第23講 約數(shù)的個(gè)數(shù)

第23講約數(shù)的個(gè)數(shù)一、第23講約數(shù)的個(gè)數(shù)（練習(xí)題部分）1.寫(xiě)出1～59這59個(gè)數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)，并將n的約數(shù)個(gè)數(shù)d(n)填在右表內(nèi)與左表相對(duì)應(yīng)的地方．

2.105的約數(shù)共有幾個(gè)?3.4500共有多少個(gè)約數(shù)?4.恰有12個(gè)不同約數(shù)的自然數(shù)最小是多少?5.自然數(shù)n的約數(shù)個(gè)數(shù)用d(n)表示．（1）求d(42)；（2）求滿足d(n)=8的最小自然數(shù)n；（3）如果d(n)=2，那么n是怎樣的數(shù)?如果d(n)=3呢?6.證明：不是平方數(shù)的自然數(shù)n，d(n)一定是偶數(shù).7.n≤60，并且對(duì)每個(gè)比n小的正整數(shù)m，d(m)<d(n)．求n．8.一個(gè)自然數(shù)，有10個(gè)不同的約數(shù)，它的質(zhì)因數(shù)是3或5．這個(gè)自然數(shù)最大是多少?

9.在1～100中，恰有3個(gè)約數(shù)的自然數(shù)相加，和是多少?

10.寫(xiě)出從300到600的自然數(shù)中，有奇數(shù)個(gè)約數(shù)的數(shù).

11.求240的所有約數(shù)的和．12.筐里共有96個(gè)蘋(píng)果．如果不一次全拿出，也不一個(gè)個(gè)地拿，要求每次拿出的個(gè)數(shù)一樣多，又正好拿完．有幾種不同的拿法?

答案解析部分一、第23講約數(shù)的個(gè)數(shù)（練習(xí)題部分）1.【答案】

【解析】【分析】對(duì)于一個(gè)大于1的正整數(shù)分解質(zhì)因數(shù)：n=p1a1·p2a2·……·pkak，可知n的正約數(shù)有（a1+1）（a2+1）……（ak+1）個(gè)；先將各數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，再依此計(jì)算即可.2.【答案】解：∵105=3×5×7，

∴105的約數(shù)個(gè)數(shù)是：（1+1）×（1+1）×（1+1）=8（個(gè)），【解析】【分析】對(duì)于一個(gè)大于1的正整數(shù)分解質(zhì)因數(shù)：n=p1a1·p2a2·……·pkak，可知n的正約數(shù)有（a1+1）（a2+1）……（ak+1）個(gè)；所以先將105分解質(zhì)因數(shù)，再依此計(jì)算即可.3.【答案】解：∵4500=22×32×53，

∴4500的約數(shù)個(gè)數(shù)是：（2+1）×（2+1）×（3+1）=36（個(gè)）.【解析】【分析】對(duì)于一個(gè)大于1的正整數(shù)分解質(zhì)因數(shù)：n=p1a1·p2a2·……·pkak，可知n的正約數(shù)有（a1+1）（a2+1）……（ak+1）個(gè)；所以先將4500分解質(zhì)因數(shù)，再依此計(jì)算即可.4.【答案】解：∵12=1×12=2×6=3×4，

