°+5t=45°解得：t1=2，t2當(dāng)∠AON與∠MON在AB的下方時(shí)，由題意可知：∠AON=180°?(10t?60°)=240°?10t，∠MON=360°?(15°+15t)?(240°?10t)=105°?5t，∴|240°?10t?105°+5t|=45°，解得：t3=18，t4綜上所述t的值為2或18．50．（24-25七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）如圖，將一條數(shù)軸在原點(diǎn)O和點(diǎn)B處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”，圖中點(diǎn)A表示?8，點(diǎn)B表示8，點(diǎn)C表示14，我們稱點(diǎn)A和點(diǎn)C在“折線數(shù)軸”上相距22個(gè)長(zhǎng)度單位，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以4單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”的正方向運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B期間速度變?yōu)樵瓉淼乃姆种唬罅⒖袒謴?fù)原速；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以2單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O期間速度變?yōu)樵瓉淼膬杀?，之后也立刻恢?fù)原述．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，問：(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在OA上時(shí)，把點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離記為AP，則AP=________（用t的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在OB上時(shí)，把點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離記為OP，則OP=________（用t的代數(shù)式表示）；(3)當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，Q、B兩點(diǎn)在“折線數(shù)軸”上相距的長(zhǎng)度與P，O兩點(diǎn)在“折線數(shù)軸”上相距的長(zhǎng)度相等時(shí)，t的值為________（直接寫出結(jié)果）．【答案】(1)4t；(2)t?2；(3)1或83【分析】本題主要考查了數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題、一元一次方程的應(yīng)用，讀懂題意，找到等量關(guān)系并列出方程是正確解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)路程、速度和時(shí)間的關(guān)系列式即可解答；（2）根據(jù)路程、速度和時(shí)間的關(guān)系列式即可解答；（3）由Q在BC上可判定時(shí)間t的取值范圍，然后根據(jù)點(diǎn)P的位置分類討論，再根據(jù)P、O兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長(zhǎng)度與Q、B兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長(zhǎng)度相等列出一元一次方程求解即可．【詳解】（1）由題意可得：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在OA上時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間0<t≤2，點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離AP=4t，故答案為：4t；（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在OB上時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間2<t≤10，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離OP=1故答案為：t?2；（3）由點(diǎn)Q在BC上時(shí)，則時(shí)間0<t≤3，所以QB=6?2t，當(dāng)點(diǎn)P在AO上時(shí)，PO=8?AP=8?4t，由題意可得：8?4t=6?2t，解得：t=1；當(dāng)點(diǎn)P在OB上時(shí)，PO=t?2，由題意可得：6?2t=t?2，解得：t=8綜上，t的值為1或83故答案為：1或83過關(guān)檢測(cè)1．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·期末）已知等式2a+6=3b，則下列等式成立的是（

）A．2a+7=3b?1 B．a(chǎn)=3b2?3 C．4a+6=6b【答案】B【分析】本題主要考查等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)等式的性質(zhì)“等式的兩邊同時(shí)加、減一個(gè)數(shù)或式子，等式仍然成立；等式兩邊同時(shí)乘或除以一個(gè)不為0的數(shù)或式子，等式仍然成立”，結(jié)合已知等式，即可判斷求解．【詳解】因?yàn)?a+6=3b，所以2a+6+1=3b+1，即2a+7=3b+1≠3b?1，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)?a+6=3b，所以2a=3b?6，即a=3b因?yàn)?a+6=3b，所以22a+6=2×3b，即因?yàn)?a+6=3b，所以2a+62=3b故選：B．2．（22-23七年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，已知∠AOC=13∠AOB，∠AOD=12∠AOB，且A．100° B．110° C．120° D．135°【答案】C【分析】本題考查了角平分線的定義、角的計(jì)算、方程，根據(jù)已知條件列方程即可．【詳解】設(shè)∠AOB=x，則∠AOC=13x因?yàn)椤螦OD?∠AOC=∠COD，所以12x?1所以∠AOB=120°故選：C．3．（24-25七年級(jí)上·江蘇無錫·期中）如圖：第1個(gè)圖案中，內(nèi)部“△”的個(gè)數(shù)為1個(gè)，外側(cè)邊上“●”的個(gè)數(shù)為3個(gè)；第2個(gè)圖案中，內(nèi)部“△”的個(gè)數(shù)為3個(gè)，外側(cè)邊上“●”的個(gè)數(shù)為6個(gè)；第3個(gè)圖案中，內(nèi)部“△”的個(gè)數(shù)為6個(gè)，外側(cè)邊上“●”的個(gè)數(shù)為9個(gè)；依此類推，當(dāng)內(nèi)部“△”的個(gè)數(shù)是外側(cè)邊上“●”的個(gè)數(shù)的3倍時(shí)，n的值為（

