2024-2025學(xué)年海南省?？谑懈呷蠈W(xué)期全真模擬（二）數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年海南省海口市高三上學(xué)期全真模擬（二）數(shù)學(xué)檢測(cè)試題1.本試卷滿(mǎn)分150分，測(cè)試時(shí)間120分鐘，共4頁(yè).2.考查范圍：集合、常用邏輯用語(yǔ)、不等式、三角函數(shù)、平面向量、解三角形、函數(shù)和導(dǎo)數(shù).一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知全集，，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B.C. D.2.已知不等式的解集是，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.6 D.73.若命題“，”為真命題，則，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.4.已知向量，，，若與平行，則實(shí)數(shù)值為（）A. B. C.1 D.35.霉菌有著很強(qiáng)的繁殖能力，主要依靠孢子進(jìn)行繁殖.已知某種霉菌的數(shù)量與其繁殖時(shí)間（天）滿(mǎn)足關(guān)系式.若繁殖5天后，這種霉菌的數(shù)量為20，10天后數(shù)量為40，則要使數(shù)量達(dá)到100大約需要（）（，結(jié)果四舍五入取整）A.16天 B.17天 C.18天 D.20天6.已知，，則（）A. B. C.2 D.7.在中，，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，且，則（）A B. C. D.8.已知函數(shù)，，若函數(shù)的圖象與的圖象在0,+∞上恰有兩對(duì)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C.1,+∞ D.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知集合，，則下列命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則10.在中，設(shè)分別為內(nèi)角的對(duì)邊，則下列條件中可以判定一定為等腰三角形的有（）A. B.C D.11.如圖，在平面四邊形中，已知，，且，.若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12已知函數(shù)滿(mǎn)足，則______________.13.某校為了讓學(xué)生感受生命的奧秘，培養(yǎng)學(xué)生熱愛(ài)自然、探索大自然的意識(shí)，開(kāi)展了“種植當(dāng)歲初，滋榮及春暮”的活動(dòng).學(xué)校打算在宿舍后面的空地上開(kāi)設(shè)一塊面積為50m2的矩形田地讓學(xué)生種植自己喜歡的植物，四周留有寬度分別為1m和2m的過(guò)道，如圖所示，則該矩形田地的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____________m時(shí)，過(guò)道占地面積最小，最小面積為_(kāi)_____________m2.14.已知定義在上的偶函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，.設(shè)，則與圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為_(kāi)_____________.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.已知的內(nèi)角，，所對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，且.（1）求；（2）若，求的面積.16已知，，函數(shù)滿(mǎn)足.（1）求的最小值；（2）解關(guān)于的不等式.（用表示）17.已知向量，，函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得到的圖象.（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)銳角的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，且，求周長(zhǎng)的最大值.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積；（3）當(dāng)時(shí)，證明：存在極小值.19.定義在上的函數(shù)，如果滿(mǎn)足：對(duì)于任意的，存在常數(shù)，，使得，則稱(chēng)是區(qū)間上的有界函數(shù)，其中稱(chēng)為在區(qū)間上的下界，稱(chēng)為在區(qū)間上的上界，設(shè)為下界的最大值，為上界的最小值，將稱(chēng)為界高.（1）求證：函數(shù)為有界函數(shù)，并求其界高；（2）已知定義在上的函數(shù)，其中.（ⅰ）求證：為有界函數(shù)；（ⅱ）設(shè)函數(shù)的界高為，求證.2024-2025學(xué)年海南省?？谑懈呷蠈W(xué)期全真模擬（二）數(shù)學(xué)檢測(cè)試題1.本試卷滿(mǎn)分150分，測(cè)試時(shí)間120分鐘，共4頁(yè).2.考查范圍：集合、常用邏輯用語(yǔ)、不等式、三角函數(shù)、平面向量、解三角形、函數(shù)和導(dǎo)數(shù).一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知全集，，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】先化簡(jiǎn)集合B，根據(jù)集合表示的是屬于但不屬于的元素即可求解.【詳解】，陰影部分表示屬于但不屬于的元素，故圖中陰影部分的集合為.故選：C2.已知不等式的解集是，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.6 D.7【正確答案】A【分析】根據(jù)一元二次不等式的運(yùn)算求解即可.【詳解】由題知，是方程的根，根據(jù)韋達(dá)定理得，解得.故選.3.若命題“，”為真命題，則，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用的單調(diào)性判斷即可.【詳解】由，得.令，易知在上增函數(shù)，因?yàn)椤?，”為真命題，即，所以.故選：A.4.已知向量，，，若與平行，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C.1 D.3【正確答案】C【分析】由平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，由與平行，得，解得.故選：C.5.霉菌有著很強(qiáng)的繁殖能力，主要依靠孢子進(jìn)行繁殖.已知某種霉菌的數(shù)量與其繁殖時(shí)間（天）滿(mǎn)足關(guān)系式.