2024-2025學(xué)年貴州省貴陽市高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年貴州省貴陽市高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2．答題時(shí)使用0.5毫米黑色簽字筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3．請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.4．保持答題卡面清潔，不折疊，不破損.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.設(shè)x∈R，則“”是“”（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件3.已知，則的值為（）A. B. C. D.4.若向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.5.已知函數(shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.6.已知正實(shí)數(shù)滿足，則（）A.的最小值為 B.的最小值為8C.的最小值為 D.沒有最大值7.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為偶函?shù)，為奇函數(shù)．若，則（）A.23 B.24 C.25 D.268.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列不正確的個(gè)數(shù)有（）①函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱②函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為③函數(shù)圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長度得到④函數(shù)在0,π上有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)取值范圍為A0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則與的夾角為 D.若，則10.在中，，，分別為，，的對(duì)邊，下列敘述正確的是（）A.若，則為等腰三角形B.若為銳角三角形，則C.若，則為鈍角三角形D.若，則11.已知函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）A.只有4個(gè)極值點(diǎn)B.在上是增函數(shù)C.當(dāng)時(shí)，D.實(shí)數(shù)a的最小值為1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.曲線在點(diǎn)處的切線方程為______.13.已知平面向量，，，正實(shí)數(shù)，滿足，與的夾角為，且，則的最小值為_________________.14.已知函數(shù)，則不等式的解集為_________________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15已知函數(shù)．（1）求的圖象的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸；（2）當(dāng)時(shí)，求的最值．16.已知分別為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且，，．（1）求及的面積；（2）若為邊上一點(diǎn)，且，求的正弦值．17.已知銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若．（1）證明：；（2）若，求的取值范圍．18.已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若，，求a的取值范圍．19.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)函數(shù)僅有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)．①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②求證：．2024-2025學(xué)年貴州省貴陽市高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2．答題時(shí)使用0.5毫米黑色簽字筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3．請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.4．保持答題卡面清潔，不折疊，不破損.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】化簡集合，由交集運(yùn)算即可求解.【詳解】解：所以故選：A．2.設(shè)x∈R，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】先解不等式，然后根據(jù)充分、必要條件的知識(shí)求得正確答案.【詳解】因?yàn)?，所以或，所以或，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：B.3.已知，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】借助輔助角公式與二倍角公式計(jì)算即可得.【詳解】，即，則.

故選：A.4.若向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】首先求出、，再根據(jù)投影向量的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，，所以在上的投影向量?

故選：C5.已知函數(shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由題意可知函數(shù)在R上遞減，結(jié)合分段函數(shù)單調(diào)性列式求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立，不妨假設(shè)，則，可得，即，可知函數(shù)在R上遞減，則，解得：，所以的取值范圍是.故選：D.6.已知正實(shí)數(shù)滿足，則（）A.的最小值為 B.的最小值為8C.的最小值為 D.沒有最大值【正確答案】A【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可判定A正確；利用基本不等式，可得判定B錯(cuò)誤；由，可判定C錯(cuò)誤，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，得到，得到，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A中，由正實(shí)數(shù)滿足，可得，且，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，所以A正確；對(duì)于B中，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，所以B不正確；對(duì)于C中，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由，因?yàn)?，設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，則的最大值為，所以D不正確.故選：A.7.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為偶函?shù)，為奇函數(shù)．若，則（）A.23 B.24 C.25 D.26【正確答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性推出函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱和關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則得到其周期，再計(jì)算其一個(gè)周期內(nèi)的和，最后代入計(jì)算即可.【詳解】為偶函數(shù)，則則關(guān)于對(duì)稱，為奇函數(shù)，則，即，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則由其關(guān)于對(duì)稱有，則，則，作差有，為周期函數(shù)，且周期為4，因?yàn)?，，則，因?yàn)?，，則，，則，，，故選：C.8.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列不正確的個(gè)數(shù)有（）①函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱②函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為③函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長度得到④函數(shù)在0,π上有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)【正確答案】B【分析】根據(jù)圖象求出，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)判斷各命題．【詳解】，由圖象知函數(shù)的最小正周期為，因此，即，，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，①正確；由得，，②正確；，因此把的圖象向左平移個(gè)單位長度得的圖象，③正確；由題意，時(shí)，當(dāng)時(shí)，，在上有2個(gè)零點(diǎn)，則，解得，當(dāng)時(shí)，，在上有2個(gè)零點(diǎn)，則，解得，因此的范圍是或，④錯(cuò)．