）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】B【分析】本題考查了圖形規(guī)律的探究，根據(jù)前四個(gè)圖案，得到外側(cè)邊上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的一般性規(guī)律和內(nèi)部三角形的個(gè)數(shù)的一般性規(guī)律，從而得到結(jié)果．【詳解】解：第一個(gè)圖案，外側(cè)邊上有3個(gè)“●”，內(nèi)部“△”的個(gè)數(shù)為1，第二個(gè)圖案，外側(cè)邊上有6個(gè)“●”，內(nèi)部“△”的個(gè)數(shù)為3=1+2，第三個(gè)圖案，外側(cè)邊上有9個(gè)“●”，內(nèi)部“△”的個(gè)數(shù)為6=1+2+3，第四個(gè)圖案，外側(cè)邊上有12個(gè)“●”，內(nèi)部“△”的個(gè)數(shù)為10=1+2+3+4，……第n個(gè)圖案，外側(cè)邊上有3n個(gè)“●”，內(nèi)部“△”的個(gè)數(shù)是1+2+3+4+?+n=1∵內(nèi)部“△”的個(gè)數(shù)是外側(cè)邊上“●”的個(gè)數(shù)的3倍，∴1∵n≠0，∴12解得n=17，∴第17個(gè)圖案時(shí)，內(nèi)部“△”的個(gè)數(shù)是外側(cè)邊上“●”的個(gè)數(shù)的3倍．故選：B．4．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·期末）下列方程變形中，正確的是（

）A．方程45x=?B．方程3x+5=4x+1，移項(xiàng)，得3x?4x=?1+5C．方程3x?7x?1=3?2D．方程1?2x3=【答案】D【分析】本題考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步驟是解題關(guān)鍵．A．根據(jù)等式的性質(zhì)即可得到答案；B．根據(jù)等式的性質(zhì)即可得到答案；C．根據(jù)去括號(hào)法則即可得到答案；D．根據(jù)等式的性質(zhì)，兩邊同時(shí)乘21，可得答案．【詳解】A．方程45x=?5B．方程3x+5=4x+1，移項(xiàng)，得3x?4x=1?5，原變形不正確，故不符合題意；C．方程3x?7x?1=3?2x+3D．1?2x3=3x+1故選：D．5．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在兩臺(tái)天平的左右兩邊分別放入“□”“△”“?”三種物體．若圖①所示的天平保持平衡，要使圖②的天平也保持平衡，則需在右盤放入“?”的個(gè)數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】本題考查了等式的性質(zhì)，代數(shù)式的求值．設(shè)□表示的數(shù)為a，△表示的數(shù)為b，?表示的數(shù)為c，由圖①可知，a+2b=3c，由圖②中，可得2a+4b=2a+2b【詳解】解：設(shè)□表示的數(shù)為a，△表示的數(shù)為b，?表示的數(shù)為c，由圖①知，3a+2b=3c+2a，∴a+2b=3c，∴圖②中2a+4b=2a+2b∴圖②中需在右盤放入“?”的個(gè)數(shù)是6，故選：B．6（2024七年級(jí)上·河南·專題練習(xí)）方程1+x2=3的解是（A．x=5或x=?7 B．x=?5或x=7 C．x=3