天津市南開區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末考試 數(shù)學(xué) 含解析

2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期階段性質(zhì)量監(jiān)測(cè)高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.共150分，考試時(shí)間100分鐘.一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知集合，，，則集合C子集個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.82.已知正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.函數(shù)的大致圖象為（）.A. B.C. D.4.已知，，，則（）.A B.C. D.5.某統(tǒng)計(jì)部門對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析后，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖．下面關(guān)于相關(guān)系數(shù)比較，正確的是（）A. B. C. D.6.函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是（）A. B. C. D.7.根據(jù)分類變量x與y的觀察數(shù)據(jù)，計(jì)算得到．依據(jù)下面給出的臨界值表，0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.4550.7081.3232.07227063.8415.0246.6357.879可知下列判斷中正確的是（）A.有95%的把握認(rèn)為變量x與y獨(dú)立B.有95%的把握認(rèn)為變量x與y不獨(dú)立C.變量x與y獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過10%D.變量x與y不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過10%8.長時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某學(xué)校學(xué)生中，大約有的學(xué)生每天玩手機(jī)超過，這些人近視率約為，其余學(xué)生的近視率約為，現(xiàn)從該校任意調(diào)查一名學(xué)生，他近視的概率大約是（）A B. C. D.9.三人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下.由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回甲，則不同的傳遞方式共有（）A.4種 B.5種 C.6種 D.12種10.已知函數(shù)，，若方程的所有實(shí)根之和為4，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）.A. B.C. D.二、填空題：本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分.11.已知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是________．12.計(jì)算：______．13.已知，的取值如表：01344.34.86.7若，具有線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為，則__________．14.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______.15.已知正實(shí)數(shù)，滿足：，則的最大值是__________.三、解答題：（本大題共5個(gè)小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.已知展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，求該展開式中的系數(shù).17.學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有個(gè)白球、個(gè)黑球；乙箱子里裝有個(gè)白球、個(gè)黑球.這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出個(gè)球，若摸出的白球不少于個(gè)，則獲獎(jiǎng).（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱）（I）求在一次游戲中，（i）摸出個(gè)白球的概率；（ii）獲獎(jiǎng)的概率；（II）求在兩次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望18.已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，.（1）求的值；（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，求的方程.19.李先生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就讀的小學(xué)在丙地，三地之間的道路情況如圖所示.假設(shè)工作日不走其它道路，只在圖示的道路中往返，每次在路口選擇道路是隨機(jī)的.同一條道路去程與回程是否堵車相互獨(dú)立.假設(shè)李先生早上需要先開車送小孩去丙地小學(xué)，再返回經(jīng)甲地趕去乙地上班.假設(shè)道路上下班時(shí)間往返出現(xiàn)擁堵的概率都是，道路，上下班時(shí)間往返出現(xiàn)擁堵的概率都是，只要遇到擁堵上學(xué)和上班的都會(huì)遲到.（1）求李先生的小孩按時(shí)到校的概率；（2）判斷李先生是否有七成把握能夠按時(shí)上班.20.已知函數(shù)，．（1）討論的極值；（2）若不等式在上恒成立，求m的取值范圍．2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期階段性質(zhì)量監(jiān)測(cè)高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.共150分，考試時(shí)間100分鐘.一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知集合，，，則集合C的子集個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出集合即可得解.【詳解】集合，，則，所以集合子集個(gè)數(shù)為.故選：C2.已知正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式由可得，可得充分性不成立；當(dāng)時(shí)可得必要性不成立，即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)基本不等式可得，即，可得，所以充分性不成立；若，可令滿足，此時(shí)；即必要性不成立；所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D3.