天津市五區(qū)縣重點(diǎn)校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末考試 數(shù)學(xué) 含解析

2023～2024學(xué)年度第二學(xué)期期末重點(diǎn)校聯(lián)考高二數(shù)學(xué)一、選擇題（本題共9小題，每題5分，共45分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.設(shè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，則（）A.1 B.2 C.3 D.43.若，函數(shù)為奇函數(shù)，則是（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C D.5.通過隨機(jī)抽樣，我們繪制了如圖所示的某種商品每千克價(jià)格（單位：百元）與該商品消費(fèi)者年需求量（單位：千克）的散點(diǎn)圖.若去掉圖中右下方的點(diǎn)后，下列說法正確的是（）A.“每千克價(jià)格”與“年需求量”這兩個(gè)變量由負(fù)相關(guān)變?yōu)檎嚓P(guān)B.“每千克價(jià)格”與“年需求量”這兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度不變C.“每千克價(jià)格”與“年需求量”這兩個(gè)變量的線性相關(guān)系數(shù)變大D.“每千克價(jià)格”與“年需求量”這兩個(gè)變量的線性相關(guān)系數(shù)變小6.已知某廠甲、乙兩車間生產(chǎn)同一批衣架，且甲、乙兩車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的，，甲、乙車間的優(yōu)品率分別為.現(xiàn)從該廠這批產(chǎn)品中任取一件，則取到優(yōu)品的概率為（）A. B. C. D.7.某學(xué)校選派甲，乙，丙，丁，戊共5位優(yōu)秀教師分別前往A，B，C，D四所農(nóng)村小學(xué)支教，用實(shí)際行動(dòng)支持農(nóng)村教育，其中每所小學(xué)至少去一位教師，甲，乙，丙不去B小學(xué)但能去其他三所小學(xué)，丁，戊四個(gè)小學(xué)都能去，則不同的安排方案的種數(shù)是（）A.72 B.78 C.68 D.808.已知為上偶函數(shù)，且對(duì)時(shí)，都有成立，若則（）A. B. C. D.9.已知函數(shù)，若方程有7個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.二、填空題（本題共6小題，每題5分，共30分）10.設(shè)命題，，則該命題的否定為_____________.11.某校高二年級(jí)一次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布.若平均分為100，120分以下人數(shù)概率為0.8，理論上說在80~120分?jǐn)?shù)段人數(shù)概率為____________.12.已知為正數(shù)，的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為1，則常數(shù)項(xiàng)為___________.13.已知，則最小值是_________．14.為了備戰(zhàn)2023斯諾克世錦賽，丁俊暉與趙心童兩人進(jìn)行了熱身賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，熱身進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止．設(shè)丁俊暉在每局中獲勝的概率為，趙心童在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)為，則__________．15.設(shè)函數(shù)，若且，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.三、解答題（本大題共5小題，共75分，解答必須寫出必要的文字說明、推理過程或計(jì)算步驟）16.計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）；（3）若，，求的值.17.袋子中有大小相同的2個(gè)白球?3個(gè)黑球，每次從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球.（1）若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的條件下，第二次摸到白球的概率；（2）若對(duì)摸出的球看完顏色后就放回，這樣連續(xù)摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次數(shù)的分布列和均值.18.“馬街書會(huì)”是流行于河南省寶豐縣的傳統(tǒng)民俗活動(dòng)，為國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．每年農(nóng)歷正月十三來自省內(nèi)外的說書藝人負(fù)鼓攜琴，匯集于此，說書亮藝，河南墜子、道情、曲子、琴書等曲種應(yīng)有盡有，規(guī)模壯觀．為了解人們對(duì)該活動(dòng)的喜愛程度，現(xiàn)隨機(jī)抽取200人進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到如下列聯(lián)表：不喜愛喜愛合計(jì)男性90120女性25合計(jì)200附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828（1）完成列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別與對(duì)該活動(dòng)的喜愛程度有關(guān)聯(lián)？（2）為宣傳曲藝文化知識(shí)，當(dāng)?shù)匚幕衷跁鴷?huì)上組織了戲曲知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)定從8道備選題中隨機(jī)抽取4道題進(jìn)行作答．假設(shè)在8道備選題中，戲迷甲正確完成每道題的概率都是，且每道題正確完成與否互不影響；戲迷乙只能正確完成其中的6道題．