第1章 特殊的平行四邊形章末重難點題型總結（學生版）

第1章特殊的平行四邊形章末重難點題型總結【北師大版】【考點1菱形的性質（求角的度數）】【方法點撥】掌握菱形的性質是解決此類問題的關鍵，菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．【例1】（2020春?德城區(qū)校級月考）如圖，在菱形ABCD中，M，N分別在AB，CD上，且AM＝CN，MN與AC交于點O，連接BO．若∠DAC＝33°，則∠OBC的度數為（）A．33° B．57° C．59° D．66°【變式1-1】（2020?興文縣模擬）如圖，在菱形ABCD中，若∠B＝60°，點E、F分別在AB、AD上，且BE＝AF，則∠AEC+∠AFC的度數等于（）A．120° B．140° C．160° D．180°【變式1-2】（2020春?陸川縣期末）如圖，在菱形ABCD中，AB的垂直平分線EF交對角線AC于點F，垂足為點E，若∠CDF＝27°，則∠DAB的度數為．【變式1-3】（2020?武漢模擬）如圖，在菱形ABCD中，過點A作AH⊥BC，分別交BD，BC于點E，H，F為ED的中點，∠BAF＝120°，則∠C的度數為．【考點2菱形的性質（等面積法）】【方法點撥】掌握菱形的性質是解決此類問題的關鍵，菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．【例2】（2020春?順城區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O，DE⊥AB于點E，若AC＝8cm，BD＝6cm，則DE＝（）A．53cm B．25cm C．245cm D．485【變式2-1】（2020?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，對角線BD＝8，過BD的中點O作AD的垂線，交AD于點E，交BC于點F，連接DF，則DF的長度為（）A．125 B．245 C．855【變式2-2】（2020?錦州）如圖，在菱形ABCD中，P是對角線AC上一動點，過點P作PE⊥BC于點E．PF⊥AB于點F．若菱形ABCD的周長為20，面積為24，則PE+PF的值為（）A．4 B．245 C．6 D．【變式2-3】（2020春?新城區(qū)校級期末）如圖，菱形ABCD的邊長為5，對角線AC的長為8，延長AB至E，BF平分∠CBE，點G是BF上任意一點，則△ACG的面積為（）A．63 B．12 C．20 D．24【考點3菱形的性質（求點的坐標）】【方法點撥】掌握菱形的性質是解決此類問題的關鍵，菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．【例3】（2020春?臨江市校級期末）如圖，在菱形ABCD中，點A在x軸上，點B的坐標為（8，2），點D的坐標為（0，2），則點C的坐標為（）A．（2，2） B．（2，4） C．（4，2） D．（4，4）【變式3-1】（2020春?新昌縣期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知菱形ABCD的頂點A（3，3），C（﹣1，﹣1），對角線BD交AC于點M，交x軸于點N，若BN＝2ND，則點B的坐標是（）A．（-32，72） B．（-2，22） C．（4，﹣2） D．（﹣【變式3-2】（2020?牡丹江）如圖，在菱形OABC中，點B在x軸上，點A的坐標為（2，23），將菱形繞點O旋轉，當點A落在x軸上時，點C的對應點的坐標為（）A．（﹣2，﹣23）或（23，﹣2） B．（2，23） C．（﹣2，23） D．（﹣2，﹣23）或（2，23）【變式3-3】（2020?廣陵區(qū)二模）如圖，在菱形OABC中，點A的坐標是（2，1），點B的橫坐標是3，則點C的坐標是．【考點4菱形的性質（最值問題）】【例4】（2020?邗江區(qū)二模）如圖，菱形ABCD的的邊長為6，∠ABC＝60°，對角線BD上有兩個動點E、F（點E在點F的左側），若EF＝2，則AE+CF的最小值為（）A．210 B．42 C．6 D．8【變式4-1】（2020?瑤海區(qū)二模）如圖，菱形ABCD的邊長為23，∠ABC＝60°，點E、F在對角線BD上運動，且EF＝2，連接AE、AF，則△AEF周長的最小值是（）A．4 B．4+3 C．2+23 D．【變式4-2】（2020?成都模擬）如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分別是邊BC和對角線BD上的動點，且BE＝DF，則AE+AF的最小值為．【變式4-3】（2019?鄒平縣模擬）如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，點G是邊CD邊的中點，點E、F分別是AG、AD上的兩個動點，則EF+ED的最小值是．【考點5菱形的判定與性質（計算與證明）】【例5】（2020春?海淀區(qū)校級期末）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點O，E是AD上一點，連接EO并延長，交BC于點F．連接AF，CE，EF平分∠AEC．（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）若∠DAC＝60°，AC＝2，求四邊形AFCE的面積．【變式5-1】（2020?連云港）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線BD的垂直平分線與邊AD、BC分別相交于點M、N．（1）求證：四邊形BNDM是菱形；（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周長．