2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義專題24立體幾何基礎(chǔ)提分小題

專題24立體幾何基礎(chǔ)提分小題【考點(diǎn)預(yù)測】1、表面積與體積計(jì)算公式表面積柱體為直截面周長椎體臺體球體積柱體椎體臺體球2、斜二測畫法斜二測畫法的主要步驟如下:(1)建立直角坐標(biāo)系.在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的,建立直角坐標(biāo)系.(2)畫出斜坐標(biāo)系.在畫直觀圖的紙上(平面上)畫出對應(yīng)圖形.在已知圖形平行于軸的線段,在直觀圖中畫成平行于使(或),它們確定的平面表示水平平面.(3)畫出對應(yīng)圖形.在已知圖形平行于軸的線段,在直觀圖中畫成平行于軸的線段,且長度保持不變;在已知圖形平行于軸的線段,在直觀圖中畫成平行于軸,且長度變?yōu)樵瓉淼囊话?可簡化為“橫不變,縱減半”.(4)擦去輔助線.圖畫好后,要擦去軸、軸及為畫圖添加的輔助線(虛線).被擋住的棱畫虛線.注:直觀圖和平面圖形的面積比為.3、外接球與內(nèi)切球類型1：正方體或長方體外接球的球心在其體對角線的中點(diǎn)。類型2：正棱柱或直棱柱(圓柱)的球心在上下底面外心連線中點(diǎn)處。推論：垂面模型（一條直線垂直于一個(gè)平面）可補(bǔ)成直三菱柱或長方體。公式：,（R為外接球半徑，r為底面外接圓半徑，h為棱錐的高，r可根據(jù)正弦定理類型3：正棱錐（圓錐）模型(側(cè)棱相等，底面為正多邊形）的球心在其頂點(diǎn)與底面外心連線線段(或延長線）上。半徑公式：（R為外接球半徑，r為底面外接圓半徑，h為棱錐的高，r可根據(jù)正弦定理類型4：若棱錐的頂點(diǎn)可構(gòu)成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點(diǎn)就是其外接球的球心。類型5：錐體的內(nèi)切球問題三棱錐是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等第一步：先畫出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為，建立等式：第三步：解出【典型例題】例1．（2024·高三·江西·階段練習(xí)）已知某棱長為的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示，在棱長為2的正方體中構(gòu)造棱長為的正四面體，顯然正四面體的棱切球即為正方體的內(nèi)切球，故球的半徑，則該球的表面積為．故選：A．例2．（2024·廣西來賓·一模）已知一個(gè)正四棱臺的上、下底面邊長分別為1，2，體積為3，則該正四棱臺的高為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)該正四棱臺的高為，又其上、下底面邊長分別為1，2，體積為3，則，所以,故選：D.例3．（2024·山東棗莊·一模）已知圓臺的上、下底面半徑分別為1和3，側(cè)面展開圖是半個(gè)圓環(huán)，則圓臺的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】圓臺的上底面圓半徑，下底面圓半徑，設(shè)圓臺的母線長為l，扇環(huán)所在的小圓的半徑為，依題意有：，解得,所以圓臺的側(cè)面積.故選：B例4．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知四棱錐的側(cè)面都是邊長為4的等邊三角形，且各表面均與球相切，則球的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知：為菱形，且，知頂點(diǎn)在底面內(nèi)的投影為四邊形的外心，所以為正方形，即四棱錐為棱長為4的正四棱錐，則四棱錐的高為，設(shè)球的半徑為，則，解得.故選：B.例5．（2024·寧夏銀川·一模）已知圓錐的底面圓周在球的球面上，頂點(diǎn)為球心，圓錐的高為3，且圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意圓錐高，設(shè)圓錐的底面半徑，母線為，圓錐的外接球的半徑為，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則，解得，可知，所以圓錐的外接球球的表面積.故選：C.例6．（2024·遼寧遼陽·一模）四羊方尊（又稱四羊尊）為中國商代晚期青銅器，其盛酒部分可近似視為一個(gè)正四棱臺（上、下底面的邊長分別為，高為），則四羊方尊的容積約為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得：四羊方尊的容積約為.故選：A.例7．（2024·全國·模擬預(yù)測）一個(gè)圓臺的上、下底面的半徑分別為2和3，高為，則它的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得圓臺的母線長為，則圓臺的表面積為，故選：A．例8．（2024·高一·山東德州·期末）如圖所示，梯形是平面圖形ABCD用斜二測畫法得到的直觀圖，，，則平面圖形ABCD中對角線AC的長度為（）A． B． C． D．5【答案】C【解析】由直觀圖知原幾何圖形是直角梯形ABCD，如圖，由斜二測法則知，，所以．故選：C．例9．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）下圖中小正方形的邊長為1，四邊形為某圖形的直觀圖，則該圖形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，把四邊形分割成兩個(gè)三角形和一個(gè)梯形來求面積其面積設(shè)原圖形面積為，則，所以.故選：D.例10．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測）2023年3月11日，“探索一號”科考船搭載著“奮斗者”號載人潛水器圓滿完成國際首次環(huán)大洋洲載人深潛科考任務(wù)，順利返回三亞．本次航行有兩個(gè)突出的成就，一是到達(dá)了東南印度洋的蒂阿曼蒂那深淵，二是到達(dá)了瓦萊比—熱恩斯深淵，并且在這兩個(gè)海底深淵都進(jìn)行了勘探和采集．如圖1是“奮斗者”號模型圖，其球艙可以抽象為圓錐和圓柱的組合體，其軸截面如圖2所示，則該模型球艙體積為（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】由模型的軸截面可知圓錐的底面半徑為，高為；圓柱的底面半徑為，高為，故該模型球艙體積為（），故選：D.例11．（2024·高二·云南紅河·階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱的側(cè)面展開圖中，B，C是線段AD的三等分點(diǎn)，且．若該三棱柱的外接球O的表面積為12π，則．【答案】【解析】由該三棱柱的外接球O的表面積為12π，設(shè)外接球得半徑為，則，解得，由題意，取上下底面三角形得中心，分別為，得中點(diǎn)即為外接圓圓心，作圖如下：則，平面，，平面，，在等邊中，，在中，，.故答案為：.例12．（2024·高三·河南南陽·期末）《九章算術(shù)》是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，全書總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，內(nèi)容十分豐富，在數(shù)學(xué)史上有其獨(dú)到的成就．在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．如圖，幾何體P－ABCD為一個(gè)陽馬，其中平面ABCD，若，，，且PD＝AD＝2AB＝4，則幾何體EFGABCD的外接球表面積為．【答案】【解析】設(shè)，連接.依題意，四邊形是矩形，所以，由于平面，平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，由于，平面，所以面，由于平面，所以.同理可證得，由于，所以都是以為斜邊的直角三角形，所以幾何體外接球球心是，且半徑，所以外接球的表面積為.故答案為：例13．（2024·高三·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，圓臺的上底面圓的半徑為，下底面圓的半徑為，若圓臺的外接球（上下底面圓在同一球面上）的表面積為且其球心在線段上．則圓臺的體積為．

