2025年春新湘教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)課件 第1章 整式的乘法 1.2 乘法公式 1.2.2 完全平方公式

完全平方公式湘教版·七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)①?gòu)?fù)習(xí)導(dǎo)入

同學(xué)們，前面我們學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則和合并同類(lèi)項(xiàng)法則，你會(huì)計(jì)算下列各題嗎？(x+3)2=______________________，(x-3)2=_______________________,(x+3)(x+3)=x2+6x+9(x-3)(x-3)=x2-6x+9這些式子的左邊和右邊有什么規(guī)律?(2m+3n)2=________________________________,(2m-3n)2=______________________________.(2m+3n)(2m+3n)=4m2+12mn+9n2(2m-3n)(2m-3n)=4m2-12mn+9n2探究新知計(jì)算:

(x+y)2由多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則可得(x+y)2=(x+y)(x+y)=x2+xy+yx+y2=x2+2xy+y2得到完全平方公式1：(x+y)2=x2+2xy+y2即多項(xiàng)式x+y的平方等于x與y的平方加上x(chóng)與y的積的2倍(x+y)2=

x2+2xy+y2若將完全平方公式1中的y用-y代替，則可得(x-y)2=x2+2x·(-y)

+(-y)2=x2-2xy+y2得到完全平方公式2：(x-y)2=x2-2xy+y2即多項(xiàng)式x-y的平方等于x與y的平方減去x與y的積的2倍(x+y)2=x2+2xy+y2設(shè)a,b都是正數(shù)，將完全平方公式1、2中的x用a代入，y用b代入可得(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2完全平方公式兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和，加(或減)它們的積的2倍.

公式口訣：首平方，尾平方，兩倍乘積放中央，加減看前方，同加異減。

(a+b)2=

a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b24.公式中的字母a，b可以表示數(shù)，單項(xiàng)式和多項(xiàng)式.1.積為二次三項(xiàng)式.2.首項(xiàng)、末項(xiàng)為兩數(shù)的平方和.3.另一項(xiàng)是兩數(shù)積的2倍，且與乘式中間的符號(hào)相同.如圖，把一個(gè)邊長(zhǎng)為a＋b

的正方形分割成4部分，觀察圖形的面積你能發(fā)現(xiàn)什么？(a+b)2

a2+ab+ab+b2分割前的面積分割后的面積abb2a2ab(a+b)2=a2+2ab+b2幾何背景分析運(yùn)用完全平方公式計(jì)算(1)解:將完全平方公式1中的x用a代入，y用代入,可得（2）(3m+n)2;

(3m+n)2=(3m)2+2·3m·n+n2=9m2+6mn+n2解:將完全平方公式1中的x用3m代入，y用n代入,可得（3）(2x-3y)2

(2x-3y)2=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=4x2–12xy+9y2解:將完全平方公式2中的x用2x代入，y用3y代入,可得填表(2a+b)2(5a-4b)22ab4a2+4ab+b25a4b25a2-40ab+16b2請(qǐng)你閱讀課本“說(shuō)一說(shuō)”至““例5”的內(nèi)容。思考:當(dāng)?shù)讛?shù)互為相反數(shù)時(shí)，完全平方的結(jié)果有什么關(guān)系?1.算一算(1)(a-b)2=_________；(b-a)2=_________(2)(a+b)2=_________；(-a-b)2=_________比較每一組算式中的兩個(gè)等式,等號(hào)左邊的底數(shù)有什么關(guān)系?結(jié)果有什么關(guān)系?2.比一比等號(hào)左邊的底數(shù)互為相反數(shù)，右邊的結(jié)果相等。a2-2ab+b2b2-2ab+a2a2+2ab+b2a2+2ab+b2怎樣計(jì)算解法一：解法二：計(jì)算(1)1042(2)1982解：由于1042=(100+4)2運(yùn)用完全平方公式1得1042=(100+4)2=1002+2×100×4+42=10000+800+16=10816解：由于1982=(200-2)2運(yùn)用完全平方公式2得1982=(200-2)2=2002-2×200×2+22=40000-800+4=392041.運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：(1)(2x+3)2(2)解：(2x+3)2=(2x)2+2·2x·3+32=4x2+12x+9[教材P19練習(xí)第1題](3)(5x-2y)2(4)(-4a-3b)2解：(5x-2y)2=(5x)2-2·5x·

2y+(2y)2=25x2-20xy+4y2(-4a-3b)2=(-4a)2-2·(-4a)·3b+(3b)2=16a2+24ab+9b22.計(jì)算：[教材P19練習(xí)第2題](1)1032(2)29721032=(100+3)2=1002+2×100×3+32=10000+600+9=10609解：2972=(300-3)2=3002-2×300×3+32=90000-1800+9=882093.試?yán)糜覉D解釋(a-b)2=a2-2ab+b2[教材P19練習(xí)第3題]abbab2由圖可知把一個(gè)邊長(zhǎng)為a

的正方形分割成4部分則(a-b)2為圖中黃色部分的面積黃色部分的面積=總面積-紅色部分的面積-藍(lán)色部分的面積可得:(a-b)2=a2-2b(a-b)-b2=a2-2ab+2b2-b2=a2-2ab+b2所以(a-b)2=a2-2ab+b2解：隨堂練習(xí)1.下面各式的計(jì)算對(duì)不對(duì)？如果不對(duì)，應(yīng)怎樣改正？（1）(

x＋2

)

2＝

x2＋4；（2）(－a－b

)2＝a2－2ab＋b2

.解：（1）不對(duì)，應(yīng)為(

x＋2

)

2＝

x2＋4x+4；（2）不對(duì)，應(yīng)為(－a－b

)2＝(a+b)2=a2＋2ab＋b2

.2．運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：（1）(x＋4)2；（2）(2a－3)2；（3）(5m-)2解：（1）(x＋4)2

=

x2+8x+16（2）(2a－3)2

=

(2a)2-2·2a·3+32=4a2-12a+9（3）(5m-)2=(5m)2-2·5m·+()2=25m2-5m+3.填空題：(x+3y)2=_____________;x2+6xy+9y2________=y2–y+;(y

–)2

(______)2=9a2-______+16b2;3a-4b24abx2+10x+____=(x+_____)2;255(-x-y)_______=x2+2xy+y2.(-x-y)4.下列各式中哪些可以運(yùn)用完全平方公式計(jì)算（）

A.(a+b)(a+c)B.(x+y)(－y+x)C.(ab－3x)(－3x+ab)D.(－m－n)(m-n)C5.計(jì)算：(x

–2y)2

（2）(2xy

+x)2

（1）解：原式=(