2025年外研版高三數(shù)學上冊階段測試試卷

…………○…………內…………○…………裝…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年外研版高三數(shù)學上冊階段測試試卷224考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共5題，共10分)1、設a＜b＜0，以下結論：①ac2＜bc2；②＜；③a2＜ab；④＞，正確的是（）A.①B.②C.③D.④2、班級與成績的2×2列聯(lián)表；表中數(shù)據(jù)m，n，p，q的值應分別為（）

。優(yōu)秀不優(yōu)秀總計甲班103545乙班738p總計mnqA.17，73，45，90B.17，90，73，45C.73，17，45，90D.73，45，90，173、如圖是某幾何體的三視圖，其中正視圖是邊長為2的等邊三角形，俯視圖是半圓，則該幾何體的體積是（）A.B.C.D.4、【題文】設函數(shù)則（）A.為的極大值點B.為的極小值點C.為的極大值點D.為的極小值點5、某幾何體的三視圖如圖所示；則該幾何體的體積為（）

A.B.C.D.評卷人得分二、填空題(共9題，共18分)6、已知雙曲線=1（a＞0，b＞0）的離心率為，且雙曲線與拋物線x2=-4y的準線交于A，B，S△OAB=，則雙曲線的實軸長____．7、甲船在某港口的東50km，北30km處，乙船在同一港口的東14km，南18km處，那么甲、乙兩船的距離是____．8、求經過M（-2，1）且與A（-1，2）、B（3，0）兩點距離相等的直線方程____．9、已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|0＜x＜5，x∈N}，則滿足A?C?B的集合C的個數(shù)是____．10、已知函數(shù)f（x）=asin（x）+btan（x）（a，b為常數(shù)），若f（1）=1，則不等式f（31）＞log2x的解集為____．11、已知f（1-2x）=（x≠0），那么f（）=____．12、已知雙曲線方程為則以雙曲線左頂點為頂點，右焦點為焦點的拋物線方程為____．13、集合的子集個數(shù)為．14、【題文】定義運算復數(shù)z滿足則復數(shù)的模為_____。評卷人得分三、判斷題(共8題，共16分)15、判斷集合A是否為集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．16、函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]是奇函數(shù)．____（判斷對錯）17、判斷集合A是否為集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．18、函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]是奇函數(shù)．____（判斷對錯）19、已知函數(shù)f（x）=4+ax-1的圖象恒過定點p，則點p的坐標是（1，5）____．（判斷對錯）20、空集沒有子集．____．21、任一集合必有兩個或兩個以上子集．____．22、若b=0，則函數(shù)f（x）=（2k+1）x+b在R上必為奇函數(shù)____．評卷人得分四、證明題(共4題，共28分)23、如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1的中點。

（1）求證：BD1∥平面AEC

（2）求證：平面D1DB⊥平面AEC

（3）若P為對角線D1B的中點，Q為棱C1C上的動點求|PQ|的最小值．24、已知a，b，c是正常數(shù)，且a，b，c互不相等，x，y，z∈（0，+∞），求證：++≥，并指出等號成立的條件．25、已知x1，x2是函數(shù)f（x）=x2+mx+t的兩個零點，其中常數(shù)m，t∈Z，設Tn=x1n-rx2r（n∈N*）．

（1）用m，t表示T1，T2；

（2）求證：T5=-mT4-tT3；

（3）求證：對任意的n∈N*，Tn∈Z．26、如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PC⊥平面ABCD，F(xiàn)是DC的中點，=2．

（Ⅰ）試判斷直線EF與平面PBC的位置關系；并予以證明；

（Ⅱ）若四棱錐P-ABCD體積為，CD=2，PC=BC=2，求證：平面BDE⊥面PBC．評卷人得分五、計算題(共2題，共18分)27、已知函數(shù)f（x+2009）=4x2+4x+3（x∈R），那么函數(shù)f（x）的最小值為____．28、三次函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c的圖象如圖所示；直線BD∥AC，且直線BD與函數(shù)圖象切于點B，交于點D，直線AC與函數(shù)圖象切于點C，交于點A．

