湖北省襄陽市2023-2024學年高一下學期期末考試數(shù)學試卷 含解析

2023—2024學年湖北省襄陽市高一（下）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復數(shù)的乘法和共軛復數(shù)的定義可求得結(jié)果.【詳解】因為，故，故故選：C.2.已知向量，不共線，且向量與共線，則實數(shù)的值為（）A.-2或-1 B.-2或1 C.-1或2 D.1或2【答案】B【解析】【分析】利用平面向量共線基本定理列等式，利用不共線向量相等列方程組求解.【詳解】若向量與共線，則存在實數(shù)，使得，又因為向量，不共線，所以，解得或.故選：B3.利用簡單隨機抽樣，從個個體中抽取一個容量為10的樣本.若抽完第一個個體后，余下的每個個體被抽到的機會為，則在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的機會為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等可能事件的概率計算求得，即可求解.【詳解】由題意可得，故，所以每個個體被抽到的機會為，故選：D.4.《九章算術(shù)》問題十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．問積幾何（今譯：已知正四棱臺體建筑物（方亭）如圖，下底邊長丈，上底邊長丈．高丈．問它的體積是多少立方丈？（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用棱臺的體積公式即可求解.【詳解】.故選:【點睛】本題主要考查了空間幾何體表面積與體積，屬于基礎(chǔ)題.5.甲在微信群中發(fā)布6元“拼手氣”紅包一個，被乙、丙、丁三人搶完．若三人均領(lǐng)到整數(shù)元，且每人至少領(lǐng)到1元，則乙獲得“最佳手氣”(即乙領(lǐng)取的錢數(shù)不少于其他任何人)的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】6元分成整數(shù)元有3份，可能性有(1，1，4)，(1，2，3)，(2，2，2)，然后求出每一種分法的個數(shù)，再求出符合“最佳手氣”的個數(shù)，再利用古典概型的概率公式求解即可【詳解】6元分成整數(shù)元有3份，可能性有(1，1，4)，(1，2，3)，(2，2，2)，第一個分法有3種，第二個分法有6種，第三個分法有1種，其中符合“最佳手氣”的有4種，故概率為．故選：D【點睛】此題考查古典概型的概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題6.水平放置的，用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的，其中，則繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)斜二測畫法的基本原理，將平面直觀圖還原為原幾何圖形，可得，,繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個相同圓錐的組合體,圓錐的側(cè)面展開圖是扇形根據(jù)扇形面積公式即可求得組合體的表面積.【詳解】根據(jù)“斜二測畫法”可得，，，繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個相同圓錐的組合體，它的表面積為.故選:【點睛】本題考查斜二測畫法的應(yīng)用及組合體的表面積求法,難度較易.7.已知，則的取值范圍是（）A.[0，1] B. C.[1，2] D.[0，2]【答案】D【解析】【分析】設(shè)，可得，構(gòu)造，可得，根據(jù)向量減法的模長不等式可得解.【詳解】設(shè)，則，，所以∴，又，所以，又則[0，2].故選：D【點睛】本題考查了向量的綜合運算，考查學生綜合分析，轉(zhuǎn)化化歸，數(shù)學運算的能力.8.已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，平面，，，若球的表面積為，則三棱錐的側(cè)面積的最大值為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意畫出圖形，設(shè)球O得半徑為R，AB=x，AC=y，由球O的表面積為29π，可得x2+y2=25，寫出側(cè)面積，再由基本不等式求最值．【詳解】設(shè)球O得半徑為R，AB=x，AC=y，由4πR2=29π，得4R2=29．又x2+y2+22=（2R）2，得x2+y2=25．三棱錐A-BCD的側(cè)面積：S=S△ABD+S△ACD+S△ABC=由x2+y2≥2xy，得xy≤當且僅當x=y=時取等號，由（x+y）2=x2+2xy+y2≤2（x2+y2），得x+y≤5,當且僅當x=y=時取等號，∴S≤5+=當且僅當x=y=時取等號.∴三棱錐A-BCD的側(cè)面積的最大值為.故選A.