【答案】【解析】設(shè)圓臺的高為，球心到圓臺上底面的距離為，球的半徑為，因?yàn)榍虻谋砻娣e為，所以，解得，又因?yàn)榍虻那蛐脑趫A臺的軸上，可得，解得，所以圓臺的體積為.故答案為：．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）一個(gè)底面半徑為2的圓錐被與其底面平行的平面所截，截去的小圓錐的底面半徑和高均為1，所得圓臺的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解法一：由題知原大圓錐底面半徑是截去的小圓錐底面半徑的2倍，則原大圓錐的高是截去的小圓錐的高的2倍，即為2，故圓臺的母線長為，故圓臺的側(cè)面積.故選：B．解法二：由于原大圓錐和截去的小圓錐的底面周長之比為，故原大圓錐與截去的小圓錐的側(cè)面積之比為，則圓臺側(cè)面積為截去的小圓錐側(cè)面積的3倍，即.故選:B．2．（2024·高二·北京·期中）一個(gè)水平放置的平面圖形用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的等腰直角，其中，則平面圖形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)樵谥庇^圖中，，所以，所以如下圖，原圖形是一個(gè)底邊長為，高為的直角三角形，故原圖形的面積為.故選：B3．（2024·高一·安徽蕪湖·期中）如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為45°的等腰梯形，已知直觀圖OA′B′C′中，，則該平面圖形的面積為（