（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)且過點（1，-3），當x＜0時求的最大值；

（2）若函數(shù)在x=1處取得極值-2，試用c表示a和b；并求f（x）的單調遞減區(qū)間；

（3）設點A、B、C、D的橫坐標分別為xA，xB，xC，xD求證（xA-xB）：（xB-xC）：（xC-xD）=1：2：1．評卷人得分六、綜合題(共2題，共20分)29、某公司今年年初支出100萬元購買一種新的設備；而且公司每年需要支出設備的維修費和工人工資等各種費用，第一年4萬元，第二年6萬元，以后每年均比上一年增加2萬元．除去各種費用后，預計公司每年純收益為28萬元．問：

（1）引進這種設備后；從第幾年起該公司開始獲利？（即：總收益大于各種支出）

（2）這種設備使用多少年，該公司的年平均收益最大？30、設函數(shù)f（x）=x2-mlnx，h（x）=x2-x+a．

（1）當a=0時；f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；

（2）當m=2時；若函數(shù)k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有兩個不同零點，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）當m=2時，如果函數(shù)g（x）=-f（x）-ax的圖象與x軸交于兩點A（x1，0）、B（x2，0）且0＜x1＜x2．求證：g′（px1+qx2）＜0（其中正常數(shù)p，q滿足p+q=1，且q≥p）．參考答案一、選擇題(共5題，共10分)1、D【分析】【分析】對于①，取c=0代入，得出結論；對于②令a=-2，b=-1代入，得出結論；對于③令a=-2，b=-1代入，得出結論不成立；對于④由a＜b＜0，得出＞，得出結論成立．【解析】【解答】解：對于①；當c=0時，不成立；

對于②令a=-2，b=-1；代入不成立；

對于③令a=-2，b=-1；代入不成立；

對于④∵a＜b＜0，∴a2＞b2，∴＞，∴＞；成立；

故選：D．2、A【分析】【分析】根據(jù)班級與成績的2×2列聯(lián)表，可得結論．【解析】【解答】解：根據(jù)班級與成績的2×2列聯(lián)表；可得m=10+7=17，n=35+38=73，p=7+38=45，q=45+45=90；

故選：A．3、D【分析】【分析】由三視圖知幾何體的直觀圖是半個圓錐，再根據(jù)其中正視圖是邊長為2的等邊三角形，我們易得圓錐的底面直徑為2，母線為2，故圓錐的底面半徑為1，高為，代入圓錐體積公式即可得到答案．【解析】【解答】解：由三視圖知幾何體的直觀圖是半個圓錐，

又∵正視圖是邊長為2的等邊三角形；

∴r=1，h=∴v==π

故選D．4、D【分析】【解析】

試題分析：因為所以

又所以為的極小值點。

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；導數(shù)的運算法則。

點評：極值點的導數(shù)為0，但導數(shù)為0的點不一定是極值點?！窘馕觥俊敬鸢浮緿5、B【分析】【分析】由三視圖可知：該幾何體由上下兩部分組成，上面是一個球的，下面是一個半圓柱．【解析】【解答】解：由三視圖可知：該幾何體由上下兩部分組成，上面是一個球的；下面是一個半圓柱．

∴該幾何體的體積V=+

=．

故選：B．二、填空題(共9題，共18分)6、略

【分析】【分析】先根據(jù)拋物線方程求得準線方程，利用三角形的面積，求得A，B坐標，結合離心率，即可求出2a．【解析】【解答】解：設A（x；y）．

依題意知拋物線x2=-4y的準線y=．S△OAB=，，解得x=1，A（1，）．

代入雙曲線=1得。

；①

雙曲線=1（a＞0，b＞0）的離心率為；

可得：；②；

解①②可得：a=．

2a=2．

雙曲線的實軸長2．

故答案為：．7、略

【分析】【分析】設某港口為坐標原點，正東方向為x軸正方向，正北方向為y軸正方向，甲、乙兩船的坐標分別為（50，30），（14，-18），利用兩點之間的距離公式解答．【解析】【解答】解：設某港口為坐標原點，正東方向為x軸正方向，正北方向為y軸正方向，甲、乙兩船的坐標分別為（50，30），（14，-18），如圖

∴甲、乙兩船間的距離為=≈60km；

故答案為：60km．8、略

【分析】【分析】由已知可知直線的斜率存在，設直線的方程為y-1=k（x+2），利用點到直線的距離公式即可得出．【解析】【解答】解：由已知可知直線的斜率存在；

設直線的方程為y-1=k（x+2）；化為kx-y+2k+1=0．

∵A（-1；2）；B（3，0）兩點到直線的距離相等；

∴=；

化為2k2+k=0，解得k=0或．

∴直線的方程為：y=1或x+2y=0．

故答案為：y=1或x+2y=0．9、略

【分析】【分析】先求出集合A={1，2}，B={1，2，3，4}，根據(jù)條件A?C?B即可寫出所有的集合C．【解析】【解答】解：A={1；2}，B={1，2，3，4}；