∴12=1×（11+1）=（1+1）×（5+1）=（2+1）×（3+1）=（2+1）（1+1）（1+1），

又∵(a1+1)(a2+1)…(ak+1)=12，

①當(dāng)k=1時(shí)，

∴a1+1=1×（11+1）=12，

∴a1=11，

∴n=p1a1，

要使n最小，p1應(yīng)取2，

∴n=211=2048；

②當(dāng)k=2時(shí)，

∴（a1+1）（a2+1）=（1+1）×（5+1），

∴a1+1=2，a2+1=6，

∴a1=1，a2=5，

∴n=p1a1·p2a2，

要使n最小，p1應(yīng)取3，p2應(yīng)取2，

∴n=3×25=96；

③當(dāng)k=2時(shí)，

∴（a1+1）（a2+1）=（2+1）×（3+1），

∴a1+1=3，a2+1=4，

∴a1=2，a2=3，

∴n=p1a1·p2a2，

要使n最小，p1應(yīng)取3，p2應(yīng)取2，

∴n=32×23=72；

④當(dāng)k=4時(shí)，

∴（a1+1）（a2+1）（a3+1）=（2+1）（1+1）（1+1），

∴a1+1=3，a2+1=2，a3+1=2，

∴a1=2，a2=1，a3=1，

∴n=p1a1·p2a2·p3a3，

要使n最小，p1應(yīng)取2，p2應(yīng)取3，p2應(yīng)取5，

n=22×3×5=60；

∵2048>96>72>60，

∴符合題意的數(shù)是12×5=60．

【解析】【分析】對(duì)于一個(gè)大于1的正整數(shù)分解質(zhì)因數(shù)：n=p1a1·p2a2·……·pkak，可知n的正約數(shù)有（a1+1）（a2+1）……（ak+1）個(gè)；由此計(jì)算即可.5.【答案】（1）解：∵42=2×3×7，

∴42的約數(shù)個(gè)數(shù)是：（1+1）×（1+1）×（1+1）=8（個(gè)）.

（2）解：∵8=1×8=2×4，

∴8=1×（7+1）=（1+1）×（3+1）=（1+1）×（1+1）×（1+1），

又∵(a1+1)(a2+1)…(ak+1)=8，

①當(dāng)k=1時(shí)，

∴a1+1=1×（7+1）=8，

∴a1=7，

∴n=p1a1，

要使n最小，p1應(yīng)取2，

∴n=27=128；

②當(dāng)k=2時(shí)，

∴（a1+1）（a2+1）=（1+1）×（3+1），

∴a1+1=2，a2+1=4，

∴a1=1，a2=3，

∴n=p1a1·p2a2，

要使n最小，p1應(yīng)取3，p2應(yīng)取2，

∴n=3×23=24；

∵128>24，

∴符合題意的最小自然數(shù)n=24．

（3）解：∵2=1×2，

∴2=1×（1+1），

又∵(a1+1)(a2+1)…(ak+1)=2，

①當(dāng)k=1時(shí)，

∴a1+1=1×（1+1）=2，

∴a1=1，

∴n=p；

∵3=1×3，

∴3=1×（2+1），

又∵(a1+1)(a2+1)…(ak+1)=3①，

①當(dāng)k=1時(shí)，

∴a1+1=1×（2+1）=3，

∴a1=2，

∴n=p2.

【解析】【分析】對(duì)于一個(gè)大于1的正整數(shù)分解質(zhì)因數(shù)：n=p1a1·p2a2·……·pkak，可知n的正約數(shù)有（a1+1）（a2+1）……（ak+1）個(gè)；由此計(jì)算即可.6.【答案】證明：將n分解為質(zhì)因數(shù)的積n=p1a1·p2a2·……·pkak，

∵n不是平方數(shù)，

對(duì)n的每一個(gè)約數(shù)d都有n=d×，

∴也是n的約數(shù)，

這樣n的約數(shù)d與就可以兩兩配對(duì)，

∴n的約數(shù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)．

【解析】【分析】對(duì)于一個(gè)大于1的正整數(shù)分解質(zhì)因數(shù)：n=p1a1·p2a2·……·pkak，可知n的正約數(shù)有（a1+1）（a2+1）……（ak+1）個(gè)；依此計(jì)算即可.7.【答案】解：方法一：1~60的約數(shù)個(gè)數(shù)如下表。（括號(hào)內(nèi)的數(shù)為約數(shù)的個(gè)數(shù)）1(1)2(2)3(2)4(3)5(2)6(4)7(2)8(4)9(3)10(4)11(2)12(6)13(2)14(4)15(4)16(5)17(2)18(6)19(2)20(6)21(4)22(4)23(2)24(8)25(3)26(4)27(4)28(6)29(2)30(8)31(2)32(6)33(4)34(4)35(4)36(9)37(2)38(4)39(4)40(8)41(2)42(8)43(2)44(6)45(6)46(4)47(2)48(10)49(3)50(6)51(4)52(6)53(2)54(8)55(4)56(8)57(4)58(4)59(2)60(12)要使對(duì)每個(gè)比n小的正整數(shù)m，d(m)<d(n)，

