吉林省吉林市普通中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué) 含答案

高一數(shù)學(xué)試題第1頁（共8頁）★保密·啟用前★吉林地區(qū)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高一年級期末調(diào)研測試★保密·啟用前★數(shù)學(xué)試題說明：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，貼好條形碼。2.答選擇題時，選出每小題答案后，用2b鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。答非選擇題時，用0.5毫米的黑色簽字筆將答案寫在答題卡上。字體工整，筆跡清楚。3.請按題號順序在答題卡相應(yīng)區(qū)域作答，超出區(qū)域所寫答案無效；在試卷上、草紙上答題無效。4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則A．B． C． D．2．若，則A．B．C．D．3．函數(shù)的定義域是A．B． C． D．4．“角為第二象限角”是“”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．已知，，，則A．B．C．D．6．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．B．C．D．7．已知函數(shù)，且圖象經(jīng)過定點(diǎn)，若正數(shù)滿足，則的最小值為A．B． C． D．8．萊洛三角形也叫圓弧三角形，它是由德國機(jī)械學(xué)家萊洛首先發(fā)現(xiàn)的．其畫法如下：先畫等邊三角形，再分別以三個頂點(diǎn)為圓心、以邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形稱為萊洛三角形．如圖所示，若萊洛三角形的周長為，則其面積為A．B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．下列命題為真命題的是A．若，則B．若，則 C．若，則 D．若，則10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則A．B．C．函數(shù)的對稱軸方程為D．將的圖象向左平移個單位長度得到一個偶函數(shù)的圖象11．切比雪夫多項(xiàng)式是以俄國著名數(shù)學(xué)家切比雪夫（，又譯契貝雪夫等，）的名字命名的重要的特殊函數(shù)，第一類切比雪夫多項(xiàng)式和第二類切比雪夫多項(xiàng)式（簡稱切比雪夫多項(xiàng)式）源起于多倍角的余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的展開式，是與棣莫弗定理有關(guān)、以遞推方式定義的多項(xiàng)式序列，是計(jì)算數(shù)學(xué)中的一類特殊函數(shù)．有許多良好的結(jié)論，例如：①，，對于正整數(shù)時，有成立；②，成立．若函數(shù)在上有個不同的零點(diǎn)，分別記為，，，則A． B．C．若，則 D．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。其中第14題的第一個空填對得2分， 第二個空填對得3分。12．已知命題，，寫出命題的否定：．13．已知，，則的值為．14．已知函數(shù)則關(guān)于的方程的解的個數(shù)為；若關(guān)于的方程有個不相等實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（本小題滿分13分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)時，求的最值以及取得最值時的集合．16．（本小題滿分15分）如圖，在單位圓中，已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）將角的終邊繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)角與單位圓交于點(diǎn)，求的值.17．（本小題滿分15分）吉林位于“冰雪黃金帶”，擁有世界上頂級的“粉雪”資源，是冰雪運(yùn)動的理想之地，吸引了無數(shù)滑雪愛好者．吉林市擁有兩個優(yōu)質(zhì)的滑雪勝地：“北大湖滑雪場”“萬科松花湖滑雪場”．北大湖滑雪場?是符合國際標(biāo)準(zhǔn)的滑雪場，曾在這里舉辦過“中國第六屆冬季運(yùn)動會”“中國第二屆青年冬季運(yùn)動會”“中國跳臺滑雪錦標(biāo)賽”和省、市不同等級雪上項(xiàng)目的比賽．北大湖滑雪場接待了多屆“中國?吉林國際霧凇冰雪節(jié)”游客，并被國家體育總局評為冰雪旅游類“國家體育產(chǎn)業(yè)示范單位”．萬科松花湖滑雪場是距離城市最近的大型滑雪場之一，曾獲得“中國最佳滑雪旅游度假區(qū)”殊榮．這兩個滑雪場多年以來在推動中國的滑雪運(yùn)動和冰雪旅游方面，在帶動城市周邊農(nóng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展方面都做出了重要貢獻(xiàn)．近幾年，這兩個滑雪場接待總?cè)舜蔚哪暝鲩L速度越來越快，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，至年的年接待總?cè)舜谓浦等缦卤硭荆耗攴菽攴荽a年接待總?cè)舜?