A?C?B；

∴1；2都是C的元素；

∴滿足條件的C為：

C={1；2}，{1，2，3}，{1，2，4}，共3個．

故答案為：3．10、略

【分析】【分析】由f（1）=1，可得asin+btan=1．可得f（31）=1．即不等式f（31）＞log2x化為1＞log2x，利用對數(shù)的運算性質即可得出．【解析】【解答】解：∵f（1）=1；

∴asin+btan=1．

f（31）=asin（×31）+btan（×31）=asin+btan=1．

∴不等式f（31）＞log2x化為1＞log2x；

解得0＜x＜2．

∴不等式f（31）＞log2x的解集為（0；2）．

故答案為：（0，2）．11、略

【分析】【分析】直接利用函數(shù)的解析式，求解函數(shù)值即可．【解析】【解答】解：f（）=f（1-2×）==8．

故答案為：8．12、略

【分析】

根據(jù)雙曲線方程可知a=4，b=3

∴c==5；

∴左頂點坐標為（-4；0），右焦點坐標為（5，0）；

∵拋物線頂點為雙曲線的左頂點；焦點為右焦點；

∴p=18；焦點在頂點的右側，在x軸上。

∴拋物線方程y2=36（x+4）．

故答案為：y2=36（x+4）．

【解析】【答案】先根據(jù)雙曲線方程求得雙曲線的左頂點和右焦點；進而根據(jù)拋物線的性質可求得拋物線的p，可得方程．

13、略

【分析】試題分析：根據(jù)題意此集合的子集有：四個.考點：集合的子集【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】

試題分析：所以復數(shù)的模為

考點：本小題主要考查復數(shù)的運算以及復數(shù)的模的求解.

點評：復數(shù)的運算每年高考都考，難度一般較低.【解析】【答案】三、判斷題(共8題，共16分)15、√【分析】【分析】根據(jù)子集的概念，判斷A的所有元素是否為B的元素，是便說明A是B的子集，否則A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5?B，∴A不是B的子集；

（3）B=?；∴A不是B的子集；

（4）A；B兩集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案為：√，×，×，√．16、×【分析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義進行判斷即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定義域不關于原點對稱；

故函數(shù)y=sinx不是奇函數(shù)；

故答案為：×17、√【分析】【分析】根據(jù)子集的概念，判斷A的所有元素是否為B的元素，是便說明A是B的子集，否則A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5?B，∴A不是B的子集；

（3）B=?；∴A不是B的子集；

（4）A；B兩集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案為：√，×，×，√．18、×【分析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義進行判斷即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定義域不關于原點對稱；

故函數(shù)y=sinx不是奇函數(shù)；

故答案為：×19、√【分析】【分析】已知函數(shù)f（x）=ax-1+4，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質，求出其過的定點．【解析】【解答】解：∵函數(shù)f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴點P的坐標為（1；5）；

故答案為：√20、×【分析】【分析】根據(jù)空集的性質，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根據(jù)題意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；則原命題錯誤；

故答案為：×．21、×【分析】【分析】特殊集合?只有一個子集，故任一集合必有兩個或兩個以上子集錯誤．【解析】【解答】解：?表示不含任何元素；?只有本身一個子集，故錯誤．

故答案為：×．22、√【分析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可作出判斷．【解析】【解答】解：當b=0時；f（x）=（2k+1）x；

定義域為R關于原點對稱；

且f（-x）=-（2k+1）x=-f（x）；

所以函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)．

故答案為：√．四、證明題(共4題，共28分)23、略

【分析】【分析】（1）連接BD交AC于F，連EF．可證EF∥D1B，又EFì平面EAC，從而可求得BD1∥平面EAC．

（2）先證明AC⊥BD，有DD1⊥平面ABCD，又AC?平面ABCD，可證明DD1⊥AC，從而可證AC⊥平面D1DB，即證明平面D1DB⊥平面AEC；

（3）以點D為坐標原點，以DA方向為x軸，DC方向為y軸，DD1方向為z軸，建立空間直角坐標系，先求出D1（0，0，2），B（2，2，0），C（0，2，0），再求出D1B的中點P（1，1，1），Q（0，2，z），從而可得PQ=，可得當z=1時（此時Q為棱C1C的中點），PQmin=．【解析】【解答】（1）證明：連接BD交AC于F；連EF；