①求戲迷甲至少正確完成其中3道題的概率；②設(shè)隨機(jī)變量表示戲迷乙正確完成題的個(gè)數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．19.已知函數(shù)，.（1）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為4，求a的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）已知的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求證：當(dāng)時(shí)，.20.已知函數(shù)，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），.（1）若時(shí)，求函數(shù)極值；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)m的值；（3）若直線是曲線的一條切線.求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有.2023～2024學(xué)年度第二學(xué)期期末重點(diǎn)校聯(lián)考高二數(shù)學(xué)一、選擇題（本題共9小題，每題5分，共45分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合，再由交集的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查求集合的交集，熟記交集的概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.2.設(shè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)的定義及導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，則，所以.故選：D3.若，函數(shù)為奇函數(shù)，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】將值代入函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義式是否成立來判斷充分性；由奇函數(shù)的定義式來構(gòu)造方程求參數(shù)的值，從而判斷必要性.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以此時(shí)是奇函數(shù)，所以p是q的充分條件.若是奇函數(shù)，則，即，所以，即所以p是q的不必要條件.綜上得：p是q的充分不必要條件.故選：A.4.函數(shù)的圖象大致為（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)時(shí)，，排除BD，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性排除C即可．【詳解】，當(dāng)時(shí)，，恒成立，排除BD；，令得：，此時(shí)在單調(diào)遞增，其中，排除C；故當(dāng)時(shí)，取得最大值，故A正確．故選：A5.通過隨機(jī)抽樣，我們繪制了如圖所示的某種商品每千克價(jià)格（單位：百元）與該商品消費(fèi)者年需求量（單位：千克）的散點(diǎn)圖.若去掉圖中右下方的點(diǎn)后，下列說法正確的是（）A.“每千克價(jià)格”與“年需求量”這兩個(gè)變量由負(fù)相關(guān)變?yōu)檎嚓P(guān)B.“每千克價(jià)格”與“年需求量”這兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度不變C.“每千克價(jià)格”與“年需求量”這兩個(gè)變量的線性相關(guān)系數(shù)變大D.“每千克價(jià)格”與“年需求量”這兩個(gè)變量的線性相關(guān)系數(shù)變小【答案】D【解析】【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的概念逐一判斷.【詳解】對(duì)于A：去掉圖中右下方的點(diǎn)后，根據(jù)圖象，兩個(gè)變量還是負(fù)相關(guān)，A錯(cuò)誤；對(duì)于BCD：去掉圖中右下方的點(diǎn)后，相對(duì)來說數(shù)據(jù)會(huì)集中，相關(guān)程度會(huì)更高，但因?yàn)槭秦?fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)會(huì)更接近線性相關(guān)系數(shù)會(huì)變小，故D正確，BC錯(cuò)誤.故選：D.6.已知某廠甲、乙兩車間生產(chǎn)同一批衣架，且甲、乙兩車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的，，甲、乙車間的優(yōu)品率分別為.現(xiàn)從該廠這批產(chǎn)品中任取一件，則取到優(yōu)品的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)全概率公式，結(jié)合已知條件，即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)分別表示產(chǎn)品由甲、乙車間生產(chǎn)；表示產(chǎn)品優(yōu)品，由題可得：，故.故選：A.7.某學(xué)校選派甲，乙，丙，丁，戊共5位優(yōu)秀教師分別前往A，B，C，D四所農(nóng)村小學(xué)支教，用實(shí)際行動(dòng)支持農(nóng)村教育，其中每所小學(xué)至少去一位教師，甲，乙，丙不去B小學(xué)但能去其他三所小學(xué)，丁，戊四個(gè)小學(xué)都能去，則不同的安排方案的種數(shù)是（）A.72 B.78 C.68 D.80【答案】B【解析】【分析】用排除法，先求出把5人分到四個(gè)小學(xué)的方法數(shù)，減去小學(xué)去了甲，乙，丙中一個(gè)或兩個(gè)的方法即可得．【詳解】先把5人分到四個(gè)小學(xué)，排除小學(xué)安排了甲，乙，丙的情況（分為小學(xué)只去1人是甲，乙，丙中的一個(gè)，B小學(xué)去了2人，其中1人是甲，乙，丙中的一個(gè)，或2人都是甲，乙，丙中的一個(gè)），因此方法數(shù)為：,故選：B．8.已知為上偶函數(shù)，且對(duì)時(shí)，都有成立，若則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由函數(shù)的奇偶性把轉(zhuǎn)化到同一區(qū)間，再利用單調(diào)性比較即可.