函數(shù)的大致圖象為（）.A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析函數(shù)的定義域、函數(shù)值的符號(hào)變化以及函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合排除法可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)任意的，，故函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，排除B選項(xiàng)；因?yàn)?，?dāng)或時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故A正確.故選：A.4.已知，，，則（）.A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)的性質(zhì)判斷大小關(guān)系即可.【詳解】因?yàn)?，，所以．故選：B5.某統(tǒng)計(jì)部門對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析后，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖．下面關(guān)于相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖的分布可得相關(guān)性的強(qiáng)弱，即可比較大小.【詳解】由圖可知：所對(duì)應(yīng)的圖中的散點(diǎn)呈現(xiàn)正相關(guān)，而且對(duì)應(yīng)的相關(guān)性比對(duì)應(yīng)的相關(guān)性要強(qiáng)，故，所對(duì)應(yīng)的圖中的散點(diǎn)呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且根據(jù)散點(diǎn)的分布情況可知,因此，故選：C6.函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則“同增異減”即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?要求函數(shù)一個(gè)單調(diào)增區(qū)間，只需求的增區(qū)間，只需.所以.所以函數(shù)一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是.故選：C7.根據(jù)分類變量x與y的觀察數(shù)據(jù)，計(jì)算得到．依據(jù)下面給出的臨界值表，0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.879可知下列判斷中正確的是（）A.有95%的把握認(rèn)為變量x與y獨(dú)立B.有95%的把握認(rèn)為變量x與y不獨(dú)立C.變量x與y獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過10%D.變量x與y不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過10%【答案】D【解析】【分析】依據(jù)表中給出的獨(dú)立性檢驗(yàn)求解.【詳解】解：因?yàn)?，且，所以依?jù)表中給出的獨(dú)立性檢驗(yàn)知：變量x與y不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過10%，故選：D8.長時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某學(xué)校學(xué)生中，大約有的學(xué)生每天玩手機(jī)超過，這些人近視率約為，其余學(xué)生的近視率約為，現(xiàn)從該校任意調(diào)查一名學(xué)生，他近視的概率大約是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全概率公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)事件為“任意調(diào)查一名學(xué)生，每天玩手機(jī)超過”，事件為“任意調(diào)查一名學(xué)生，該學(xué)生近視”，則，，所以，則．故選：C9.三人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下.由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回甲，則不同的傳遞方式共有（）A.4種 B.5種 C.6種 D.12種【答案】C【解析】【分析】按甲先傳給乙和甲先傳給丙分兩類，兩類方法相等，對(duì)第一類用列舉法寫出不同的傳遞方式后可得．【詳解】解析：若甲先傳給乙，則有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3種不同的傳遞方式；同理，甲先傳給丙也有3種不同的傳遞方式.故共有6種不同的傳遞方式.答案：C．10.已知函數(shù)，，若方程的所有實(shí)根之和為4，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）.A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合圖象按、、分類討論，利用函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)去判斷方程根的個(gè)數(shù)，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】令，的對(duì)稱軸為，則實(shí)根的個(gè)數(shù)即為函數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如下圖，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)大于1，即，函數(shù)與函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，且2個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，則方程有兩根，且兩根和為2，不符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，，時(shí)，可得，或，時(shí)，，可得，，，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，則方程有5個(gè)根，且5個(gè)根的和為5，不符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，分別為，即，或，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)無交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)有4個(gè)交點(diǎn)，且關(guān)于對(duì)稱，所以4個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為4，則方程有4個(gè)根，且4個(gè)根之和為4，符合題意，綜上，實(shí)數(shù)取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出的解；(2)圖象法：作出函數(shù)的圖象，觀察與軸公共點(diǎn)個(gè)數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個(gè)函數(shù)，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).二、填空題：本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分.11.