【點睛】本題考查三棱錐的外接球、三棱錐的側(cè)面積、基本不等式等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力、運算求解能力，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．二、多選題：本題共4小題，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.用一個平面去截一個幾何體，所得截面的形狀是正方形，則原來的幾何體可能是（）A.長方體 B.圓臺 C.四棱臺 D.正四面體【答案】ACD【解析】【分析】利用特例判斷A、C，顯然B錯誤，畫出圖形，根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷D；【詳解】解：對于A：若長方體的底面為正方形，則用平行于底面的平面去截幾何體，所得截面的形狀是正方形，故A正確；對于B：圓臺的截面均不可能是正方形，故B錯誤；對于C：若四棱臺的底面是正方形，則用平行于底面的平面去截幾何體，所得截面的形狀是正方形，故C正確；對于D：如圖所示正四面體，將其放到正方體中，取的中點，的中點，取的中點，的中點，依次連接、、、，由正方體的性質(zhì)可知截面為正方形，故D正確；故選：ACD10.疫情帶來生活方式和習慣的轉(zhuǎn)變，短視頻成為觀眾空閑時娛樂活動的首選．某電影藝術(shù)中心為了解短視頻平臺的觀眾年齡分布情況，向各大短視頻平臺的觀眾發(fā)放了線上調(diào)查問卷，共回收有效樣本份，根據(jù)所得信息制作了如圖所示的頻率分布直方圖，則（）A.圖中B.在份有效樣本中，短視頻觀眾年齡在歲的有人C.估計短視頻觀眾的平均年齡為歲D.估計短視頻觀眾年齡的分位數(shù)為歲【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)頻率和為可構(gòu)造方程求得，知A錯誤；由頻率和頻數(shù)的關(guān)系可求得觀眾年齡在歲的人數(shù)，知B正確；由平均數(shù)和百分位數(shù)的估計方法可驗證知CD正確.【詳解】對于A，，，A錯誤；對于B，由頻率分布直方圖知：短視頻觀眾年齡在歲的人對應(yīng)頻率為，短視頻觀眾年齡在歲的有人，B正確；對于C，平均年齡，C正確；對于D，設(shè)分位數(shù)為，則，解得：，D正確.故選：BCD.11.已知是等腰直角三角形，，用斜二測畫法畫出它的直觀圖，則的長可能是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】通過斜二測畫法的定義可知BC為軸時，為最大值，以BC為軸，則此時為最小值，故的長度范圍是，C選項可以以AB為軸進行求解出，從而求出正確結(jié)果.【詳解】以BC為軸，畫出直觀圖，如圖2，此時，A正確，以BC為軸，則此時，則的長度范圍是，若以AB或AC為x軸，畫出直觀圖，如圖1，以AB為軸，則，此時過點作⊥于點D，則，則，，由勾股定理得：，C正確；故選：AC12.如圖，已知均為等邊三角形，分別為的中點，為內(nèi)一點(含邊界)．，下列說法正確的是（）A.延長交于，則B.若，則為的重心C.若，則點的軌跡是一條線段D.的最小值是【答案】ABC【解析】【分析】A選項，作出輔助線，根據(jù)面積比求出，判斷A選項；B選項，建立平面直角坐標系，設(shè)出邊長為1，寫出各點的坐標，然后寫出直線CN，BM，AG的方程，聯(lián)立后求出的坐標，求出與的重心坐標，兩者重合；C選項，設(shè)出點的坐標，利用向量關(guān)系及求出，得出C正確；D選項，利用C選項，得到，結(jié)合，求出的最小值.【詳解】A選項，因為已知均為等邊三角形，分別為的中點，連接CD，AE，BF，延長BE交AC于點M，則，所以，則，，A正確；以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，垂直AB為y軸建立平面直角坐標系，延長AD交BC于點G，延長CF交AB于點N，由A選項可知：，設(shè)邊長為1，則，則直線，直線BM：，聯(lián)立直線CN與BM，求得：，所以，直線AG：，聯(lián)立直線AG與BM，求得：，所以，聯(lián)立直線AG與CN，求得：，所以，因為，則為的重心，則，即，而的重心為，即，故為的重心，B正確；設(shè)，，結(jié)合B選項中建立的坐標系，可知：，即，解得：若，則，整理得：，因為為內(nèi)一點(含邊界)，所以點的軌跡是一條線段，C正確；結(jié)合C選項，可知，其中，當時，取得最小值，最小值為，故D錯誤.故選：ABC【點睛】建立平面直角坐標系，利用坐標來解決平面向量問題，對于一些平面向量問題可以做到事半功倍.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.直播帶貨已成為一種新的消費方式，據(jù)某平臺統(tǒng)計，在直播帶貨銷量中，服裝鞋帽類占，食品飲料類占，家居生活類占19%，美妝護膚類占，其他占．為了解直播帶貨各品類的質(zhì)量情況，現(xiàn)按分層隨機抽樣的方法抽取一個容量為的樣本．已知在抽取的樣本中，服裝鞋帽類有560件，則家居生活類有_____________件【答案】380【解析】【分析】根據(jù)服裝鞋帽類的件數(shù)，求出，進而求出家具生活類件數(shù).【詳解】，故家具生活類件數(shù)為.