∴n的值為2,4,6,12,24,36,48,60；

方法二：要使對(duì)每個(gè)比n小的正整數(shù)m，d(m)<d(n)，

即求當(dāng)d(n)=a時(shí)，d(m)<a。

（1）當(dāng)d(n)=1時(shí)，不符合；

（2）當(dāng)d(n)=2時(shí)，要使m,n時(shí)，d(m)<d(n)，n應(yīng)為約數(shù)個(gè)數(shù)為2的最小值，

則n=2；

（3）當(dāng)d(n)=3時(shí)，同理求n的最小值：n=22=4；

（4）當(dāng)d(n)=4時(shí)，同理求n的最小值：n=23=8或2×3=6，則最小的n=6；

（5）當(dāng)d(n)=5時(shí)，同理求n的最小值：n=24=16，由（6）可得當(dāng)m=12時(shí)，d(m)>d(n)，故不符合；

（6）當(dāng)d(n)=6時(shí)，同理求n的最小值：n=25=32或n=22×3=12，則最小的n=12；

（7）當(dāng)d(n)=7時(shí)，同時(shí)求n的最小值：n=26=64>60，不符合；

（8）當(dāng)d(n)=8時(shí)，同理求n的最小值：n=27=128或n=23×3=24或n=2×3×5=30，則最小的n=24；

（9）當(dāng)d(n)=9時(shí)，同理求n的最小值：n=28或n=22×32=36，則最小的n=36；

（10）當(dāng)d(n)=10時(shí)，同理求n的最小值：n=29或n=24×3=48，則最小的n=48；

（11）當(dāng)d(n)=11時(shí)，同理求n的最小值：n=210，不符合；

（12）當(dāng)d(n)=12時(shí)，同理求n的最小值：n=211或n=25×32=288或n=22×3×5=60，則最小的n=60；

（13）當(dāng)d(n)>13時(shí)，有n>60，故不符合題意；

綜上所述，n的值為2,4,6,12,24,36,48,60。

方法三：∵n≤60＜64=26，

∴n的質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)最多為5，

①當(dāng)n的質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)為5時(shí)，

∴n=32或48，

當(dāng)n=32=25時(shí)，d（n）=5+1=6，

當(dāng)n=48=24×3時(shí)，d（n）=（4+1）×（1+1）=10，

∴d（48）＞d（32），

∴n=48；

②當(dāng)n的質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)為4時(shí)，

∴n=60，56，54，40，36，24，16，

當(dāng)n=60=22×3×5時(shí)，d（n）=（2+1）×（1+1）×（1+1）=12，

當(dāng)n=56=23×7時(shí)，d（n）=（3+1）×（1+1）=8，

當(dāng)n=54=2×33時(shí)，d（n）=（1+1）×（3+1）=8，

當(dāng)n=40=23×5時(shí)，d（n）=（3+1）×（1+1）=8，

當(dāng)n=36=22×32時(shí)，d（n）=（2+1）×（2+1）=9，

當(dāng)n=24=23×3時(shí)，d（n）=（3+1）×（1+1）=8，

當(dāng)n=16=24時(shí)，d（n）=4+1=5，

∴d（60）＞d（36）＞d（56）=d（54）=d（40）=d（24）＞d（16），

∴n=60或36或24；

③當(dāng)n的質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)為3時(shí)，

∴n=52，50，45，44，42，30，28，27，20，18，16，12，8，

當(dāng)n=52=22×13時(shí)，d（n）=（2+1）×（1+1）=6，

當(dāng)n=50=2×52時(shí)，d（n）=（1+1）×（2+1）=6，

當(dāng)n=45=5×32時(shí)，d（n）=（2+1）×（1+1）=6，

當(dāng)n=44=22×11時(shí)，d（n）=（1+1）×（2+1）=6，

當(dāng)n=42=2×3×7時(shí)，d（n）=（1+1）×（1+1）×（1+1）=8，

當(dāng)n=28=22×7時(shí)，d（n）=（2+1）×（1+1）=6，

當(dāng)n=27=23時(shí)，d（n）=3+1=4，

當(dāng)n=20=5×22時(shí)，d（n）=（2+1）×（1+1）=6，

當(dāng)n=18=32×2時(shí)，d（n）=（1+1）×（2+1）=6，

當(dāng)n=12=22×3時(shí)，d（n）=（2+1）×（1+1）=6，

當(dāng)n=8=23時(shí)，d（n）=3+1=4，

∴d（36）＞d（42），d（12）＞d（8），

∴n=12；

④當(dāng)n的質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)為2時(shí)，

∴n=58，57，55，51，49，46，39，38，35，34，33，26，25，22，21，15，14，10，9，6，4，

當(dāng)n=58=2×29時(shí)，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，

當(dāng)n=57=3×19時(shí)，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，

當(dāng)n=55=5×11時(shí)，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，