已知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是________．【答案】4【解析】【分析】先求出，再求出展開式的通項(xiàng)，知當(dāng)時(shí)，展開式中系數(shù)為有理數(shù)，即可求出展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù).【詳解】依題意，知，，則展開式的第項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，展開式中系數(shù)為有理數(shù)，所以展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為.故答案為：4.12.計(jì)算：______．【答案】18【解析】【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)冪的計(jì)算公式求解即可【詳解】故答案為：1813.已知，的取值如表：01344.34.86.7若，具有線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為，則__________．【答案】【解析】【詳解】將代入回歸方程為，可得，應(yīng)填答案．點(diǎn)睛：解答這類問題的常規(guī)方法就是先求出，再借助這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足回歸方程為這一結(jié)論，將其代入回歸方程可方程，然后通過解方程得到，使得問題獲解．14.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______.【答案】1【解析】【分析】利用偶函數(shù)的定義可求參數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，故，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故，時(shí)，整理得到，故，故答案為：115.已知正實(shí)數(shù)，滿足：，則的最大值是__________.【答案】.【解析】【詳解】試題分析：，由題意得，，令，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，即所求最大值為，故填：.考點(diǎn)：基本不等式求最值.三、解答題：（本大題共5個(gè)小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.已知展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，求該展開式中的系數(shù).【答案】（1）（2）0【解析】分析】（1）寫出通項(xiàng)，令，即可得解；（2）由的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)的和為，令x=1，求得的值，再利用通項(xiàng)公式求展開式中的系數(shù).【小問1詳解】根據(jù)題意，的通項(xiàng),令，得，則，解得；【小問2詳解】由（1）得，因?yàn)槠湔归_式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，令，得，解得，所以，因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為，則展開式中項(xiàng)為，故該展開式中的系數(shù)為0.17.學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有個(gè)白球、個(gè)黑球；乙箱子里裝有個(gè)白球、個(gè)黑球.這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出個(gè)球，若摸出的白球不少于個(gè)，則獲獎(jiǎng).（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱）（I）求在一次游戲中，（i）摸出個(gè)白球的概率；（ii）獲獎(jiǎng)的概率；（II）求在兩次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望【答案】（I）（i）；（ii）；（II）見解析【解析】【分析】（I）（i）摸出三個(gè)白球說明甲箱子取個(gè)白球，乙箱子取個(gè)白球，個(gè)黑球，根據(jù)古典概型概率公式求得結(jié)果；（ii）獲獎(jiǎng)的情況包括摸出個(gè)白球或個(gè)白球，根據(jù)和事件的概率公式，結(jié)合古典概型求得結(jié)果；（II）確定所有可能的取值，可知，利用二項(xiàng)分布概率公式計(jì)算得到每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，從而得到分布列；再利用二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式求得.【詳解】（I）記“在一次游戲中摸出個(gè)白球”為事件，（i），即摸出個(gè)白球的概率為：（ii）即獲獎(jiǎng)的概率為：（II）由題意可知，所有可能的取值為：，且則；；的分布列如下：【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率問題的求解、和事件概率的求解問題、服從于二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的求解，是對(duì)概率部分知識(shí)的綜合考查，屬于?？碱}型.18.已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，.（1）求的值；（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，求的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，，可解；（2）設(shè)切點(diǎn)，先求出過原點(diǎn)的切線方程，解出，即可得解.【小問1詳解】根據(jù)題意，，則，且，因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與直線平行，所以，則；【小問2詳解】由（1）知，，則，設(shè)切點(diǎn)，由于，則切線，因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)，所以，即，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，則沒有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增，由，知是的唯一零點(diǎn)，所以有唯一解，所以切線的方程為.19.李先生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就讀的小學(xué)在丙地，三地之間的道路情況如圖所示.假設(shè)工作日不走其它道路，只在圖示的道路中往返，每次在路口選擇道路是隨機(jī)的.同一條道路去程與回程是否堵車相互獨(dú)立.假設(shè)李先生早上需要先開車送小孩去丙地小學(xué)，再返回經(jīng)甲地趕去乙地上班.假設(shè)道路上下班時(shí)間往返出現(xiàn)擁堵的概率都是，道路，上下班時(shí)間往返出現(xiàn)擁堵的概率都是，只要遇到擁堵上學(xué)和上班的都會(huì)遲到.（1）求李先生的小孩按時(shí)到校的概率；（2）判斷李先生是否有七成把握能夠按時(shí)上班.【答案】（1）（2）李先生沒有七成把握能夠按時(shí)上班【解析】【分析】