若繁殖5天后，這種霉菌的數(shù)量為20，10天后數(shù)量為40，則要使數(shù)量達(dá)到100大約需要（）（，結(jié)果四舍五入取整）A.16天 B.17天 C.18天 D.20天【正確答案】B【分析】利用待定系數(shù)求出參數(shù)，再求解自變量t的值，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算即可求得結(jié)果.【詳解】解：由題可得：，兩式相除可得，即，設(shè)繁殖天后數(shù)量達(dá)到100，則，又，則，∴，則，即，，∴，∴，則要使數(shù)量達(dá)到100大約需要17天，故選：B.6.已知，，則（）A. B. C.2 D.【正確答案】A【分析】利用二倍角公式把化為，構(gòu)造齊次式計(jì)算的值.【詳解】∵,∴,∵,∴,∴，整理得，解得或.∵，∴，∴.故選：A.7.在中，，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，且，則（）A. B. C. D.【正確答案】C分析】利用正弦定理將邊化角，整理即可求得.【詳解】，由正弦定理可得，又在中，，，，在中，，，且為的內(nèi)角，，故選：C．8.已知函數(shù)，，若函數(shù)的圖象與的圖象在0,+∞上恰有兩對(duì)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C.1,+∞ D.【正確答案】D【分析】取函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)為，可知在0,+∞上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，同構(gòu)可得，構(gòu)建，結(jié)合單調(diào)性分析可知與在0,+∞上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，結(jié)合的圖象分析求解.【詳解】對(duì)于函數(shù)，其關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)為，由題意可知：在0,+∞上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，對(duì)于，即，整理可得，令，可知在0,+∞上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，因?yàn)閷?duì)任意恒成立，可知Fx在0,+∞上單調(diào)遞增，則，整理可得，可知與在0,+∞上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，則，且當(dāng)趨近于或時(shí)，均趨近于，作出的圖象如圖所示：由圖可知：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)同構(gòu)可得，構(gòu)建函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性分析求解.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知集合，，則下列命題中正確是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【正確答案】AB【分析】先對(duì)集合進(jìn)行化簡(jiǎn)，對(duì)A，根據(jù)得到，再根據(jù)子集的概念即可求解；對(duì)B，根據(jù)得到，再根據(jù)子集的概念即可求解；對(duì)C，由，再根據(jù)真子集的概念即可求解；對(duì)D，根據(jù)，再結(jié)合空集的概念即可求解.【詳解】解：，對(duì)A，若，則，,，且，，解得：，故A正確.對(duì)B，若，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，，即，綜上所述：，故B正確.對(duì)于選項(xiàng)C，若，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，，，，綜上所述：，故C錯(cuò)誤.對(duì)D，若，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，，若，，即，綜上所述：，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10.在中，設(shè)分別為內(nèi)角的對(duì)邊，則下列條件中可以判定一定為等腰三角形的有（）A. B.C. D.【正確答案】ABD【分析】由正弦定理結(jié)合選項(xiàng)A條件得，故選項(xiàng)A正確；由同角三角函數(shù)的關(guān)系以及條件可得，結(jié)合選項(xiàng)A可得選項(xiàng)B正確；由正弦定理可得，滿(mǎn)足任意三角形，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由正弦定理可把選項(xiàng)D變形，根據(jù)差角的正弦公式可得，選項(xiàng)D正確.【詳解】A.由正弦定理得，∵，∴，∴為等腰三角形.B.∵，∴，∵，∴，根據(jù)選項(xiàng)A可知為等腰三角形.C.由得，，任意三角形均滿(mǎn)足此結(jié)論，不一定是等腰三角形.D.∵,∴,∴，∵，∴，∴，即為等腰三角形.故選：ABD.11.如圖，在平面四邊形中，已知，，且，.若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】ACD【分析】對(duì)于A：根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算分析判斷；對(duì)于BCD：建系標(biāo)點(diǎn)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算分析判斷.【詳解】由題意可知：，如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，可知，則，對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，則，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，可得，可知，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋?，所以，故D正確；故選：ACD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知函數(shù)滿(mǎn)足，則______________.【正確答案】6【分析】根據(jù)給定函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求導(dǎo)，再賦值求解即得.【詳解】由，求導(dǎo)得，則，解得，于是，所以.故6.13.某校為了讓學(xué)生感受生命的奧秘，培養(yǎng)學(xué)生熱愛(ài)自然、探索大自然的意識(shí)，開(kāi)展了“種植當(dāng)歲初，滋榮及春暮”的活動(dòng).學(xué)校打算在宿舍后面的空地上開(kāi)設(shè)一塊面積為50m2的矩形田地讓學(xué)生種植自己喜歡的植物，四周留有寬度分別為1m和2m的過(guò)道，如圖所示，則該矩形田地的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____________m時(shí)，過(guò)道占地面積最小，最小面積為_(kāi)_____________m2.【正確答案】①.②.