當(dāng)n=51=3×17時(shí)，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，

當(dāng)n=49=73時(shí)，d（n）=3+1=4，

當(dāng)n=46=2×23時(shí)，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，

當(dāng)n=39=2×23時(shí)，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，

當(dāng)n=38=2×19時(shí)，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，，

當(dāng)n=35=5×7時(shí)，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，

當(dāng)n=34=2×17時(shí)，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，

當(dāng)n=33=3×11時(shí)，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，

當(dāng)n=26=2×13時(shí)，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，

當(dāng)n=25=52時(shí)，d（n）=2+1=3，

當(dāng)n=22=2×11時(shí)，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，

當(dāng)n=51=3×17時(shí)，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，

當(dāng)n=21=3×7時(shí)，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，

當(dāng)n=15=3×5時(shí)，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，

當(dāng)n=14=2×7時(shí)，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，

當(dāng)n=10=2×5時(shí)，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，，

當(dāng)n=9=32時(shí)，d（n）=2+1=3，

當(dāng)n=6=2×3時(shí)，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，

當(dāng)n=4=22時(shí)，d（n）=2+1=3，

當(dāng)n=2=21時(shí)，d（n）=1+1=2，

∴d（6）＞d（4）＞d（2），

∴n=6；4；2

綜上所述，符合條件的n值為2，4，6，12，24，36，48，60.【解析】【分析】方法一：運(yùn)用列舉法，將1~60的約數(shù)個(gè)數(shù)求出來(lái)，取的n值的約數(shù)個(gè)數(shù)要比前面的都多；

方法二：求出d(n)=a時(shí)的n的最小值，當(dāng)m<n時(shí)，就有d(m)<d(n)，并注意是否符合題意。

方法三：根據(jù)已知條件n≤60＜64=26得出n的質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)最多為5，再分情況討論：①當(dāng)n的質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)為5時(shí)，②當(dāng)n的質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)為4時(shí)，③當(dāng)n的質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)為3時(shí)，④當(dāng)n的質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)為2時(shí)，

根據(jù)約數(shù)個(gè)數(shù)公式，逐一分析，求解即可得出答案.8.【答案】解：∵10=1×10=2×5，

∴10=1×（9+1）=（1+1）×（4+1），

又∵(a1+1)(a2+1)…(ak+1)=10，

①當(dāng)k=1時(shí)，

∴a1+1=1×（9+1）=10，

∴a1=9，

∴n=p1a1，

要使n最大，p1應(yīng)取5，

∴n=59；

②當(dāng)k=2時(shí)，

∴（a1+1）（a2+1）=（1+1）×（4+1），

∴a1+1=2，a2+1=5，

∴a1=1，a2=4，

∴n=p1a1·p2a2，

要使n最大，p1應(yīng)取3，p2應(yīng)取5，

∴n=3×54；

∵59>3×54；

∴這個(gè)自然數(shù)最大是59.

【解析】【分析】對(duì)于一個(gè)大于1的正整數(shù)分解質(zhì)因數(shù)：n=p1a1·p2a2·……·pkak，可知n的正約數(shù)有（a1+1）（a2+1）……（ak+1）個(gè)；由此計(jì)算即可.9.【答案】解：∵在1～100中，最小的平方數(shù)是12=1，最大的平方數(shù)是102=10，

∴滿足條件的數(shù)為：10-1+1=10，

又∵恰有3個(gè)約數(shù)，

∴一定是質(zhì)數(shù)的平方數(shù)，

∴22=4，32=9，52=25，72=49，

∴恰有3個(gè)約數(shù)的自然數(shù)為：4，9，25，49，

∴恰有3個(gè)約數(shù)的自然數(shù)的和是：4+9+25+49=87.

【解析】【分析】先找出1～100中奇數(shù)個(gè)約數(shù)