【變式5-2】（2020春?海淀區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，EF垂直平分BD，分別交AB，BC，BD于E，F，G，連接DE，DF．（1）求證：四邊形BEDF是菱形；（2）若∠BDE＝15°，∠C＝45°，DE＝2，求CF的長．【變式5-3】（2020春?雨花區(qū)校級期末）如圖，在?ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點，∠AND＝90°，連接CM交DN于點O．（1）求證：△ABN≌△CDM；（2）求證：四邊形CDMN為菱形；（3）過點C作CE⊥MN于點E，交DN于點P，若PE＝1，∠1＝∠2，求NC的長．【考點6矩形的性質】【方法點撥】掌握矩形的性質是解決此類問題的關鍵，矩形具有平行四邊形的一切性質；矩形的四個角都是直角；矩形的對角線相等.【例6】（2020春?長春期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN交AD于點M，交BC于點N，連結BM、DN．若AB＝4，AD＝8，則MD的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式6-1】（2020春?高淳區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，對角線AC與BD相交于點O，AE⊥BD，垂足為E．若BE＝EO，則AD的長是（）A．62 B．23 C．32 D．25【變式6-2】（2020春?汝陽縣期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC＝3：2，則∠BDF＝（）A．18° B．36° C．27° D．54°【變式6-3】（2020春?新城區(qū)校級期末）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD交于點E，∠ACB＝52°，AM平分∠BAC，交BC于點M，過點B作BF⊥AM．垂足為點F，則∠DBF的度數為（）A．43° B．34° C．33° D．19°【考點7矩形的性質（最值問題）】【例7】（2020春?硚口區(qū)期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E為AB的中點，F為EC上一動點，P為DF中點，連接PB，則PB的最小值是（）A．2 B．4 C．2 D．22【變式7-1】（2020?儀征市模擬）如圖，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，點E是AD的中點，點M是BE上一動點，取CM的中點為N，則AN的最小值是．【變式7-2】（2020春?鹿城區(qū)校級期中）學習新知：如圖1、圖2，P是矩形ABCD所在平面內任意一點，則有以下重要結論：AP2+CP2＝BP2+DP2．該結論的證明不難，同學們通過勾股定理即可證明．應用新知：如圖3，在△ABC中，CA＝4，CB＝6，D是△ABC內一點，且CD＝2，∠ADB＝90°，則AB的最小值為．【變式7-3】（2020?成華區(qū)模擬）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝8，BC＝6，點E是AD的中點，點F是AB上一動點．將△AEF沿直線EF折疊，點A落在點A'處．在EF上任取一點G，連接GC，GA'，CA’，則△CGA'的周長的最小值為．【考點8矩形的判定與性質（計算與證明）】【方法點撥】矩形的判定：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；對角線相等的平行四邊形是矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形.【例8】（2020春?遂寧期末）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AE⊥BC交CB延長線于E，CF∥AE交AD延長線于點F．（1）求證：四邊形AECF是矩形；（2）連接OE，若AD＝5，BE＝3，求線段OE的長．【變式8-1】（2020春?新邵縣期末）如圖，在△ABC中，點O是AC邊的中點，過點O作BC的平行線交∠ACB的角平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．（1）求證：四邊形CEAF是矩形；（2）若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，求四邊形ABCF的面積．【變式8-2】（2020春?無錫期末）如圖，已知△OAB中，OA＝OB，分別延長AO、BO到點C、D．使得OC＝AO，OD＝BO，連接AD、DC、CB．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）以OA、OB為一組鄰邊作?AOBE，連接CE，若CE⊥BD，求∠AOB的度數．【變式8-3】（2020?開福區(qū)模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，對角線AC、BD交于點O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于點E，連接OE．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）若AB＝1，求△OEC的面積．【考點9直角三角形斜邊上的中線應用】【方法點撥】掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵．【例9】（2020春?