2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義專題06函數(shù)的概念

2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義專題06函數(shù)的概念【知識(shí)點(diǎn)梳理】1、函數(shù)的概念（1）一般地，給定非空數(shù)集A，B，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則f，使得A中任意元素x，都有B中唯一確定的y與之對(duì)應(yīng)，那么從集合A到集合B的這個(gè)對(duì)應(yīng)，叫做從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)．記作：x→y=f(x)，x∈A．集合A叫做函數(shù)的定義域，記為D，集合{yy=f(x)，x∈A}叫做值域，記為（2）函數(shù)的實(shí)質(zhì)是從一個(gè)非空集合到另一個(gè)非空集合的映射．（3）函數(shù)表示法：函數(shù)書寫方式為y=f(x)，x（4）函數(shù)三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則．（5）同一函數(shù)：兩個(gè)函數(shù)只有在定義域和對(duì)應(yīng)法則都相等時(shí)，兩個(gè)函數(shù)才相同．2、基本的函數(shù)定義域限制求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：（1）分式的分母不為零；（2）偶次方根的被開(kāi)方數(shù)大于或等于零：（3）對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；（4）零次冪或負(fù)指數(shù)次冪的底數(shù)不為零；（5）三角函數(shù)中的正切y=tanx的定義域是xx∈R,（6）已知fx的定義域求解fgx的定義域，或已知fgx的定義域求fx的定義域，遵循兩點(diǎn)：①定義域是指自變量的取值范圍；=2\*GB3②（7）對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實(shí)際意義再限制，從而得到實(shí)際問(wèn)題函數(shù)的定義域．3、基本初等函數(shù)的值域（1）y=kx+b?(k≠0)的值域是R．（2）y=ax2+bx+c?(a≠0)的值域是：當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)閧yy≥（3）y=kx?(k≠0)（4）y=ax?(a>0且a≠1)（5）y=logax?(a>0且4、分段函數(shù)的應(yīng)用分段函數(shù)問(wèn)題往往需要進(jìn)行分類討論，根據(jù)分段函數(shù)在其定義域內(nèi)每段的解析式不同，然后分別解決，即分段函數(shù)問(wèn)題，分段解決．【典型例題】例1．（2024·山東濰坊·高三階段練習(xí)）下列四個(gè)圖形中，不是以x為自變量的函數(shù)的圖象是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)函數(shù)定義，在定義域內(nèi)，對(duì)于任意的x，只能有唯一確定的y與其對(duì)應(yīng)，ABC滿足要求，D選項(xiàng)，在定義域內(nèi)對(duì)于x>0，有兩個(gè)確定的y與其對(duì)應(yīng)，D錯(cuò)誤.故選：D例2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx-1=x2-A．2 B．±2 C．2 D．【答案】D【解析】令x-1=a,x2-2x=3，解得故選：D例3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)fx=8-2A．-∞,6 B．-∞,3 C． D．【答案】A【解析】由題意得，8-2x≥0，解得x≤3,即函數(shù)fx2的定義域?yàn)楣蔬x:A例4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)y=f2x的定義域?yàn)?，則函數(shù)y=f(1-x)A．[0,74]C．-2,4 D．【答案】D【解析】由函數(shù)y=f2x的定義域?yàn)椋?x∈因此函數(shù)y=f(1-x)ln(x+2)所以函數(shù)y=f(1-x)故選：D例5．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶南開(kāi)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=kx2-3x+kA．k≥0或k≤-C．-32≤【答案】B【解析】由題意可得，kx當(dāng)k=0時(shí)，即-3x當(dāng)k≠0時(shí)，有k>0Δ綜上可得，k≥故選：B例6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知f(x)是一次函數(shù)，且f(f(x))=4x-1，則A．f(x)=2x-13或f(x)=-2x+1C．f(x)=2x-1或f(x)=-2x+1【答案】A【解析】設(shè)f(x)=kx+bk≠0k2=4bk+1=-1，求出k和b的值，即可得f(x)即對(duì)任意的x恒成立，所以k2=4bk+1=所以f(x)的解析式為f(x)=2x-13故選：A例7．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列各項(xiàng)不能表示同一個(gè)函數(shù)的是（