）

A． B．2 C． D．【答案】D【解析】作出原來的平面圖形，如圖，，，在題設(shè)等腰梯形中，，因此，所以．故選：D．4．（2024·北京東城·一模）《天工開物》是我國明代科學(xué)家宋應(yīng)星所著的一部綜合性科學(xué)技術(shù)著作，書中記載了一種制造瓦片的方法.某校高一年級計(jì)劃實(shí)踐這種方法，為同學(xué)們準(zhǔn)備了制瓦用的粘土和圓柱形的木質(zhì)圓桶，圓桶底面外圓的直徑為，高為.首先，在圓桶的外側(cè)面均勻包上一層厚度為的粘土，然后，沿圓桶母線方向?qū)⒄惩翆臃指畛伤牡确荩ㄈ鐖D），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同學(xué)制作四片瓦，全年級共500人，需要準(zhǔn)備的粘土量（不計(jì)損耗）與下列哪個(gè)數(shù)字最接近.（參考數(shù)據(jù)：）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由條件可得四片瓦的體積（）所以500名學(xué)生，每人制作4片瓦共需粘土的體積為（），又，所以共需粘土的體積為約為，故選：B.5．（2024·高三·江西撫州·階段練習(xí)）如圖1，現(xiàn)有一個(gè)底面直徑為高為的圓錐容器，以的速度向該容器內(nèi)注入溶液，隨著時(shí)間（單位：）的增加，圓錐容器內(nèi)的液體高度也跟著增加，如圖2所示，忽略容器的厚度，則當(dāng)時(shí)，圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時(shí)變化率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)注入溶液的時(shí)間為（單位：）時(shí)，溶液的高為，則，得.因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，即圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時(shí)變化率為.故選：C6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知圓臺的體積為，上、下底面圓的半徑分別為1，2，則圓臺的高為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由題意知，圓臺的上、下底面的面積分別為，，設(shè)圓臺的高為，則，解得，故選：B7．（2024·貴州畢節(jié)·二模）已知圓錐的底面圓的面積為，側(cè)面展開圖為一個(gè)扇形，其面積為，則該圓錐的母線長為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，圓錐母線長為，由題意可知，解得：，，所以該圓錐母線長為.故選：C8．（2024·陜西銅川·二模）已知一個(gè)圓柱的高不變，它的體積擴(kuò)大為原來的倍，則它的側(cè)面積擴(kuò)大為原來的（