蚌埠期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，E是AC的中點，連接BE，BD．則∠DBE的度數為（）A．10° B．12° C．15° D．18°【變式9-1】（2020?亳州二模）如圖，在△ABC中，∠BCA＝90°，D為AC邊上一動點，O為BD中點，DE⊥AB，垂足為E，連結OE，CO，延長CO交AB于F，設∠BAC＝α，則（）A．∠EOF=32α B．∠EOF＝2C．∠EOF＝180°﹣α D．∠EOF＝180°﹣2α【變式9-2】（2020?雁塔區(qū)校級二模）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝52°，BE為AC邊上的中線，AD平分∠BAC，交BC邊于點D，過點B作BF⊥AD，垂足為F，則∠EBF的度數為（）A．19° B．33° C．34° D．43°【變式9-3】（2020?蕭山區(qū)一模）如圖，CE、BF分別是△ABC的高線，連接EF，EF＝6，BC＝10，D、G分別是EF、BC的中點，則DG的長為．【考點10正方形的性質】【方法點撥】掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵．【例10】（2020春?沙坪壩區(qū)期末）如圖，正方形ABCD中，AB=2，點E是對角線AC上一點，EF⊥AB于點F，連結DE，當∠ADE＝22.5°時，EFA．1 B．22-2 C．2-1 D【變式10-1】（2020春?金寨縣期末）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，點E，F分別在AD，DC上，AE＝DF＝1，BE與AF相交于點G，點H為BF的中點，連接GH，則GH的長為（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【變式10-2】（2020春?江岸區(qū)期末）如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在邊CD，AD上，BE⊥CF于點G．若BC＝4，AF＝1，則CE的長為（）A．3 B．125 C．195 D【變式10-3】（2020春?自貢期末）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E，F分別在AB，AD上，若CE＝25，且∠ECF＝45°，則CF的長為（）A．4103 B．5103 C．2【考點11正方形的性質（最值問題）】【例11】（2020春?樊城區(qū)校級月考）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點M為對角線BD上一動點，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，則EF的最小值為（）A．32 B．62 C．3 D【變式11-1】（2020春?宜興市期中）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E、F分別是邊BC、CD上的動點，且BE＝CF，連接BF、DE，則BF+DE的最小值為（）A．12 B．20 C．48 D．80【變式11-2】（2019?灞橋區(qū)校級模擬）如圖，平面內三點A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC為對角線作正方形BDCE，連接AD，則AD的最大值是（）A．5 B．7 C．72 D．7【變式11-3】（2020春?沙坪壩區(qū)校級月考）如圖，在正方形ABCD中，M，N是邊AB上的動點，且AM＝BN，連接MD交對角線AC于點E，連接BE交CN于點F，若AB＝3，則AF長度的最小值為．【考點12正方形的判定與性質（計算與證明）】【例12】（2020春?歷下區(qū)期末）如圖，正方形ABCD中，AB＝4，點E是對角線AC上的一點，連接DE．過點E作EF⊥ED，交AB于點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接AG．（1）求證：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰為AB中點，連接DF交AC于點M，請直接寫出ME的長．【變式12-1】（2019?金山區(qū)二模）已知：如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求證：四邊形ABCD是正方形．（2）E是OB上一點，DH⊥CE，垂足為H，DH與OC相交于點F，求證：OE＝OF．【變式12-2】（2019春?安慶期末）如圖，已知四邊形ABCD為正方形，AB＝42，點E為對角線AC上一動點，連接DE、過點E作EF⊥DE．交BC點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．（1）求證：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．【變式12-3】（2019春?內黃縣期末）四邊形ABCD為正方形，點E為線段AC上一點，連接DE，過點E作EF⊥DE，交射線BC于點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG（1）如圖，求證：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝22，CE＝2，求CG的長；（3）當線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是40°時，直接寫出∠EFC的度數．