【詳解】因?yàn)?，又為上偶函?shù)，所以，所以，又，，因?yàn)閷?duì)時(shí)，都有成立，設(shè)，因?yàn)?，，即自變量小時(shí)函數(shù)值大，所以為減函數(shù)，所以即，故選：B.9.已知函數(shù)，若方程有7個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出函數(shù)的大致圖象，由已知得或，有3個(gè)解，則有4個(gè)解，數(shù)形結(jié)合可得，可求得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示．由，得，得或．由圖象可知直線與的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，所以方程有3個(gè)不同的實(shí)根，因?yàn)榉匠逃?個(gè)不同的實(shí)根，所以直線與的圖象有4個(gè)公共點(diǎn)，故，故，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A.二、填空題（本題共6小題，每題5分，共30分）10.設(shè)命題，，則該命題的否定為_____________.【答案】，【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題即可得解.【詳解】命題，，為存在量詞命題，其否定為：，.故答案為：，11.某校高二年級(jí)一次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布.若平均分為100，120分以下人數(shù)概率為0.8，理論上說在80~120分?jǐn)?shù)段人數(shù)概率為____________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意得，，所以所以，故答案為：12.已知為正數(shù)，的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為1，則常數(shù)項(xiàng)為___________.【答案】60【解析】【分析】先利用已知條件求出參數(shù)，再展開式的通項(xiàng)公式找出常數(shù)項(xiàng)，然后用公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榈恼归_式中各項(xiàng)系數(shù)的和為1，且為正數(shù)，所以，則，故的展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以的展開式中常數(shù)項(xiàng)為，故答案：60.13.已知，則的最小值是_________．【答案】【解析】【分析】由題得，化簡(jiǎn)整理得再利用基本不等式可得解.【詳解】由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)或；則的最小值是.故答案為：.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.14.為了備戰(zhàn)2023斯諾克世錦賽，丁俊暉與趙心童兩人進(jìn)行了熱身賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，熱身進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止．設(shè)丁俊暉在每局中獲勝的概率為，趙心童在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)為，則__________．【答案】【解析】【分析】依題意得到的可能取值，再求出對(duì)應(yīng)的概率，從而求解期望即可．【詳解】解：依題意知，的所有可能值為2，4，6，設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠?，可以得到該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為，如果該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù)，那么丁俊暉?趙心童在該輪中必是各得一分，此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對(duì)下輪比賽是否停止沒有影響，從而有，故，故答案為：．15.設(shè)函數(shù)，若且，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】如果的圖象含有二次函數(shù)的對(duì)稱軸右側(cè)的一部分，則滿足題意，否則在和的各存在一點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，由此可得參數(shù)范圍．【詳解】由題意的圖象上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，又是對(duì)稱軸為的拋物線，所以當(dāng)時(shí)，顯然滿足題意，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，不存在關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，所以不妨設(shè)，由得，解得，所以，即，即，綜上，，故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于分析得分段函數(shù)的大致圖象，從而得到當(dāng)時(shí)，有，由此得解.三、解答題（本大題共5小題，共75分，解答必須寫出必要的文字說明、推理過程或計(jì)算步驟）16.計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）；（3）若，，求的值.【答案】（1）（2）（3）1【解析】【分析】（1）根據(jù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算；（2）利用換底公式后計(jì)算；（3）指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化后，由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則、換底公式求解．