）A．fx=x2-1xC．ft=1+t1-t與【答案】ABD【解析】對(duì)于A:fx定義域?yàn)?∞,1∪1,+∞，gx定義域?yàn)閷?duì)于B:fx=x-1與g對(duì)于C:解析式及定義域都相同，C選項(xiàng)是同一函數(shù)，C選項(xiàng)不正確；對(duì)于D:fx定義域?yàn)镽，gx定義域?yàn)?∞,0∪0,+故選:ABD.例8．（多選題）（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若fa=3，則實(shí)數(shù)a的值可以是（

A．1 B． C．5 D．-5【答案】BC【解析】當(dāng)a<2時(shí)，3a+2=3，解得當(dāng)a≥2時(shí)，log3a2+2=3綜上所述，a=5或a=-故選：BC例9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)fx滿足關(guān)系式2fx+f1【答案】6【解析】因?yàn)?fx+f1解得fx=2x-故選：6例10．（2024·北京房山·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域是.【答案】-∞【解析】由題意可得、x≠0，故x<12且x故該函數(shù)定義域?yàn)?∞,0故答案為：-∞,0例11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的最值.(1)y=x2(2)y=x+22x+5【解析】（1）y=≤2-21-x?31-x=2-2所以y=x2+2（2）設(shè)t=x+2t>0，則y=t當(dāng)且僅當(dāng)2t=1t，即，即x=-故y=x+22x+5x>-2例12．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求值域(用區(qū)間表示)：(1)y=x2-2x+4，①x∈-4,-1(2)f(x)=x(3)f(x)=x【解析】（1），①當(dāng)x∈-4,-1時(shí)，y∴值域?yàn)閇7，28]；②當(dāng)x∈-2,3時(shí)，y∴值域?yàn)閇3，12]．（2）令t=x2-2x+3因?yàn)閠=x2-2x+3=(x-1)2所以函數(shù)的值域?yàn)?,+（3）y=x因?yàn)?x+3≠0所以函數(shù)的值域?yàn)?-∞，1)∪(1，+∞).例13．（2024·天津河西·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=0時(shí)，求fx(2)若fx的定義域?yàn)?2,1，求實(shí)數(shù)a(3)若fx的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【解析】（1）當(dāng)a=0時(shí)，fx所以fx的值域?yàn)?5（2）因?yàn)閒x的定義域?yàn)?所以-2和1是方程1-故-2+1=3a-11-a2（3）當(dāng)a=1時(shí)，fx=6當(dāng)a=-1時(shí)，fx=6x+6當(dāng)1-a2≠0時(shí)，由題意，1-令1-a2綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍-5【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)滿足f(x)+2f(2-x)=1x-1，則f(3)A．-73 B． C．-415【答案】B【解析】由f(x)+2f(2-x)=1x-1，將x換成2-x即f(2-聯(lián)立方程組f(x)+2f(2-x)=1x-1所以f(3)=-故選：B.2．（2024·黑龍江佳木斯·佳木斯一中?？寄M預(yù)測(cè)）十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立.奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).著名的“康托三分集.（Cantor）”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具體典型的分形特征，其操作過(guò)程如下：將閉區(qū)間[0,1]均分為三段，去掉中間的開(kāi)區(qū)間段13,23，記為第一次操作；再將剩下的兩個(gè)區(qū)間0,13，23,1分別均分為三段，并各自去掉中間的開(kāi)區(qū)間段，記為第二次操作；A．29,13 B．227,【答案】C【解析】第一次操作剩下：；第二次操作剩下：0,1第三次操作剩下：0,1即從左到右第四個(gè)區(qū)間為827故選：C.3．（2024·山東濱州·高三?？茧A段練習(xí)）已知f(x)的定義域?yàn)閇1,3]，則g(x)=f(3xA．1,32∪C．1,32∪【答案】A【解析】因?yàn)閒x定義域?yàn)?,3，所以f3x-2的定義域?yàn)?≤3x-2≤3，解得由分母不為0，得2x-3≠0，即x≠32，所以函數(shù)定義域?yàn)椋汗蔬x：A.4．（2024·湖北省直轄縣級(jí)單位·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)y=f(x)的定義域是-4,5，則y=f(x-1)A．-2,4 B．-2,6 C．-2,4 D．-【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)閇-所以f(x-1)滿足-4≤x-1≤5，即-3又x+2>0，即，所以-3≤x≤6x>-2，解得-所以函數(shù)y=f(x-1)x+2的定義域?yàn)楣蔬x：D.5．（2024·陜西漢中·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)fx=x+1ax2-2ax+1A．a(chǎn)0<a<1 B．a(chǎn)a<0或a>1 C．a(chǎn)0≤a<1 D．【答案】C【解析】由函數(shù)fx=x+1ax當(dāng)a=0時(shí)，1≠當(dāng)a≠0時(shí)，Δ=4a2綜上所述a的取值范圍為a0故選：C．6．（2024·吉林通化·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=1mx2+2mx+1的定義域是RA．0<m<1 B．0<m≤1 C．0≤m<1 D．0【答案】C【解析】依題意，?x∈R，不等式m當(dāng)m=0時(shí)，mx2+2mx+1=1>0當(dāng)m≠0時(shí)，有m>0Δ=4m2-4m<0，解得所以m的取值范圍是0≤故選：C7．（2024·寧夏固原·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)y=-x2A．0,5 B．0,9 C．5,9 D．0,+【答案】B【解析】函數(shù)y=-x2+6x所以該函數(shù)在(0,3)上單調(diào)遞增，在(3,5)上單調(diào)遞減，所以yyx=3max所以，即函數(shù)的值域?yàn)閇0,9].故選：B.8．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知函數(shù)的值域是[1,7]，則x的取值范圍是（