因為F為正方形ABCD對角線的交點；

所長F為AC；BD的中點；

在DD1B中，E、F分別為DD1；DB的中點；

所以EF∥D1B；

又EFì平面EAC，所以BD1∥平面EAC．

（2）證明：在正方體ABCD-A1B1C1D1中；

∵四邊形ABCD是正方形；∴AC⊥BD5分。

又在正方體ABCD-A1B1C1D1中；

∵DD1⊥平面ABCD；6分。

又AC?平面ABCD，∴DD1⊥AC；7分。

DD1?平面D1DB，BD?平面D1DB，BD∩DD1=D；8分。

∴AC⊥平面D1DB9分。

∵AC?平面AEC；

∴平面D1DB⊥平面AEC10分。

（3）解：以點D為坐標原點；以DA方向為x軸，DC方向為y軸，DD1方向為z軸，建立空間直角坐標系，11分。

由正方體的棱長為2，知D1（0；0，2），B（2，2，0），C（0，2，0）；

則D1B的中點P（1；1，1），Q（0，2，z）12分。

PQ=；13分。

∴當z=1時（此時Q為棱C1C的中點），PQmin=14分24、略

【分析】【分析】令=（x，y，z），=（），由||2?||2≥||2，即可得證，再由向量共線的知識，即可得到取等號的條件．【解析】【解答】證明：令=（x，y，z），=（）；

則=x+y+z=a+b+c；

||2=x2+y2+z2，||2=++；

由||2?||2≥||2；

則有（x2+y2+z2）（++）≥（a+b+c）2；

即有++≥．

當且僅當a：b：c=x2：y2：z2，不等式取等號．25、略

【分析】【分析】（1）依題意，知x1+x2=-m，x1x2=t，利用Tn=x1n-rx2r（n∈N*），易知T1=x1+x2=-m，T2==+x1x2+=-x1x2=m2-t；

（2）由，可得T5=x1T4+=-mT4-tT3；

（3）利用數(shù)學歸納法證明即可．【解析】【解答】解：（1）x1+x2=-m，x1x2=t．

因為Tn=x1n-rx2r（n∈N*），所以T1=x1+x2=-m；

T2==+x1x2+=-x1x2=m2-t3分。

（2）由，得T5==x1+=x1T4+．

即T5=x1T4+．

所以x2T4=x1x2T3+．

所以T5=x1T4+（x2T4-x1x2T3）=（x1+x2）T4-x1x2T3=-mT4-tT38分。

（3）①當n=1，2時，由（1）知Tk是整數(shù)；結論成立．

②假設當n=k-1，n=k（k≥2）時結論成立，即Tk-1，Tk都是整數(shù)．

由Tk=，得Tk+1==x1+；

即Tk+1=x1Tk+；

所以Tk=x1Tk-1+，x2Tk=x1x2Tk-1+；

所以Tk+1=x1Tk+（x2Tk-x1x2Tk-1）=（x1+x2）Tk-x1x2Tk-1．

即Tk+1=-mTk-tTk-1．

由Tk-1，Tk都是整數(shù)，且m，t∈Z知，Tk+1也是整數(shù)；即n=k+1時，結論也成立．

由①②可知，對于一切n∈N*，Tn∈Z13分26、略

【分析】【分析】（Ⅰ）直線EF與平面PBC相交；過E作EG∥AB交PB于G，根據(jù)題中條件可得：FC≠EG，又因為FC∥AB，所以EG∥FC，進而得到兩條直線相交．，即可得到直線與平面相交．

（Ⅱ）過B作BH⊥CD于H，由四棱錐P-ABCD體積為，結合題中的條件可得，所以，所以BH=CH=HD，所以DB⊥BC．再利用面面垂直的判定定理可得面面垂直．【解析】【解答】證明：（Ⅰ）直線EF與平面PBC相交．（2分）