【小問1詳解】；【小問2詳解】；【小問3詳解】，又，所以.17.袋子中有大小相同的2個(gè)白球?3個(gè)黑球，每次從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球.（1）若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的條件下，第二次摸到白球的概率；（2）若對(duì)摸出的球看完顏色后就放回，這樣連續(xù)摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次數(shù)的分布列和均值.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)條件概率公式的定義或者公式，即可求解；（2）首先寫出隨機(jī)變量的取值，再根據(jù)取值的意義，寫出概率，即可求出分布列和數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】角度一：第一次摸到白球，第二次摸球時(shí)袋子中有1個(gè)白球，3個(gè)黑球，所求概率.角度二：設(shè)“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”，則，,所求概率；【小問2詳解】的所有可能取值為.，，，，的分布列為：0123,的均值.18.“馬街書會(huì)”是流行于河南省寶豐縣的傳統(tǒng)民俗活動(dòng)，為國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．每年農(nóng)歷正月十三來自省內(nèi)外的說書藝人負(fù)鼓攜琴，匯集于此，說書亮藝，河南墜子、道情、曲子、琴書等曲種應(yīng)有盡有，規(guī)模壯觀．為了解人們對(duì)該活動(dòng)的喜愛程度，現(xiàn)隨機(jī)抽取200人進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到如下列聯(lián)表：不喜愛喜愛合計(jì)男性90120女性25合計(jì)200附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828（1）完成列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別與對(duì)該活動(dòng)的喜愛程度有關(guān)聯(lián)？（2）為宣傳曲藝文化知識(shí)，當(dāng)?shù)匚幕衷跁鴷?huì)上組織了戲曲知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)定從8道備選題中隨機(jī)抽取4道題進(jìn)行作答．假設(shè)在8道備選題中，戲迷甲正確完成每道題的概率都是，且每道題正確完成與否互不影響；戲迷乙只能正確完成其中的6道題．①求戲迷甲至少正確完成其中3道題的概率；②設(shè)隨機(jī)變量表示戲迷乙正確完成題的個(gè)數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）列聯(lián)表見解析，性別與對(duì)活動(dòng)的喜愛程度無關(guān)．（2）①概率為；②的分布列見解析；數(shù)學(xué)期望【解析】【分析】（1）計(jì)算出卡方，與2.706比較后得到結(jié)論；（2）①利用二項(xiàng)分布求概率公式求出概率；②得到的可能取值及對(duì)應(yīng)的概率，得到分布列，求出數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】補(bǔ)全的列聯(lián)表如下：不喜愛喜愛合計(jì)男性3090120女性255580合計(jì)55145200根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此我們可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為對(duì)該場(chǎng)活動(dòng)的喜愛程度與性別無關(guān)．【小問2詳解】①記“戲迷甲至少正確完成其中3道題”為事件A，則．②的可能取值為，，，的分布列為；X234P數(shù)學(xué)期望.19.已知函數(shù)，.（1）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為4，求a的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）已知的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求證：當(dāng)時(shí)，.【答案】（1）（2）答案見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由可求得；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論確定和的解得單調(diào)區(qū)間；（3）根據(jù)（2）的求解，先確定的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)時(shí)的范圍，確定單調(diào)性后得的最小值，引入新函數(shù)后，由導(dǎo)數(shù)得新函數(shù)的最小值，從而證得結(jié)論．【小問1詳解】，則，由題意可得，解得；【小問2詳解】由（1）可得：，當(dāng)時(shí)，則恒成立，令，解得；令，解得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得或，①當(dāng)，即時(shí)，令，解得或；令，解得；故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)，即時(shí)，則在定義域內(nèi)恒成立，故在上單調(diào)遞增；③當(dāng)，即時(shí)，令，解得或；令，解得；故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；【小問3詳解】由（2）知：若在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則，解得.由（2）知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，構(gòu)建，，則，令，則當(dāng)時(shí)恒成立，故在上單調(diào)遞減，則，即當(dāng)時(shí)恒成立，則在上單調(diào)遞減，