）A． B． C．[1,2] D．【答案】D【解析】y=x令y=1，則x2-3x+3=1，解得x=1或令y=7，則x2-3x+3=7，解得x=對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像，得y∈[34對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像，得y∈[34對(duì)于C：當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，結(jié)合圖像，得y∈[3對(duì)于D：當(dāng)x∈(0,1]∪[2,4]時(shí)，結(jié)合圖像，得y∈[1,7]，故故選：D．9．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若二次函數(shù)f(x)滿足f(x+1)-f(x)=2x，且f(0)=1，則f(x)的表達(dá)式為（

）A．f(x)=-x2C．f(x)=x2-x-1【答案】D【解析】設(shè)fx=ax∵f0=1，則c=1又∵fx+1令x=0，則f1-f0=0，∴f1令x=1，則f2-f1=2，f2∴a=1，b=-1，fx故選：D.10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一次函數(shù)fx滿足：ffx-2x=3，則A．1 B．2 C．3 D．5【答案】C【解析】設(shè)fx∴f∴k2-2k=0,kb+b=3，解得k=2,b=1，∴fx故選：C．11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知f2x-1=4x2+3，則A．x2-2x+4 BC．x2-2x-1 D【答案】D【解析】令t=2x-1，則x=t+12，則f(t)=4(所以fx故選：D.12．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若fx滿足關(guān)系式f(x+1)=2x-3，則f(x)=（

A．2x+1 B．2x-5 C．3x-5 D．3x+1【答案】B【解析】由題意，在fx中，f(x+1)=2x∴fx故選：B.13．（2024·陜西咸陽(yáng)·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則f(x)的解析式是（