證明如下：過E作EG∥AB交PB于G；

∵，∴；

∴，∵；

∴FC≠EG（4分）

由底面ABCD是平行四邊形得FC∥AB；

∴EG∥FC（5分）

∴EF與CG相交；

故直線EF與平面PBC相交．（6分）

（Ⅱ）解：過B作BH⊥CD于H；

∵四棱錐P-ABCD體積為；PC⊥平面ABCD；

∴；PC⊥BD．

∴；（9分）

∵BC=2∴；

∵；

∴BH=CH=HD；

∴DB⊥BC．

∴DB⊥面PBC；（11分）

∵BD?面BDE；

∴平面BDE⊥面PBC．（12分）五、計算題(共2題，共18分)27、2【分析】【分析】先用換元法求出f（x）的解析式，然后利用函數(shù)圖象的平移規(guī)律可得出最小值．【解析】【解答】解：令t=x+2009；則x=t-2009

f（t）=4（t-2009）2+4（t-2009）+3

換變量得：

f（x）=4（x-2009）2+4（x-2009）+3

∵上面的函數(shù)圖象可由g（x）=4x2+4x+3的圖象向右平移2008.5個單位而得到。

∴最值相同。

∵g（x）=4x2+4x+3=

當x=-時；g（x）有最小值2

f（x）最小值也為2

故答案為：228、略

【分析】【分析】（1）直接由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)且過點（1，-3），得到a=c=0，b=-4，代入并整理；再結合基本不等式即可求出其最大值；

（2）先求出其導函數(shù)，根據(jù)函數(shù)在x=1處取得極值-2，得到；在代入其導函數(shù)；通過比較導數(shù)等于0的兩個根的大小求出函數(shù)的單調遞減區(qū)間；

（3）先設直線BD的方程為y=f′（xB）（x-xB）+f（xB），結合D點在直線上又在曲線上，得到xD+2xB+a=0；同理得到xA+2xC+a=0；進而求出（xA-xB）+（xC-xD）=（xB-xC），最后結合直線BD∥AC得到，結合上面所找的結論即可證得（xA-xB）：（xB-xC）：（xC-xD）=1：2：1．【解析】【解答】解：（1）由已知得a=c=0，b=-4；

當x＜0時當且僅當x=-2時取得最大值-4（3分）

（2）f′（x）=3x2+2ax+b，依題意有（5分）

從而f′（x）=3x2+2cx-（2c+3）=0=（3x+（2c+3））（x-1）；

令f′（x）=0有x=1或

由于f（x）在x=1處取得極值，因此；得到c≠-3

①若；即c＜-3；

則當時，f′（x）＜0，因此f（x）的單調遞減區(qū)間為；（7分）

②若；即c＞-3；

則當時，f′（x）＜0，因此f（x）的單調遞減區(qū)間為．（8分）

（3）證明：設直線BD的方程為y=f′（xB）（x-xB）+f（xB）因為D點在直線上又在曲線上；

所以f（xD）=f′（xB）（xD-xB）+f（xB）

即（xD3+axD2+bxD+c）-（xB3+axB2+bxB+c）=（3xB2+2axB+b）（xD-xB）

得到：xD2+xDxB-2xB2+axD-axB=0從而xD+2xB+a=0；①

同理有xA+2xC+a=0②；

由于AC平行于BD，因此f′（xB）=f′（xC），得到

進一步結合①②化簡可以得到，從而xA-xB=xC-xD

又由①②得：（xA-xB）+（xC-xD）=（xB-xC）；

因此（xA-xB）：（xB-xC）：（xC-xD）=1：2：1（14分）六、綜合題(共2題，共20分)29、略

【分析】【分析】（1）由題意知，每年的費用是以4為首項，2為公差的等差數(shù)列，設純收益與使用年數(shù)n的關系為f（n），f（n）=28n-[4n+]-100；由此能夠求出引進這種設備后，第5年末的收益與支出恰好相等，故從第6年起該公司開始獲利．

（2）年平均收益為≤25-2×10=5．由此能夠求出這種設備使用10年，該公司的年平均收益最大．【解析】【解答】解：（1）由題意知；每年的費用是以4為首項，2為公差的等差數(shù)列；

設純收益與使用年數(shù)n的關系為f（n）；

則f（n）=28n-[4n+]-100

=25n-n2-100．（4分）

由f（n）＞0，得n2-25n+100＜0；

解得：5＜n＜20；

又∵n∈N；所以6，7，8，，19．

且當n=5時；f（n）=0；

即第5年末的收益與支出恰好相等；故從第6年起該公司開始獲利．（6分）

（2）年平均收益為：

≤25-2=5．（10分）

當且僅當n=