【考點13中點四邊形】【例13】（2020春?樊城區(qū)校級月考）如圖，在任意四邊形ABCD中，M，N，P，Q分別是AB，BC，CD，DA的中點，對于四邊形MNPQ的形狀，以下結論中，錯誤的是（）A．當∠ABC＝90°時，四邊形MNPQ為正方形 B．當AC＝BD時，四邊形MNPQ為菱形 C．當AC⊥BD時，四邊形MNPQ為矩形 D．四邊形MNPQ一定為平行四邊形【變式13-1】（2020春?工業(yè)園區(qū)期末）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB與CD不平行，E，F，G，H分別是AD，BC，BD，AC的中點．（1）求證：四邊形EGFH是平行四邊形；（2）①當AB與CD滿足條件時，四邊形EGFH是菱形；②當AB與CD滿足條件時，四邊形EGFH是矩形．【變式13-2】（2020春?相城區(qū)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E、F、G、H分別是線段BC、AD、OB、OD的中點，連接EH、HF、FG、GE．（1）求證：四邊形GEHF是平行四邊形；（2）當EF和BD滿足條件時，四邊形GEHF是矩形；（3）當EF和BD滿足條件時，四邊形GEHF是菱形．【變式13-3】（2020?通州區(qū)一模）如圖，點A，B，C為平面內不在同一直線上的三點．點D為平面內一個動點．線段AB，BC，CD，DA的中點分別為M，N，P，Q．在點D的運動過程中，有下列結論：①存在無數個中點四邊形MNPQ是平行四邊形；②存在無數個中點四邊形MNPQ是菱形；③存在無數個中點四邊形MNPQ是矩形；④存在兩個中點四邊形MNPQ是正方形．所有正確結論的序號是．【考點14四邊形的判定（動點問題）】【例14】（2020春?陽西縣期末）如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，點E是AD邊的中點，點M是AB邊上一動點（不與點A重合），延長ME交射線CD于點N，連接MD，AN．（1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形；（2）①當AM的值為時，四邊形AMDN是矩形；②若AM＝6，求證：四邊形AMDN是菱形．【變式14-1】（2020春?蚌埠期末）如圖，△ABC中，點O為AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的外角平分線CF于點F，交∠ACB內角平分線CE于E．（1）試說明EO＝FO；（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形并證明你的結論；（3）若AC邊上存在點O，使四邊形AECF是正方形，猜想△ABC的形狀并證明你的結論．【變式14-2】（2019春?高邑縣期末）如圖，?ABCD中，AB＝2cm，AC＝5cm，S?ABCD＝8cm2，E點從B點出發(fā)，以1cm每秒的速度，在AB延長線上向右運動，同時，點F從D點出發(fā)，以同樣的速度在CD延長線上向左運動，運動時間為t秒．（1）在運動過程中，四邊形AECF的形狀是；（2）t＝時，四邊形AECF是矩形；（3）求當t等于多少時，四邊形AECF是菱形．【變式14-3】（2019春?西湖區(qū)校級月考）如圖，平行四邊形ABCD中，AD＝9cm，CD＝32cm，∠B＝45°，點M、N分別以A、C為起點，1cm/秒的速度沿AD、CB邊運動，設點M、N運動的時間為t秒（0≤t≤6）（1）求BC邊上高AE的長度；（2）連接AN、CM，當t為何值時，四邊形AMCN為菱形；（3）作MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，當t為何值時，四邊形MPNQ為正方形．【考點15四邊形綜合（多結論選擇題）】【例15】（2020春?孝感期末）如圖，P為正方形ABCD的對角線BD上任一點，過點P作PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，連接EF．給出以下4個結論，其中，所有正確的結論是（）①△FPD是等腰直角三角形；②AP＝EF＝PC；③AD＝PD；④∠PFE＝∠BAP．A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④【變式15-1】（2020春?番禺區(qū)期末）如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC＝1，點E、F分別為邊AB、BC上的點，且AE＝BF，連接CE、AF交于點H，連接DH交AC于點O，則下列結論：①△ABF≌△CAE；②∠FHC＝∠B；③△ADO≌△ACH；④S菱形ABCD=3A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式15-2】（2020?泰安）如圖，矩形ABCD中，AC，BD相交于點O，過點B作BF⊥AC交CD于點F，交AC于點M，過點D作DE∥BF交AB于點E，交AC于點N，連接FN，EM．則下列結論：①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝FC；④當AO＝AD時，四邊形DEBF是菱形．其中，正確結論的個數是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式15-3】（2020春?香坊區(qū)校級期中）如圖，正方形ABCD中，AB＝4，E為CD上一動點，連接AE交BD于F，過F作FH⊥AE于F，過H作HG⊥BD于G．則下列結論：①AF＝FH；②∠HAE＝45°；③BD＝2FG；④△CEH的周長為8．其中正確的個數是（）A．1個 B．2個 C．3個