故答案為：38014.如圖，在四面體中，，，、分別為、的中點，，則異面直線與所成的角是_____________．【答案】##【解析】【分析】取的中點，連接，，即可得到即為異面直線與所成的角，再由線段關(guān)系及勾股定理逆定理得到為等腰直角三角形，即可得解；【詳解】解：取的中點，連接，，因為為的中點，為的中點，所以且，且，所以即為異面直線與所成的角或其補角，又，，，所以，，所以，所以，所以為等腰直角三角形，所以；故答案為：15.如圖，在Rt中，點是斜邊的中點，點在邊上，且，則___________．【答案】【解析】【分析】設(shè)長后列方程求解【詳解】設(shè)，則，由題意得，即，解得，此時，得，故答案為：16.已知，且，實數(shù)滿足，且，則的最小值是___________．【答案】##0.25【解析】【分析】在平面直角坐標系中，令，由此求出與的坐標，再用x，y表示出，然后借助柯西不等式求解作答.【詳解】在平面直角坐標系中，令，設(shè)，則，，解得，則，依題意，不妨令，，而，則，有，當且僅當，即時取“=”，而，則，當且僅當時取“=”，因此，，當且僅當且，即且時取“=”，所以當，，時，取得最小值.故答案為：【點睛】思路點睛：已知幾個向量的模，探求向量問題，可以在平面直角坐標系中，借助向量的坐標表示，利用代數(shù)方法解決.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知向量滿足．（1）若，求||的值；（2）若，求的值．【答案】（1）4（2）【解析】【分析】（1）將兩邊平方化簡求解即可；（2）將兩邊平方化簡得到，根據(jù)求解即可【小問1詳解】∵∴，∴，即【小問2詳解】，∴，即．18.如圖，已知在正三棱柱中，D為棱AC的中點，．（1）求正三棱柱的表面積；（2）求證：直線//平面．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求解上下底的面積，結(jié)合側(cè)面積求解即可；（2）取和交點M，連DM，再證明即可小問1詳解】．【小問2詳解】取和交點M，連DM，∵D，M分別為AC，中點，故．平面，DM平面．∴//平面．19.如圖，四棱錐的底面四邊形為正方形，頂點在底面的射影為線段的中點是的中點，（1）求證：平面；（2）求過點的平面截該棱錐得到兩部分的體積之比．【答案】（1）證明見解析（2）或【解析】【分析】（1）取PC中點F，證四邊形ODEF為平行四邊形，即可由線線平行證線面平行；（2）過點的截面為平面ADEF，則截出的兩部分可看作四棱錐與三棱錐組合，以及三棱錐與三棱錐組合；利用幾何關(guān)系，跟別求出各部分體積的占比，即可得出比值【小問1詳解】由題，如圖，取PC中點F，連接EF、DF，則EF為的中位線，故，，故四邊形ODEF為平行四邊形，故，又平面PCD，平面PCD，故平面【小問2詳解】由（1）得，過點的截面為平面ADEF，截出的兩部分可看作四棱錐與三棱錐組合，以及三棱錐與三棱錐組合；由是的中點，易得，；由是的中點，易得；故過點的平面截該棱錐得到兩部分的體積之比為20.在①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并求解．問題：如圖，在中，角所對的邊分別為是邊上一點，，，若_________，（1）求角A的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選①：用余弦定理可得；選②：由內(nèi)角和定理化簡，再由二倍角公式可得；選③：由正弦定理邊化角可得；（2）由已知結(jié)合（1）可求，再由正弦定理可得b、c比值，利用余弦定理可表示出a，然后由已知和余弦定理可解.【小問1詳解】選①：由題知；選②：，因為，，所以；選③：由正弦定理邊化角可得：，同②可得.因為，所以【小問2詳解】因為，，所以由解得所以所以記則，即因為，所以所以，得所以因為，所以，所以21.如圖，在正六邊形中，，為上一點，且交于點（1）當時，試用表示；（2）求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和平面向量的線性運算結(jié)合圖形可得；（2）記，，借助F、G、H共線可得和之間的關(guān)系，然后根據(jù)平面向量的線性運算表示出所求，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)可得.【小問1詳解】由正六邊形性質(zhì)可知，，因為，所以所以【小問2詳解】記，則，…①將代入①整理得因為F、G、H共線，所以，即又，所以將代入上式整理可得令，則由對勾函數(shù)可知，當在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值6；當時，取得最小值4.所以的取值范圍為.22.某校有高中生2000人，其中男女生比例約為，為了獲得該校全體高中生的身高信息，采取了以下兩種方案：方案一：采用比例分配的分層隨機抽樣方法，抽收了樣本容量為的樣本，得到頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖.方案二：采用分層隨機抽樣方法，抽取了男、女生樣本量均為25的樣本，計算得到男生樣本的均值為170，方差為1