）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】B【解析】設(shè)圓柱的高為，底面半徑為，則其體積，側(cè)面積為；設(shè)體積擴(kuò)大倍后的底面半徑為，則，，其側(cè)面積變?yōu)?，，即?cè)面積擴(kuò)大為原來的倍.故選：B.9．（2024·山東淄博·一模）某圓錐的側(cè)面積為，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的底面半徑長為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】C【解析】設(shè)圓錐的母線長為，底面半徑為，即側(cè)面展開圖的半徑為，側(cè)面展開圖的弧長為.又圓錐的底面周長為，所以，即圓錐的母線長.所以圓錐的側(cè)面積為，解得.故選：C.10．（2024·四川成都·二模）某圓錐的軸截面是斜邊長為2的等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，母線長為，因?yàn)閳A錐的軸截面是斜邊長為2的等腰直角三角形，可得，所以該圓錐的側(cè)面積為.故選：B．11．（2024·高三·安徽·開學(xué)考試）如圖，為圓錐底面圓的一條直徑，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，現(xiàn)沿將圓錐的側(cè)面展開，所得的平面圖形中為直角三角形，若，則圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，作出展開圖，可得為銳角，故，由，可得，即為等邊三角形，所以，則圓錐的側(cè)面積為，底面積，所以圓錐的表面積為.故選：B．12．（2024·高三·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）已知圓錐PO的母線長為2，O為底面的圓心，其側(cè)面積等于，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)圓錐PO的底面圓半徑為，由母線長為2，側(cè)面積等于，得，解得，因此圓錐的高，所以該圓錐的體積為.故選：C13．（2024·全國·模擬預(yù)測）甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑相等，均為，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，表面積之和為．則底面半徑的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)母線長分別為，則側(cè)面展開圖的圓心角之和，得．又表面積之和，得，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”，故選：A．14．（2024·高三·河北張家口·期末）已知圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線與下底面所成的角為，則該圓臺的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，得上底面面積為，下底面面積為，由圖形可得，，母線與下底面所成的角為，故，故圓臺的母線長為2，所以側(cè)面積為，所以該圓臺的表面積為．故選：C．15．（2024·湖南·二模）如圖，在四面體中，平面，則此四面體的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】將四面體補(bǔ)形成長方體，長方體的長?寬?高分別為、、，四面體的外接球即為長方體的外接球，而長方體的外接球的直徑等于長方體的體對角線長，設(shè)外接球的半徑為，故，所以外接球表面積為.故選：B.16．（2024·高三·天津東麗·階段練習(xí)）在直三棱柱中，，，，，該直三棱柱的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在中，由余弦定理可得，設(shè)外接圓半徑為r，再由正弦定理，因?yàn)槿庵侵比庵?，設(shè)外接球半徑為R，所以，所以外接球表面積為，故選：C17．（2024·高三·四川成都·開學(xué)考試）邊長為1的正方體的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】其外接球直徑，所以.故選：B．18．（2024·高一·陜西西安·期末）底面半徑為的圓錐側(cè)面展開圖的圓心角大小為，則此圓錐外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可作圖如下：設(shè)圓錐的母線長為，由題意可得，解得，則圓錐的高，圓錐外接球的半徑設(shè)為，則，解得，故圓錐外接球的表面積.故選：A.19．（2024·江蘇南京·二模）直角三角形中，斜邊長為2，繞直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)幾何體．若該幾何體外接球表面積為，則長為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以，繞直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)幾何體為圓錐，設(shè)圓錐外接球的半徑為，所以，解得，設(shè)外接球的球心為，則球心在直線上，所以，解得.故選：D二、多選題20．（2024·高三·廣東深圳·階段練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺B．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐C．兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱D．平行于同一直線的兩直線平行【答案】ABC【解析】對于A，棱臺是由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到的，它應(yīng)該保證各側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對于B，棱錐有一個(gè)面是多變形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，故B錯(cuò)誤；對于C，如圖所示，若下面是一個(gè)正四棱柱，上面是一個(gè)以正四棱柱上底面為下底面的斜四棱柱，但它們的組合體不是棱柱，故C錯(cuò)誤；對于D，由平行線的傳遞性可知D正確.故選：ABC.21．（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）已知一圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，為底面圓的一條直徑上的兩個(gè)端點(diǎn)，則（