【分析】根據(jù)題意，列出邊與過(guò)道占地面積的函數(shù)關(guān)系式，然后結(jié)合基本不等式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)矩形田地的邊長(zhǎng)為，過(guò)道占地面積為，由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，最小，且，所以矩形田地的邊長(zhǎng)為時(shí)，過(guò)道占地面積最小，最小面積為.故；14.已知定義在上的偶函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，.設(shè)，則與圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為_(kāi)_____________.【正確答案】【分析】由可得關(guān)于對(duì)稱(chēng)，結(jié)合為偶函數(shù)可得周期，由?x解析式可得該函數(shù)也關(guān)于對(duì)稱(chēng)，即可由對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)圖象將與?x圖象畫(huà)在同一直角坐標(biāo)系中，結(jié)合圖象與函數(shù)對(duì)稱(chēng)性即可得到與?x圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.【詳解】由為偶函數(shù)，故，即，由，故關(guān)于對(duì)稱(chēng)，且，即有，故周期為，則也關(guān)于對(duì)稱(chēng)；由，故，由，即?x關(guān)于對(duì)稱(chēng)，由x∈0,2時(shí)，，作出及?x圖象如圖所示：當(dāng)時(shí)，，，故當(dāng)時(shí)，與?x圖象無(wú)交點(diǎn)，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，有一個(gè)交點(diǎn)2,0，當(dāng)時(shí)，與?x圖象存在一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)該點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則結(jié)合函數(shù)對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)，與?x圖象必有兩交點(diǎn)，且兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，，故與?x圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.故答案為.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.已知的內(nèi)角，，所對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，且.（1）求；（2）若，求面積.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）結(jié)合兩角差的余弦公式利用正弦定理即可求解.（2）利用正弦定理求角，進(jìn)而利用三角形的面積公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理可得，則，即，即，整理得，又，則，于是，所以，，則.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，所以由正弦定理可得，即，又，則，于是，所以的面積為.16.已知，，函數(shù)滿(mǎn)足.（1）求的最小值；（2）解關(guān)于的不等式.（用表示）【正確答案】（1）3（2）見(jiàn)解析【分析】（1）利用基本不等式的乘“1”法即可求，（2）已知不等式可轉(zhuǎn)化為，然后結(jié)合二次不等式與二次方程的關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論，可求．【小問(wèn)1詳解】由f1=0，知，且，，，當(dāng)且僅當(dāng)即，等號(hào)成立，最小值為3．【小問(wèn)2詳解】，，，，則，當(dāng)時(shí)，即，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，即，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，即，不等式的解集為，綜上，，不等式的解集為，當(dāng)，不等式的解集為，當(dāng)，不等式的解集為.17.已知向量，，函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得到的圖象.（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)銳角的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，且，求周長(zhǎng)的最大值.【正確答案】（1）（2）12【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的計(jì)算公式，結(jié)合輔助角公式，求出的解析式，再根據(jù)圖象的平移，可求的解析式.（2）由和為銳角三角形，求出角，再利用余弦定理結(jié)合基本（均值）不等式，可求周長(zhǎng)的最大值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?所以.【小問(wèn)2詳解】由，所以或，所以或，又因?yàn)闉殇J角三角形，所以.由余弦定理.又，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”），此時(shí)，的周長(zhǎng)取得最大值，為.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積；（3）當(dāng)時(shí)，證明：存在極小值.【正確答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）（3）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性即可.（2）求導(dǎo)，的切線(xiàn)斜率，再求切點(diǎn)，利用直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式求切線(xiàn)方程，得到切線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，可求所求三角形的面積.（3）分析函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)有極小值.在此過(guò)程中為解的根，需要二次求導(dǎo).【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，.，由；由.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，，.所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)為：，分別令，則易知交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，所以切