）A．f(x)=4x+3 B．f(x)=4x-3 C．f(x)=3x+2 D．f(x)=3x【答案】B【解析】依題意，函數(shù)f(x+1)=4(x+1)-所以f(x)的解析式是f(x)=4x-故選：B14．（2024·江西上饒·高三婺源縣天佑中學(xué)校考階段練習(xí)）下列四組函數(shù)：①fx=x,gx=x2；②fx=x,gx=A．②④ B．②③ C．①③ D．③④【答案】B【解析】①fx②fx③fx④fx=1故選：B.15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=x2,x≥0A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】因?yàn)閒-2=--2故選：A.16．（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則f(f(12))=（A．14 B．12 C．22【答案】A【解析】函數(shù)，則，所以f(f(1故選：A17．（2024·河北唐山·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f(x)=sinx,x≤0f(x-π2)+m,x>0A．14 B．12 C．1 D【答案】B【解析】函數(shù)f(x)=sinx,x≤0所以m=1故選：B18．（2024·江蘇徐州·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)fx=2x-1-2,x≤1-loA．-74 B．-158 C．【答案】B【解析】依題意，a≤12a-1-2=-4或，解得所以f13故選：B19．（2024·四川宜賓·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)fx=log1A．8 B．9 C．22 D．26【答案】C【解析】f-因?yàn)閘og38>1所以f-故選：C.二、多選題20．（2024·廣東·惠州一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）給定數(shù)集A=R，B=(0,+∞)，x,y滿足方程2x-y=0，下列對(duì)應(yīng)關(guān)系fA．f:A→B，y=f(x) B．f:B→A，y=f(x)C．f:A→B，x=f(y) D．f:B→A，x=f(y)【答案】ABD【解析】對(duì)于A，y=f(x)=2x，?x∈A，均有唯一確定fx對(duì)于B，y=f(x)=2x，?x∈B，均有唯一確定fx對(duì)于C，x=fy=log2y，取對(duì)于D，x=fy=log2y，?y∈B故選：ABD21．（2024·重慶黔江·高三重慶市黔江中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知集合P={x|0<x≤6}，Q={y|0<y≤3}，下列從集合P到集合Q的各個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系f是函數(shù)的是（

）A．f:x→y=12xC．f:x→y=12x【答案】ABC【解析】選項(xiàng)A，f:x→y=12x，集合P中的每一個(gè)元素在集合Q選項(xiàng)B，f:x→y=x13，集合P中的每一個(gè)元素在集合Q選項(xiàng)C，f:x→y=12x，集合P中的每一個(gè)元素在集合Q選項(xiàng)D，f:x→y=lnx，集合P中的1，在集合Q中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng)，故故選：ABC22．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)集合P=x0≤x≤4,Q=y0≤y≤4A．

B．

C．

D．【答案】BD【解析】對(duì)于A：由圖象可知定義域不是P，不滿足；對(duì)于B：定義域?yàn)镻，值域?yàn)镼的子集，故符合函數(shù)的定義，滿足；對(duì)于C：集合P中有的元素在集合Q中對(duì)應(yīng)兩個(gè)值，不符合函數(shù)定義，不滿足；對(duì)于D：由函數(shù)定義可知D滿足．故選：BD．23．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)，且f(a)=1，則實(shí)數(shù)a的值可能為（

）A． B．0 C．2 D．3【答案】BCD【解析】當(dāng)a≤2時(shí)，由f(a)=1，得2a2-2a=1，得a2當(dāng)a>2時(shí)，由f(a)=1，得log3(a2-2a)=1，得a綜上，a=0，或a=2，或a=3，故選：BCD24．（2024·山東泰安·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x2+6,x≤02x-1,x>0，若fxA．-3 B．3 C．7 D．【答案】AD【解析】當(dāng)x≤0時(shí)，由fx=15，得x2+6=15，解得當(dāng)x>0時(shí)，由fx=15，得2x-1=15，解得綜上x(chóng)=8或x=-故選：AD25．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=x2+1x≤02xA．-3 B．3 C．log210【答案】AD【解析】因?yàn)楹瘮?shù)fx=x所以a≤0a2+1=10，解得：a=-3；或者a>0故選：AD26．（2024·云南·高三景東彝族自治縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)fx的圖象是折線段ABC，如圖所示，其中點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為-1,2，1,0，3,2，以下說(shuō)法正確的是（