）A．該圓錐的母線長為2B．該圓錐的體積為C．從點(diǎn)經(jīng)過圓錐的表面到達(dá)點(diǎn)的最短距離為D．過該圓錐的頂點(diǎn)作圓錐的截面，則截面面積的最大值為【答案】AB【解析】對于A中，由圓錐的底面半徑，可得底面圓周長為，又由其側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，設(shè)圓錐的母線長為，則，解得，所以A正確；對于B中，因?yàn)?，且母線長為，所以該圓錐的高為，所以其體積為，所以B正確；對于C中，假設(shè)該圓錐的軸截面將該圓錐分成兩部分，將其中的一部分展開，則其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，所以從點(diǎn)經(jīng)過圓錐的表面到達(dá)點(diǎn)的最短距離為，所以C不正確；對于D中，過該圓錐的頂點(diǎn)作圓錐的截面，則截面為腰長為2的等腰三角形，設(shè)其頂角為，則該三角形的面積為，當(dāng)截面為軸截面時(shí)，，則，所以，當(dāng)時(shí)，，所以D不正確.故選：AB.22．（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期中）下列說法中不正確的是（

）A．各側(cè)面都是正方形的正四棱柱一定是正方體B．用一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和圓臺C．任意兩條直線都可以確定一個(gè)平面D．空間中三條直線，若a與b共面，b與c共面，則a與c共面【答案】BCD【解析】對于A，因?yàn)檎睦庵牡酌媸钦叫?，而該正四棱柱的各?cè)面都是正方形，所以它是正方體，故A正確；對于B，用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截圓錐，才能得到一個(gè)圓錐和圓臺，故B錯(cuò)誤；對于C，兩條異面直線無法確定一個(gè)平面，故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)是異面直線，同時(shí)與相交時(shí)，滿足a與b共面，b與c共面，但此時(shí)不共面，故D錯(cuò)誤.故選：BCD.23．（2024·云南紅河·二模）如圖所示，圓錐的底面半徑和高都等于球的半徑，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．圓錐的軸截面為直角三角形B．圓錐的表面積大于球的表面積的一半C．圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為D．圓錐的體積與球的體積之比為【答案】ABD【解析】對于A，設(shè)球的半徑為，則如圖所示：，所以，故A正確；對于B，圓錐的表面積為，球的表面積為，所以，故B正確；對于C，圓錐的母線長為，底面周長為，所以圓錐側(cè)面展開圖中圓心角的弧度數(shù)為，故C錯(cuò)誤；對于D，，，，故D正確.故選：ABD.24．（2024·高二·四川·期中）某正方體的棱長為，則（

）A．該正方體的體積為 B．該正方體的體對角線長為C．該正方體的表面積為48 D．該正方體內(nèi)切球的表面積為【答案】ACD【解析】該正方體的體積為，故A正確；該正方體的體對角線長為，故B錯(cuò)誤；該正方體的表面積為，故C正確；因?yàn)檎襟w的內(nèi)切球半徑是正方體邊長的一半，則內(nèi)切球半徑為，所以內(nèi)切球的表面積為，故D正確.故選：ACD.三、填空題25．（2024·高三·上海浦東新·期中）如圖，有一底面半徑為1，高為3的圓柱.光源點(diǎn)沿著上底面圓周作勻速運(yùn)動，射出的光線始終經(jīng)過圓柱軸截面的中心.當(dāng)光源點(diǎn)沿著上底面圓周運(yùn)動半周時(shí)，其射出的光線在圓柱內(nèi)部“掃過”的面積為.

【答案】【解析】由已知得射出的光線在圓柱內(nèi)部“掃過”的面積是以為頂點(diǎn)，以圓柱的底面為底面的圓錐的半個(gè)側(cè)面積，共兩個(gè)，所以面積為.故答案為：.

.26．（2024·遼寧鞍山·二模）已知圓錐的底面半徑為2，母線與底面所成的角為，則該圓錐的表面積為．【答案】【解析】已知圓錐的底面半徑，圓錐母線與底面所成的角為，所以圓錐的母線長為，所以該圓錐的表面積為.故答案為：27．（2024·上海·一模）已知圓柱底面圓的周長為，母線長為4，則該圓柱的體積為．【答案】【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，所以，得