萬根據(jù)以上數(shù)據(jù)，兩個滑雪場的年接待總?cè)舜闻c年份代碼有以下兩種函數(shù)模型可供選擇：①，②，，且．（Ⅰ）試判斷哪種函數(shù)模型更適合刻畫兩個滑雪場的年接待總?cè)舜蔚脑鲩L趨勢，請簡述理由，并利用表格中后兩組數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）中選擇的函數(shù)模型，按表格中的數(shù)據(jù)增長趨勢，預(yù)測在哪一年兩個滑雪場的年接待總?cè)舜芜_(dá)到萬？（參考數(shù)據(jù)：，，，）18．（本小題滿分17分）已知二次函數(shù)．（Ⅰ）若函數(shù)的圖象如圖所示，直接寫出實(shí)數(shù)的值和不等式的解集，并寫出集合的真子集；（Ⅱ）解關(guān)于的不等式；（Ⅲ）若函數(shù)，，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（本小題滿分17分）在物理學(xué)和幾何學(xué)中，懸鏈線是指理想化的懸掛鏈條或電纜在均勻重力場中僅在其兩端受到支撐時，在自身重量的作用下呈現(xiàn)的曲線．懸鏈線呈形，表面上看起來類似于拋物線，但實(shí)際上并不是．笛卡爾坐標(biāo)系中的懸鏈線方程為．當(dāng)時，是雙曲余弦函數(shù)，類似地，也有雙曲正弦函數(shù)．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）令．（ⅰ）證明函數(shù)的奇偶性，并求關(guān)于的不等式的解集；（ⅱ）若對恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．命題、校對：高一數(shù)學(xué)核心組吉林地區(qū)普通高中2024—2025學(xué)年度高一年級期末考試數(shù)學(xué)試題參考答案一、單項(xiàng)選擇題：12345678BCCABBCD91011BDABDABD二、多項(xiàng)選擇題：【11題解析】A．法一：法二：，，所以A正確；B．法一：法二：，所以B正確；C．，則，所以C錯誤；D．，，法一：設(shè)，代入上述方程得，由C選項(xiàng)可知．解得或，．不妨取，，，則．法二：令，則，依據(jù)多項(xiàng)式系數(shù)對應(yīng)相等得到法三：則，，所以D正確．【11題變式教學(xué)】0；0；0；．（略解一）（略解二）依據(jù)多項(xiàng)式系數(shù)對應(yīng)相等得到．三、填空題：12．．注：1．若寫成：．此次給分；2．“”寫成“存在”，此次也給分，但注意新教材的表述形式。13．14．（2分）；（四、解答題15．【答案】（Ⅰ）(3分)，(3分)；（Ⅱ），此時的集合為；，此時的集合為(7分).【解析】（Ⅰ） 3分所以最小正周期． 4分由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是． 7分（Ⅱ），， 9分當(dāng)，即時，的最小值為，取得最小值時的集合為．當(dāng)，即時，的最大值為，取得最大值時的集合為． 13分注：1．“”不寫，扣1分，但不重復(fù)扣分；2．的集合沒寫成集合形式，扣1分；3．遞增區(qū)間不寫成區(qū)間形式，扣1分，但寫成開區(qū)間，不扣分．16．【答案】（Ⅰ）(3分)，(4分)；（Ⅱ）(8分).【解析】（Ⅰ）角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，，即，，即，由三角函數(shù)定義可知， 3分，.． 7分（Ⅱ）法一：角的終邊繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)與單位圓交于點(diǎn)由三角函數(shù)定義可知， 9分由（Ⅰ）知，，. 15分法二：角的終邊繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)與單位圓交于點(diǎn)由三角函數(shù)定義可知，， 9分由（Ⅰ）知，， 15分17．【答案】（Ⅰ）(8分)；（Ⅱ）預(yù)測年兩大滑雪場的年接待總?cè)舜芜_(dá)到萬(7分).【解析】（Ⅰ）因?yàn)槟Ｐ廷俚脑鲩L速度越來越慢，而這兩大滑雪場接待總?cè)舜卧鲩L速度越來越快， 2分故模型②更合適. 4分由得， 6分故模型②的函數(shù)解析式為 8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令， 10分 13分故預(yù)測年兩大滑雪場的年接待總?cè)舜芜_(dá)到萬． 15分18．【答案】（Ⅰ），，集合的真子集為，，(5分)；（Ⅱ）當(dāng)時，原不等式的解集為或，當(dāng)時，原不等式的解集為，當(dāng)時，原不等式的解集為或(4分)；（Ⅲ）(8分).【解析】（Ⅰ），，，集合的真子集為，，. 5分（Ⅱ）， 6分當(dāng)時，；當(dāng)時，或；當(dāng)時，或；綜上：當(dāng)時，原不等式的解集為或；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為或. 9分注：結(jié)果要寫成集合或區(qū)間形式，未寫成集合或區(qū)間形式扣1分；不寫綜上不扣分.（Ⅲ），，，，，，設(shè)，，則，，. 12分，，設(shè)函數(shù)，. 13分函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 15分又，. 17分19．【答案】（Ⅰ）(2分)；（Ⅱ）(ⅰ)為奇函數(shù)(4分)，(4分)；（Ⅲ）(7分).【解析】（Ⅰ）. 2分（Ⅱ）(ⅰ)證明：，定義域?yàn)?對有.且， 4分為奇函數(shù). 6分