A．fx=-x+1,-1≤x<1,x-1,1≤x≤3 BC．fx+1為偶函數(shù) D．滿足ffx≥1【答案】ACD【解析】由圖像可知，fx=-x+1,由于fx-1的圖象，是將fx的圖象向右平移又fx的定義域?yàn)?1,3，所以fx-1的定義域?yàn)?,4，故Bfx+1是將fx的圖象向左平移由圖像可知，fx+1的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以fx+1為偶函數(shù)，故C令t=fx，若ffx≥1，即ft≥1，由圖像可知，或t≥2，即若f當(dāng)fx≤0時(shí)，x=1，當(dāng)fx≥2時(shí)故x的取值集合為-1,1,3，所以D正確故選：ACD.三、填空題27．（2024·山東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）不等式組x-1≥【答案】[【解析】∵不等式組x-1∴1≤x<2，∴不等式組的解集為[1,2故答案為：[1,228．（2024·北京東城·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)fx=1【答案】0,1【解析】∵fxlnx≠0,x>0,解得x>0∴函數(shù)fx=1故答案為：0,1∪29．（2024·河北邢臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）若函數(shù)f(3x-2)的定義域?yàn)閇-2,3]，則函數(shù)f(2x+3)的定義域?yàn)椋敬鸢浮?【解析】因?yàn)?2≤x≤3，所以-8≤3x-2≤7，所以f(x)的定義域?yàn)閇-要使f(2x+3)有意義，需滿足-8≤2x+3≤7，解得-11所以函數(shù)f(2x+3)的定義域?yàn)?11故答案為：-1130．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx2的定義域?yàn)?,2，求f2x+1【答案】0,【解析】∵fx2的定義域?yàn)?,2，即∴1<x故需1<2x+1<4，∴0<x<3∴f2x+1的定義域?yàn)?,故答案為：0,31．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx2的定義域?yàn)?,4，求fx【答案】4,16【解析】因?yàn)楹瘮?shù)fx2的定義域?yàn)榧?<x<4，則4<x故fx的定義域?yàn)?,16故答案為：4,16.32．（2024·上?！じ呷虾Ｖ袑W(xué)?？计谥校┖瘮?shù)y=x+1-x【答案】-【解析】由y=x+1當(dāng)-1≤x≤2時(shí)，y=2x-1單調(diào)遞增，所以-3故函數(shù)y=x+1-x-2故答案為：-3,333．（2024·遼寧·高三大連二十四中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)y=21x【答案】0,【解析】設(shè)t=x4-1，則t≥-1從而1t∈-∞,-1故答案為：0,134．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高三呂叔湘中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若x>-1，則函數(shù)fx=x【答案】0,+【解析】∵fx當(dāng)x>-1時(shí)，fx當(dāng)且僅當(dāng)x+1=1x+1，即故函數(shù)的值域?yàn)?,+∞故答案為：0,+∞35．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)y=x+1-【答案】-∞【解析】設(shè)t=1-xt≥0,則所以原函數(shù)可化為:y=-由二次函數(shù)性質(zhì),當(dāng)t=12時(shí),函數(shù)取最大值54所以值域?yàn)?-∞,故答案為:-∞,36．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)y=x+【答案】6【解析】由已知得函數(shù)y=x+6-x∵y=∴y又∵∴x∴6+2x6-x∈∴故答案為：6,237．（2024·山西晉中·高三校考開(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)fx滿足fx+2f1【答案】-73