故選：B．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則與的夾角為 D.若，則【正確答案】AD【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解判斷各選項(xiàng)．【詳解】選項(xiàng)A，，，即，所以，A正確；選項(xiàng)B，，，，B錯(cuò)；選項(xiàng)C，，，，C錯(cuò)；選項(xiàng)D，，，，D正確．故選：AD．10.在中，，，分別為，，的對(duì)邊，下列敘述正確的是（）A.若，則為等腰三角形B.若為銳角三角形，則C.若，則為鈍角三角形D若，則【正確答案】BCD【分析】由正弦定理得到，求得或，可判定A不正確；由銳角三角形，得到，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，可判定B正確；由，得到中一定有一個(gè)小于0成立，可判定C正確；由正弦定理和兩角和的正弦公式，化簡得到，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，由，可得，即，因?yàn)?，可得或，即或，所以為等腰或直角三角形，所以A不正確；對(duì)于B中，由為銳角三角形，可得，則，因?yàn)?，可得，又因?yàn)楹瘮?shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以B正確；對(duì)于C中，因?yàn)椋?，可得中一定有一個(gè)小于0成立，不妨設(shè)，可得，所以為鈍角三角形，所以C正確；對(duì)于D中，因，由正弦定理可得，因?yàn)?，可得，所以，可得，因?yàn)?，可得，所以，即，所以，所以D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）A.只有4個(gè)極值點(diǎn)B.在上是增函數(shù)C.當(dāng)時(shí)，D.實(shí)數(shù)a的最小值為1【正確答案】BCD【分析】對(duì)A，借助圖形可確定極值個(gè)數(shù)為無窮個(gè)，故可判斷A選項(xiàng)；對(duì)B，對(duì)函數(shù)二次求導(dǎo)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，可判斷B選項(xiàng)；對(duì)C，確定為奇函數(shù)，根據(jù)性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；對(duì)D，對(duì)兩個(gè)項(xiàng)分別分析，可得的無限接近值，從而可判斷D選項(xiàng).詳解】根據(jù)題意知，所以令，可得，做出圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為極值個(gè)數(shù)，對(duì)A，設(shè)，，當(dāng)，是單調(diào)遞減函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，是周期函數(shù)值域是，所以?x與有無數(shù)交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，顯然單調(diào)遞減，，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)C，因?yàn)椋允瞧婧瘮?shù)，由題意知當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以，則，故C正確；對(duì)D，，的最大值為1，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)比較大正整數(shù)時(shí)，，且注意到在單調(diào)遞增，所以x>0時(shí)，，且fx可以無限趨近于1，若時(shí)，恒成立，則，所以D正確.故選：BCD關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵在于得到x>0時(shí)，，且fx可以無限趨近于1，由此即可順利得解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.曲線在點(diǎn)處的切線方程為______.【正確答案】【分析】對(duì)求導(dǎo)，得到，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得到切線的斜率為，即可求解.【詳解】易知函數(shù)定義域?yàn)?1,1，因，所以，當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，故答案為.13.已知平面向量，，，正實(shí)數(shù)，滿足，與的夾角為，且，則的最小值為_________________.【正確答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合二次函數(shù)最值求解即得.【詳解】由，得，而，與的夾角為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故14.已知函數(shù)，則不等式的解集為_________________.【正確答案】【分析】要先證明函數(shù)的中心對(duì)稱性，即，這樣原不等式就可以化為，再用求導(dǎo)來證明單調(diào)遞增，從而就可以解出結(jié)果.【詳解】由已知得：，所以，即則不等式等價(jià)于，再由，可得在上單調(diào)遞增，所以，解得，故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求的圖象的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸；（2）當(dāng)時(shí)，求的最值．【正確答案】（1）對(duì)稱中心為，對(duì)稱軸方程為（2）最小值為，最大值為2【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式化簡，然后利用整體法求解即可；（2）利用整體代入法求最值即可.【小問1詳解】由題意，得函數(shù)．令，解得，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為．令，，所以函數(shù)的對(duì)稱軸方程為【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取得最小值為；當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取得最大值為2．16.已知分別為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且，，．（1）求及的面積；（2）若為邊上一點(diǎn)，且，求的正弦值．【正確答案】（1），（2）【分析】（1）利用余弦定理可得出關(guān)于的二次方程，可解出的值，進(jìn)而可求得的面積；（2）在中，利用正弦定理可求得的值，再由可得出，進(jìn)而可求得的正弦值.【小問1詳解】由余弦定理得，整理得，即，因?yàn)?，解得，所?【小問2詳解】由正弦定理得：，所以，在三角形中，因?yàn)椋瑒t，所以.17.已知銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若．（1）證明：；（2）若，求的取值范圍．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由正弦定理、兩角和差的正弦公式化簡得，進(jìn)一步即可證明；（2）由題意首先求得的取值范圍，進(jìn)一步將目標(biāo)式子轉(zhuǎn)換為只含有的式子即可求解．【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，所以，所以，而，則或，即或（舍去），故．【小問2詳解】因?yàn)槭卿J角三角形，所以，解得，所以的取值范圍是，由正弦定理可得：，則，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，因，所以，所以的取值范圍是?8.已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若，，求a的取值范圍．【正確答案】（1）極小值為，極大值為（2）【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性可得答案；（2）求出，分、、討論，利用的單調(diào)性可得答案.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，令，解得或．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．函數(shù)的極小值為，極大值為；【小問2詳解】，①若，即時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，，不符合題意．②若，令函數(shù)，則的圖象開口向下，且與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，令，則，，注意到且，，不可能是函數(shù)的極大值．，即．當(dāng)，即時(shí)，若，則，函數(shù)單調(diào)遞減；若，則，函數(shù)單調(diào)遞增．，符合題意．當(dāng)，即時(shí)，若，則，函數(shù)單調(diào)遞減；若，則，函數(shù)單調(diào)遞增；若，則，函數(shù)單調(diào)遞減；又，故只需即可，解得，∴，綜上，a的取值范圍為．方法點(diǎn)睛：（1）求函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可求導(dǎo)討論函數(shù)的單調(diào)性，再判斷極值點(diǎn)和極值情況；（2）對(duì)于形式較復(fù)雜的函數(shù)不等式恒成立問題可考慮采用主元變換法，將參數(shù)看成未知數(shù)，將看成參數(shù)